學(xué)年綿陽中學(xué)高二數(shù)學(xué)（上）期末考試卷2025.01一、單選題（本大題共8小題）1．高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考成績(jī)，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問題來說，下列說法中正確的是（

）A．100名學(xué)生是個(gè)體B．樣本容量是100C．每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本D．1000名學(xué)生是樣本2．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則直線必過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．3．如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2B．橢圓的離心率為C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是D．橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為4．集合，集合，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)相加為，則直線與直線平行的概率為（

）A． B． C． D．5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（

）．

A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．，函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．8．如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知一組數(shù)據(jù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1B．若，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為3C．若，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的最小值為D．若，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的最小值為210．以下說法正確的有（

）A．若且，則一定有四點(diǎn)共面B．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底C．若，則D．正方體，棱長(zhǎng)為1，如圖所示建立坐標(biāo)系，則點(diǎn)在平面上11．已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，則下列說法中正確的是（

）A．的方程為B．已知點(diǎn)，則的最小值為C．D．若，則與的面積相等三、填空題（本大題共3小題）12．一個(gè)袋子中有紅?黃?藍(lán)?綠四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，將“三次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件M，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件M發(fā)生的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別代表紅?黃?藍(lán)?綠四個(gè)小球，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取小球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估計(jì)事件M發(fā)生的概率為.13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，則的最大值為.14．已知雙曲線上有不共線的三點(diǎn)，且的中點(diǎn)分別為?，若的斜率之和為，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記其軌跡為，與軸交于點(diǎn)，過（異于點(diǎn)）作直線的垂線．(1)求曲線的方程；(2)記到的距離為，到的距離為，證明：為定值．16．黃石二中舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽校內(nèi)選拔賽（滿分100分），為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)的情況，隨機(jī)抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)，并分成了五組：第一組50,60，第二組60,70，第三組，第四組，第五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.(1)求出頻率分布直方圖中a，b的值，并估計(jì)此次競(jìng)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，第二組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有參賽學(xué)生成績(jī)的方差；(3)甲、乙、丙3名同學(xué)同時(shí)做試卷中同一道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為，假設(shè)他們?nèi)耸欠窠獬鲈擃}互不影響，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.17．如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形．(1)求證：平面平面；(2)若，，，求平面和平面夾角的余弦值.18．如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn)（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)為12.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：為定值.19．如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸，離心率．（1）求拋物線和橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，射線，分別交于兩點(diǎn)，記和的面積分別為和，問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案1．【答案】B【詳解】根據(jù)有關(guān)的概念并且結(jié)合題意可得總體、個(gè)體、樣本這三個(gè)概念考查的對(duì)象都是學(xué)生成績(jī)，而不是學(xué)生，根據(jù)選項(xiàng)可得選項(xiàng)A、D表達(dá)的對(duì)象都是學(xué)生，而不是成績(jī)，所以A、D都錯(cuò)誤．C每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本也是錯(cuò)的，應(yīng)是每名學(xué)生的成績(jī)是一個(gè)個(gè)體．B：樣本的容量是100正確．故選:B．2．【答案】A【詳解】由雙曲線可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，由題意和橢圓方程可得：，即，可得，所以直線必過定點(diǎn).故選：A.3．【答案】C【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，橢圓長(zhǎng)軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面所成銳二面角得，解得，故A不正確；顯然，則，離心率，故B不正確；當(dāng)以橢圓長(zhǎng)軸所在直線為軸，短軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，故D不正確.故選：C4．【答案】B【詳解】從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)相加，有種情況，當(dāng)直線，則，則，當(dāng)時(shí)，從中取一個(gè)數(shù)相加為的有，2種情況，當(dāng)時(shí)，從中取一個(gè)數(shù)相加為的有，2種情況，所以滿足條件的有4種情況，所以滿足條件的概率.故選：B5．【答案】D【分析】將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立直角坐標(biāo)系，表示出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.【詳解】平面,平面,平面,∴直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.

則設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選D.6．【答案】A【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，故，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立方程，整理得，則，故，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選A.7．【答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).故選：C8．【答案】A【詳解】如下圖，連接，設(shè)，則，

因?yàn)?，，所以，，在△中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故選：A.9．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，數(shù)據(jù)中1出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為1，故A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，1，1，2，3，3，4，4，又，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第六個(gè)數(shù)據(jù)，即3，故B正確；對(duì)于CD，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則平均數(shù)最小值為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC10．【答案】ACD【詳解】A項(xiàng)，若與不共線，則可以將與看作一組基底，由且，由共面向量基本定理可知與共面，即四點(diǎn)共面；若與共線，則存在，使，則，即三點(diǎn)共線，故也共面，故A正確；B項(xiàng)，由，即與共面，不能作為空間基底，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，故C正確；D項(xiàng)，由圖可知，，設(shè)，，，，顯然，，故與共面，即E在平面上，故D正確；故選：ACD.11．【答案】BCD【詳解】當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A錯(cuò)誤；過點(diǎn)向的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，由拋物線定義可知，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)，故正確；設(shè)，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：BCD12．【答案】【分析】求出事件M發(fā)生的情況即可求出概率.【詳解】事件A包含紅色小球和黃色小球，即包含數(shù)字0和1，隨機(jī)產(chǎn)生的18組數(shù)中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6組，故所求概率為.故答案為：.13．【答案】25【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．14．【答案】【詳解】設(shè)，則，，，兩式相減，得，即，即，同理可求得，而的斜率之和為，所以故答案為：15．【答案】(1)且；(2)證明見解析；【詳解】（1）由題設(shè)，則，所以所求曲線方程為且.（2）由題設(shè)及圓的性質(zhì)，顯然直線斜率必存在，如下圖，不妨設(shè)，且，則到的距離為，到的距離為，令且，則，故，所以，則，綜上，，為定值.16．【答案】(1)，(2)第二組、第四組的方差是(3)【詳解】（1）由題意可知：，解得可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)等于，（2）設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的平均數(shù)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差，故估計(jì)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差是.（3）設(shè)“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，由題意得，所以，所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，則，因?yàn)椋?，因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得，平面，從而得到，即可證明平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解法向量的夾角余弦值來求解平面和平面夾角的余弦值；【詳解】（1）∵為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，∴．∵四邊形為矩形，平面，∴，平面，又平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為．18．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意，得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（