第28課時(shí)

圖形的變換

1.通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)；認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形；能畫出簡(jiǎn)單平面圖形(點(diǎn)、線段、直線、三角形等)關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形. 2.通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等的性質(zhì)；能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形平移后的圖形.

3.通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱圖形；能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形；認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱圖形.

1.平移由移動(dòng)的_________和_________所決定，平移后的圖形與原圖形___________，平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線____________.答案：方向距離全等互相平行

2.旋轉(zhuǎn)由__________、__________和___________所決定，旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等.答案：旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)方向

3.中心對(duì)稱是特殊的旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為________，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被____________平分.答案：180度對(duì)稱中心

4.兩個(gè)位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線的交點(diǎn)是____________.

答案：位似中心旋轉(zhuǎn)圖形的基本性質(zhì)

1.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊DC上，點(diǎn)F在線段CB的延長(zhǎng)線上，DE＝BF.(1)求證：△ADE≌△ABF.(2)△ADE可以通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪種變換后會(huì)與△ABF重合？(3)指出線段AE與AF之間的關(guān)系.分析點(diǎn)撥：要注意變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角及對(duì)應(yīng)線段，另外線與線之間的關(guān)系包括有數(shù)量(大小)關(guān)系和位置關(guān)系兩種.解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°，∵DE＝BF，∴△ADF≌△ABF(SAS).(2)旋轉(zhuǎn).(3)AF＝AE且AF⊥AE.作平移圖形、軸對(duì)稱圖形、旋轉(zhuǎn)圖形

2.在如圖的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度，把△ABC置于平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)你按以下要求分別畫圖：(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A1B1C1；(2)畫出將△A1B1C1沿直線DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2；

(3)要使△A2B2C2與△CC1C2重合，則△A2B2C2

繞點(diǎn)C2

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，至少要旋轉(zhuǎn)多少度(不要求證明)?分析點(diǎn)撥：作網(wǎng)格的圖形變換需注意不要數(shù)錯(cuò)網(wǎng)格、找錯(cuò)對(duì)稱軸、弄錯(cuò)旋轉(zhuǎn)方向.解：(1)如圖所示.(2)如圖所示.(3)90°.

1.平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱都是全等變換，也就是通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱得到的圖形與原來的圖形是全等的，這是解題的關(guān)鍵所在.

2.利用網(wǎng)格畫變換圖形時(shí)，一般都是通過數(shù)網(wǎng)格的形式來找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后畫出變換之后的圖形.1.(2021·濟(jì)南)以下是我國(guó)部分博物館標(biāo)志的圖案，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()ABCD答案：A2.(2022·廣州)下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是()ABCD答案：C3.如圖，△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，則∠AOD等于()A.55°B.45°C.40°D.35°答案：D

4.(2022·百色)如圖，在△ABC中，點(diǎn)A(3，1)，B(1，2)，將△ABC向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為()A.(3，1)B.(3，3)C.(－1，1)D.(－1，3)答案：D

5.(2021·廣州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，連接BB′，則sin∠BB′C′的值為()答案：C

6.(2021·畢節(jié))如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的點(diǎn)，且CM＝2.將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)M的直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，折痕為MN，則線段PA的長(zhǎng)是()A.4B.5C.6D.2答案：B

7.如圖，把矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，OC在x軸上，OA在y軸上，且OC＝2，OA＝4，把矩形OABC繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形OA′B′C′，則點(diǎn)B′)

B.(－2，4)D.(2，－4)的坐標(biāo)為( A.(2，4) C.(4，2)

答案：C

8.(2021·衢州)如圖，將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β.當(dāng)AC平分)∠B′AC′時(shí)，∠α與∠β滿足的數(shù)量關(guān)系是( A.∠α＝2∠β

B.2∠α＝3∠β

C.4∠α＋∠β＝180° D.3∠α＋2∠β＝180°

答案：C

9.(2021·鞍山)如圖，△ABC沿BC所在直線向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，則平移的距離為________.答案：3

10.(2020·眉山)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2.將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△AB1C1的位置，點(diǎn)B1恰好落在邊BC的中點(diǎn)處，則CC1的長(zhǎng)為________.

11.(2021·鞍山)如圖，∠POQ＝90°，定長(zhǎng)為a的線段端點(diǎn)A，B分別在射線OP，OQ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)A，B不與點(diǎn)O重合)，C為AB的中點(diǎn)，作△OAC關(guān)于直線OC對(duì)稱的△OA′C，A′O交AB于點(diǎn)D，當(dāng)△OBD是等腰三角形時(shí)，∠OBD的度數(shù)為________.答案：67.5°或72°

12.(2022·廣州)如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP′，連接PP′，CP′.當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為__________；當(dāng)線段CP′的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為__________.解析：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′.∵△BPP′是等邊三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，∴△ABP≌△EBP′(SAS)，∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時(shí)，點(diǎn)P′與點(diǎn)O重合，此時(shí)∠PP′C＝180°－60°＝120°.當(dāng)CP′⊥EP′時(shí)，CP′的長(zhǎng)最小，此時(shí)∠EBO＝∠OCP′＝30°，∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，

∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°， ∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°， ∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°.答案：120°75°

13.(2021·云南)如圖，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別是線段AD，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)O是EF與BD的交點(diǎn)若將.BED沿直線BD折疊，則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合. (1)求證：四邊形BEDF是菱形；(2)若ED＝2AE，AB·AD＝3

，求EF·BD的值.(1)證明：將△BED沿BD折疊，使E，F(xiàn)重合，∴OE＝OF，EF⊥BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，∴四邊形BFDE是菱形.

14.(2021·連云港)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，且BE⊥DC.(1)求證：四邊形DBCE為菱形；

(2)若△DBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P，M，N分別在線段BE，BC，CE上運(yùn)動(dòng)，求PM＋PN的最小值.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延長(zhǎng)線上，∴DE∥BC，∴四邊形DBCE是平行四邊形，∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE是菱形.(2)解：作N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N′，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，如圖.由菱形的對(duì)稱性知，點(diǎn)N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N′在DE上，∴PM＋PN＝PM＋PN′，

∴當(dāng)P，M，N′三點(diǎn)共線時(shí)，PM＋PN′＝MN′＝PM＋PN， ∵DE∥BC， ∴MN′的最小值為平行線間的距離DH的長(zhǎng)，即PM＋PN的最小值為DH的長(zhǎng)，

在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，

15.(2021·哈爾濱)如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC的頂點(diǎn)和線段DE的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.

(1)在方格紙中將△ABC向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到△MNP(點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)M，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P)，請(qǐng)畫出△MNP；

(2)在方格紙中畫出以DE為斜邊的等腰直角三角形DEF(點(diǎn)F在小正方形的頂點(diǎn)上)，連接FP，請(qǐng)直接寫出線段FP的長(zhǎng).解：(1)如圖，△MNP為所作.(2)如圖，△DEF為所作；

16.在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.格點(diǎn)三角形ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形)的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是(－4，6)，(－1，4).(1)請(qǐng)?jiān)趫D中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系；(2)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；(3)請(qǐng)?jiān)趛軸上求作一點(diǎn)P，使△PB1C的周長(zhǎng)最小，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)如圖所示.(2)如圖，即為所求.

(3)作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接B1C′交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.

設(shè)直線B1C′的解析式為y＝kx＋b(k≠0)， ∵B1(－2，－2)，C′(1，4)，∴直線AB2的解析式為y＝2x＋2，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴P(0，2).17.如圖，兩個(gè)全等的△ABC和△DEF重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進(jìn)行如下變換：(1)如圖1，△DEF沿直線CB向右平移(即點(diǎn)F在線