《專題13函數(shù)y=Asin(o)x+(p)的圖像與性質(zhì)》重難點突破

一、知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

?-五點法I乍圖

三角函數(shù)圖像及應(yīng)用O二、三角函數(shù)的圖像平移——

--------------------------11先平移后伸縮J

三、三角函數(shù)的應(yīng)用

一、學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理

考點一函數(shù)尸Asin(@x+3)的圖象

1.函數(shù)y=Asin(3+。)的有關(guān)概念

y=Asin(s+9)振幅周期頻率相位初相

T2?！?3

(4>0,co>0)AT=-f——=---COX-\-(p

(0JT2兀9

2.用五點法畫y=4sin(5+e)一個周期內(nèi)的簡圖

用五點法畫y=4sin(cwx+e)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表

所示:

一幺兀_(pR一(p3TI§24一卬

X

co2a)co0)2a)o3

Tt3兀

a)x-\-(p0712兀

2T

y=Asin(cox+

0A00

9)

3.由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=4sin(cax+夕)(4>0,①>0)的圖象的兩種

方法

法一法二

羽

驟

2

_

瓦

驟

3

一

藥

驟

4

一

考點二函數(shù)y=Asin（血+e）與函數(shù)y=Acos（a）x+（p）的性質(zhì)

函數(shù)y=Asin（3r+0）與函數(shù)y=Acos（〃zr+e）可看作是白正弦函數(shù)y=sinx,

余弦函數(shù)y=cosx復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)y=sinx,

余弦函數(shù)y=cosx類似地得到：

（1）定義域：R;

（2）值域：［-AA］；

（3）單調(diào)區(qū)間：求形如y=Asin（6>x+°）與函數(shù)y=Acos（cox+夕）（4⑷>0）的

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把5+0視為一個“整體”，

分別與正弦函數(shù)丁=5皿%,余弦函數(shù)丁=85%的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應(yīng)解出X,

即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間.比如：由2%左一軍4以+夕《2%乃+2（左￡2）解

22

出x的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由2"+生4以+尹工2就+包（ZEZ）解出x的

22

范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.

（4）奇偶性：正弦型函數(shù)y=Asin（5+e）和余弦型函數(shù)

y=Acos（0x+e）（A,0>O）不一定具備奇偶性.對于函數(shù)y=Asin（0x+e）,當(dāng)

0=攵）（左wz）時為奇函數(shù)，當(dāng)9=k7r±］（Z￡z）時為偶函數(shù)；對于函數(shù)

y=ACQS{CDX+（p）?當(dāng)0=A7T（AeZ）時為偶函數(shù)，當(dāng)9=&乃WZ）時為奇函數(shù).

（5）周期：函數(shù)y=Asin（69x+°）及函數(shù)y=ACOS（GX+0）的周期與解析式

中自變量1的系數(shù)有關(guān)，其周期為7=絲.

co

(6)對稱軸和對稱中心

與正弦函數(shù)y=sinx比較可知，當(dāng)S+Q=ez)時，函數(shù)

y=AsinQx+e)取得最大值(或最小值)，因此函數(shù)y=Asin(5+°)的對稱軸由

血+夕=wz)解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)的+°=&刀(％wz),即對稱中

心為——,0(kez).同理，y=ACOS(GX+°)的對稱軸由勿x+0=攵萬(AEZ)解

kCOJ

出，對稱中心的橫坐標(biāo)由=左乃士］(%wz)解出.

三、重難點題型突破

重難點題型突破1“五點法作圖”畫函數(shù)y=Asin(s+⑼的圖象

例L已知函數(shù)y=3s42x-?J

n7〃

(1)用五點作圖在下面坐標(biāo)系中做出上述函數(shù)在的圖象.(請先列

_OO

表，再描點，圖中每個小矩形的寬度為專)

(2)請描述上述函數(shù)圖象可以由函數(shù)y=sinx怎樣變換而來？

【變式訓(xùn)練1-1］、已知函數(shù)f(x)=V2sin(2x+1)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間：

（2）在所給坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間號,與］上的圖象（只作圖不寫過程）.

重難點題型突破2函數(shù)y=Asin（5+9）的圖象及變換

例2.將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向右平移'個單位長度，再把各點

的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）

71

A.y=sin(2x-—)B.y=sin(2x-y)

C.y=sin(—X--)D.y=sin-X--)

210220

【變式訓(xùn)練2-1】、將函數(shù)/（x）=sin?x+0）,3>O,-］<0<g圖象上每一

點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移工個單位長度得到

4

y=sinx的圖象，貝U/（菅）=.

【變式訓(xùn)練2-2］、若將函數(shù)/（x）=Lsin（2x+C）圖象上的每一個點都向左平

2\3）

移？個單位長度，得到g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.左乃+工，4"+陰（keZ）

44

B.+-(&￡Z)

44

C.kK一-(&WZ)

36

D.k7v--.kK+—伏￡Z)

1212

【變式訓(xùn)練2-3】、（多選題）將函數(shù)），=4sinx的圖象向左平移？個單位長度,

再將橫坐標(biāo)縮短到原來的;，得到函數(shù)y=?r）的圖象，下列關(guān)于），=/5）的說法

正確的是（）

A.y=y（x）的最小正周期為4兀

B.由“ri）=y（x2）=o可得加一改是兀的整數(shù)倍

C.），=段）的表達(dá)式可改寫成段）=4cos2x--1

D.），=/□）的圖象關(guān)于-工,0中心對稱

I6J

【變式訓(xùn)練2?4】、（多選題）要得到y(tǒng)=s皿2一3的圖象，可以將函數(shù)產(chǎn)

siar的圖象上所有的點（）

A.向右平行移動三個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的酗

52

B.向右平行移動三個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的三倍

102

C.橫坐標(biāo)縮短到原來的二倍，再把所得各點向右平行移動三個單位長度

25

D.橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍，再把所得各點向右平行移動三個單位長度

210

重難點題型突破3由圖象求函數(shù)y=Asin（s+e）的解析式

例3.已知函數(shù)/（x）=|Acos（x+9）+l|（A>0,|0|<|^的部分圖象如圖所示，

則（）

A.(p=—B.(p=—

63

C.A=2D.A=3

【變式訓(xùn)練3-1】、(多選題)函數(shù)/(x)=cos3x+°)(①>0,囤V?的部分圖

像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

31

C.是函數(shù)的一條對稱軸D.(2+7,0)是函數(shù)的對稱軸心

44

【變式訓(xùn)練3-2]、已知函數(shù)?r)=4sin(x+9A>O,O<0<]),人])的部

分圖象如圖所示，P,。分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標(biāo)為(1,A).

(1)求7U)的最小正周期及9的值；

(2)若點R的坐標(biāo)為(1,0),/PRQ=￡,求4的值.

重難點題型突破4三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

例4.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x--)+a。為常數(shù)

6t

(1)求函數(shù)/(%)的最小正周期；

(2)若x￡[0,y]Ht,/(x)的最小值為-2,求a的值.

【變式訓(xùn)練4-1]、已知函數(shù)/(x)=Asin(&x+°)+6(A>0⑷>0)的一系列

對應(yīng)值如下表:

乃447%17兀

Xn5,71U

T~6TT

y-1131-113

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)/（X）的一個解析式；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)y=/（㈤（攵>0）周期為母,當(dāng)方僅0申時，

方程"依）=機恰有兩個不同的解，求實數(shù)機的取值范圍.

【變式訓(xùn)練4-2］、函數(shù)j=Asin（5+3）（A>O,G>O,OW0wM在區(qū)間（0,7兀）

內(nèi)只取到一個最大值和一個最小值，且當(dāng)工=兀時，ymax=3；當(dāng)X=6兀時，ymin

=-3.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（.3）是否存在實數(shù)m,滿足不等式Asin+2m+3+（p^>Asin

3-裙+4+可？若存在,求出機的范圍（或值）；若不存在，請說明理由.

課堂定時訓(xùn)練（45分鐘）

1.《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術(shù)日：以弦乘矢，

矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計算公式為；弧田面積=；（弦

乘矢+矢乘矢），弧田是由圓?。ê喎Q為弧田的?。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段

（簡稱（弧田的弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田的弦長，“矢”等于

弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長

等于2V3,其弧所在圓為圓O,若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積

為^貝ijNAOB=（）

2

7T27r

-I

A.D.T

4

2.（多選題）函數(shù)〃乃=月sai（2x+9）G4>0,|何<》部分圖象如圖所示，對

不同Xl，X2^[afb]f若/（X|）=f（X2）,有f（Xl+X2）=W，貝I」（）

A.a+b=nB.b-a=5C.<pD.f（a+b）=V3

3.（多選題）己知函數(shù)/（x）=Asin（oirHp）（其中A>0,co>O,0<|（p|<7r）

的部分圖象如圖所

示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線％=次寸稱

B.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于點信，0）對稱

C.函數(shù)/（%）在區(qū)間9勺上單調(diào)遞增

D.函數(shù)），=1與尸/（%）,金，等]的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和

7r

為d3

4.已知函數(shù)/(x)=Acos2((ox+(p)+1(A>0,co>0,0<(p<^)的最大值

為3,/(x)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2),其相鄰兩條對稱軸間的距離為

2,則/(I)4/(2)=.

5.(本小題滿分12分)己知函數(shù)/(x)=sin(2x+：)+1.

(1)用“五點法''作出/(x)在％E[—g,上的簡圖；

88

(2)寫出/(x)的對稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)求/(x)的最大值以及取得最大值時x的集合.

6、如圖，己知函數(shù)y=2sin(7u+(p)(x￡R,其中。工?受)的圖象與y軸

交于點(0,1).

(1)求(P的值；

(2)求函數(shù))，=2sin(兀葉(p)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(3)求使龍1的x的集合.

《專題13函數(shù)尸Asin(sx+(p)的圖像與性質(zhì)》重難點突破答案解析

一、知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

一、學(xué)法指導(dǎo)與考點梳理

考點一函數(shù)產(chǎn)Asin?x+e)的圖象

1.函數(shù)y=4sin(5+9)的有關(guān)概念

y=Asin(5+s)振幅周期頻率相位初相

.2?，?/p>

(4>0,co>0)AT=—COX-\-(p

CD9

2.用五點法畫y=Asin(car+s)一個周期內(nèi)的簡圖

用五點法畫)，=Asin(①x+g)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表

所示:

一幺兀_8x~(p3TI§24一卬

X

co2coCD32a)o3

Tt3兀

a)x-\-(p0712兀

2T

y=Asin(cox+3)0A0-A0

3.由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(cox+/)(A>0,①>0)的圖象的兩種

方法

法一法二

羽

驟

2

_

瓦

驟

3

一

藥

驟

4

一

考點二函數(shù)y=Asin（血+e）與函數(shù)y=ACOS（GX+0）的性質(zhì)

函數(shù)y=Asin（3r+0）與函數(shù)y=Acos（〃zr+e）可看作是白正弦函數(shù)y=sinx,

余弦函數(shù)y=cosx復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)y=sinx,

余弦函數(shù)y=cosx類似地得到：

（2）定義域：R；

（2）值域：［-AA］；

（3）單調(diào)區(qū)間：求形如y=Asin（6>x+°）與函數(shù)y=Acos（cox+夕）（4⑷>0）的

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把5+8視為一個“整體”，

分別與正弦函數(shù)丁=5皿%,余弦函數(shù)丁=85%的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應(yīng)解出X,

即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間.比如：由2%左一￥?以+夕《2%乃+工（左￡2）解

22

出x的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由2"+生4以+尹工2就+包（ZEZ）解出x的

22

范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.

（4）奇偶性：正弦型函數(shù)y=Asin（5+e）和余弦型函數(shù)

y=Acos（0x+e）（A,0>O）不一定具備奇偶性.對于函數(shù)y=Asin（0x+e）,當(dāng)

0=攵）（左wz）時為奇函數(shù)，當(dāng)9=k7r±］（Z￡z）時為偶函數(shù)；對于函數(shù)

y=ACQS{CDX+（p）?當(dāng)0=A7T（AeZ）時為偶函數(shù)，當(dāng)9=&乃WZ）時為奇函數(shù).

（5）周期：函數(shù)y=Asin（69x+°）及函數(shù)y=ACOS（GX+0）的周期與解析式

中自變量1的系數(shù)有關(guān)，其周期為7=絲.

co

(6)對稱軸和對稱中心

與正弦函數(shù)y=sinx比較可知，當(dāng)S+Q=ez)時，函數(shù)

y=AsinQx+e)取得最大值(或最小值)，因此函數(shù)y=Asin(5+°)的對稱軸由

血+夕=wz)解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)的+°=&刀(％wz),即對稱中

心為——,0(kez).同理，y=ACOS(GX+°)的對稱軸由勿x+0=攵萬(AEZ)解

kCOJ

出，對稱中心的橫坐標(biāo)由=左乃士］(%wz)解出.

三、重難點題型突破

重難點題型突破1“五點法作圖”畫函數(shù)y=Asin(s+⑼的圖象

例L已知函數(shù)y=3s42x-?J

n7〃

(1)用五點作圖在下面坐標(biāo)系中做出上述函數(shù)在的圖象.(請先列

_OO

表，再描點，圖中每個小矩形的寬度為專)

(2)請描述上述函數(shù)圖象可以由函數(shù)y=sinx怎樣變換而來？

y

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

(1)由題意，因為所以2x-gw［0,2加，

663

列表如下:

n5乃241\nIn

X

6~nT~n~6

K3%

2x----071271

322

y=3sin(2x-^)030-30

(2)把丁=而”的圖象向右平移9個單位，可得y=sin(x-g)的圖象；

JJ

1TT

再把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模荼?，縱坐標(biāo)不變，可得y=sin(2x-2)的

圖象；

再把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，可得y=3sin(2x-$

的圖象；

【變式訓(xùn)練1-1］、已知函數(shù)f(x)=&sin(2x+令

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在所給坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間號,與］上的圖象(只作圖不寫過程).

【答案】⑴兀，k4+jk￡+三,keZ(2)見解析

OO

【解析】(1)T=?=7L

令2k7r+，2x+生2k7t+，，keZ,

IT5

貝ij2kK+j<2x<2k7r+j7t,keZ,

715

得k兀+/xWk7t+/,kEZ,

oo

???函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kn+j,kn+|n,kGZ.

⑵列表：

2x+：35

71開2兀7

3n5n7n9n

X

TTTT

f(x)=-\/2sin^2x+^

0-小0啦

描點連線得圖象如圖:

重難點題型突破2函數(shù)y=Asin（c“+e）的圖象及變換

例2.將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向右平移看個單位長度，再把各點

的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）

A.y=sin(2x-臺B.y=sin(2x-y)

一..1冗、rx./1冗、

C.y=sin(—x---)D.y=sin(—x----)

210220

(答案】C

【解析】將），=sinx的圖象向右平移合個單位長度得到），=sin*-\）的圖

象,再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得至I」尸sin（gx-3的圖象.

【變式訓(xùn)練2-1】、將函數(shù)/（x）=sin（6?x+^）,（ty>0,-^<^><^）圖象上每一

點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移三個單位長度得到

4

y=sinx的圖象，則/田=.

【答案邛

【解析】試題分析：將函數(shù)y=siar的圖象向左平移生個單位得

），=sin（x+?J的圖象，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大2倍，縱坐標(biāo)不變得

y=sinf—X+—的圖象,即f(x)=sin(1%+￡,所以ff—1=sinf—x—+—

1264J

124.IZ4yz

.乃y/3

=sin—=——.

32

【變式訓(xùn)練2?2】、若將函數(shù)段）=Lsin（2x+9圖象上的每一個點都向左平

2\3）

移2個單位長度，得到g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.k/vT—,kjr---（〃WZ）

44

rrTT

B.k兀一上、k兀+巴伏￡Z）

44

C.k7r--,k7r--伏￡Z)

36

D.,^+—（Aez）

L1212j

解析：選A將函數(shù)危）=Lsin,+X）圖象上的每一點都向左平移工個單

2I2J3

位長度，得到函數(shù)g（x）=；sin2+y=；sin（2x+7c）=-；sin的圖象,

令工+2E^2立芷+2E（攵￡Z）,可得乂9+E（Z《Z）,因此函數(shù)g（x）

2244

的單調(diào)遞增區(qū)間為|"版■十工,版+紅］（Z￡Z）,故選A.

44

【變式訓(xùn)練2-3】、（多選題）將函數(shù)y=4sinx的圖象向左平移？個單位長度，

再將橫坐標(biāo)縮短到原來的g，得到函數(shù)），=/U）的圖象，下列關(guān)于），=/U）的說法

正確的是（）

A.y=y（x）的最小正周期為4兀

B.由y（xi）=/（X2）=0可得汨-X2是兀的整數(shù)倍

C.y=7（x）的表達(dá)式可改寫成"r）=4cos（2xqj

D.》=於）的圖象關(guān)于（一生,01中心對稱

I6J

解析：選CD由題意得，函數(shù)y=/（x）的解析式為兀v）=4sin（2x+2）對于

A,由T=二得y=/（x）的最小正周期為兀，???A錯誤；對于B,由兀r）=0可得

（D

2x+?=E收Z）,???x=g兀一例WZ）,工汨一也是1?的整數(shù)倍，，B錯誤；對

/\r/

于C,.fix）=4sin2x+生利用誘導(dǎo)公式得j[x）=4cos--2x+—=4cos

_2\3J_

2.x——C正確；對于D,y（x）=4sin（2x+q）的對稱中心滿足2x+—=kit,

/.x=—it——,AWZ,.,?（一生,o]是函數(shù)y=?x）的一個對稱中心，，口正

26k6；

確.

【變式訓(xùn)練2?4】、（多選題）要得到y(tǒng)=sm（2x-§的圖象，可以將函數(shù)），=

sinx的圖象上所有的點（）

A.向右平行移動三個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的縮

52

B.向右平行移動三個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的三倍

102

C.橫坐標(biāo)縮短到原來的二倍，再把所得各點向右平行移動2個單位長度

25

D.橫坐標(biāo)縮短到原來的幼，再把所得各點向右平行移動三個單位長度

210

【解答】解：將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向右平行移動:個單位長度

得到尸sin(x-^),

再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的辨得到了=5抽（2r-f）.

也可以將函數(shù)），=sinx的圖象上所有的點橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍得到），=

sin2x,

再把所得各點向右平行移動2個單位長度得到產(chǎn)sin2G-片）=sin（2r*）.

故選：AD.

重難點題型突破3由圖象求函數(shù)y=Asin（①x+p）的解析式

例3.已知函數(shù)/U）=H8S（x+9）+l|（A>O,|0|<g］的部分圖象如圖所示，

則（）

C.A=2D.A=3

解析：選BC由題圖知：A=±9=2.

2

又40）=12cos9+11=2,

13

所以cos9=彳或cos3=-］（舍），

因為l9|v/,即一5vevg'由圖象知3>0,

所以8=工，故選B、C.

3

【變式訓(xùn)練3」】、（多選題）函數(shù)/。）=以雙30）卜>0,冏〈會的部分圖

像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

71

B.

3

C是函數(shù)的一條對稱軸D.（人“。）是函數(shù)的對稱軸心

【答案】ACD

127r

【解析】由函數(shù)的圖象有：7=1,則7=2,即7=*=2,所以G二萬，則A

2CD

正確.

由圖象可得，/（7）=cos（!71+（p）=0,

44

所以工"+9=24%+匹wZ,即。=2&乃+三.％￡2,由網(wǎng)<2,

4242

所以。=￡,即/（x）=cos（型+￡）,所以B不正確.

44

所以函數(shù)f（x）的對稱軸為：7rx+—=k7r+7t.k^Z,^\}x=k+-.keZ

44

3

當(dāng)時，是函數(shù)/。）的一條對稱軸，所以C正確.

4

所以函數(shù)/*）的對稱中心滿足：7rx+—=k^+—.keZf即x=Z+LzwZ

424

所以函數(shù)個）的對稱軸心為儀+；,。），婕Z’所以DE.

故選：ACD

【變式訓(xùn)練3-2】、（多選題）已知函數(shù)?x）=4sin]?x+9）[A:>0,0<8<5

/（?的部分圖象如圖所示，P,。分別為該圖象的最高點和最低點，點尸的坐標(biāo)為

（1，A）.

（1）求K0的最小正周期及<p的值;

(2)若點R的坐標(biāo)為(1,0),NPRQ=g求4的值.

【解析】(iyu)的最小正周期丁=至=6.

因為P(l,A)為函數(shù)圖象的最高點，所以工、1+夕=工+2而，kez,所以3

32

=?+2E,ZWZ.又0<9<|",所以

(2)因為。為函數(shù)圖象的最低點，P(l,A),1=3,

所以點。的坐標(biāo)為(4,一A).

因為R(l,0),所以尸R_LOR,過點。作QSJ_OR,交工軸于點S(圖略)，則NQRS

_27C_7T_7T

T

因為QS=A,RS=3,

所以tanZQRS=—=,

RS3

BPtan—=—,所以A=x/5.

63

重難點題型突破4三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

例4.己知函數(shù)/(%)=2sin(2x--)+〃，。為常數(shù)

6

(1)求函數(shù)/CO的最小正周期；

(2)若x￡[0,時，/(%)的最小值為-2,求。的值.

【答案】(1)兀；(2)a=-1.

【解析】(1)V/(x)=2sin(2x--)+a,

6

???/(》)的最小正周期7=2-1=兀.

(2)當(dāng)x￡[0,g]時，統(tǒng)一[曰―g，-7-1,

2666

故當(dāng)ZE—g=—g時，函數(shù)/(外取得最小值，即sin(-f)=一!，

6662

(x)取得最小值為-l+a=-2,

.\a=-1.

【變式訓(xùn)練4-1］、己知函數(shù)f（x）=Asin（3十p）+6（A>0g>0）的一系列

對應(yīng)值如下表:

乃n51441U1幾17萬

X

?T—

y-1131-113

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)/（力的一個解析式；

⑵根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)y=/（㈤化>0）周期為年，當(dāng)xw%］時,

方程/（依）=相恰有兩個不同的解，求實數(shù)〃7的取值范圍.

【答案】（1）/（x）=2sinP-^|+l（2）［石+1,3）

【解析】（1）繪制函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)/（x）的最小正周期為T,得丁=坐一9二2萬.由7=生得3=1.

6oco

8+A=3,,A=2

又—解得

B=\

令+0=]+,HP——+^=-^+2k7r,keZ,

據(jù)此可得：0=2版?—?，又闞＜]，令女=0可得。=一名

所以函數(shù)的解析式為/"）=2s%+1.

⑵因為函數(shù)y=/（日）=2前區(qū)q+1的周期為斗，又女〉0,所以攵=3.

令，=3L?,因為XW0,y,所以ft,

s加』在音片］上有兩個不同的解的條件是SC

所以方程〃依）=加在xe0,y時恰好有兩個不同的解的條件是

加￡16+1,3）,即實數(shù)機的取值范圍是［6+1,3）.

【變式訓(xùn)練4-2］>函數(shù)j=Asin（口X+3）（4>0,3>0,040〈］）在區(qū)間（0,7兀）

內(nèi)只取到一個最大值和一個最小值，且當(dāng)工=兀時，ymax=3；當(dāng)工=6兀時，'min

=-3.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（.3）是否存在實數(shù)m,滿足不等式Asin（4->+2次+3+。）>4sin

3->+4+0）?若存在,求出加的范圍（或值）；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）由題意得A=3,，7=6兀一兀=5兀，，7=10工.

2

,2乃1.乙.（11

?.co——=—,..y=3sm^-x+^J.

由點（兀，3）在函數(shù)圖象上，得3sin］7+0）=3,

71_2)71

又":0<^><y,：.§=±

2二一歷

13乃、

510J

(2)當(dāng)2E一叁01工+得02也+/(ZWZ)時，即10E—4TEAW10E+TC(Z￡Z)

時，函數(shù)單調(diào)遞增,

???函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［10E—4兀，10E+卻女￡Z）.

/rI-tn~+2m+3之0,

（3）由題意，實數(shù)相滿足,

［-W2+4>0,

解得一10小2.

―機？+2機+3=-（機―1>+434,

A0<J一病+2〃?+322,

同理0Wyj-nf+4<2.

由（2）知函數(shù)在［一4兀，兀］上單調(diào)遞增，

-nr+4+0

即sin\—\l-nr+2/W+3+—

【510；

只需J->+2「+3>\j-nr+4,即機>1成立即可.

2

存在加￡（g,2,使Asin+2〃z+3+°）>Asin（小1一府+4+0）成立.

課堂定時訓(xùn)練（45分鐘）

1.《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術(shù)日：以弦乘矢，

矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積=；（弦

乘矢+矢乘矢），弧田是由圓?。ê喎Q為弧田的弧）和以圓弧的端點為端點的線段

（簡稱（弧田的弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田的弦長，"矢'’等于

弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長A8

等于2巡，其弧所在圓為圓。，若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積

為2“+1,則NAOB=（）

2

【解答】解：如圖，由題意可得：AB=2V3,

1

-

弧田面積S=*（弦x矢+矢2）2

解得矢=1，或矢=1-20，（舍），設(shè)半徑為r,圓心到弧田弦的距離為d,

則二解得d=Lr=2,AcosZAOD=7=可得NAOD=一

ir-=3+d?r23

???/4。8=孕.故選：D.

o

2.（多選題）函數(shù)/。）=力5也（2%+租）（4＞0,|伊|＜芻部分圖象如圖所示，對

不同X],X2^[cbb],若F（X]）=f（X2）,有/（X|+l2）=V3,貝Ij（）

A.a+b=nB.b-a=54C.<p=?OD.f(a+b)=V?

【解答】解：根據(jù)函數(shù)/⑶=加以2叉+。（月＞0,Ml部分圖象如圖所示,

所以函數(shù)的周期為生=小故：b-a[='

222

由圖象知A=2,則/a）=2sin（2x+（p）,在區(qū)間[。，儀中的對稱軸為工=安,

由/（X|+X2）=V?得，X\f12也關(guān)于X=3/，對稱，則即X1+X2

=a+b,

則/（a+b）=f（X1+X2）=6,故。正確，故選：BD.

3.（多選題）已知函數(shù)/（/）=Asin（cox+（p）（其中A>0,（o>0,0<|（p|<7t）

的部分圖象如圖所

示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)fG）的圖象關(guān)于直線4=今對稱

B.函數(shù)/（外的圖象關(guān)于點（金，0）對稱

C.函數(shù)/（x）在區(qū)間［-卜勺上單調(diào)遞增

D.函數(shù)），=1與y=/（x）,xe［-金，等］的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和

【解答】解：由題意可得，4=2,-=---=故丁=兀，co=2,/(x)

43124

=2sin(2x+(p),

又因為/(冬)=2sin(+(p)=-2,故4ip=2kn+^?所以④=看+2女",

33

又0V|(p|Ve所以\=看,f(x)=2sin(2x+,

由于戶)時，2x+f=^,不是該函數(shù)取得最值的條件，不符合題意；

工=卷時，2x+^=|n,不是函數(shù)的對稱中心，不符合題意；

令一之力三級+連三,九可得一，力VxvM即函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為

/OZ30

[一家，J故C正確；

令/(x)=2sin(2x+[)=1可得2x+U+2E或2x+^=?+2E,kGz,

Jooooo

1

-

即x=kn或3i-knikUz,

滿足％C[-各等]的零點有0,兀，y,其和為拳符合題意.故選：

CD.

4.已知函數(shù)/(x)=Acos2((ox+(p)+1(A>0,co>0,0<(p<^)的最大值

為3,/(x)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2),其相鄰兩條對稱軸間的距離為

2,則/(I)4/(2)=3.

【解答】解：,?,函數(shù)/G)=Acos2(cox+(p)+1=A?上空號上出+1

=^cos(2oir+2(p)+1+g(A>0,co>O,0<(p<f)的最大值為3,

Aj

—M+5=3,可求：A=2.

22

,??函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2,可得函數(shù)的最小正周期為4,即：

27r

-=4,

23

，解得：(0=?.

XV/(x)的圖象與)，軸的交點坐標(biāo)為(0,2),可得：cos(2(p)+1+1=2,

cos2(p=0,由0V(p＜去可得2(p=q解得：＜p=?

工函數(shù)的解析式為：f(x)=cos(%+微)+2=?sin$+2,

???八1)+/⑵=-(s嗎+,噌)+2X2=-1+4=3.故答案為：3.

5.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=sin(2x+j)+1.

(1)用“五點法”作出/(%)在工上的簡圖；

(2)寫出了CO的對稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)求/(x)的,最大值以及取得最大值時x的集合.

【解析】(1)對于函數(shù)fG)=sin(2x+：)+l,在％W[-9^]±,2x+^e[0,

271],列表:

37r

2x+-0三Tt2

42

Xnn37r57r7n

~88~8T~8

f12101

作圖:

（2）令2X+3=E+￡求得戶合+9可得函數(shù)的圖象的對稱中心為噂+9

422828

0）,kez.

令2也一巳三效+巳42&兀+巴，求得kit--<x<kn+-f可得函數(shù)的增區(qū)間為

24288

[E—葺E+JkGZ.

（3）令2x+E=2ht+；，求得X=E+*可得函數(shù)/（x）的最大值為2,

此時，x=E+[,Z￡Z.[來6、6、如圖，已知函數(shù)y=2sin（7ix+（p）（x￡R,其

中0工@?）的圖象與y軸交于點（0,1）.

（1）求（p的值；

（2）求函數(shù)y=2sin（兀x+（p）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）求使比1的x的集合.

【解答】解：⑴因為函數(shù)圖象過點（0,1）,所以2sin（p=l,即sin<p弓.因

為所以（p=￡.

(2)??,由(1)得y=2sin(口+少,/.-5+2h^7ix+f<5+2hr,(KZ)單

,oZoZ

調(diào)遞增，即一日+2。=口+2七（AWZ）單調(diào)遞增，

OO

故y=2sin（也+看）在［++2上二+2網(wǎng)單調(diào)遞增.

3

*.*—+2ht<7tx+?<^?+2ht,（k￡z）單調(diào)遞減，即二+2后x