2024-2025學年上海市崇明區(qū)高三上學期第一次模擬考試數(shù)學

檢測試題

考生注意：

1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.

2.本試卷分設試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂(選擇題)或寫(非

選擇題)在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.

3.答卷前，務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關信息.

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，其中1?6題每題4分，7?12題每題5分)

【考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果.】

1.已知集合—4,5}回口>①則一八.

2.不等式上」<0的解為________.

2x+l

3.若復數(shù)z滿足2z+I=l+i,其中i是虛數(shù)單位，則2=.

4.(x-1)’的二項展開式中V的系數(shù)為.

5.雙曲線V—上=1的漸近線方程是________.

4

6.已知xj為正實數(shù)，且滿足4x+y=40,則的最大值是.

7.已知5=(1,2),3=(2"),如果5〃石，則實數(shù)上的值為.

乙.12X-I,x>l,

/(x)=<

8.已知I"-1''.1.關于x的方程/Xx)=2的解.

9.在空間直角坐標系中，點(L2,3)關于工何平面的對稱點的坐標是.

10.某校四個植樹小隊，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數(shù)分別為1°，％1°石，若這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)

和平均數(shù)相等，那么'=.

11.已知“X)=Nsin(<wx+m(/>0,。>0),若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,2］］上有且僅有3個

零點

和1個極小值點，則0的取值范圍是.

12.已知函數(shù)〉=/(對的定義域。={1,2,3,4},值域/={5,6,7},則函數(shù)y=〃x)為增函

數(shù)的概率是.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，其中13?14題每題4分，15?16題每題5分)

【每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂

黑，選對得滿分，否則一律得零分.】

13.下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是嚴格增函數(shù)的是

=x3

A.yB.y=cy=lgxDy=sinx

14.己知直線,和平面口，則“/垂直于平面々內的兩條直線”是的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

15.拋擲一紅一綠兩顆質地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用x表示紅色骰子的點

數(shù)，用了表示綠色骰子的點數(shù)，用(羽內表示一次試驗結果，設事件E：X+V=8；事件

尸：至少有一顆點數(shù)為6；事件G:X>4；事件":y<4.則下列說法正確的是

A.事件E與事件尸為互斥事件B.事件廠與事件G為互斥事件

C.事件￡與事件G相互獨立D.事件G與事件”相互獨立

16.己知無窮數(shù)列｛%｝,若存在數(shù)列｛"｝滿足對任意正整數(shù)小都

有則稱數(shù)列出“｝是｛6｝的交錯數(shù)列?有下列兩個命題：①對任

意給定的等差數(shù)列｛g｝,不存在等差數(shù)列｛4｝,使得｛，｝是｛%｝的交錯數(shù)列；②對任

意給定的等比數(shù)列｛%｝,都存在等比數(shù)列｛4｝,使得｛，｝是｛七｝的交錯數(shù)列.下列結論

正確的是

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)

【解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.】

17.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分7分，第(2)小題滿分7分)

如圖，在直三棱柱/8C-481G中，E、尸分別為8c的中點，

AAX=AB=BC=2,

CXFLAB.

(i)求證：G尸〃平面45氏

(2)求點。到平面/BE的距離.

B

18.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第⑴小題滿分6分，第⑵小題滿分8分)

在△/BC中，已知點。是8c邊上一點，且50=1,CD=3.

（1）若ZO_L3C,且=2/ZCD,求AD的長；

（2）若443。=55。，ZACD=32°,求4D的長（結果精確到0.01）.

19.（本題滿分14分，本題共有3個小題，第⑴小題滿分4分，第⑵小題滿分4分，第（3）

小題滿分6分）

王老師將全班40名學生的高一數(shù)學期中考試（滿分100分）成績分成5組，繪制成如

圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)將150,60）記作第一組，［60,70）、［70,80）、［80,90）、

［90,100］分別記作第二、三、四、五組.已知第一組、第二組的頻率之和為0.3,第一組和第

五組的頻率相同.

（1）估計此次考試成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）；

（2）王老師將測試成績在BQ9。）和［90,100］內的試卷進行分析，再從中選2人的試卷進行

優(yōu)秀答卷展示，求被選中進行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在［90,100］內

的概率；

（3）已知第二組考生成績的平均數(shù)和方差分別為65和40,第四組考生成績的平均數(shù)和方差

分別為83和70,據(jù)此計算第二組和第四組所有學生成績的方差.

20.（本題滿分18分，本題共有3個小題，第⑴小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）

小題滿分8分）

22

己知橢圓「：寧+3=1,點6、4分別是橢圓的下焦點和上焦點，過點心的直線/與

橢圓交于/、2兩點.

（1）若直線/平行于x軸，求線段的長；

_______9

(2)若點/在了軸左側，且6/?5/=/,求直線/的方程；

(3)已知橢圓上的點C滿足|C4|=|。叫，是否存在直線/使得△NBC的重心在x軸上？

若存在，請求出直線/的方程，若不存在，請說明理由.

21.(本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)

小題滿分8分)

定義：若曲線G和曲線C2有公共點尸，且曲線CI在點尸處的切線與曲線C2在點尸處

的切線重合，則稱C］與在點9處“一線切”?

(1)已知圓(》-4+/=/&>0)與曲線了=尤2在點(I1)處“一線切。求實數(shù)。的值；

(2)f{x}=x1+2x+a,g(x)=ln(x+l),若曲線y=/(尤)與曲線y=g(x)在點P處“一線

切”，

求實數(shù)。的值；

(3)定義在R上的函數(shù)了=〃x)的圖像為連續(xù)曲線，函數(shù)了=〃無)的導函數(shù)為了=/'(尤)，

對任意的xeR,都有“⑼<必成立.是否存在點P使得曲線y=/(x)sinx和

曲線了=1在點P處“一線切冷若存在，請求出點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

答案及評分標準(高中數(shù)學)

一、填空題

1.{3,4,5}；2.(-pl)；3.1+i；4.35；5,v=+2x；6.100；

7.4；8.log,3；9.(1,2,-3)；10.8或12；11.12-12.^

二、選擇題

13.A；14.B；15.D；16.C.

三、解答題

17.(1)解取48中點G,連接尸G,則/G?^AC.

................................2分

又GE?gzc,所以/G〃C]E,.......................................4分

所以四邊形尸GEG是平行四邊形，所以G/〃EG,........................5分

又EG在平面內，G尸不在平面Z8E內，所以G/〃平面48￡；........7分

(2)取NC中點X,連接EH、BH,則平面48C,所以EH上BH,

由題意￡8=指，同理"=&，又25=2,所以..................2分

因為GCJ_平面N5C,C^IAB,由三垂線定理得C5LZ5,所以S~BC=2,..…4分

設點C到平面ABE的距離為h,

由^C-ABE~^E-ABC得§S4ABE，"=§ABC,EH

所以〃=逑，即點C到平面的距離為述..............................7分

55

A1J

18.解(1)因為4D_L5C,所以tan//AD=---tanZACD=—

13

2tan//CD

又NABD=2NACD,所以tanZABD=..............4分

1-tan2ZACD

2x四

即AD=3解得ZQ=百..................6分

IT學2

(2)在△48C中，由正弦定理得.BCAC

sinZBACsinZABC

5c?11/48。

所以ZC=?3.281,......................4分

sinZBAC

在△/CD中，由余弦定理得

AD=yjAC2+DC2-2AC-DC-cosZACD?1.75.....................8分

fl°"l°b=0.3,解得!a=0.005,

19.解(1)由題意得<

10(0.045+0.020+o)=0.76=0.025.

所以平均數(shù)等于55x0.05+65x0.25+75x0.45+85x0.2+95x0.05=74.54分

(2)由題意，［80,90)內有8人，［90,100］內有2人

所以被選中進行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績至少1個在［90,100］內的概率

C217

為=U4分

第)45

(3)設第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為x”X2，s；，s：由題意，第二組、第四組分別有

65x10+83x8__

x=----------------=73

10人和8人，所以成績在第二組、第四組的平均數(shù)10+8

成績在第二組、第四組的方差

故估計成績在第二組、第四組的方差是36分

20.解(1)由題意，片(0,—1)、7^(1,0),所以直線/的方程是y=l,

2V23

代入v\+：=1中，得》=±：，所以|Z5|=3...........................................4分

(2)設幺(%,%)(/<0)，則用=(%,%+1),可=(%,%-1)

所以片—4?.g—/?=/02+（%+lx為_1）=a9,

22f3

又2￡+至=i,所以＜%=—5,所以幺點坐標是（_3,i）或...........4分

431122

［比=土1.

4

所以直線/的方程是y=l或y=§x+l.......................6分

22

（3）當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為y=Ax+l,代入寧+.=1中，得

（3+4左2）+6日一9=0

設2（西,％）、B（x2,y2）,C（x3,y3）

_6k_2k4

則-2=素*’所以"中點〃（素*,素富）

又△/5C的重心在％軸上，所以必+%+為=0

8

即左（玉+々）+2+”=0，故%=_認2+4........4分

因為|G4|=|CB|,所以

—■—3k4

所以MCAB=（七+，%-）-（XI_》2，%一%）

3.2+43^2+4

3〃4

乃f）（l,左）=°

因為西fHO'所以&=帝記，所以C（E,—素富）

（-））2（TPR

因為點。在橢圓上，所以3k+4+/土電_=i,解得左=?；蜃?±四………6分

433

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,此時幺、8恰為長軸頂點，點C為短軸頂

點，滿足題意.

綜上所述，存在直線/使得△/BC的重心在x軸上，

V3

其方程為：＞=±}+1或y=l或x=0.......................8分

21.解(1)j'=2x,所以曲線＞=/在點(1,1)處的切線方程為y—l=2(x—1),

即2x—v—1=