第十九章含參量積分§1含參量正常積分連續(xù)性定理可微性定理可積性定理例題上的連續(xù)函數(shù),

則積分確定了一個定義在[a,b]上的函數(shù),記作x

稱為參變量,上式稱為含參變量的積分.⑴定理19.1(連續(xù)性)

上連續(xù),則函數(shù)在[a,b]上連續(xù).若

在矩形區(qū)域

分析對任何x∈[a,b],要證：連續(xù)性定理就有

即(積分號下取極限)證設(shè)x,x+Δx∈[a,b],在閉區(qū)域R上連續(xù),所以一致連續(xù),由于即只要就有就有

這說明所以，同理可證,續(xù),

則含參變量的積分定理19.1表明,即在定理的條件下，極限運算與積分運算的順序是可交換的，或說可在積分號下取極限

.若

上連續(xù),則在矩形區(qū)域

在[a,b]上連續(xù).定理19.2（連續(xù)性）如果函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，又函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在[a,b]上連續(xù).證對積分用換元積分法，令于是從而因為在矩形[a,b]×[0,1]上連續(xù)，由定理19.1得在[a,b]上連續(xù)例1求解記因為都是的連續(xù)函數(shù)所以在連續(xù)，從而定理19.3(可微性)都在可微性定理（積分號下求導數(shù))分析:

要證：即使得當時，有對任意的由拉格朗日中值定理，存在使得證:

所以因此從而一致連續(xù)，即只要，有因此故I(x)在x可導，且由x的任意性，及定理19.1知I(x)在[a,b]有連續(xù)的導函數(shù).

在定理的條件下,求導和求積分可交換次序,也說可在積分號下求導數(shù)例2.解:考慮含參變量t

的積分所確定的函數(shù)顯然,

于是由定理19.3故因此得定理19.4（可微性）如果函數(shù)在矩形上連續(xù)，在[a,b]上可微，且證:

把F(x)看作復合函數(shù)：

由復合函數(shù)求導法則及變上限定積分的求導法則，有

例.解:例.驗證當|x|充分小時,函數(shù)的n

階導數(shù)存在,且證:令

在原點的某個閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),

由定理19.4可得即同理當x=0時，有定理19.5(可積性)

上連續(xù),則函數(shù)在[a,b]上可積.若

在矩形區(qū)域

在[c,d]上可積.可積性定理記統(tǒng)稱為累次積分或二次積分.問：累次積分與積分順序有關(guān)嗎？即是否有定理19.6上連續(xù),則若

在矩形區(qū)域

證

記

其中

（積分交換順序）于是

所以從而(k

為常數(shù))當u=a

時，于是，k=0

即得取u=b,就得

例4.解:由被積函數(shù)的特點想到積分:內(nèi)容小結(jié)上連續(xù),則函數(shù)在[a,b]上連續(xù)、可積.若

在矩形區(qū)域

在[c,d]上連續(xù)、可積.且上連續(xù),則函