作業(yè)設計案例版本：北京師范大學出版社年 級：八年級冊 數(shù)：上 冊單元 數(shù)：三個單元單元 名：1、探索勾股定理2、一定是直角三角形嗎？3、勾股定理的應用第第PAGE228頁“雙減”背景下初中數(shù)學單元作業(yè)設計案例—以《勾股定理》為例20217月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)了《關于進一步減輕義一個突破點.具體到初中階段的作業(yè)，有以下幾個方面的要求：一是在作業(yè)時間90分鐘；二是在作業(yè)質量上，“雙減”提高教師布置初中作業(yè)的質量.雙減政策的落地與實施，無論是從國家層面，社一個小切口，實際上是撬動教育質量的重要支點.作業(yè)作為課堂教學活動過程的重要環(huán)節(jié)之一,與課堂教學一起構成了完整的教學體系.如何更好地設計作業(yè)，以高質量的作業(yè)引導學生高質量學習，成為教負增效”.本文以《勾股定理》單元作業(yè)設計為例，在學科核心素養(yǎng)的指向下，分享單元作業(yè)設計這一分支的探索與思考.一、單元分析單元信息總（1）課標要求位.北師大版教材對幾何的學習內容是按照循序漸進，螺旋上升的原則進行編排的.在北師大版的教材體系中，勾股定理是初中數(shù)學至關重要的內容之一.《義務教育數(shù)學課程標準（2022）》（下稱課標）中指出數(shù)學課程要獨特育人價值.在內容要求中明確指出：探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題.教材要求直角三角形的特征.學生在七年級下冊已經認識了三角形，在后面八年級下冊學續(xù)有關幾何度量運算和代數(shù)學習的必要基礎,因而勾股定理具有科學的基礎性和廣泛的應用.本章的主要知識框架如下：（1）學文化、數(shù)學歷史的思考.同時，勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證中，蘊含著發(fā)展學生探究能力不可多得的思維材料.二、學情分析基于教材分析內容，為了設計出更加適合我校學生的單元作業(yè)，達到在本單結合文獻資料分析不同作業(yè)實例，力求精準、專業(yè).通過深入調研把握學情的重要方式，從三個維度展開了學情分析.走進學生、調查采訪幫助.通過整理學生的回答，主要得到如下問題.（2）家校調研、設計問卷題是學生認為在利用勾股定理解決實際問題中的折疊問題和最值問題有一點的難度.作業(yè)分析、查找“病因”整，表達不規(guī)范；學優(yōu)生：能正確書寫，但任然有表達不規(guī)范的情況.三、目標分析采用重組，改編，完善或者自主開發(fā)的方式進行作業(yè)設計的過程.單元作業(yè)設計鞏固知識、提高素質、形成能力的效果.結合以上的學情分析，根據(jù)2022版課程標準要求，從知識技能、數(shù)學考慮、問題解決、情感態(tài)度四個方面制定了如下作業(yè)設計目標.知識技能：查漏補缺，理解和掌握勾股定理的證明和應用.數(shù)學考慮：進一步建立數(shù)形結合思想，發(fā)展抽象思維.問題解決：綜合運用數(shù)學知識解決實際問題，發(fā)展創(chuàng)新意識.志.四、設計原則2）計新穎、難度適宜、時間合適、結構合理和體現(xiàn)選擇原則.比例合理，題目設置與單元目標相關聯(lián).設計科學原則：具體來說包括以下五個方面的要求.設計科學目標的達成主也經常以團隊研討的方式增進教師思考，提高題目質量.設計新穎原則：授課時內容與完成條件限制，日常作業(yè)以書面作業(yè)為主，為學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力.落實“雙減”要求，題目設計要盡可能的照顧不同層次差異的學生的水平.時間合適原則:90分鐘.結構決定功能，因此單元作業(yè)的設計要體現(xiàn)教師基于單元視角的整體思考.體現(xiàn)選擇性原則:學生學習不僅存在著學習能力的差異，也存在著學習習慣上進行創(chuàng)新，以突出數(shù)學核心素養(yǎng).具體到勾股定理這一章中，為不同層次的學生設計了不同的分層作業(yè)，以更好的滿足不同層次的學生的學習需要.五、作業(yè)展示面關注學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.通過學生分層、目標分層和作業(yè)分層三個維度來設計《勾股定理》單元作業(yè).具體操作如下：作業(yè)設計體系單+基礎小練習；中等生主要完成整合運用中的單元專題練習；學優(yōu)生主要完成.具體設計思路導圖如下：（3）1潛能生單元作業(yè)設計1題的能力.單元作業(yè)設計：知識清單+基礎小練習（1A層）.2中等生單元作業(yè)設計2目標分層：在數(shù)學活動中提升綜合素養(yǎng)（1B層）3學優(yōu)生單元作業(yè)設計3目標分層：在數(shù)學拓展中發(fā)展創(chuàng)新意識（見附件1作業(yè)展示中對應C層）六、作業(yè)設計反思檢查反思是作業(yè)設計的重要環(huán)節(jié).實際上，通過檢查反思，教師能發(fā)現(xiàn)作業(yè)學效果最大化.反思作業(yè)設計主要考慮從以下幾個方面入手.設計的作業(yè)任務要與作業(yè)目標一致元作業(yè)內容以及單元作業(yè)內容占單元作業(yè)總量的比例進行整體性的反思分析.要科學設定學生完成作業(yè)的時間如何做到合理控制作業(yè)的完成時間呢？科學預估作業(yè)的時間是一個關鍵問題.因為傾向于以學業(yè)成績最好的學生為標準來要求全體學生或者學生學習情況過程中可能出現(xiàn)的問題，進而適當?shù)卣{整題目的數(shù)量和難度.作業(yè)要考慮學生的差異性異改進作業(yè)設計.七、單元作業(yè)設計流程（4）1第一章《勾股定理》單元作業(yè)設計案例一、作業(yè)內容1.常規(guī)練習（A層）1知識清單1

（基礎性作業(yè)）1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么 .2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b和c滿足a2+b2c2，那么這個三角形是 .3、滿足a2+b2c2的三個 ，稱為勾股數(shù).如：3， ， ；5， ， ；6， ， ；7， ， ；8， ， ；9， ， ；9， ， 等.4、勾股定理的常見證明：5、相關結論：6、a2b2與c2的關系：直角三角形 銳角三角形 鈍角三角形PAGE2828頁2基礎小練習2《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高、廣61丈(1丈10尺），那么門的高和寬各是多少？”如果設門的寬為x尺，則可列方程為（ ）．如圖，在ABC中，B45，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E(BECE)，點F是AC的中點，連接AE、EF，若BC7，AC5，則CEF的周長為 ．如圖，BD是ABC的角平分線，AB15，BC9，AC12，則BD的長為 ．如圖，已知ABC的三邊長分別為6cm、8cm、10cm，分別以它的三邊為直徑向上作三個半圓，則圖中陰影部分的面積 ．如圖，已知ADC90，AD8m，CD6m，BC24m，AB26m，則圖中陰影部分的面積為 ．在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破．已知點C與公路上的A500B1200米，且CACB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑400米范圍內不得進入，問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．2.整合運用（B）①用勾股定理解決面積問題如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若兩陰影部分都是正方形，C、D、E在一條直線上，且它們的面積之比為1：3，則較大的正方形的面積 ．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm，正方形A的面積是11cmB的面積是10cm2，C的面積是13cm2D的面積為 ．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，EABCB上的點，把△ABCDEBB′．如圖①B′ACE的長；如圖②B′ACCE的長．如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A'處，折痕為PQ，當點A'在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動，若限定P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A'B最小值和最大值分別為（ ）A．1和3 B．1和4 C．2和3 D．2和4③勾股定理中最短距離問題如圖，在長方體透明容器（無蓋）內的點B處有一滴糖漿，容器外A點處的螞蟻想沿容器，寬為，高為，點A距底部蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計）（）D．113cmA．317cm B．10cm C．5D．113cm如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm18cm4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的cm？思維拓展（C）一、勾股定理：1、在△ABC中，若AC=15BC=13AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長為 .2、一個直角三角形的兩邊長是3和4，第三邊長為 ，此時斜邊上的高為 .（12題畫圖在下面空白處）3、(12頁)257米.這個梯子的頂端距地面有多高？44米嗎？二、勾股定理的逆定理：1、滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）（A）

a2b2c2

（B）

a:b:c9:40:41（C）∠C=∠A—∠B （D）∠A：∠B：∠C=6：8：102、(8頁邊長為81517的△ABC內有一點P到三邊的距離相等，則這個距離為 .3(9)PACBCBBQ60°，BQ=BPCQ.APCQ之間的大小關系，并證明你的結論；PA：PB：PC=3：4：5PQ，請判斷△PQC的形狀，并說明理由.三、勾股定理的應用：（一）與棱柱有關1、如圖，如果電梯的長、寬、高分別是2m、2m、3m，那么能放到電梯內的竹竿最大長度是 .2、（14頁）如圖，長方形的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方形的表面從點A爬到點B?（畫出展開圖，寫出過程）（二）與圓柱有關1、如左圖所示，將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，如圖，設筷子露出在杯子外面的部分長為hcm，則h的取值范圍是 .2、（15頁）如右圖所示，一個圓桶兒，底面直徑為16cm，高為18cm，有一只小蟲從下底AB處，求小蟲所爬的最短路徑.（畫出展開圖，π3）3、（10頁）枯木一根直立地上，高二丈，周三尺.有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何?（畫出展開圖，寫出過程）4、（12頁）如圖，有一圓柱形透明玻璃容器，高15cm，底面周長為24cm，在容器內壁距4cmA3cm的B處時（B處與A處恰好相對），發(fā)現(xiàn)了小飛蟲，問蜘蛛怎樣爬去吃小飛蟲最近？若容器厚度忽略不（畫出展開圖，寫出過程）（三）與樓梯有關1、如左圖，一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為6dm、3dm和1dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點的最短路程是 .2、如右圖，某會展中心在一次會展期間準備在樓梯上鋪地毯，已知樓梯的高BC為5m，斜面AC為13m，每一級樓梯寬AD為2m，地毯的價格為每平方米20元，鋪完這個樓梯至少需要 元.】一、折疊型1ABCD中，AB=4，BC=6，將△ABCAC折疊，使點BE處，CE交AD于點F，則DF的長等于（ ）5（A）4

4（B）5

5（C）3

3（D）52、（13頁，?？碱}）如右圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將ABE沿AE疊使點B在形內點F處接F則CF長為 . 二、旋轉型（17頁）已知：如圖，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、FBC上的點且∠EAF=45°.求證：EF2=BE2+FC2．（發(fā)展性作業(yè)）.二、設計意圖方法.三、時間要求:60四、評價設計五、參考答案《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高、廣61丈(1丈10尺x

x2(x6)2100．【分析】直接利用勾股定理進而得出等式方程即可．【解答】x尺，那么這個門的高為(x6)尺，根據(jù)題意得方程：x2(x6)2100，x2x6)2100．如圖，在ABC中，B45，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E(BECE)，點F是AC的中點，連接AE、EF，若BC7，AC5，則CEF的周長為8 ．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質求得BEA的度數(shù)，然后根據(jù)勾股定理求出EC長度，即可求出CEF的周長．【解答】解：DEAB的垂直平分線，BAEABE45，BEAE，BEA90，BC7，BECE7，AECE7AE7CE，又AC5，在AECAE2CE2AC2(7CE)2CE252，CE3，又FAC的中點，EFFC1AC5，2 2CEF的周長CFCEFE5358．2 2故答案為：8． 如圖，BD是ABC的角平分線，AB15，BC9，AC12，則BD的長為 95． 2【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到C90DDEABE，根據(jù)角平分線的性DECDDECDx，根據(jù)三角形的面積公式得到CD9，根據(jù)勾股定理即2可得到結論．【解答】解：AB15BC9AC12，BC2AC292122152AB2，C90，DDEABE，BD是ABC的角平分線，DECD，DECDx，SABCSABDSBCD，1ACBC1ABDE1BCCD，2 2 21129115x19x，2 2 2x9，2CD9，2BC2CD292(BC2CD292(9)22959952故答案為： ．如圖，已知ABC的三邊長分別為6cm、8cm、10cm，分別以它的三邊為直徑向上作三個半圓，則圖中陰影部分的面積 24cm2．【分析】陰影部分的面積等于中間直角三角形的面積加上兩個小半圓的面積，減去其中下面面積較大的半圓的面積．【解答】解：直角ABC6，8，6282AB6282()BC1828，()2 2AC為直徑的半圓的面積是1（3）29，2 2以AB為直徑的面積是 1（5）225，2 2ABC1ACBC24，2陰影部分的面積是89242524cm2．2 224．【點評】本題考查勾股定理的知識，難度一般，注意圖中不規(guī)則圖形的面積可以轉化為不規(guī)則圖形面積的和或差的問題．如圖，已知ADC90AD8mCD6mBC24mAB26m，則圖中陰影部分的面積為96m2．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出ACB為直角三角S陰影

1ACBC1ADCD即可得出結論．2 2【解答】解：在RtADC中，CD6m，AD8m，ADC90，BC24m，AB26m，AC2AD2CD28262100，AC10m，（取正值）．在ABC中，AC2BC2102242676AB2262676．AC2BC2AB2，ACBACB90．S陰影

1ACBC1ADCD1102418696m2． 2 2 2 2 96m2在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破．已知點C與公路上的A500B1200米，且CACB，如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑400米范圍內不得進入，問在進行爆破時，公路AB段是否有危險，是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．【分析】C作CDABDCACB，得出ACB90，利用根據(jù)勾股定理有AB1300米利用S 1ABCD1BCAC得到CD6000米再根據(jù)6000米400米ABC 2 2可以判斷沒有危險．

13 13【解答】解：公路AB不需要暫時封鎖．理由如下：如圖，過C作CDABD．CACB，ACB90，BC1200AC500米，5002所以，根據(jù)勾股定理有AB 13005002S

ABC

1ABCD1BCAC2 2所以CDBCAC12005006000（米．AB 1300 13400米6000米，故沒有危險，13AB段公路不需要暫時封鎖．【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用直角三角形的性質求出CD的長．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的面積，角平分線的性質，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．①用勾股定理解決面積問題1.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若兩陰影部分都是正方形，C、D、E在一條直線上，且它們的面積之比為1：3，則較大的正方形的面積 ．【答案】27【分析】a3aBC2BD2＋CD2＝BC2，由正方形的面積公式可得a＋3a＝36，即可求解．【詳解】a3a，∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，∵BD2+CD2＝BC2，∴a+3a＝36，∴a＝9，∴3a＝27，27，故答案為：27．【點睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理的應用條件并利用其準確求解是解題的關鍵．12．（2021·山東中區(qū)·八年級期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm，正方形A的面積是11cm，B的面積是10cm2，C的面積是13cm2，則D的面積為 ．【答案】30cm2【分析】64，由此即可解決問題．【詳解】P、Q、M．根據(jù)勾股定理得到：CDP的面積；ABQ的面積；而P，QM的面積．A、B、C、DM的面積．∵M82=64cm2，∴A、B、C、D64Dx，∴10+11+13+x=64，∴x=30D30cm2.30cm2．【點睛】本題考查了勾股定理的應用．觀察并能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，EABCB上的點，把△ABCDEBB′．如圖①B′ACE的長；如圖②B′ACCE的長．7 55【答案】（1）4；（2）16【分析】設CE＝x，則BE＝8－x，根據(jù)折疊的性質，實施勾股定理即可；設CE＝x，則BE＝8－x，根據(jù)折疊的性質，實施勾股定理即可．【詳解】解：(1)設CE＝x，則BE＝8－x，AE＝BE＝8－x，由勾股定理得x262(8x)2，7x＝4，7CE4；(2)BAC的中點，BC＝1AC＝3，B2CE＝x，則BE＝8－x，由題意得BE＝BE＝8－x，由勾股定理得x232(8x)2，x＝55，16CE55．16【點睛】如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A'處，折痕為PQ，當點A'在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動，若限定P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A'B最小值和最大值分別為（ ）A．1和3 B．1和4 C．2和3 D．2和4【答案】A【分析】QDAPBA到達AAB的長度【詳解】DQ