第4章方程組

§4.1方程組的解法

4.1.1★已知關(guān)x、y的方程組

ax+2y=\+a,?

2x+2(q-l)y=3.②

分別求出當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有唯一一組解；無(wú)解；有無(wú)窮多組解，

解析與一元一次方程一樣，含有字母系數(shù)的一次方程組求解時(shí)也要進(jìn)行討論，一般是通過消

元，歸結(jié)

為一元一次方程辦=6的形式進(jìn)行討論，但必須特別注意，消元時(shí)，若用含有字母的式子去

乘或者去除方程的兩邊時(shí)，這個(gè)式子的值不能等于零.

由①式得

2y=(l+a)-ax，③

將③代入②得

(a—2)(a+l)x=(a—2)(a+2).④

當(dāng)+1)H0,即a*2且aW—1時(shí)，

方程④有唯一解x=*，將此x值代入③有

〃+1

1

y-2(fl+l)'

因而原方程組有唯一一組解.

當(dāng)(a-2)(a+l)=0,且(a-2)(a+2)=0時(shí)，即a=-l時(shí),方程④無(wú)解,因此原方程組無(wú)解.

當(dāng)(a-2)(a+l)=0且(a-2)(a+l)=0時(shí)，即a=2時(shí)，方程④有無(wú)窮多個(gè)解，因此原方程組

有

無(wú)窮多組解.

評(píng)注對(duì)于二元一次方程組，(4、%、瓦、加為已知數(shù)，且%與4,出與打中

[a2x+b2y=c2

都至少

有一^b不為零).

(1)當(dāng)獨(dú)力與時(shí)，方程組有唯一的解

?2t,2

廣瓦C「bc

ab—%偽

<{2--

—a2cl

〃也-〃2偽

(2)當(dāng)幺=久=2時(shí)，原方程組有無(wú)窮多組解.

%，2C2

(3)當(dāng)幺=久*且時(shí)，原方程組無(wú)解.

a2b2c2

4.1.2★對(duì)葭機(jī)的哪些值，方程組1v=C+'”\至少有一組解？

[y=(2%-l)x+4

解析由原方程可得"+機(jī)=(2左一1)%+4.即

[k-l)x=m-4.

(1)當(dāng)AW1時(shí)，方程有唯一解x=I,從而原方程組有唯一解.

k-1

(2)當(dāng)后-1,m=4時(shí)，方程有無(wú)窮多個(gè)解，從而原方程組也有無(wú)窮多組解.

綜上所述，當(dāng)無(wú)力1且根為任意數(shù)，或無(wú)=1且m=4時(shí)，方程組至少有一組解.

4.1.3★已知關(guān)于x、y的二元一次方程

(a—l)x+(a+2)y+5—2“=0.

當(dāng)“每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解.

解析1根據(jù)題意，可分別令。=1,。=-2代入原方程得到一個(gè)方程組：

J3y+3=O,

]-3尤+9=0.

解之得

\x=3,

[y=-L

將x=3,y=-l代入原方程得

(a-l)-3+(o+2).(-l)+5-2a=0.

所以對(duì)任何a值

1尤=3,

[y=-l

都是原方程的解.

評(píng)注取a=l為的是使方程中(。-1卜=0，方程無(wú)尤項(xiàng)，可直接求出y值；取。=-2的道理類

似.

解析2可將原方程變形為

a(x+y—2)—(x—2y—5)=0.

由于公共解與a無(wú)關(guān)，故有

(x+y-2=0,

[x_2y_5=0.

解之得公共解為[尤=*

4.1.4★★已知孫zH0,且x+2y+z=0,5x+4y—4z=0,求'：6y—12^的值.

3x-4yz+5z

解析已知代數(shù)式中含有x、y、z三個(gè)字母，而等式只有2個(gè)，在一般情況下是不可能求出

x、y、z的具體值來(lái)的.因此，可以把已知條件中的z視為常數(shù)，得到關(guān)于x、y的方程

組，從而找出x、y與z的關(guān)系，由此可求出其值.

把已知等式視作關(guān)于x、y的方程，z視作常數(shù)，得關(guān)于x、y的方程組

jx+2y+z=0,

15x+4y-4z=0.

x=2z,

解得3

y=——z.

2

因?yàn)閤yz0，所以zwO，于是

f-lOz2

,,,(2z『+6

x2+6y2-10z2_v)

3x2—4yz+5z23-(2z『-41#

+5z2

4z2+—z2—10z2[<

2_________15

12Z2+6Z2+5Z246

4.1.5★若x、y的值滿足方程組

323x+457y=1103,①

177%+543y=897,②

求14+4Yy2+5J?的值.

解析由①+②得500x+1000y=2000,即

龍+2y=4.③

由③得：x=4-2y.?

把④代入①得：

323(4-2y)+457y=1103.

解得y=l,把y=l代人④得：x=2,所以方程組解為

(x=2,

[y=L

原式=24+4x22-XP+5XT=37.

4.1.6★★當(dāng)〃取何值時(shí)，關(guān)于x、y的方程組

x+y=〃+5,

有正整數(shù)解.

2x—y=3—2a

2-a

x=2+

解析解方程組得所以，a是被3除余2的整數(shù).

c〃+1

y=〃+24-------.

3

2—4、1

2+------2,

3

由得—,所以〃二一1,2,5.

4ca+1、y

a+2H-------21

3

4.1.7★上為何值時(shí)，方程組

kx—y=,

3y=l-6x

,卜=0,

(1)當(dāng)芻N二，即上力-2時(shí)，原方程組有唯一解1

63E

_1

(2)當(dāng)(=匚=」，即％=-2時(shí)，原方程組無(wú)窮多組解；

631

_1

(3)由于匚=空,故方程組不可能無(wú)解.

31

3x+4y=m-4,

4.1.8★若方程組＜i的解滿足x+y=O,求相的值.

x-2y—3m+2—

解析將X=—y代入原方程組，得

y=m-4,

<cc5'

-3y=3m+—

I2

519

所以,3m—12+3mH■—=0,m=—.

22

4.1.9★甲、乙二人同時(shí)求ax-Z?y=7的整數(shù)解.

甲求出一組解為而乙把蛇-力=7中的7錯(cuò)看成1,求得一組解為.二;求“、。的

值.

解析把x=3,y=4代入辦一。y=7，得3。-48=7.

JEx=l,y=2代入ax—勿=1,得4=2。=1.

3〃-4Z?=7,彳曰J〃=5,

解方程組a—2b=1,'\b=2.

4.1.10★甲、乙兩人解方程組

+=13,①

[4x-by=-2.②

由于甲看錯(cuò)了方程①中的以而得到方程組的解為尸=一'乙看錯(cuò)了方程②中的b而得到的解

為尸

[y=4.

假如按正確的。、6計(jì)算，求出原方程組的解.

解析因?yàn)榧字豢村e(cuò)了方程①中的a，所以甲所得到的解!'=一3,應(yīng)滿足無(wú)°的正確的方程②，

[y=-i

即

4x(-3)-Z?x(-l)=-2.(2)

同理，卜=5,應(yīng)滿足正確的方程①，即

[y=4

(2x5+5x4=13.@

解由③、④聯(lián)立的方程組得

7

CL=-----,

5

Z?=10.

所以原方程組應(yīng)為

-jx+5y=13,

4x-10j=-2.

x=20,

解之得

y=8.2.

4.1.11★★已知方程組「X+切=5,無(wú)解，相、〃是絕對(duì)值小于1。的整數(shù)，求加、〃的

[x+ny=4

值.

解析因?yàn)榉匠探M卜*+"+q=°,無(wú)解的條件是幺=久2幺參照這個(gè)條件問題便可解決.

[a2x+b2y+c2=0a2b2c2

原方程組可化為「'+""-5=0，因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以有

[x+ny-4=0.

3m5

—=一,

1〃4

了斤以m=3n,且4加工5〃,因?yàn)榉?網(wǎng)＜10，所以，-5＜幾＜與，又因?yàn)椤ㄊ钦麛?shù)，所以

n=-3,

—2,—1,0,1,2,3,相應(yīng)地m=-9,-6,-3,0,3,6,9.

所以，當(dāng)F=TFif=-3,=。，1=3,-=6,『=9,時(shí)，原方程組無(wú)解

\ji=-3,[n=—2,[n=—1,[n=0,[n=1,[n=2,[n=3

4.1.12★已知關(guān)于x和y的方程組

3x+4y=-5,

5x+6y=-9,

(n-8m)x-8y=10,

5x+(10m+2n)y=-9

有解,求病+/的值.

解析首先解方程組

3x+4y=-5,

5x+6y=-9,

得到x=-3,y=l,代入原方程組中后兩個(gè)方程，得到

8m-n=6,_

5m+n=3.

再解上面關(guān)于相和"的方程組，得到加=2,?=-—,nr+rr=—=—.

131316913

4.4.13★已知^^=2,—=5,—=4,求a+6+c的值.

a+ba+cb+c

解析根據(jù)題意有

a+b_I

ab2

a+c_1

ac5

〃+c_1

be4

111

ac5

bc4

(①+②+③)+2,得

11119

-+-+-=—.④

abc40

④-①得

-=,c=-40.

c40

?-②得

b40

④—③得

a40

-rKITrufu3160

所以〃+/?+C=---1----F

911

4.1.14★如果方程組=的解是正整數(shù)，求整數(shù)機(jī)的值.

[5x+3y=ll

解析解方程組得

11-3m

，①

2

5m-11

.②

因?yàn)槿?、y都是正整數(shù)，所以

11一3加,

——L

<

5加一11.

------少1.

I2

13

解得一W根W3.

5

因?yàn)橛檬钦麛?shù)，所以加=3.

將小=3代入①和②式，犬、y的值均為正整數(shù).

故根=3.

4.1.15★★解方程組

2x+3y—4z=-7,

<x-4y2y+3z.

--------=----------=2.

[32

解析因?yàn)樨靶?型旺=2表示兩個(gè)方程，即匕至=2和苴旺=2,或者

3232

土也=祖旺和上至=2,或者=和2y+3y=2，所以原方程組實(shí)際上

323322

是由三個(gè)方程組成的三元一次

方程組，將原方程組改寫為

2x+3y-4z=-7,①

『2,②

^￡=2.③

I2

由方程②得x=6+4y，代入①化簡(jiǎn)得

lly-4z=-19.@

由③得2y+3z=4.⑤

④x3+⑤x4得

33y+8y=—57+16,

所以，>=—1.

將y=-l代入⑤，得z=2.將y=—1代入②，

得x=2.所以

x=2,

<>=-1,

z=2

為原方程組的解.

評(píng)注本題解法中，由①、②消去x時(shí)，采用了代入消元法；解④、⑤組成的方程組時(shí)，若用

代入法消元，無(wú)論消去y還是消去z,都會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)，計(jì)算較繁，而利用兩個(gè)方程中z

的系數(shù)是一正一負(fù)，且系數(shù)的絕對(duì)值較小這一特征，采用加減消元法較簡(jiǎn)單.

4.1.16★已知

〔Xyz

求2=的值.

yxx

解析①-②消去尤得?+§=0，即2=-1.①X3+②消去、，得±+9=0，即三=一1.①X5+

yzzxzx

②x3消去z得芻一§=0,即土=1.所以，土+上+三=1一1一1=一1即為所求.

%yyyzx

4.1.17★解方程組

x-y-z=5,?

<y-x-z=l,?

z-x-y=-15.(3)

解析將①+②+③，得

x+y+z=9.④

由④+①得2x=14,x=7.

由④+②得2y=10,y=5.

由④+③得2z=—6,z=—3.

所以，原方程組的解為

x=7,

<y=5,

2=-3,

x+y+z=l,①

y-z+"=2,②

4.1.18★解方程組?z—z/+v=3,(3)

w-v+x=4,@

+y=5.⑤

解析注意到各方程中同一未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系，可以先得到下面四個(gè)二元方程：

①+②得x+"=3,⑥

②+③得y+v=5,⑦

③+④得z+x=7,⑧

④+⑤得〃+y=9.⑨

又①+②+③+④+⑤得

x+y+z+u+v=15.⑩

⑩一⑥一⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得〃=3,把〃=3代入⑨得

y=6,把y=6代入⑦得v=—l.所以

x=0,

y=6,

<z=7,

w=3,

v=-1.

為原方程組的解.

4.1.19★解方程組

---+—=11,(2)

xyx

解析①x2+②得

31

一+—=3o,@

xy

由③得上=5-4,⑤

xy

代入④得L=U,

y5

代入⑤得工=■.

x5

再把工工=二代入①得」=史,所以

x5y5z10

x-5,

5

F

10

z=——

33

為原方程組的解.

解析令

2A=J,B=—,c=-,則原方程化為

xyZ

A+B+2C=-4,

A-B+4C=11,

A+2B=5.

33

解得A，B=—C=—,即

5510

x-5,

5

片運(yùn)

10

z=——

33

為原方程組的解，

評(píng)注解法1稱為整體處理法，即從整體上進(jìn)行加減消元或代人消元(此時(shí)的“元”是一個(gè)含有

未知數(shù)

的代數(shù)式，如工、工等)；解法2稱為換元法，也就是干脆引入一個(gè)新的輔助元來(lái)代替原方

xy

程組中的“整

體元”，從而簡(jiǎn)化方程組的求解過程.

4.1.20★★解方程組

+z-x)=39-2-,①

<y(z+%—y)=52-2y2,②

z(x+y-z)=78-2z?.(3)

解析原方程組可化為

x(x+y+z)=39,(X)

<y(x+y+z)=52,②

z(x+y+—78.(3)

④+⑤+⑥得

(x+y+z『=169,

故x+y+z=±13.⑦

將⑦分別代入④、⑤、⑥，得原方程組的解為

玉=3,x2=—3,

<X=4,1>2=-4,

4=6,[Z2=-6.

4.1.21★★解方程組

5x—y+3z=a,?

<5y-z+3x=b,@

5z-x+3y=c.③

解析①x2+②一③消去y、z，得14x=2〃+Z?-c,所以x=.

14

由②x2+③-①，得

2b+c—a

y=------------

14

由③x2+①-②，得

2c+a-b

z=------------

14

所以，原方程組的解為

2a+b—c

x=------------

14

2b+c—a

y=------------

14

2c+a-b

z=------------

14

4.1.22★★解方程組

x+2y=5,

y+2z=8,

z+2〃=n,

u+2x=6.

x=5-2y,①

y=8-2z,②

解析有原方程得

z=11—2w,(3)

u=6-2x.@

所以％=5-%-2y=5-2(8-2z)

=—ll+4z=—11+4(11—2M)

=33—8〃=33—8(6—2x)

=—15+16x,

即x=—15+16x,解之得x=l,將％=1代入④得"=4.將〃=4代入③得2=3.將z=3代入

②得y=2.所以原方程組解為

x=1,

y=2,

z=3,

M=4.

4.1.23★★解方程組

xy+z2

111

—I---------=—.

yz+x3

111

——I----=—

zx+y4

解析先把各方程左邊通分，再對(duì)每個(gè)方程兩邊取倒數(shù)，并設(shè)x+y+z=k,則原方程可化為

xy+xz=2k,①

<yz+yx=3k,②

zx+zy=4%.③

①+②+③,得

xy+yz+zx=-k.④

用④分別減去①、②、③，可得

xy=-k9

57

<

3

ZX=-Kz.

2

顯然xwO,ywO,zwO,ZwO.

由上面三式易得x：y：z=3：5：15,又x+y+z=k,所以

x=—k,y=—k,z=—k.

232323

則有14T^k'

?32

所以左=2-

30

所以，原方程組的解為（經(jīng)檢驗(yàn)）

z=——.

4.1.24★★解方程組

xy+x

x+y+1

xz+2x

x+z+2

(y+i)(z+2)

-T".

、y+z+3

解析原方程可變形為

nii

—H-----=—,

xy+12

111

5—H-----=-,

xz+23

111

-----1-----=—.

y+1z+24

解得LZ,_L=』

x24y+124z+224

所以，方程組的解為

’24

*一〒

z=22.

4.1.25★★解方程組

x+y+zx=

<y+z+盯=;，②

z+x+yz——.(3)

解析①-③得y+zx—z—yz=O,

1+y-x

把式④代入①、②，整理分別得

3y+2y2+x+2xy1-2x2y=1,⑤

y+2y2+3x-2x2+2xy=1.?

⑤一⑥得(y—x)(l+盯—x)=。.

若y二%,由式⑤得

2%2+4x-1=0,

的〈日一2±屈

解傳x=----------.

2

將九=y=2±"代入式④得z=2±n,

22

若1+旬-％=0,同理,1+yz-y=0.

將x,z=匕1代入式①得

i-jy

2y3-3y2-3y+2=0.

分解因式得

(2yT)(y+l)(y-2)=0.

故(X,y,z)為(一1,2,g1(2,1,-1)(；,T,2)

綜上，共有5組解

—1+V6—2+V6—2+V6—2—V6—2—\/6—2—V6(1\/Q1

(222)(222J22

(1,-1,2).

4.1.26★解方程組

2x?+4xy—2x-y+2=0,(J)

3x2+6孫-x+3y=0.(2)

解析②義2-①x3得

4x+9)；-6=0.

融亡產(chǎn)如何+9》_6=0,

解方程組《。得

[3x2+6xy-1+3y=0

為=-2,/3,

1_14_

K=§；1%-29.

4.1.27★解方程組

2x?—4xy+y?+2x—y+2=0,(T)

<

尤2_2孫-y2+x-2y+4=0.(2)

解析②x(-2)+①得

3y2+3y-6=0,

所以y=i>%=-2-

解方程組

[x2-2xy-y2+x-2y+4=0

與

[x2—2xy-j2+x-2y+4=0,

得原方程組的解

=

Jxj=_l,Jx2

hi=_2;1%=_2.

4.1.28★解方程組

x2+y2=5,①

2x2-3xy-2y2=0.@

解析由②得

(2x+y)(x-2y)=0,

所以2x+y=0或x—2y=0.

因此，原方程組可化為兩個(gè)方程組

X2+y2=5,

2x+y-0

與卜2+)?=5,

［x-2y=0.

解兩個(gè)方程組得原方程組的解為

J%=1,J%2=-1，］尤3=2,J——2.

［乂=-2;［必=2；1%=1；1%=-L

評(píng)注方程組至少有一個(gè)方程可以分解為一次方程時(shí)可用因式分解法解.

4.1.29★解方程組

3，-y2=8,①

<

x2+xy+y2=4.②

解析由①-②x2得

X2-2xy-3y2=0,

即(x+y)(x—3y)=0,

所以x+y=0或x-3y=0.

所以x+y=0或x=-3y=0.

分別解下列兩個(gè)方程組

3X2-/=8,P3X2-/=8,

%+y=0;[x—3y=0,

得原方程組的解為

%=2,J%2=-2,

X=-2;1%=2;

尤3=4屈,

X4"A屈'

%=尚而;"=一［回，

評(píng)注如果兩個(gè)方程都沒有一次項(xiàng)，可用加減消元法消去常數(shù)項(xiàng)，再用因式分解法求解.

4.1,30★解方程組

x+xu+y=2+3A/2,

x2+y2=6.

解析原方程組可變形為

(x+y)+xy=2+372,@

<

(x+-2xy=6.(2)

①x2+②得

(x+j)2+2(x+y)=10+6A/2.

令K=x+y，則

"2+2〃—10—6A/2=0,

PJT以4=2+V2,u?--4—5/2,

即x+y=2+V2x+y=—4—V2.

當(dāng)x+y=2+行時(shí)，代入①得孫=2行.解方程組

x+y=2+V2,

<

xy=2V2,

可得再=2,；X2=41,%=2-

當(dāng)%+y=-4-g時(shí)，代入①得孫=6+4后.

而方程組

x+y=-4-y/2,

<_

xy=6+4V2

無(wú)實(shí)數(shù)解.

綜上所述，方程組的解為

%=2,x=V2,

<<2

j—V2；y2—2.

評(píng)注由于一般的二元對(duì)稱式總可以用基本對(duì)稱式x+y和孫表示，因此在解二元對(duì)稱方程組

時(shí)，一定可以用x+y和孫作為新的未知數(shù)，通過換元轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組.

4.1.31★★解方程組

BE!①

x+y—10.②

解析本題是一個(gè)對(duì)稱方程組的形式，觀察知它可轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組的形式.

由①得

x+y5三

『=5?③

82

將②代入③，得而=4，所以

xy=16.@

由②、④可得基本對(duì)稱方程組

Jx+y=10,

[xy=16.

于是可得方程組的解為

J玉=2,J/=8,

[必=8;1%=2.

4.1,32★解方程組

x2+2xy-10x=0,①

V

y2+2xy-10_y=0.②

解析本題屬于二元輪換對(duì)稱方程組類型，通?？梢园褍蓚€(gè)方程相減，因?yàn)檫@樣總能得到一個(gè)

方程

x-y=O,從而使方程降次化簡(jiǎn).

①-②，再因式分解得

(x-y)(x+y-10)=0,

所以x-y=0或x+y-10=0.

解下列兩個(gè)方程組

(x-y=0,Jx+y_10=0,

[x2-2xy-10x=0;[x2-2xy-10x=0,

得原方程組的四組解為

_12

[芯=2,&一了，|忍=0,(x4=10,

卜=。；[v_10jy=10;[y=0.

1%-T34

4.1.★解方程組

J15尤+4+J4y+5=6,@

]j4x+5+J5y+4=6.②

解析1用換元法.設(shè)

4x+5=A,4y+5=B

則有

A-5B-5A-B

x=—,^=—,x-y=~

-V5A-9+VB=6,

<2

VA+-A/5B-9=6,

I2

p5A-9+2VB=12,?

即

[24A+-9=12.@

③-④并平方得

5A-9+4B+4^B(5A-9)

=44+52-9+4ja(5B-9),

整理得

A-B=4(y/5AB-9A-15AB-9B

所以

4(5AB-9A-5AB+9B)

A-B=

yj5AB-9A+yj5AB-9B

化得

(A-B)(J5AB-94+45AB-92+36)=0,

因?yàn)閖5AB-94+J5A2-92+36>0,

因此A-2=0.

解方程組

始伍=9，

[8=9.

經(jīng)檢驗(yàn)，A=8=9適合方程③、④,由此得原方程的解是1

”1

解析2①-②得

J5x+4—J4x+5=J5y+4—J4y+5,

即

x—1_y-1

J5x+4+J4x+5d5y+4+J4y+5

所以x-1與y-1同號(hào)或同為零.由方程①得

(V5x+4-3)+(J4y+5-3)=0,

即：(xT)+4(y-1)=o

V5x+4+3yj4y+5+3

所以％-1與y-l不能同正,也不能同負(fù).從而

x-l=O,y-l=O.

由此解得了L

[y=L

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l,y=l是方程組的解.

4.1.★解方程組：

二2

2%2=%H----,

一X]

c2

2X3=x24----,

x2

<

工2

2%=Vi+-----，

Vi

c2

2%=xnH----.

I乙

解析本例各方程中，未知數(shù)的出現(xiàn)是循環(huán)對(duì)稱的.若用消元法求解將十分困難.故而采用

不等式求解.

顯然方程組的解玉,x2,???,九〃都同號(hào)，且若玉,x2，…，冗〃是方程組的解，貝11-犬1,-x2,

…，-乙也是方程組的解.故不妨先設(shè)%>0(1.

因?yàn)?xl=xn+—^2\xn--=2V2,所以％2血.同理，馬2血，…，天.

%N覆

把方程組的所有方程相加，整理，得

222

%+%2+,,,+X”=1-----F???4-----.①

一%％2X”

但

%+9+,,,+%”》〃行,

222?2/-

----1-----1■…H-----&九?一^==小/2.

%％XnV2

因此要等式①成立，只能

再=%2=...=，〃=.

容易檢驗(yàn)，%=%=…=%=行確實(shí)原方程組的解■

因此，原方程組有兩組解，它們是

xl=x2=--=xn=±41.

4.1.35★★★解方程組：

解析1首先有七》O（lWiW〃）,再由（X為實(shí)數(shù)）得X2玉，x,W%

X"Wx?_.

國(guó);所以石W…W九3W/.只能％=x2=???=.進(jìn)而求得本題的兩

==

組解Xj—%2=,，，7Xn-0或X]-%2,,,X,-1.

解析2若西,%2，…，血中有一個(gè)為零，則由方程組可推出其余〃-1個(gè)未知數(shù)都是零，則

%1=x2=???=xn=0是原方程組的解.下設(shè)%（1WiW"）都不是零，則

將所有方程相加，并整理、配方，得

\2

1-X+…+「°.

尤1)

7%)

1丫

因?yàn)椤繽120,所以只能

九1=%=???=%=1?

易知它確實(shí)原方程組的解.

因此,原方程組的解由兩組：芯二工2=…=元〃=。，或國(guó)=々=…=%〃二1.

4.1.★★已知原方程組：

anxx+anx2+"13X3=0，

。21工1+。22入2+。23“3=°，

aX

玉+〃32%2+333=°，

它的系數(shù)滿足下列條件：

(1)?、^^22、^^33都是正數(shù);

(2)所有其他系數(shù)都是負(fù)數(shù);

(3)每一方程中系數(shù)之和是正數(shù).

求證：石=%2=毛=0是已知方程組的唯一解.

解析本例是一個(gè)三元線性齊次方程組，x1=x2=x3=0,顯然是它的解，因而只要證明已

知方程組不存在不全為零的解集即可.

用反證法.若方程組有不全為零的解石=/，x2=k2,x3=k3,由對(duì)稱性不設(shè)防冏、網(wǎng)、

周中以同為最大，則同>于是由?1a+flj+flj，得

0.0n>0,2<0,G13<0,u23>0

0—J。］￡+%2比2+13左3|

2|。1￡|—|"12月|—

=|叫同-%除ITq||勾

卻qi|WIT”/％IT。1311Kl

=(%+%+%)網(wǎng)>°■

上面的不等式顯然是矛盾的.故已知方程組只有唯一解：

石-X?—%3=0.

4.1.37★★解方程組

/=a+b—2c+2d+e—8,

Z??=-Q—2b—c+2d+2e-6,

<(?2=3〃+2b+c+2d+2e—31,

d?=2。+Z?+c+2d+2e—2,

e2=〃+2b+3c+2d+e—8.

解析將這個(gè)5個(gè)方程相加，得

a2—6〃+/—4b+—2c+d2

-10"/_86+55=0,

FJrJ^(6Z-3)2+(Z?-2)2+(c-l)2+(6/-5)2+(^-4)2=0,

故(〃，Z?,c,d,e)=(3,2,1,5,4).

經(jīng)檢驗(yàn)知，(a,0,c,d,e)=(3,2,1,5,4)是方程組的解.

§4.2應(yīng)用題

4.2.1★小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣，小倩對(duì)小玲說(shuō)f你若給我2元，

我的錢數(shù)將是你的〃倍，”小玲對(duì)小倩說(shuō)f你若給我"元，我的錢數(shù)將是你的2倍.”其中〃為

正整數(shù).求〃的可能值的個(gè)數(shù).

解析設(shè)小倩、小玲分別所擁有的錢數(shù)為x元、y元，x、y為非負(fù)整數(shù).于是由題設(shè)可得

x+2=n(y-2),

>+〃=

消去x得(2y-7)〃=y+4,

c(2y-7)+15-15

2y-72〉—7

所以2y-7=l,3,5,15,得y=4,5,6,11,從而“分別為8、3、2、1,x分別為14、

7、6、7.

4.2.2★甲、乙兩人從相距120千米的兩地同時(shí)相對(duì)而行，6小時(shí)后相遇.如果甲、乙每

人各多行2千米，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇的地點(diǎn)3千米，求原來(lái)甲、乙的速度.

解析設(shè)原來(lái)甲、乙的速度分別為匕千米/時(shí)，v2千米/時(shí)，則有

如果甲、乙每人各多行2千米，則有

120

（匕+2）±3=6匕,

匕+2+%+2

W=13,或[匕=7,

解得

v2=7[v2=13.

所以，甲、乙原來(lái)的速度分別是13(千米/時(shí)17(千米/時(shí))；或者7(千米/時(shí)卜13

(千米/時(shí)).

4.2.3★長(zhǎng)90米的列車速度是每小時(shí)54千米，它追上并超過長(zhǎng)50米的列車用了14秒，

如果這兩列火車相向而行，從相遇到完全離開要用多少時(shí)間？

解析兩列火車的追及問題中，（車速1-車速2）x追及時(shí)間=兩列火車的長(zhǎng)度之和.丙列火

車的相向

相遇問題中，（車速1+車速2）x相遇時(shí)間=兩列火車的長(zhǎng)度之和.

設(shè)長(zhǎng)90米的列車速度為匕=喘?=15（米/秒），長(zhǎng)50米的列車速度為電（米/秒）.

對(duì)于追及，則有世衛(wèi)=14,解得匕=5（米/秒）.

巧一匕

所以，兩列火車相向而行從相遇至完全離開時(shí)所用時(shí)間為織上處=網(wǎng)-=7（秒）.

匕+%15+5

評(píng)注對(duì)于火車行程問題，首先將火車的運(yùn)動(dòng)情況分析清楚，再運(yùn)用一些常用的數(shù)量關(guān)系式來(lái)

求解即可.

4.2.4★火車通過長(zhǎng)82米的鐵橋用了22秒，如果它的速度加快1倍，通過162米長(zhǎng)的鐵

橋就只用了

16秒，求這列火車原來(lái)的速度和它的長(zhǎng)度.

解析設(shè)這列火車原來(lái)的速度為v米/秒，它的長(zhǎng)度為/米.則依題意有

fZ+82cc

----=22,

v

<Z+162”

——=16,

L2v

解得=即這列火車原來(lái)的速度為8米/秒，它的長(zhǎng)度為94米.

4.2.5★某人騎自行車從A地到B地，途中都是上坡或下坡路，他以每小時(shí)12千米的速

度下坡，以

每小時(shí)4千米的速度上坡從A地到B地用了50分鐘從B地返回A地用了J小時(shí).求A、

2

B兩地相距多少千米？

解析設(shè)從A地到8地，上坡路有x千米，下坡路有y千米，則

xy3

11242

解得「=15i.5+5.5=7(千米).

[y=5.5,

所以，A、B兩地相距7千米.

4.2.6★★甲、乙二人騎車在400米環(huán)形跑道上進(jìn)行萬(wàn)米比賽.同時(shí)出發(fā)后，乙速大于甲

速，在第15分鐘時(shí)甲加快速度，在第18分鐘時(shí)甲追上乙并開始超過乙，在第23分鐘時(shí)，

甲再次追上乙，而在第23分50秒時(shí)，甲到達(dá)終點(diǎn)，那么乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間是多少

分鐘？

解析設(shè)出發(fā)時(shí)甲的速度為。米/分，乙的速度為6米/分，第15分鐘甲加速后的速度為c米

/分，依題意得

186=15a+(18-15”，

<(23-18)(c-6)=400,

15。+(23：-15'=1000,

解得。=384,6=400,c=480.

所以，乙到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為10000+400=25(分).

4.2.7★★甲、乙兩人在圓形跑道上從同一地點(diǎn)4出發(fā)，按相反方向跑步.甲速每秒6米,

乙速每秒7米，直到它們第一次又在A處相遇之前，在途中共相遇多少次？

解析假設(shè)跑道長(zhǎng)為s,甲、乙第一次又在4處相遇時(shí)所用時(shí)間為f,甲、乙相遇一次，則跑

過的路程為一圈即s.

設(shè)甲、乙第一次又在A點(diǎn)相遇時(shí)共跑了"圈，則甲、乙兩人第一次又在A點(diǎn)相遇所跑過的路

程為ns,即

（6+7）xf=ns.

甲、乙第一次又在A處相遇時(shí)，乙比甲多跑了一圈，

（7—6）f=s,

解得〃=13,則途中相遇次數(shù)為"-1=12（次）.

即他們第一次又在A點(diǎn)相遇之前，在途中共相遇12次.

評(píng)注因?yàn)槊咳ο嘤鲆淮?，最后一圈相遇A點(diǎn)，故為“-1次（起始點(diǎn)不算在內(nèi)）

4.2.8★★某船往返于甲、乙兩港之間，順?biāo)滦栌?小時(shí)，逆水而上需要12小時(shí)，由

于暴雨后水速增加，該船順?biāo)惺悄嫠兴〞r(shí)間的,，那么逆水而行需幾小時(shí)？

2

解析設(shè)甲、乙兩港之間距離為s,該船在靜水中的速度為a千米/時(shí)，水速為匕千米/時(shí)，

水速增加后為c千米/時(shí).

依題意得

房=&

'T=12,

a-b

ss1

二x-,

a+ca—c2

解得

5s7s5s

a=—,b=—,c=--.

4848144

所以水速增加后，該船逆水而行所需時(shí)間為

.=—（小時(shí)）.

a-c5s5s5

48~144

評(píng)注解流水問題只要抓住基本公式：順?biāo)俣?船速+水速，逆水速度=船速-水速，則

很多該類型

題目都可以通過列方程組迎刃而解，上下坡問題跟流水問題也有類似之處.

4.2.★甲、乙兩人同時(shí)從圓形跑道上同一點(diǎn)出發(fā)，沿順時(shí)針方向跑步，甲的速度比

乙快，過了一段時(shí)間，甲第一次從背后追上乙，這時(shí)甲立即背轉(zhuǎn)身子，以原來(lái)的速度沿逆時(shí)

針方向跑去，當(dāng)兩人再次相遇時(shí)，乙恰好跪了4圈，試問甲的速度是乙的幾倍？

解析本題是甲、乙兩人跑圓圈，先同向，后反向.就問題的實(shí)質(zhì)來(lái)說(shuō)，跑圓圈和跑直線的

思考方法相同.如果設(shè)甲的速度為外,乙的速度為飛，跑道一圈的長(zhǎng)為y.則有，乙跑4

圈的速度是飛，距離為4y.再設(shè)乙跑4圈所用的時(shí)間為芍，于是=4y.

所以，問題轉(zhuǎn)化為如何根據(jù)已知條件列出關(guān)于.%、％、y的表示時(shí)間的關(guān)系式就可以了.

設(shè)甲的速度為西，乙的速度為尤2，跑道一圈的長(zhǎng)為y，那么有

[——+——>|-x2=4y.

由于ywO,所以原方程可化為

%?尤2_彳,

X]-馬尤1+尤2

即X]無(wú)2=2x；—2xf.

本題要求的是甲的速度是乙的多少倍，所以，我們只需求出土為某一常數(shù)即可.于是，方

無(wú)2

程可化為

2㈤_土_2=0,

解得

_^=i+Vn,或&=匕姮（舍去）.

x24x24

所以,甲的速度是乙的匕姮倍.

4

評(píng)注本題中y是多設(shè)的未知數(shù)，它對(duì)于列方程來(lái)說(shuō)起到了橋梁作用，使列方程變得思路簡(jiǎn)

單，易于理

解，在方程列出后，直接相約（或相消）,又立即去掉了多設(shè)的未知數(shù).這種方法稱為設(shè)輔

助元法.

4.2.10★★小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分

鐘迎面駛來(lái)一輛18路公交車.假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站

每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車，

問：發(fā)車間隔的時(shí)間是多少分鐘？

解析設(shè)18路公交車的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行駛的相鄰兩車

的間距為

s米.

每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則

6x-6y=s.①

每隔3分鐘從迎面駛來(lái)一輛18路公交車，則

3x+3y=s.②

由①，②可得s=4x,所以士=4.

X

即18路公交車息站發(fā)車間隔的時(shí)間是4分鐘.

4.2.兩地相距120千米，已知人的步行速度是每小時(shí)5千米，摩托車的行駛速

度是每小時(shí)

50千米，摩托車后座可帶一人.問有三人并配備一輛摩托車從A地到8地最少需要多少小

時(shí)？（保留1位小數(shù)）

解析記此三人為甲、乙和丙，甲開摩托車后座帶乙人，三人同時(shí)出發(fā)，甲和乙到C地所用

時(shí)間設(shè)為x小時(shí)，并且放下乙，乙繼續(xù)步行，到達(dá)8地所用時(shí)間設(shè)為y小時(shí)，而甲馬上折返，

在E地遇到丙后，攜帶丙乘摩托車駛向8地，為了與乙同時(shí)到達(dá)8地，x和y應(yīng)當(dāng)滿足如下

方程：

①甲和乙到達(dá)C地時(shí)，丙到達(dá)。地（見下圖）步行的路程是5x千米；

ADECB

②。C之間的距離是120-5（x+y）千米；

③甲折返與丙在E地相遇所用時(shí)間是12c丫）小時(shí)；

④丙步行到￡地，所用時(shí)間是x+120二小時(shí)；從￡地乘摩托車到B所用時(shí)間是

k120_；；+口小時(shí)；而乙乘摩托車到C地，所用時(shí)間是x小時(shí)；從（？地步行到達(dá)8地所

用時(shí)

間是y小時(shí).

從上述分析，可以列出二元一次方程組

f50x+5y=120,

/"2。藍(lán)+'））。卜」2。-誓、）卜20,

解得.縣…竺.

6513

所以，有三人并配備一輛摩托車從A地到B地最少需要5義小時(shí).

65

4.2.12★★一工人在定期內(nèi)要制造出一定數(shù)量的同樣零件，若他每天多做10個(gè)廁提前