中考專題訓(xùn)練一四邊形的綜合

1.四邊形ABCO為平行四邊形，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)

（1）若AP=3C,連AP、DP：

①如圖1,點(diǎn)P在邊BC上，求證：PZ）平分NAPC

②如圖2,過(guò)P作P力的垂線交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡FP交AB于點(diǎn)E,求證：DF=2AE.

（2）如圖3,N4BC=60°，點(diǎn)尸在對(duì)角線08上，點(diǎn)M在邊A。上，MP=C。且NAMP

=ZABD,A8=5,BP=3,直接寫(xiě)出平行四邊形48C。的面積.

2.在正方形A8CD中，AB=6,E為直線AB上一點(diǎn)，E/LLAB交對(duì)角線AC于尸，點(diǎn)G為

A尸中點(diǎn)，連接CE,點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線AC于點(diǎn)。.

（1）如圖1,E在邊A8上時(shí)，—=,NGBM=:

BM

（2）將（1）中尸繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一銳角，其他條件不變，如圖2,（1）中結(jié)

3.平面直角坐標(biāo)系中，菱形A8CD.

（1）若點(diǎn)A坐標(biāo)是（0,2“），點(diǎn)B坐標(biāo)（-2,0）,求NABC及菱形邊長(zhǎng)：

（2）在（1）的條件下，連接OD,過(guò)C點(diǎn)向0。作垂線，垂足為￡求CE；

（3）如圖3所示，NA4O=60°,在y軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)P,使得/8PO=15°,延長(zhǎng)

BD至Q,使得OQ=CO,連接4Q,若AP=BQ=a,求線段A。的長(zhǎng)（用含。的式子表

示）.

4.矩形ACB。對(duì)角線AC、BO相交于點(diǎn)0,點(diǎn)P是對(duì)角線BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與3,D

重合），ZAOB=a,過(guò)尸點(diǎn)作尸尸〃AC,交48于尸，連接4P.將A尸繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)a得到后尸，連接

(1)若點(diǎn)P在BD上,ZAOB=50°

①求證：AF=BE；

②求N48E=.

(2)若點(diǎn)P在0。上，求N4BE(用a表示)；

(3)若8c=8,將A繞點(diǎn)P順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(180。-a)得至IJEP,連接。E,當(dāng)OP=

5.如圖，將一張矩形紙片A88沿直線M/V折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)4處，點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，

直線MN交BC于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)N,連接CM

(1)如圖1,求證：E,N、C三點(diǎn)在同一直線上；

(2)如圖1,若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1,求迪的值.

DN

(3)如圖2,已知點(diǎn)P、Q、T分別是CM、CMMN上的動(dòng)點(diǎn)，若AN=3,BM=1,試

直接寫(xiě)出尸小。7的最小值______.

6.已知平行四邊形A5CO中，N是邊5c上一點(diǎn)，延長(zhǎng)ON、A8交于點(diǎn)。，過(guò)A作4M_L

￡W于點(diǎn)M,連接AM則AD_LAN.

(I)如圖①，若tanNAOM=3,MN=3,求8C的長(zhǎng)；

4

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)5作8H〃DQ交4N于點(diǎn)H,若AM=CN,求證：DM=BH+NH.

7.如圖，在RtZXABC中，NAC3=90。，AC=BC=2.動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

從點(diǎn)4出發(fā)，沿A-O*8的方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與△ABC的頂點(diǎn)重合).點(diǎn)尸

關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作PQLAB于點(diǎn)Q,以PD、PQ為邊作回PDEQ.設(shè)

團(tuán)POE。與△ABC.重疊部分的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s)

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含/的代數(shù)式表示尸。的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在△ABC的直角邊上時(shí)，求，的值：

(3)當(dāng)E1PQEQ與△48C重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式.

8.在菱形ABC。中，ZAfiC=60°

(1)如圖1,P是邊BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以A尸為邊向右作等邊△人?￡：,連接BE、CE.

①求證：CE_LAO：

②若AB=J§,求AE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,P是邊CO上一點(diǎn)，點(diǎn)。關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接BE并延長(zhǎng)交AP的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接。及DF.若BE=11,DE=5,求△AO產(chǎn)的面積.

9.如圖，四邊形A8C。中，AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=30°,將AC繞著點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60°得AE,連接BE,CE.

(1)求證：

(2)求證：AC2=DC2+BC2；

(3)若48=2,點(diǎn)。在四邊形A8CD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，HiSSAQ1=BQ2+DQ2,求點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)

路徑的長(zhǎng)度.

10.【閱讀】如圖1,四邊形OA3c中，OA=a,OC=8,BC=6,NAOC=NBCO=90°,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)。的直線/將四邊形分成兩部分，直線/與OC所成的角設(shè)為仇將四邊形048c

的直角NOCB沿直線/折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，我們把這個(gè)操作過(guò)程記為叼6,a].

【理解】

若點(diǎn)。與點(diǎn)4重合，則這個(gè)操作過(guò)程為廣Z[45°,8]；

【嘗試】

（1）若點(diǎn)。與OA的中點(diǎn)重合，則這個(gè)操作過(guò)程為FZ[,]；

（2）若點(diǎn)。恰為AB的中點(diǎn)（如圖2）,求。的值；

【應(yīng)用】

經(jīng)過(guò)FZ[45°,操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,若點(diǎn)E在四邊形O4BC的邊48上，直線/

與4B相交于點(diǎn)F,試畫(huà)出圖形并解決下列問(wèn)題：

①求出a的值；

②若P為邊0A上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸石、PF,請(qǐng)直接寫(xiě)出尸E+P尸的最小值.（備注：等腰

直角三角形的三邊關(guān)系滿足1：1：近或近:V2：2）

11.如圖，四邊形A8CO為正方形，ZXAEF為等腰直角三角形，N4EF=90°,連接尸C,

G為尸C的中點(diǎn)，連接GO,ED.

（1）如圖①，E在48上，直接寫(xiě)出即，GO的數(shù)量關(guān)系.

（2）將圖①中的AAE尸繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，如圖②，（1）中的結(jié)論是

否成立？說(shuō)明理由.

（3）若4B=5,AE=L將圖①中的△4EF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)E,尸，C三點(diǎn)

共線時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng).

圖①圖②

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2,0）,4（0,加）兩點(diǎn)，且線段AB=2介，

以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）在工軸上是否存在點(diǎn)Q,使AQAB是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)

出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如果在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P53）,使得AAB尸的面積與正方形ABC。的面積相

等，求。的值.

13.如圖，矩形ABC￡>中，AB=a,AD=A點(diǎn)尸是對(duì)角線B￡）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與8、

力重合），連接AP并延長(zhǎng)交射線8C于點(diǎn)Q,

（1）當(dāng)AP_L3。時(shí)，求AABO的面積（用含服b的代數(shù)式表示）；

（2）若點(diǎn)M為A。邊的中點(diǎn)，連接MP交射線BC■于點(diǎn)M證明：點(diǎn)N也為線段的

中占.

14.如圖1,4cLe”于點(diǎn)0點(diǎn)B是射線C"上一動(dòng)點(diǎn)，將△48C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到△AOE（點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)C）

（1）延長(zhǎng)EO交CH于點(diǎn)尸，求證以平分NCFE；

（2）如圖2,當(dāng)NCAB>60°時(shí)，點(diǎn)、M為AB的中點(diǎn)，連接DM,請(qǐng)判斷QM與04、

。七的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖3,作團(tuán)ABGE,連接。G,點(diǎn)N為OG的中點(diǎn)，連接EN.若AC=EN=3,直

接寫(xiě)出四邊形AQGE的面積.

15.【操作】如圖①，在矩形ABC。中，石為對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)4重合）.將△AOE

沿射線A8方向平移到△5C尸的位置，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，易知△ADEg/XBCF（不需要

證明）

【探究】過(guò)圖①的點(diǎn)E作8G〃3C交陽(yáng)延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AG,其它條件不變，如圖

②.求證：XEGX沼/\BCF

【拓展】將圖②中的ABCr沿BC翻折得到△8CF,連接GF',其它條件不變，如圖

③當(dāng)GF,最短時(shí)，若48=4,BC=2,直接寫(xiě)出尸尸'的長(zhǎng)和此時(shí)四邊形BFCF1的周

長(zhǎng).

G

圖①G國(guó)②圖③

16.如1,在矩形A8CO中，AB=6,40=10,E為AD上一點(diǎn)且4E=6,連接8E.

(1)將aABE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△48尸(如圖2),且A、B、。三點(diǎn)共線，再

將aAB尸沿射線3c方向平移，平移速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移時(shí)間為Ks)(z20),

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C■重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.

①在平移過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí)，/=(5).

②在平移過(guò)程中，AAB廠與四邊形3CDE重疊部分面積記為S,求s與，的關(guān)系式.

(2)如圖3,點(diǎn)M為直線BE上一點(diǎn)，直線8C上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,連接DM、PM、OP,

且EM=5近，試問(wèn)：是否存在點(diǎn)P,使得△。例P為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

此時(shí)線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.如圖1,△A3C和△COE均為等邊三角形，BC=a,CD=b(a>b).

(1)當(dāng)8、C、。共線時(shí)，84、交于點(diǎn)M,

①判斷四邊形ACEM的形狀，并說(shuō)明理由.

②。、〃為方程(/?-1)%-62-2用-8=0的兩根，尸為AE的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).

(2)將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(如圖3所示)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，連接AE,Zfi￡C=105°,

若普=〃，直接寫(xiě)出〃的最小，直_______.

18.如圖1,四邊形A5c。中，對(duì)角線AC平分NDC8,且AO=4B,CD<CB

(1)求證：ZB+ZD=180°；

(2)如圖2,在AC上取一點(diǎn)E,使得BE〃CO,且8E=CE,點(diǎn)F在線段BC上，連接

AF,且AB=4尸，求證：AE=CF；

(3)如圖3,在(2)的條件=，若BE與AF交于點(diǎn)G,BF：AB=2：7,求tanNBG產(chǎn)

的值.

19.己知四邊形A5CO中，AD//BC,ZD=90°,4c平分NBA。，ZACD=30°

(1)如圖1,求證：△4BC是等邊三角形；

(2)如圖2,點(diǎn)E在邊B4的延長(zhǎng)線上，在邊8c上取一點(diǎn)F,連接EC、EF且EC=EF,

求證：BF=AE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AF,取A尸的中點(diǎn)G,連接BG并延長(zhǎng)交線段EC

于M，交線段A。于R,過(guò)點(diǎn)A作AN〃EC交線段8R于N,若GN=2,EM=5,求CM

浙教版九上作業(yè)本①第18頁(yè)有這樣一個(gè)題目：已知，如圖一，P是正方形ABOC內(nèi)一點(diǎn),

連接附、PB、PC,若PC=2,以=4,N4PC=135°,求P8的長(zhǎng).

小明看到題目后，思考了許久，仍沒(méi)有思路，就去問(wèn)數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將

△以。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△2■以再利用勾股定理即可求解本題.請(qǐng)根據(jù)數(shù)學(xué)

老師的提示幫小明求出圖一中線段PB的長(zhǎng)為.

【方法遷移】：已知：如圖二，/XABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若尸。=1,

B4=2,PB=M，求NAP8的大小.

【能力拓展】：已知：如圖三，等腰三:角形ABC中/人C8=120°,。、E是底邊AB上

兩點(diǎn)且NOCE=60°,若AD=2,BE=3,求OE的長(zhǎng).

21.問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

(I)如圖①，四邊形ABC。中，NDAB=NBCD=90°,CB=CD,對(duì)角線4。的長(zhǎng)為6,

則四邊形4BCO的面積為.

圖①圖②圖③

問(wèn)題探究：

(2)如圖②，RtZXABC中，NCAB=90°,AC=5,AB=12,點(diǎn)。和E都是邊BC上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足CO=BE,連接A。、AE.求AZHAE的最小值：

問(wèn)題解決：

(3)某校準(zhǔn)備組織八年級(jí)同學(xué)開(kāi)展一次去大明宮遺址公園的考古研學(xué)活動(dòng).小凱和小鵬

在去之前先做了一個(gè)模擬“藏寶圖”的游戲，為了使寶物隱藏得更神秘，小凱利用學(xué)過(guò)

的數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下方案，讓小鵬破解.如圖③，點(diǎn)8在點(diǎn)4的正東方向12機(jī)處，

點(diǎn)尸和Q都為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足%=8m,PB=BQ,NP8Q=90°,當(dāng)線段AQ長(zhǎng)

度最大時(shí)，點(diǎn)。的位置即為藏寶地.請(qǐng)你幫助小鵬破解，藏寶地在點(diǎn)A的什么方向？距

離點(diǎn)4多遠(yuǎn)？

22.已知：如圖，正方形4BC。，點(diǎn)七是OC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作4E的垂線交AE延

長(zhǎng)線于點(diǎn)凡過(guò)。作O"_LCE垂足為H,點(diǎn)0是AC中點(diǎn)，連H0.

(1)如圖1,當(dāng)NCAE=ND4E時(shí)，證明：AE=2CF；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段A尸與線段”。之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)

系？

若存在，證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)E為。。中點(diǎn)時(shí)，AC=2版,直接寫(xiě)出4尸的長(zhǎng).

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A8C0的頂點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、。在坐

標(biāo)軸上，B(18,6),將矩形沿E尸折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合.

(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P從0出發(fā)，沿折線0-4方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)

E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,/XPCE的面積為S,求S與，的關(guān)系式，直接寫(xiě)出

/的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q,使得以

點(diǎn)P、E.G、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)。的坐標(biāo).

24.在由A8CD中，NAOC的平分線交直線8C于點(diǎn)E,交直線A8于點(diǎn)凡

(1)如圖①，證明：BE=BF.

(2)如圖②，若N4OC=90°,。為AC的中點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn):試探究0G與AC的

位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖③，若NAOC=60°,過(guò)點(diǎn)E作0c的平行線，并在其上取一點(diǎn)K(與點(diǎn)尸位

于直線BC的同側(cè))，使EK=BF,連接CK,“為CK的中點(diǎn)，試探究線段0H與HA

之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)結(jié)論給予證明.

參考答案與試題解析

1.四邊形A8CD為平行四邊形，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)

(1)若AP=BC,連AP、DP.

①如圖1,點(diǎn)尸在邊8c上，求證：尸。平分NA尸C；

②如圖2,過(guò)P作P。的垂線交0c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，F(xiàn)P交AB于點(diǎn)、E,求證：。尸=2AE.

(2)如圖3,N48C=60°,點(diǎn)P在對(duì)角線05上，點(diǎn)M在邊4。上，MP=CO且NAMP

=ZABD,AB=5,BP=3,直接寫(xiě)出平行四邊形ABC。的面積.

【分析】(1)①如圖1中，由AP=AD,推出/AOP=N4P。，再證明NA。尸=NOPC

即可解決問(wèn)題.

②如圖2中，取。尸的中點(diǎn)例，連接MA、MP.想辦法證明四邊形4EFM是平行四邊形

即可解決問(wèn)題.

(2)在8。上取點(diǎn)K,使A8=AK,作OF_L84交B4的延長(zhǎng)線于F.證明△4OK也△PDM

(AAS),推出拉尸=￡>4,設(shè)。P=QA=x,則4/=24。=2工。口=?人尸=返工，在

222

□△8。尸中，根據(jù)產(chǎn)+D產(chǎn)，構(gòu)建方程求出“即可解決問(wèn)題.

【解答】解：(1)①如圖1中，

:?AD=BC,

*：AP=BC,

：.AP=AD,

:.ZAPD=ZADP

,:AD〃BC,

：,NADP=ZDPC,

/APD=NDPC,

平分NAPC.

②如圖2中，取。尸的中點(diǎn)M,連接MA、MP.

圖2

?:PDLPF,

:?/DPF=90°,

:.PM=DM=MF,

'：AP=AD.

???AM為線段尸。的垂直平分線，

：,AM//EF,

9：EFLPD,

\'AE//FM,

???四邊形AEFM為平行四邊形，

:.AE=MF,

：.DF=2AE.

(3)在B。上取點(diǎn)K,使A8=AK,作交84的延長(zhǎng)線于F.

圖3

'：AB=AK,

,^ABD=ZAKB,

■:NAMP=NAB。，

/.NAMP=/AKB,

:?/DMP=/DKA,

VZADK=ZPDM,PM=CD=AB=AK,

：.AADK^APDM(A4S),

:?DP=DA,

設(shè)DP=DA=x,

*：AD//BC,

，/次O=NA8C=60°,

：,AF=—AD=^-x.DF=^3AF=^-X,

222

122

在RtABDF中，?.*BD=BF+DFt

:.(3+x)2=(5+2外2+(近％)2,

22

解得x=16,

???S平行四邊形?。/=5X與X16=4Ch/3.

2.在正方形ABC。中，AB=6,￡為直線48上一點(diǎn)，EF_LAB交對(duì)角線AC于F,點(diǎn)G為

A尸中點(diǎn)，連接CE，點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，連接5M并延長(zhǎng)交直線4。于點(diǎn)0.

(I)如圖1,E在邊48上時(shí)，里?=_&_，NGBM=45°:

BM

(2)將(1)中AAE尸繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一銳角，其他條件不變，如圖2,(1)中結(jié)

論是否仍然成立？請(qǐng)加以證明.

(3)若BE=2,則CO長(zhǎng)為國(guó)返■或3.

2

【分析】(1)連接EG、GM.想辦法證明△G8M是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題.

(2)成立.延長(zhǎng)GM到H,使得M”=GM,連接B”,HC,延長(zhǎng)"C交A尸的延長(zhǎng)線于

/,設(shè)“交CO于J.利用全等三角形的性質(zhì)證明△G8M是等腰直角三角形即可解決問(wèn)

題.

（3）分兩種情形①點(diǎn)E在線段AB上.②點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，分別求解即可解決問(wèn)

題.

【解答】解：（1）連接EG、GM.

???四邊形4BCO是正方形，

???NA8C=90°,ZCAB=ZACB=45°,

*：EFLAB,

???NAE尸=90°,

：.ZEAF=ZEFA=45°,

VAG=GF,

：.EGLAF,

???NEGC=90°

<EM=MC,

:.GM=BM=*CE,

2

：.NMCG=NMGC,NMBC=NMCB,

:./BMG=NBME+NGME=2/BMC+2/GCM=2/ACB=90°.

故△GMB為等腰直角三角形.

故答案為a，45°.

（2）成立.

理由：延長(zhǎng)GM到“，使得MH=GM,連接BH,HC,延長(zhǎng)“C交A尸的延長(zhǎng)線于/,設(shè)

A/交8于J.

、*

圖2

?:EM=MC,GM=MH,NEMG=NHMC,

:?叢EMG叁4CMH(SAS),

：.EG=CH,"GM=/MHC

：.EC//CH,

AZAGE=ZAIH=90°,

?：AG=EG,

:.AG=CH,

VZD=ZZ=90°,NAJD=NCJI,

:.ZICD=NIAD,

VZBAG+ZMD=90°,N8CH+N/C尸=90°

:.NBCH=NBAG,

*：BA=BC

:?ABAG義ABCH(SAS),

:.BG=DH,NABG=NCBH,

:.ZNGBH=NABC=90°

故△GB”是等腰直角三角形，

:段=瓜NGBM=45：

BM

(3)當(dāng)七在B上方時(shí)，如圖3-1中，延長(zhǎng)8。交CO于T.

圖3-1

:?BE〃CT,

:.ZMEB=/MCT,

■:NEMB=/CMT,EM=CM.

CASA）,

：.BE=CT=2,

*：CT//AB,

.oc=cr=j.

**0AAB~3f

,??AC=W^，

：.OC=^X&^2

：tC0=^/2_

2

當(dāng)￡?在B下方時(shí)同法可得CO=3V2-

綜上所述，。。的長(zhǎng)為2亞或3a.

2

故答案為百巨或3尬.

2

3.平面直角坐標(biāo)系中，菱形A8CD.

（1）若點(diǎn)A坐標(biāo)是（0,2近），點(diǎn)8坐標(biāo)（?2,0）,求/A8C及菱形邊長(zhǎng)：

（2）在（1）的條件下，連接OD,過(guò)C點(diǎn)向。。作垂線，垂足為E,求CE；

（3）如圖3所示，ZABO=60°,在y軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)P,使得NBPO=15°,延長(zhǎng)

BD至Q,使得。Q=CD,連接AQ,若AP=BQ=a,求線段A。的長(zhǎng)（用含。的式子表

示）.

【分析】（1）在RtZXAOB中，解直角三角形求出AB,NA80即可.

（2）根據(jù)SMDc=』?0Z）?CE=2?0C?a4求解即可.

22

（3）設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2x,過(guò)。點(diǎn)作QM_L4D交AD的延長(zhǎng)線于M,過(guò)DNIx

軸于M根據(jù)4P=8Q=a,構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：(1)如圖1中，

VA(0,2近)，8(-2,0),

：?0人=2弧,08=2,

tan乙43。=空》=

0B

???NA8C=60°,

.??NOA8=90°-6(T=3(T,

：.AB=2OB=4,

???菱形的邊長(zhǎng)為4.

(2)如圖2中,

丁四邊形A6CD是菱形，AB=AD=CD=BC=4,

：.C(2,0),D(4,2V3)，

?*,=V42+(2V3)2=2V7，

VCE±OD,

S^ODC=—?OD?CE=Z?OC?OA,

22

.^_2X2V3_2V21

■?-f—1?

2V77

(3)設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2x,過(guò)。點(diǎn)作QM_LAO交AD的延長(zhǎng)線于M,過(guò)DN上x(chóng)

軸于N,

AQM=^-DQ=x,DM={&x,AM=2x+y[3x=(2+J§)x,

2

又。用_LAM,利用勾股定理可求4Q=(V6+V2)BD=2^3x,

,：AP=BQ=a.

??2^]~3x+2x=a,得Ta,

4

繼而得4Q=(V6+V2)x=^-a.

2

4.矩形ACS。對(duì)角線AC、5。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是對(duì)角線BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與8,D

重合)，NAOB=a,過(guò)P點(diǎn)作P尸〃AC,交AB于尸，連接AP.將4P繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)a得到EP,連接8E.

(1)若點(diǎn)P在80.匕ZAOB=50°

①求證：AF=BEi

②求NA8E=50°.

(2)若點(diǎn)P在0￡＞上，求NABE(用a表示)；

(3)若BC=8,將4繞點(diǎn)P順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(180°-a)得至lj￡P(guān),連接OE,當(dāng)DP=

3OP時(shí)，DE=2或4.

【分析】(1)①證明△APFgZXEPB(SAS)可得結(jié)論.

②利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可.

(2)如圖2中，證明△尸(SAS),推出/以P=NPE8,由NRP+NB4B=

180°,推出NB48+NP￡8=lgO°,推出NA8E+NAPE=180°可得結(jié)論.

(3)分兩種情形：如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在0。上時(shí)，如圖3所示，過(guò)點(diǎn)P作PF〃04,交

AO于點(diǎn)凡如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)P在。8上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作尸尸〃0A,交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

凡分別求解即可解決問(wèn)題.

【解答】(1)①證明：???四邊形ABC。是矩形，

：,OA=OC=OB=OD,

*：PF//0A,

.?旦=里4FPB=4A0B=a,

OAOB

：.PF=PB,NEPB=NFPB-4FPE=a-NFPE,

'：AP=EP,ZAPE=a,

：.ZAPF=a-ZFPE,

：.ZAPF=ZEPB,

.,.△APF^AEPB(SAS),

：.AF=BE.

②?：△\PF9l\EPB,

:./AFP=NEBP,

'：ZAFP=NFPB+NOBA,NEBP=N48E+N08A,

???ZABE=ZFPB,

：.ZABE=a=50°.

故答案為50°.

'：PA=PE,ZAPE=a,同法可證P/=P8,NFPB=a,

NFPB=NAPE,

；?NFM=NBPE,

:ZP上會(huì)XBPE(SAS),

:"FAP=/PEB,

VZMP+Z^4B=180°,

AZ/MB+ZPEB=180°,

???/A8E+N4PE=180°,

AZABE=1800-a.

(3)如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在O。上時(shí)，如圖3所示，過(guò)點(diǎn)尸作PF104,交40于點(diǎn)凡

'：DP=30P,即0￡>=40P,

,AF_OP_OP_1

**ADOD礪T

:.AF=-AD=—BC=2.

44

類比（1）①得：△APF9XEPD,

：.DE=AF=2.

如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)P在08上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF〃OA,交￡>A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

*：DP=3OP,BPOD=2OP,

.AF-OP_OP_1

??而OD20P

：.AF=^AD=—BC=4.類比（1）①得：RAPF@XEPD,

22

：.DE=AF=4.

綜上所述，OE的長(zhǎng)為2或4.

故答案為2或4.

5.如圖，將一張矩形紙片48c力沿直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)。落在點(diǎn)E處,

直線MN交BC于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)N,連接CM

(1)如圖1,求證：E,N、C三點(diǎn)在同一直線上；

(2)如圖1,若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1,求理的值.

DN

(3)如圖2,已知點(diǎn)P、。、7分別是CM、CN、MN上的動(dòng)點(diǎn)，若AN=3,BM=1,試

直接寫(xiě)出P%Q7的最小值，迎

【分析】(1)證明NENM+NCNM=NDNM+NANM=l80°,可得結(jié)論.

(2)如圖1中，首先過(guò)點(diǎn)N作NH_L3C于點(diǎn)”，由△CMN的面積與△CZW的面積比為

3：1,易得MC=3ND=3HC,然后設(shè)￡W=x,由勾股定理，可求得MN的長(zhǎng)，繼而求得

答案，

(3)如圖2中，由(1)得出ACMN是等腰三角形，而TQ+以最小就是點(diǎn)T到等腰三

角形的兩腰的距離之和最小就是等腰三角形腰上的高.

【解答】(1)證明：如圖1中，由折疊的性質(zhì)可得：NENM=NDNM,即NEMVf=N

ENA+NANM,NDNM=ZDNCMCNM,

?：4ENA=/DNC,

：,NANM=NCNM,

:,/ENM+NCNM=NDNM+NANM=180°,

：.E,N、C三點(diǎn)在同一直線上.

(2)解：如圖1中，過(guò)點(diǎn)N作N”_LBC于點(diǎn)”，則四邊形N/7CQ是矩形,

???△CMN的面積與△CQN的面積比為3：1,

Q卜MONK

?bACMN_2__________MC_,

SACDN亭DN?NHDN

乙

：?MC=3ND=3HC,

:?MH=2HC,

設(shè)ON=x,則HC=x,MH=2x,

：?CM—3x=CM

在RtZ\C￡>N中，七0=也洛口?=27^,

:?HN=2讓,x

在RiZXMN”中，MN=yjMH2+HN2=2V3x,

AMN=2V3X=2V3.

DNx

(3)如圖2中,

,:CM=CN

???△CMN是等腰三角形，

要使PT+QT的最小值，也就是等腰三角形的底邊上一點(diǎn)到兩腰上距離之和最短,

即：TQICN,TPLCM,

而等腰三角形的底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高，

過(guò)點(diǎn)N作N〃_L5C,

???PT+QT的最小值就是NH=AB,

由折疊得，AM=CM=AN=3t

：.BM=AN=\

在RlZXABM中，根據(jù)勾股定理得，A8=JAM-BM2=2近.

:,NH=2版,

即：的最小值為2近.

故答案為2近.

6.已知平行四邊形ABC。中，N是邊8c上一點(diǎn)，延長(zhǎng)ON、A8交于點(diǎn)Q,過(guò)A作AMJ_

ON于點(diǎn)M,連接4M則AO_L4N.

(1)如圖①，若tanNAOM=^,MN=3,求BC的長(zhǎng)；

4

【分析】(1)如圖①中，設(shè)AM=3k,DM=4k,則AD=5k,由可得

AB=DM*AN,由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

(2)如圖②中，連接CH,在DM上取一點(diǎn)K,使得DK=BH.證明△AOKgACB"

(SAS),推出AK=C〃，再證明RtZ\AMKgRtaCM/(aL),推出MK=HN即可解決

問(wèn)題.

國(guó)①

'：AM±DN,

ZAMD=90°,

VtanZ4DA/=—

DM4

，可以假設(shè)4M=3A,DM=4k,則4。=5億

???AO_LAN,

???NZMN=90°=ZAMD,

VNADM=NADN,

A△AOMS/XNDA,

:.AD^DMMN,

J(5k)2=4k(4k+3),

解得出=邑，

3

,\AD=—,

3

???四邊形A8CO是平行四邊形,

：.BC=AD=—.

3

（2）證明：如圖②中，連接CH,在DM上取一點(diǎn)K,使得OK=B”.

圖②

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.\AD//BC,AD=BC,

NADK=NBNQ,

,JBH//DQ,

CBH=NBNQ,

：.NADK=NCBH,

?:DK=BH,DA=BC.

：.AADKm叢CBH（SAS）,

:.AK=CH,

???AM_LOQ,ANA.AD,AD//BC,

???AN_LBC,

:./AMK=NCNH=90°,

?：AM=CN,

???RtZXAMKgRtZ\CN”（HL）,

:,MK=NH,

：,DM=DK+MK=BH+HN.

7.如圖，在RlZVlBC中，NACB=90°,AC=BC=2.動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

從點(diǎn)4出發(fā)，沿A-Cf8的方向向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)尸不與ZVIBC的頂點(diǎn)重合）.點(diǎn)尸

關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作PQLAB于點(diǎn)。，以PD、PQ為邊作目P￡）EQ.設(shè)

區(qū)PDEQ與△ABC.重疊部分的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（s）

（1）當(dāng)點(diǎn)P在4C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含，的代數(shù)式表示PD的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在△ABC的直角邊上時(shí)，求，的值；

（3）當(dāng)團(tuán)PDE。與△ABC重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】(1)由題意，可先寫(xiě)出AP的長(zhǎng)，再寫(xiě)出CP的長(zhǎng)，由對(duì)稱的性質(zhì)即可寫(xiě)出尸。

的長(zhǎng)：

(2)①如圖2-1,當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作QHJ_A。于H,證明CE="Q=』

2

AP=CD,即可列出關(guān)于1方程，求出，的值；②如圖2-2,當(dāng)點(diǎn)E落在AC邊上時(shí)，過(guò)

點(diǎn)。作QG_LBC于G,證明CE=GQ=/8P=CO,即可列出關(guān)于，的方程，求出，的值

即可；

(3)如圖3-1,當(dāng)OVrwZ時(shí).求出梯形尸QMC的面積即可：如圖3-2,當(dāng)

33

時(shí)，求出梯形PQCN的面積即可.

【解答】解：(1)由題意，得AP=2f,CP=2-2/,

圖1

(2)①如圖2-1,當(dāng)點(diǎn)E落在8c邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作QH_LA。于，,

由題意知，△4QP和為等腰直角三角形，

：.CE=HQ=^AP,CE=CD,

???HQ=￡AP=3CD=PC=2-23

."2-21,

?=2.

3,

②如圖2?2,當(dāng)點(diǎn)E落在AC邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作QG_LBC于G,

由題意知，△BQ尸和△CEO為等腰直角三角形，

:?CE=GQ=^BP,CE=CD,

?：GQ=—BP=—(4-2r)=27,CD=PC=2t-2,

22

：.2-t=2t-2,

綜上所述，點(diǎn)E落在aABC的直角邊上時(shí)，，的值為2或'；

33

(3)如圖3-1,當(dāng)OV/wZ時(shí),

3

S=S梯形PQMC

=L(2-2r+2-r)

2

=-弓產(chǎn)+21；

2

如圖3-2,當(dāng)_lwfW2時(shí),

3

S=S梯形PQNC

=2(2-r)(2f-2+f)

2

=-lr+4t-2,

2

-yt2+2t(O<t<4)

綜上所述，S=

-^-t2+4t-2得<t<2)

B

8.在菱形ABC。中，N48C=60°

（1）如圖1,P是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AP為邊向右作等邊△APE,連接BE、CE.

①求證：CE_L4D；

②若AB=f,BE=y/19,求AE的長(zhǎng)；

（2）如圖2,P是邊CO上一點(diǎn)，點(diǎn)。關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接3E并延長(zhǎng)交AP的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E連接?！闐F.若BE=ll,DE=5,求△AOr的面積.

圖1圖2

【分析】（1）①證△AOC和△ABC是等邊三角形，再證△84Pg/\CAE,推出NACE=

30°,由N4CE+NCAO=90°即可證明結(jié)論；

②如圖1,設(shè)AC與BO交于點(diǎn)O,證N8CE=90°,由勾股定理求出CE,B尸的長(zhǎng)，由

銳角三角函數(shù)等分別求出。4,OP的長(zhǎng)，由勾股定理即可求出4P的長(zhǎng)，即4E的長(zhǎng)；

(2)如圖2,連接AE,過(guò)點(diǎn)A作A"_LB尸于點(diǎn)“，證/“4尸=2/84。=60°,再證△

2

DEF為等邊三角形,即可求出“F,A”的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出△入￡尸的面積，證△AO尸且△

AE尸即可.

【解答】(1)①證明：在菱形A8CO中，ZABC=60°,

AZADC=60°，RAB=BC=DA=DC,

:.AADC和△ABC是等邊三角形，

???A8=AC,NBAC=NC4O=60°,

又?.?△4PE是等邊三角形，

：.AE=AP,ZEAP=60°,

:.NB4C+NC4P=NB4E+NCAP,

即NBAP=NC4￡

:、△BAP9RCAE(SAS),

AZACE=ZABP=—ZABC=309,

2

VZCAD=60°,

/.ZACE+ZG4D=90°,

ACEIAD；

②解：如圖1,設(shè)AC與3。交于點(diǎn)0,

由①知，ZACE=30°,且NAC3=60°,

???NACE+N4C8=NBCE=90°,

:在RlZ\8CE中，BC=AB=迎,?E=V19>

???但近2-BC2=%

由①知，XBAP沼X(jué)CK3

:?BP=CE=4,

在RtZ\BOC中，/AC8=60°,

??.8。=返8C=2,CO=AO=—BC=^~,

2222

：，OP=BP-B0=—.

2

???在RtZ\AOP中,

IAO240P2T凈2吟2=干,

:.AE=AP=TK

(2)解：如圖2,連接AE,過(guò)點(diǎn)A作AH_LB/于點(diǎn)H,

???點(diǎn)D關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)為E,

：.AP垂直平分。E,

：,AD=AE,FD=FE,

AZEAF=ZDAF=^ZEAD,/DFA=NEFA=±NDFE,

22

又「在菱形ABC。中，AB=AD,

：.AB=AE,

垂直平分BE,

:?EH=BH=2BE=A,NBAH=NEAH=L/BAE,

222

:.NHAF=NEAH+NEAF=!/BAD,

2

VZABC=60°,

???NBA力=180°-ZABC=120°,

???NHA尸=60°,

ZAFW=90°-NH4F=30°,

AZDFE=60°,

???△OE/為等邊三角形,

:?EF=DE=5,

：.//F=//E+EF=-ii+5=-21,

22

在尸中，ZAFH=30°,

：.AH=V3H/?_7V3

32'

管F?A”小、吟=邛,

???AO=AE,FD=FE,AF=AF,

A(SSS),

???△A。/的面積為圭叵.

4

圖1

9.如圖，四邊形ABCO中，AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=30°,將AC繞著點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60°得連接BE,CE.

(I)求證：△ADCg/XABE；

(2)求證：AdnDd+sc2；

(3)若48=2,點(diǎn)。在四邊形4BCO內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足4。2=3。2+。。2,求點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)

路徑的長(zhǎng)度.

【分析】(1)推出ND4C=NB4E,則可直接由SAS證明△AOC&ZXABE；

(2)證明ABCE是直角三角形，再證DC=8E,AC=CE即可推出結(jié)論；

(3)如圖2,設(shè)。為滿足條件的點(diǎn)，將AQ繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得AP,連接QF,

BF,QB,DQ,AF,證△AOQgZXABF,由勾股定理的逆定理證/尸8Q=90°,求出N

￡)08=150°,確定點(diǎn)。的路徑為過(guò)8,D,C三點(diǎn)的圓上標(biāo)，求出面的長(zhǎng)即可.

【解答】(1)證明：'：ZCAE=ZDAB=60°,

AZG4E-NCAB=NDAB?ZCAB,

：.ZDAC=ZBAE,

又?.?4Q=A8,AC=AE,

???△AOCdABE(SAS)；

(2)證明：在四邊形A8C￡＞中，

NAOC+NA8C=360°-/DAB?/DCB=270°,

??,△AQ&AABE,

AZADC=ZABE,CD=BE,

AZABC+ABE=ZABC+ZADC=210Q,

AZCBE=360°-(NABC+ABE)=90°,

:?C評(píng)=B^+Bd,

又???AC=AE,ZG4E=60°,

???△ACE是等邊三角形，

：.CE=AC=AE,

：.AC2=DC2+BC2；

(3)解：如圖2,設(shè)。為滿足條件的點(diǎn)，將力。繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得A”，連接

QF,BF,QB,DQ,4尸，

則ND4Q