第20講奇數和偶數（教師版）一、第20講奇數和偶數1.一只小渡船往返于一條小河的左右兩岸之間.問：（1）如果最初小船在左岸，過河若干次后，又回到左岸，那么這只小船過河的次數是奇數還是偶數?如果最后到了右岸，情況又是怎樣呢?（2）如果小船最初在左岸，過河99次后，停在左岸還是右岸?【答案】（1）解：小船最初在左岸，過1次河就到了右岸，再過一次河就由右岸回到左岸；即每次由左岸出發(fā)到右岸后再回到左岸，都過了二次河.

因此，若小船由左岸開始，過河多次后又回到左岸，則過河的次數必為2的倍數，即偶數.

同樣的道理，不難得出，若小船最后停在右岸，則過河的次數必為奇數.

（2）解：在(1)中，我們發(fā)現，若小船最初在左岸，過偶數次河后，就回到左岸；過奇數次河后，就停在右岸.

∵現在小船過河99次，是奇數次.

∴最后小船應該停在右岸.

【解析】【分析】（1）根據題意可知：若小船最初在左岸，過偶數次河后，就回到左岸；過奇數次河后，就停在右岸.

（2）由（1）中規(guī)律可知小船停在右岸.2.9999和99！(注：99！=1×2×3×4×...×99，讀作99的階乘)能否表示成為99個連續(xù)的奇數的和?

【答案】解：(1)9999能表示成99個連續(xù)奇數的和.∵9999=(9998-98)+(9998-96)+…+(9998-2)+9998+(9998+2)+…+(9998+96)+(9998+98).∴9999能表示為99個連續(xù)奇數的和.(2)99！不能表示成99個連續(xù)奇數的和.∵99！=1×2×3×…×99是偶數，而99個奇數的和是奇數，

∴99！不能表示為99個奇數的和.【解析】【分析】9999=99×9998.先寫下9998，然后寫出9998后面的49個連續(xù)的奇數，又寫出9998前面的49個連續(xù)的奇數，這99個連續(xù)的奇數和正好是99×9998=9999；另一方面，99！是偶數，而99個奇數的和是奇數.如果答案是肯定的，我們常常將滿足題意的例子舉出來或造出來，這稱為構造法.如果答案是否定的，常常采用反證法，找出其中的矛盾.3.圖是一所房子的示意圖，每一個房間與相鄰的房間都有門相通.小明在某一房間中，他想從這個房間開始不重復地走遍每一個房間.能做到嗎?若能，他開始時應在哪一個房間?又應該怎樣走?若不能.請說明理由。

【答案】解：不能做到.將題圖的房間黑白相間地涂，如下圖，

這樣，不論小明從哪一間房間出發(fā)，他總是從白房間走進黑房間，或者從黑房間走進白房間.

因此，走法必為：白黑白黑……或者為：黑白黑白……不管哪一種走法，黑房間的數目與白房間的數目相等或者相差一.

而圖中白房間5間，黑房間3間，相差2間.

因此不能走遍每一個房間而不重復.【解析】【分析】說明與整數可以分為奇數與偶數兩類一樣，我們把房間涂上黑白兩色，分成兩類.幾個連續(xù)的整數，必然是奇偶相間，而且奇數個數與偶數個數相差至多為一個.類似地，房間的走法也是黑白相間。因此，黑、白房間的數目至多相差一.這一點正是我們解決本例的關鍵.因此，從本質上說，我們還是利用奇偶性來解決問題的。事實上，如果我們不用黑白兩色來涂房間，而是將房間相間地貼上奇偶兩字，問題一樣得到解決.4.把圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色，問有沒有可能”使得在同一條直線上的紅圈數都是奇數?請說明理由.【答案】解：如果每條線上紅圈都是奇數個，那么5條線上的紅圈數相加仍是奇數；但另一方面，5條線上的紅圈數相加時，由于每個圈都在兩條直線上，因而都被計算了兩次，從而相加的總和應該是偶數.兩方面的結果是矛盾的.

因此，不可能使同一條線上的紅圈數都是奇數.【解析】【分析】根據奇偶的性質：奇數×奇數=奇數，假設每條線上紅圈都是奇數個，由此計算可得奇數；但是線線交匯處的點被計算了兩次，可得相加為偶數；故矛盾，假設不成立.5.圍棋盤上有19×19個交叉點，在交叉點上已經放滿了黑子與白子，并且黑子與白子相間地放，即黑子(或自子)的上、下、左、右都放著白子(或黑子).問能否把這些黑子全部移到原來白子的位置上，而白子也全移到原來的黑子的位置上?.【答案】解：不能.∵19×19=361，是奇數，

∴必有奇數個白子，偶數個黑子；或者奇數個黑子，偶數個白子；

即黑、白子數必然一奇一偶.

∴奇數不可能等于偶數，

∴無法使黑子與白子的位置對調.【解析】【分析】根據題意可得奇數個白子，偶數個黑子；或者奇數個黑子，偶數個白子；即黑、白子數必然一奇一偶；故無法使黑子與白子的位置對調.6.參加會議的人，有不少互相握過手.握手的次數是奇數的那部分人，人數是奇數還是偶數?為什么?【答案】解：由于每握一次手，握手的兩個人，每一個都握了一次手.

因此每握一次手，兩個人握手次數的和就是2次.

所以，全部與會的人握手的總次數必定是偶數.我們把參加會議的人分成兩類，甲類握手次數是偶數，乙類握手次數是奇數，甲類人握手的總次數顯然是偶數；注意甲類人握手的總次數加上乙類人握手的總次數等于全部與會的人握手的總次數，所以乙類人握手的總次數也應當是偶數.由于乙類人每人握手的次數都是奇數，而偶數個奇數相加，和才能為偶數，因此，乙類人必為偶數個，即握手次數是奇數的那部分人，人數是偶數.【解析】【分析】根據題意可得全部與會的人握手的總次數必定是偶數；把參加會議的人分成兩類，甲類握手次數是偶數，乙類握手次數是奇數，根據奇偶性質：

偶數+偶數=偶數，奇數×偶數=偶數，由此即可得出答案.7.設標有A、B、C、D、E、F、G記號的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關.現在A、C、E、G四盞燈開著，其余三盞燈是關的.小剛從燈A開始，順次拉動開關..即從A到G，再從A到G……這樣拉動1999次開關后，哪幾盞燈是開的?【答案】解：一盞燈的開關被拉動奇數次后，改變狀態(tài)，即開的變成關的，關的變成開的.一盞燈的開關被拉動偶數次后，不改變狀態(tài)，即開的仍為開的，關的仍為關的.因此本題的關鍵是計算各盞燈被拉次數的奇偶性.∵1999=7×285+4，∴A、B、C、D四盞燈的開關各被拉動了286次，而E、F、G三盞燈的開關各被拉動了285次；

∴A、B、C、D四盞燈不改變狀態(tài)，E、F、G三盞燈改變狀態(tài)；

∵開始時A、C、E、G四盞燈是開著的，B、D、F三盞燈是關著的，

∴最后A、C、F燈是開著的.【解析】【分析】一盞燈的開關被拉動奇數次后，改變狀態(tài)，即開的變成關的，關的變成開的.一盞燈的開關被拉動偶數次后，不改變狀態(tài)，即開的仍為開的，關的仍為關的.因此本題的關鍵是計算各盞燈被拉次數的奇偶性.8.桌上放著七只杯子，杯口全朝上，每次翻轉四個杯子.問能否經過若干次這樣的翻動，使全部的杯子口都朝下?【答案】解：不可能.我們將口向上的杯子記為0，口向下的杯子記為1.

開始時，由于七個杯子全朝上，所以這七個數的和為0，是個偶數.一個杯子每翻動一次，所記的數由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉四個杯子，因此這七個數的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同.

所以，不論翻動多少次，這七個數的和與原來一樣，仍為偶數.當杯子全部朝下時，這七個數的和為7，是奇數.

因此，不論經過多少次翻轉，都不可能使所有的杯子口都朝下.【解析】【分析】將口向上的杯子記為0，口向下的杯子記為1；根據題意一個杯子每翻動一次，所記的數由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉四個杯子，因此這七個數的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同；起初七個杯子全朝上，和為0，是個偶數；當杯子全部朝下時，和為7，是奇數；故不可能.9.設，，…是1，2，…，2005的任意一個排列.試證明：(-1)(-2)…(-2005)必為偶數.【答案】證明：∵1，2，