2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程為（）A． B． C． D．2．某市年深入實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，新產(chǎn)業(yè)新產(chǎn)品增勢(shì)良好．調(diào)研統(tǒng)計(jì)了家企業(yè)，得到了他們的科技創(chuàng)新月平均新增收益如下：（單位：百萬(wàn)元），則其百分位數(shù)是（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，，若，則（）A． B． C． D．4．與橢圓共焦點(diǎn)，且與雙曲線共漸近線的雙曲線的方程為（）A． B． C． D．5．如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在線段OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．有一組數(shù)據(jù)：2，4，5，7，6，7，x，10，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．5 B．6 C．7 D．87．拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物面的反射后，集中于它的焦點(diǎn).已知一束平行反射鏡軸的入射光線與拋物線的交點(diǎn)為A（4，4），則反射光線所在直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．8．“天問(wèn)一號(hào)”是執(zhí)行中國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)的探測(cè)器，該名稱源于屈原長(zhǎng)詩(shī)《天問(wèn)》，寓意探求科學(xué)真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無(wú)止境．圖（1）是“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．過(guò)橢圓上的點(diǎn)P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問(wèn)一號(hào)”在點(diǎn)P時(shí)對(duì)火星的觀測(cè)角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個(gè)點(diǎn)處，對(duì)火星的觀測(cè)角最大的是（

）A．Q B．R C．S D．T二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓B．當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，曲線表示兩條直線D．存在，使得曲線為等軸雙曲線10．設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件，若，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則相互獨(dú)立 D．若相互獨(dú)立，則11．在正方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得與所成角為三、填空題（本大題共3小題）12．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．13．如圖是某個(gè)閉合電路的一部分，每個(gè)元件的可靠性是，則從到這部分電路暢通的概率為．14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與漸近線垂直，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).若，則的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線，其焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，(1)求拋物線C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求．16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)連線的斜率的積為定值，試求：(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)與（1）中曲線C相交所得弦長(zhǎng)的直線，若存在，求直線l的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.17．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓．

(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；(2)設(shè)為直線上的點(diǎn)，滿足：過(guò)點(diǎn)的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等．試求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．19．一般地，我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.(1)請(qǐng)用上述定義證明反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；(2)利用所學(xué)的知識(shí)，指出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程；(3)我們知道，雙曲線上的任意一點(diǎn)到與的距離之積是常數(shù)，即.探討雙曲線上的任意一點(diǎn)是否有類似結(jié)論，若有，寫出結(jié)論并證明；若沒(méi)有，則說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線傾斜角為，即直線垂直于軸，所以直線方程為.故選：A2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以從小到大排列取第個(gè)數(shù)為．故選：C．3．【正確答案】B【詳解】由，知，使得，即，所以，解得，所以．故選：B4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)闄E圓，焦點(diǎn)在y軸上，且，又因?yàn)樗鶠殡p曲線與雙曲線共漸近線，所以設(shè)所求雙曲線，即則，解得.所以所求雙曲線為.故選：A5．【正確答案】D【詳解】點(diǎn)M在線段OA上，且，又，∵N為BC的中點(diǎn)，.故選：D.6．【正確答案】A【詳解】依題意，，解得，所以組數(shù)據(jù)的方差為.故選：A7．【正確答案】C【分析】由題意可以求出拋物線的方程，再根據(jù)光線的反射性質(zhì)求出反射光線的方程，即可求出反射光線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以拋物線方程為.故拋物線的焦點(diǎn)為，又因?yàn)榉瓷涔饩€經(jīng)過(guò)點(diǎn)及焦點(diǎn)，所以反射光線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，解得或，故反射光線AB與拋物線的交點(diǎn)為，由兩點(diǎn)距離公式得所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為.故選C.

8．【正確答案】A【分析】連接點(diǎn)P和橢圓的左焦點(diǎn)，由對(duì)稱性和橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的特征得點(diǎn)P位于條件中點(diǎn)Q處，對(duì)火星的觀測(cè)角最大.【詳解】設(shè)火星半徑為R，橢圓左焦點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)椋栽叫?，越大，越大，所以?dāng)點(diǎn)P位于條件中點(diǎn)Q處，對(duì)火星的觀測(cè)角最大.故選：A.9．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，若曲線表示雙曲線，則，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，曲線，即，即曲線表示兩條直線，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于，若曲線為等軸雙曲線，則，解集為，不存在，使得曲線為等軸雙曲線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．10．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，若，則，A正確；對(duì)于B，若，則事件互斥，所以，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，則相互獨(dú)立，C正確；D選項(xiàng)，若相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，且，所以，D錯(cuò)誤．故選：AC．11．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時(shí)P在線段上，由于在正方體中，平面，平面，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，

由平面向量基本定理，此時(shí)P在線段上，由圖可知，三棱錐當(dāng)以平面為底面時(shí)為定值，但因?yàn)轫旤c(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，所以P到底面的高不確定，故三棱錐的體積不是定值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，由平面向量基本定理，取AB與中點(diǎn)M，N，則P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，由圖可知，過(guò)B點(diǎn)且與平面平行的平面為平面，平面，所以此時(shí)平面，又P是MN與交點(diǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)P是MN中點(diǎn)時(shí)，有平面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖所示，

以D為原點(diǎn)，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，則有，又，所以，所以.于是，，所以的夾角為時(shí)有，，解得或，即或都可以使得的夾角為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【正確答案】/0.25【詳解】由得，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.故13．【正確答案】【詳解】上半部分電路暢通的概率為：，下半部分電路暢通的概率為，上下兩部分并聯(lián)，暢通的概率為：．故答案為.14．【正確答案】/【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，從而.

設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，由雙曲線的定義，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)拋物線C的方程為．焦點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)8【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離求出，即可求出拋物線C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）根據(jù)直線l過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為45°，得出直線l的方程，讓直線l與拋物線方程聯(lián)立，消去y，設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義即可求出.【詳解】（1）由題意在拋物線中，焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，∴，∴拋物線C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）由題意及（1）得在拋物線中，過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l的方程為，∴聯(lián)立方程組消去y可得，設(shè)，，則，∴根據(jù)拋物線的定義，．16．【正確答案】(1)；(2)存在，或.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意，化簡(jiǎn)整理得，故點(diǎn)P的軌跡C的方程是.（2）直線斜率不存在時(shí)不合題意，斜率存在時(shí)，設(shè)直線與曲線C的交點(diǎn)為，由，得，，則，，，整理得，解得或（舍）.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，直線l的方程為，即或.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．18．【正確答案】(1)或(2)【分析】（1）直線斜率不存在時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得切線方程；（2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，根據(jù)截得弦長(zhǎng)相等可求得的值；當(dāng)斜率為時(shí)，易知不滿足題意；當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，假設(shè)直線方程，根據(jù)垂徑定理表示出直線被圓截得的弦長(zhǎng)，根據(jù)有無(wú)數(shù)個(gè)解可確定的取值.【詳解】（1）由圓的方程知：圓心，半徑；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)直線與圓顯然相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，即，圓心到直線的距離，解得：，直線方程為：，即；綜上所述：直線方程為或.（2）由圓的方程知：圓心，半徑；設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)過(guò)的直線斜率不存在時(shí)，則方程為：，方程為：；則被圓截得的弦長(zhǎng)為：；被圓截得的弦長(zhǎng)為，解得：或；或；②當(dāng)過(guò)的直線斜率為時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)與圓相離，不合題意；③當(dāng)過(guò)的直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，則，即，，圓心到直線的距離；圓心到直線的距離；直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，，即，，又，，，，當(dāng)時(shí)，整理可得：，滿足題意的直線有無(wú)數(shù)對(duì)，，解得：，即；當(dāng)時(shí)，整理可得：，滿足題意的直線有無(wú)數(shù)對(duì)，，方程組無(wú)解；綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為.19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)焦點(diǎn)：；準(zhǔn)線：和(3)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：觀察圖象可知若函數(shù)的圖象是雙曲線，則它一定是等軸雙曲線，且軸?軸是圖象的漸近線，直線是雙曲線的對(duì)稱軸，它與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng).兩焦