§9.9曲線與方程第九章平面解析幾何1.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.了解解析幾何的基本思想，掌握利用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本方法.3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.“曲線的方程”與“方程的曲線”在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.2.坐標(biāo)法(1)用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿足某種條件的

或軌跡.(2)用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)所滿足的方程

表示曲線.(3)通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地研究曲線的性質(zhì).點(diǎn)的集合f(x，y)＝03.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟(1)

——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)

——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y).(3)

——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式.(4)

——依關(guān)系式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程，并化簡(jiǎn).(5)

——證明所得方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.建系設(shè)點(diǎn)列式代換證明4.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法(1)直接法：即根據(jù)題目條件，寫出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系并用坐標(biāo)表示，再進(jìn)行整理、化簡(jiǎn).(2)定義法：先根據(jù)已知條件判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀，然后根據(jù)曲線的定義直接求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(3)代入法：也叫相關(guān)點(diǎn)法，其特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)M(x，y)與已知曲線C上的點(diǎn)(x′，y′)相關(guān)聯(lián)，可先用x，y表示x′，y′，再代入曲線C的方程，即得點(diǎn)M的軌跡方程.(4)參數(shù)法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，消去參數(shù)，即得其普通方程.1.“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件.2.曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系(1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解.(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線就沒(méi)有交點(diǎn).判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x表示的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.(

)(2)“f(x0，y0)＝0”是“點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上”的充要條件.(

)(3)y＝kx與x＝

y表示同一條直線.(

)(4)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的.(

)××××1.已知點(diǎn)

，直線l：x＝

，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是A.雙曲線

B.橢圓C.圓

D.拋物線√由題意得|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線.2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)O(0,0)與到點(diǎn)A(6,0)的距離之比為2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所圍成的區(qū)域的面積是________.化簡(jiǎn)整理得(x－8)2＋y2＝16，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以(8,0)為圓心，以4為半徑的圓.所以其軌跡圍成的區(qū)域面積S＝πR2＝16π.16π3.若過(guò)點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1，l2分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_____________.x＋y－1＝0設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)，連接PM(圖略)，∵l1⊥l2，∴|PM|＝|OM|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，化簡(jiǎn)得x＋y－1＝0，即為所求點(diǎn)M的軌跡方程.探究核心題型第二部分例1

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0).(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；題型一直接法求軌跡方程由題意可知，直線PM與PN的斜率均存在且均不為零，當(dāng)λ>0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去頂點(diǎn))；當(dāng)－1<λ<0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn))；當(dāng)λ＝－1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓除去點(diǎn)(－1,0)，(1,0).當(dāng)λ<－1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn)).(2)試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀.直接法求軌跡方程的思路直接法求軌跡方程最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡(jiǎn)記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這六個(gè)步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A.直線

B.圓

C.橢圓

D.雙曲線√設(shè)P(x，y)，化簡(jiǎn)得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓.(2)在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若

＝1，則C的軌跡為A.圓

B.橢圓C.拋物線

D.直線√以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴點(diǎn)C的軌跡為圓.題型二定義法求軌跡方程例2

(1)已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是√如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|.根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支(y≠0)，(2)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，則圓心P的軌跡方程為_(kāi)_________________.因?yàn)閳AP與圓M外切且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋1)＋(3－R)＝1＋3＝4(R為圓P的半徑)，(1)定義法的適用范圍若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.此法一般用于求圓錐曲線的方程.(2)注意兩個(gè)易誤點(diǎn)①因?yàn)閷?duì)圓錐曲線定義中的某些特定條件理解不透或忽視某些限制條件而失誤.在利用定義法求軌跡方程時(shí)一定要正確應(yīng)用圓錐曲線的定義.②不會(huì)遷移應(yīng)用已知條件，因而找不到解題思路，無(wú)法解題.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程為A.y2＝2x

B.(x－1)2＋y2＝4C.y2＝－2x

D.(x－1)2＋y2＝2√如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0).連接MA，PM.則MA⊥PA，且|MA|＝1，又因?yàn)閨PA|＝1，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.(2)(2022·杭州七校質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線

＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，Q是雙曲線上任意一點(diǎn)，從焦點(diǎn)F1引∠F1QF2的角平分線的垂線，垂足為P，則點(diǎn)P的軌跡為A.直線

B.圓C.橢圓

D.雙曲線√不妨設(shè)點(diǎn)Q在雙曲線的右支上，延長(zhǎng)F1P交直線QF2于點(diǎn)S(圖略)，∵QP是∠F1QF2的角平分線，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中點(diǎn).∵O是F1F2的中點(diǎn)，∴PO是△F1SF2的中位線，∴點(diǎn)P的軌跡為圓.相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程(1)求點(diǎn)N的軌跡方程；題型三設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，N(x，y)，則M的坐標(biāo)為(x1,0)，且x＝x1，所以y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.(2)當(dāng)點(diǎn)N的軌跡為圓時(shí)，求λ的值.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2022·銀川模擬)動(dòng)點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_______________.設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得A(2x－3,2y)，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓的方程，y2＝4x設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，故所求點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x.課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為Q，且

＝2，則點(diǎn)P的軌跡方程為A.x2＋y2＝2B.x2－y2＝2C.x＋y2＝2

D.x－y2＝212345678910111213141516設(shè)P(x，y)，則Q(x，－y)，所以x2－y2＝2.√2.(2022·云南質(zhì)檢)已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程為A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.x2＋y2＝2(x≠±)D.x2＋y2＝4(x≠±2)√1234567891011121314151612345678910111213141516MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，∴點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓，除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，即點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2).3.已知點(diǎn)A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面積為10，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是A.4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B.4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C.4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D.4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0√1234567891011121314151612345678910111213141516可知AB的方程為4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C(x，y).所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.12345678910111213141516√12345678910111213141516依題意知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，則由三角形重心坐標(biāo)公式可得A.直線

B.橢圓

C.圓

D.雙曲線12345678910111213141516√12345678910111213141516又λ1＋λ2＝1，∴化簡(jiǎn)得x＋2y－5＝0，即點(diǎn)C的軌跡是一條直線.123456789101112131415166.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓

＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PQ為∠F1PF2的外角平分線，F(xiàn)2T⊥PQ于點(diǎn)T，則點(diǎn)T的軌跡為A.雙曲線

B.拋物線C.橢圓

D.圓√12345678910111213141516延長(zhǎng)F2T交F1P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖所示.由于PQ平分∠F2PM，則∠F2PT＝∠MPT，|PT|＝|PT|，所以Rt△PTF2≌Rt△PTM，則|PF2|＝|PM|，|TF2|＝|TM|，則點(diǎn)T為MF2的中點(diǎn)，又因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，12345678910111213141516所以點(diǎn)T的軌跡是圓.1234567891011121314151612345678910111213141516整理可得9x2＋25y2＝225，12345678910111213141516y2＝－8x9.已知平面內(nèi)B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|＝8.①△ABC的周長(zhǎng)為18；②直線AB，AC的斜率分別為kAB，kAC，且kAB·kAC＝

.請(qǐng)從上面條件中任選一個(gè)作答，以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，求出△ABC頂點(diǎn)A的軌跡方程.注：如果選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)條件計(jì)分.1234567891011121314151612345678910111213141516選擇條件①：根據(jù)橢圓定義，平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值，且定值大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓，|BC|＝8,2c＝8，c＝4以及2a＝18－8＝10，a＝5，則a2＝25，c2＝16，那么b2＝a2－c2＝9，且A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，選擇條件②：設(shè)點(diǎn)A(x，y)，又B(－4,0)，C(4,0)，12345678910111213141516即9x2＋16y2＝9×16，1234567891011121314151610.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M(1，y0)(y0>0)是拋物線C上一點(diǎn)且△MOF的面積為

(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，不過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥PQ交PQ于點(diǎn)N.(1)求拋物線C的方程；故拋物線C的方程為y2＝x.12345678910111213141516(2)求證直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)N的軌跡方程.12345678910111213141516易得M(1,1)，由題意可設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋a，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，故Δ＝m2＋4a>0，y1＋y2＝m，y1y2＝－a，因?yàn)椤螾MQ＝90°，12345678910111213141516即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，所以a2－m2－3a－m＋2＝0，12345678910111213141516直線PQ的方程為x＝my＋a＝m(y－1)＋1，此時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)M(1,1)，不符合題意，舍去；直線PQ的方程為x＝my＋a＝m(y＋1)＋2，此時(shí)直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)H(2，－1).設(shè)N(x，y)，12345678910111213141516得(x－1)(x－2)＋(y＋1)(y－1)＝0，即點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2－3x＋1＝0(x≠1).11.如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB＝30°，則點(diǎn)P的軌跡是

A.直線

B.拋物線

C.橢圓

D.雙曲線的一支√可構(gòu)造如圖所示的圓錐.母線與AB所在直線(中軸線)的夾角為30°，然后用平面α去截圓錐，使直線AB與平面α的夾角為60°，則平面α與圓錐側(cè)面的交線為P的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，P的軌跡為橢圓.綜合提升練123456789101112131415161234567891011121314151612.若曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5，0)，B(5,0)距離之差的絕對(duì)值為8，則稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是A.x＋y＝5 B.x2＋y2＝9C.

D.x2＝16y√12345678910111213141516因?yàn)辄c(diǎn)M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)距離之差的絕對(duì)值為8，A項(xiàng)，直線x＋y＝5過(guò)點(diǎn)(5,0)，滿足題意，為“好曲線”；B項(xiàng)，x2＋y2＝9的圓心為(0,0)，半徑為3，與點(diǎn)M的軌跡沒(méi)有交點(diǎn)，不滿足題意；12345678910111213141516即y2－9y＋9＝0，Δ>0，滿足題意，為“好曲線”.12345678910111213141516312345678910111213141516以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0)，B(3,0)，設(shè)C(x，y).即(x＋1)2＋y2＝4.所以點(diǎn)C的軌跡是圓心為M(－1,0)，半徑為2的圓(不含與AB共線的兩點(diǎn)).即△ABC面積的最大值為3.14.已知過(guò)點(diǎn)A(－3,0)的直線與x＝3相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B(3，0)的直線與x＝－3相交于點(diǎn)D，若直線CD與圓x2＋y2＝9相切，則直線AC與BD的交點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)________________.1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)點(diǎn)M(x，y)，C(3，m)，D(－3，n)，mn≠0，則直線CD的方程為(m－n)x－6y＋3(m＋n)＝0，因?yàn)橹本€CD與圓x2＋y2＝9相切，又直線AC與BD的交點(diǎn)為M，12345678910111213141516拓展沖刺練15.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)

；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A.①

B.②

C.①②

D.①②③√1234567891011121314151612345678910111213141516曲線的方程x2＋y2＝1＋|x|