專題06幾何與二次函數(shù)壓軸題考點(diǎn)01三角形與四邊形壓軸題1．（2025·遼寧·中考真題）（1）如圖1，在與中，與相交于點(diǎn)，，求證：；（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，與相交于點(diǎn)：若，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）利用等邊對(duì)等角求得，再利用證明即可；（2）由題意得，得到，，，作于點(diǎn)，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得，，證明，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解；（3）設(shè)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則，利用三角形內(nèi)角和定理以及平角的性質(zhì)求得，，推出，求得，作于點(diǎn)，求得，再求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，即，∵，，∴；（2）∵，即，∴，，，作于點(diǎn)，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴；（3）設(shè)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則，∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴，作于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，即，∴．2．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在中，，．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作，垂足為．

圖1

圖2

圖3(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，的平分線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿折疊，在變化過程中，當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置時(shí)，連接．①求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②若，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)(3)30【分析】（1）利用“”即可證明；（2）可知，證明，則，可得，則，故；（3）①翻折得，根據(jù)等角的余角相等得到，故，則，即點(diǎn)F是中點(diǎn)；②過點(diǎn)F作交于點(diǎn)M，連接，設(shè)，，則，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此時(shí)），在中，由勾股定理得：，解得：，則，由，得到，，因此，故．【詳解】（1）證明：如圖，

由題意得，，∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）猜想：證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：①由題意得，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，即點(diǎn)F是中點(diǎn)；②過點(diǎn)F作交于點(diǎn)M，連接，

∵，∴，設(shè)，，∴，由翻折得，∴，∴，在中，由勾股定理得：，整理得，，解得：或（舍，此時(shí)），在中，由勾股定理得：，解得：，∴，∵，∴，，∴點(diǎn)M為中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，翻折的性質(zhì)，勾股定理解三角形，平行線分線段成比例定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧丹東·中考真題）在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．四邊形是菱形（D，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針順序排列），，且，菱形可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接和，設(shè)直線和直線所夾的銳角為．

(1)在菱形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖①，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系及的值；(2)當(dāng)菱形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，在菱形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)所在的直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)（1）中結(jié)論成立，證明見解析；(3)或【分析】（1）根據(jù)，即可得出答案；（2）證明，即可求解；（3）證明、均為等邊三角形，證明A、M、P、G共線，由（1）、（2）知，，則，在等邊三角形中，，則，則，進(jìn)而求解；當(dāng)B、F重合時(shí)，也符合題意，由（1）、（2）知，，根據(jù)，在中，用解直角三角形的方法即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：在中，，則，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則，,為等邊三角形，；（2）解：（1）的結(jié)論成立，理由：證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)T，交于點(diǎn)N，

，，，，，，，；（3）解：當(dāng)B、E、F共線時(shí)，如下圖，連接，

根據(jù)圖形的對(duì)稱性，當(dāng)B、E、F共線時(shí)，且點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則F、G、C共線，分別過點(diǎn)G、E作的垂線，垂足分別為H、M，交于點(diǎn)P，，則，則,即，均為等邊三角形，，由（1）知為等邊三角形，則，則A、M、P、G共線，由（1）、（2）知，，則，在等邊三角形中，，則，，；當(dāng)B、F重合時(shí)，也符合題意，如下圖：

在中，，，由（1）、（2）可知，，，設(shè)，則，，，即，解得：，；綜上，的面積為：或．【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，涉及到三角形全等、解直角三角形、面積的計(jì)算、勾股定理的運(yùn)用，題目難度很大，分類求解是本題解題的關(guān)鍵．4．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在的延長(zhǎng)線上，，連接，，點(diǎn)H在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)E在線段上，且，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，使得，交于點(diǎn)F．

(1)線段與線段的關(guān)系是______．(2)若，，求的長(zhǎng)．(3)求證：．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）求證，即可得證結(jié)論；

（2）由題知，，于是，可證，所以，于是；（3）連接，令，則，中，，可求，所以，得證；延長(zhǎng)線段至點(diǎn)I，使，可證，得，于是．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，.∴又∵，∴∴．（2）解：由題知，，∴．∵，，∴．∴．∴．∴．（3）解：連接，令，則，中，，∴．中，．∴．∴．∴．延長(zhǎng)線段至點(diǎn)I，使，連接，則垂直平分，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等；添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，從而求證線段之間的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是射線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，過點(diǎn)D在左側(cè)作，使，連接，點(diǎn)F，G分別是，的中點(diǎn)，連接，，．

(1)如圖1，點(diǎn)D在線段上，且點(diǎn)D不是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，與的位置關(guān)系是________，________．(2)如圖2，點(diǎn)D在線段上，當(dāng)，時(shí)，求證：．(3)當(dāng)，時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)N．若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)垂直，(2)見解析(3)或【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)，推出，四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得到，推出與垂直，利用斜邊上的中線以及等腰三角形三線合一，得到，證明，得到，即可得出結(jié)果；（2）作于，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，同（1）推出，得到，進(jìn)而得到，變形得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，利用線段之間的等量代換，即可得證；（3）分點(diǎn)在線段上和在線段的延長(zhǎng)線上，兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）解：連接并延長(zhǎng)交于，

∵，∴，同理：，∴，∴，四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴與垂直；∵是的中點(diǎn)，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，又，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：垂直，；（2）作于，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

∵，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，四點(diǎn)共圓，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴是梯形的中位線，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作于，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，

由（2）知：為等邊三角形，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴；②當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作于，作于點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，

同①可知：，∴，∴，∴，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查幾何的綜合應(yīng)用，難度大，屬于中考?jí)狠S題，重點(diǎn)考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，斜邊上的中線，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，構(gòu)造特殊圖形．6．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在正方形中，線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)F在直線上，且，連接．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆谇笞C：．(2)如圖2，取線段的中點(diǎn)G，連接，已知，請(qǐng)直接寫出在線段旋轉(zhuǎn)過程中（）面積的最大值．【答案】(1)①；②見解析；(2)面積的最大值為．【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到，據(jù)此求解即可；②連接，計(jì)算得到，利用證明，推出是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明；（2）先證明點(diǎn)G在以為直徑的圓上，連接、交于點(diǎn)O，過O作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，連接，，根據(jù)，一定，得出最大時(shí)的面積最大，求出最大值即可．【詳解】（1）解：①∵四邊形是正方形，∴，，由題意得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②連接，

∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)解析（1）可知，為等腰直角三角形，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵四邊形是正方形，∴，，由題意得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵四邊形是正方形，∴，，由題意得，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵四邊形是正方形，∴，，由題意得，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)G在以為直徑的圓上，連接、交于點(diǎn)O，過O作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，連接，，如圖所示：∵，一定，∴最大時(shí)的面積最大，∵此時(shí)最大，∴此時(shí)的面積最大，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023·遼寧·中考真題）是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，在的左側(cè)作等邊三角形，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段,連接．交于點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2．當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)判斷（）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】（1）可證得，進(jìn)一步利用等腰三角形的三線合一得出結(jié)果；（2）連接、，可證明，從而，，進(jìn)而得出，從而得出，從而，結(jié)合得出四邊形是平行四邊形，從而得出；（3）分為兩種情形∶當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作于，可得出，，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作于，可得出，，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解∶∵是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴；（2）解：如圖，仍然成立，理由如下∶連接、，

∵和是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴；（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，作?于，

∵，∴，，∴，∴．由（）知∶，∴，∴，∴，∴，如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作于，

由上知∶，∴，∴，∴，綜上所述∶或．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”等模型．8．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）如圖，在紙片中，，，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，將紙片沿所在直線折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，射線與射線交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為______；(3)如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，求的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，然后結(jié)合鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，推出，即可證明；（2）作，交的延長(zhǎng)線于，先證明四邊形是正方形，再利用特殊角的三角函數(shù)值，求出，進(jìn)而得到，即可求出的長(zhǎng)；（3）作，交的延長(zhǎng)線于，作于，交的延長(zhǎng)線于，作于，解直角三角形，依次求出、、、的值，進(jìn)而求得的值，根據(jù)和，求得、，進(jìn)而得出的值，解直角三角形，求出的值，進(jìn)而得出的值，根據(jù)，得出，從而設(shè)，，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)，列出，求出，根據(jù)，得出，進(jìn)而得到，即可求出的面積．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，由折疊性質(zhì)可知，，，，，；（2）解：如圖，作，交的延長(zhǎng)線于，

，，，，，，，四邊形是矩形，由（1）可知：，矩形是正方形，，，，，，，故答案為：；（3）解：如圖，作，交的延長(zhǎng)線于，作于，交的延長(zhǎng)線于，作于，

四邊形是平行四邊形，，，，，，在中，，，，在中，，由（1）可知：，，，又紙片沿所在直線折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，正確作輔助線，熟練解直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（2023·遼寧·中考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)重合），連接，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；(3)連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)．(2)見解析．(3)或．【分析】（1）可先證，得到，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到和的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到線段與線段的數(shù)量關(guān)系．（2）可先證，得到，進(jìn)而得到，問題即可得證．（3）分兩種情況：①點(diǎn)D在線段上，過點(diǎn)作垂直于，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于，交于點(diǎn)，設(shè)，利用勾股定理，可用含的代數(shù)式表示，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案．②點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)作垂直于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn),令交于點(diǎn),連接,設(shè)，可證，進(jìn)一步證得是等腰直角三角形，，利用勾股定理，可用含的代數(shù)式表示，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案【詳解】（1）解：．理由如下：如圖，連接．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．由題意可知，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形斜邊上的中線，，．又，．在和中，．，．．．．（2）解：為等腰直角三角形斜邊上的中線，．，．，，．，．，．在和中，．．．（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，不滿足條件，故分兩種情況：①點(diǎn)D在線段上，如圖，過點(diǎn)作垂直于，交于點(diǎn)；過點(diǎn)作垂直于，交于點(diǎn)．設(shè)，則．根據(jù)題意可知，四邊形和為矩形，為等腰直角三角形．，．由（2）證明可知，．．．根據(jù)勾股定理可知，的面積與的面積之比②點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)作垂直于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn),令交于點(diǎn),連接,由題意知，四邊形，是矩形，∵∴即又∵，∴∴而∴∴是等腰直角三角形，設(shè)，則，∴中，的面積與的面積之比【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）在中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)G在上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，連接．，．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)用等式表示線段與線段的數(shù)量關(guān)系______；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，寫出線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是的中點(diǎn)時(shí)，連接，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，在上截取，連接，證明，推出，，得到；（2）當(dāng)時(shí)，得到，，過點(diǎn)G作交于點(diǎn)M，證明，推出，得到，由此得到，進(jìn)而推出；（3）由（2）得，設(shè)，由點(diǎn)G是的中點(diǎn)，得到，推出，，過點(diǎn)E作于N，根據(jù)角的性質(zhì)及勾股定理求出，，即可得到，根據(jù)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∵在中，，∴，，∴∴，

在上截取，連接，∵，∴，∴，，∴，，∴，故答案為：；（2），理由如下：當(dāng)時(shí)，，∴，，過點(diǎn)G作交于點(diǎn)M，

∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴（3）∵，，∴，設(shè)，∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，∴,∴，∴，，過點(diǎn)E作于N，

∵，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，求角的正切值，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·遼寧錦州·中考真題）【問題情境】如圖，在中，，．點(diǎn)D在邊上將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（旋轉(zhuǎn)角小于），連接，，以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．【嘗試探究】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，易知；

如圖2，當(dāng)時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖3，寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示）．并說明理由；

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，當(dāng)，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)．若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）先證明，可得，再證得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，在中，利用余弦定義可求，即可得出，然后把代入計(jì)算即可；（2）仿照（1）的思路即可解答；（3）方法一：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，可求，得出，設(shè)，則，利用平行線分線段成比例得出，則可求，，，，，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出．證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；方法二：如圖，過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用等腰三角形的性質(zhì)與判斷，平行線的性質(zhì)可證明，，證明，可得出．設(shè)，則，設(shè)，則，利用平行線分線段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，求出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

∵，，∴，∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴，．∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，H為的中點(diǎn)，∴．在中，，∴．∴．∴．又，∴；（2）解：；如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，

∵，，∴，∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴，．∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，H為的中點(diǎn)，∴．在中，，∴．∴．∴．（3）．方法一：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∴．∴．∵線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴．∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴，．∴．∴．∴．∵，∴．設(shè)，則，∵，∴，∴．∴．∵，∴，．∴．在中，，，∴．∴，解得．∴．∵，∴．方法二：如圖，過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，

∴．∴．∵線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴．∴．∵，∴，．∴．∵，∴．∵是以為底邊的等腰三角形，，∴．∵，∴，．∴．設(shè)，則，∵，∴．∴．∴．∴．在中，，∴．在中，，，∴．∴，解得．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．考點(diǎn)02二次函數(shù)壓軸題12．（2025·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸相交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值．(2)直線與二次函數(shù)的圖象分別相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，①求證：；②當(dāng)四邊形的一組對(duì)邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．(3)二次函數(shù)與二次函數(shù)組成新函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，求的取值范圍．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的值分別為(2)①見解析②或(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像綜合問題，二元一次方程組，一元一次不等式組，一次函數(shù)，平行線的性質(zhì)，相似三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）先求出，，再分別代入，列出二元一次方程組，即可解答．（2）①設(shè)直線的解析式為，將，分別代入，得直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求出，設(shè)，，則，，即可解答．②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再分類討論，即可解答．（3）易得，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，解出；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，或（舍去），，即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得，∴，將代入，得，∴，將，分別代入，得，解得．答：點(diǎn)的坐標(biāo)為，的值分別為．（2）①證明：如圖，設(shè)直線的解析式為，將，分別代入，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為∵，∴，將代入得，將代入，得，∴，，∴②如圖當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即，解得．當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即，解得，∴或．（3）∵次函數(shù)與二次函數(shù)組成新函數(shù)，∴，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．且當(dāng)時(shí)，取得最小值．∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即，解得．∵時(shí)，函數(shù)的最大值為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，即，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，或（舍去），∴，∵，∴，解得，．13．（2024·遼寧·中考真題）已知是自變量的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱函數(shù)為函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”，點(diǎn)在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．例如：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)是函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”，點(diǎn)在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．(1)求函數(shù)的“升冪函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”在點(diǎn)上方，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)“關(guān)于的升冪點(diǎn)”為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的值；②若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，過點(diǎn)作軸的平行線，與函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象相交于點(diǎn)，以，為鄰邊構(gòu)造矩形，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；③在②的條件下，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有3個(gè)時(shí)，從左到右依次記為，，，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)時(shí)，從左到右依次記為，，若，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)①或；②；③或【分析】（1）根據(jù)“升冪函數(shù)”的定義，可得，即可求解，（2）設(shè)，根據(jù)“升冪點(diǎn)”的定義得到，由，在點(diǎn)上方，得到，即可求解，（3）①由，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，即可求解，②由，得到對(duì)稱軸為，、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，結(jié)合，則，得到，進(jìn)而得到，，由點(diǎn)在點(diǎn)的上方，得到點(diǎn)在點(diǎn)的上方，，解得：，，當(dāng)，，，當(dāng)，，，即可求解，③根據(jù)②中結(jié)論得到，，，將，，代入，得到，，，結(jié)合圖像可得，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，將直線與函數(shù)聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得到，，，將直線與函數(shù)聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得到，，，結(jié)合，可得，當(dāng)時(shí)，，解得：，由，得到，解得：，即可求解，【點(diǎn)睛】本題考查了，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)綜合，根據(jù)系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，將題目所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，故答案為：，（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，∵，在點(diǎn)上方，∴，解得：，∴；（3）解：①根據(jù)題意得：，則，∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，解得：或，②根據(jù)題意得：，∴對(duì)稱軸為，、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∵，則，∴，解得：，∴，，∵點(diǎn)在點(diǎn)的上方，∴，解得：，∴，當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，，當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，，∴，③∵，∴，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，直線與函數(shù)交于、兩點(diǎn)，，即：，∴，，，直線與函數(shù)交于、兩點(diǎn)，，即：，∴，，，∵，∴，整理得：，當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍），∴，∴，解得：，∴，或．14．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）將點(diǎn)，代入解析式即可求解；（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當(dāng)時(shí)，可求，，即可求解；②當(dāng)時(shí)，，，即可求解；（3）①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，同理可求．【詳解】（1）解：由題意得解得，故拋物線的表達(dá)式；（2）解：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過點(diǎn)D作直線軸，，，，①如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，整理得：，解得：，，，不合題意，舍去，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，整理得：，解得：，（舍去），；綜上所述：線段的長(zhǎng)為或．（3）解：設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則為直角，①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，如圖，過作軸交軸于，交過作軸的平行線于，

，∵為直角，則，∵，∴，∴，∵是矩形鄰邊之比為，即或，即和的相似比為或，即，由題意得：，，∴，則，即，解得：，（不符合題意，舍去）；②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，

同理可得：，解得：，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，分類求解是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線軸于點(diǎn)，若，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，連接，若，求面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將點(diǎn)，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；（2）設(shè)，，則，則，，從而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；（3）求出直線的表達(dá)式，利用，得到，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：，設(shè)，，，，，點(diǎn)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn)，，解得：（舍去）或，；（3）解：設(shè)點(diǎn)，直線的解析式為，，，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，，在拋物線中，當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合，主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．16．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式．(2)直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作直線軸，交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．若，，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或1(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求解函數(shù)的解析式；（2）分別過，向軸作垂線，垂足為，，根據(jù)證得，從而，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出，坐標(biāo)，再列方程求解即可；（3）將平移到，連接，則；過作于，過作軸于，過作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交軸于，設(shè)，則，，，由可得，從而，設(shè)由可得，，，再求出點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線解析式中即可求得或，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把和代入到解析式中可得，解得，拋物線的解析式為：；（2）直線中，令，則，所以，直線中，令，則，所以，分別過，向軸作垂線，垂足為，，

根據(jù)題意可得，軸，軸，和為直角三角形，在和中，，，，設(shè)，則，，，從而，，則有或，解得（舍去），或，或故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或1；（3）將平移到，連接，則四邊形為平行四邊形，，過作于，過作軸于，過作交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交軸于，，可設(shè)，則，∴，則，

設(shè)，軸，，，，，，，，，，，，，，，，則，，，，代入拋物線解析式中有：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義等知識(shí)，解題關(guān)鍵是在坐標(biāo)系中利用等線段構(gòu)造全等進(jìn)行計(jì)算，構(gòu)造相似三角形解決問題．17．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果；（2）作于，作于，交于，先求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求得，坐標(biāo)及的長(zhǎng)，從而得出過的直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，根據(jù)的△求得的值，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得上的高的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，設(shè)，根據(jù)求得的值，可推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣方法得出結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：如圖1，作于，作于，交于，，，，，拋物線的對(duì)稱軸是直線：，，，，，故只需的邊上的高最大時(shí)，的面積最大，設(shè)過點(diǎn)與平行的直線的解析式為：，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，由得，，由△得，得，，，，，，，，；（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，設(shè)，由得，，，（舍去），，∵，，，四邊形是平行四邊形，，，∴；如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上可知：，同理可得：，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．18．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）方法一：連接，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．先求得直線的表達(dá)式為：．再設(shè)，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進(jìn)而求得直線的表達(dá)式為：．聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得．∴拋物線的表達(dá)式為：．（2）解：方法一：如下圖，連接，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．

∵，∴．令中，則，解得或，∴，設(shè)直線為，∵過點(diǎn)，，，∴，解得，∴直線的表達(dá)式為：．設(shè)，，∴．∴．∵，∴．整理得，解得．∴．方法二：如下圖，

拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，∴，∴．∵，∴．整理得，解得．∴．（3）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．如下圖，連接，，

∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴是等邊三角形．∴，∵，，，∴，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，，∴是等邊三角形，，∴，∴即，，∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．如下圖，連接，，，

同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．∴，∵，，∴．∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．19．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作直線，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)直角三角形三角函數(shù)值可得，，進(jìn)而可得的周長(zhǎng)，結(jié)合已知條件可得，設(shè)，則，，從而可得方程，解方程即可；（3）先求出，，設(shè)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，通過證明，求出，再求出直線的解析式為，將點(diǎn)代入解析式求出n的值即可．【詳解】（1）解：將，代入，可得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：，，，，，，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的2倍，，設(shè)直線的解析式為，將，代入可得，解得，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，，解得，（舍），，；（3）解：，當(dāng)時(shí)，y取最大值，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，

由題意知，，，，又，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得或，或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)，在軸正半軸上，，點(diǎn)在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．連接，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①或；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①利用已知條件用含a的代數(shù)式表示出點(diǎn)E，D，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的長(zhǎng)度，利用分類討論的思想方法和相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于a的方程，解方程即可得出結(jié)論；②利用已知條件，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)求得，和的長(zhǎng)，利用分類討論的思想方法分三種情形討論解答利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)度即可得出結(jié)論；【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，解得：此拋物線的解析式為（2）令，則解得：或，∴．∵,∴四邊形為矩形，∴∴∴Ⅰ當(dāng)時(shí)，∴∴∴Ⅱ當(dāng)時(shí)，∴∴∴綜上，當(dāng)與相似時(shí)，的值為或；點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴∴∴四邊形為平行四邊形，在和中，Ⅰ、當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，，，三點(diǎn)在一條直線上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∴此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Ⅱ當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，，，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則軸，．，，．，．，，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；Ⅲ當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，，，，，，三點(diǎn)在一條直線上，則，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．綜上，當(dāng)?shù)倪吪c線段垂直時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度和正確利用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵21．（2023·遼寧營(yíng)口