2024屆河南省名校聯(lián)盟考前模擬大聯(lián)考三模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知直線4+6y+C=O與直線y=2x-3垂直，則()

A.A=—2B0B.A=2B0

C.B——2Aw0D.B=2Aw0

2.若。20,6eR,則化簡(jiǎn)2晦3+(&『+J齊的結(jié)果是()

A.3+a+bB.3+a+同

C.2+a+bD.2+a+》

3.在(2-的展開式中，第8項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-144B.144C.18D.-18

4.已知關(guān)于x的方程式+2》+3=0的一個(gè)根為x=a+加(a,〃wR),則/+)2+°=()

A.4B.3C.2D.1

5.在長(zhǎng)方體中，A。與平面ADDW所成的角為a,AC與48所成的角為夕，

B.a+(3=7i

C.a+/?=萬(wàn)D.a-廿二1

6.有以下6個(gè)函數(shù):①f(x)=&2-4+,4-/;②/⑴二J；③/(x)=siiu；④/(x)=cos2x；

⑤〃x)=M；⑥/(x)=2x+3.記事件M：從中任取1個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；事件N：從中任

L-X

取1個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，事件M,N的對(duì)立事件分別為而，可，則()

A.尸（M）=P（M+N）-P（N）

B.F（M2V）=P（M）P（7V）

C.「（M+N）=P0?）+尸⑻

D.P（M\N）=P（M\N）

7.已知雙曲線C：不-X=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,尸是c右支上一點(diǎn)，直線尸4，%與

169

直線尤=2的交點(diǎn)分別為M,N,記尸44,PM7V的外接圓半徑分別為屬,4,則5的最大值

為（）

A.晅RG?20回D.也

D.----Vz.-----------------------

926328

8.下列不等式中正確的是（)

111c22c22

eK

A一71—eB，兀e〉C.7l<71—D.e>——

'71>eeIn兀

二、多選題

9.已知平面向量4=（〃2,根+2）,meR,6=（3,4）,則下列說法正確的有（）

A.a涉一定可以作為一個(gè)基底

B.同一定有最小值

C.一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)加使得卜+.=卜-聞

D.a涉的夾角的取值范圍是［0,可

10.已知函數(shù)/（x）=cos20x-百sin2Ox+l（0>O）的最小正周期為兀，則下列說法正確的有

（）

A."X）的圖象可由y=2cos4x的圖象平移得到

JTJT

B.在一二,一、上單調(diào)遞增

36

c.“X）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為

D.“X）圖象的一條對(duì)稱軸為直線x

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

11.空間直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)（cosasin。,，]的軌跡為「，其中。e[0,4兀則下列說法正

確的有（）

A.存在定直線/,使得「上的點(diǎn)到/的距離是定值

B.存在定點(diǎn)。，使得r上的點(diǎn)到。的距離為定值

C.「的長(zhǎng)度是個(gè)定值，且這個(gè)定值小于14

D.是r上任意兩點(diǎn)，則M,N的距離的最大值為4

三、填空題

12.拋物線y=4尤?+1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

13.如圖，在,AfiC中，角A氏C所對(duì)的邊分別為a,0,c,已知2=60,A=45,c-a=3,/B

的平分線80交邊AC于點(diǎn)D,AB邊上的高為CF,BC邊上的高為AE,BDcCF=P,

AEcCF=R,BDcAE=Q,貝=；PQ=,

14.已知x,y,ze(O,l),^x+y+z-xy-xz-yz<k,則上的最小值為.

四、解答題

15.多年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明如果甲、乙兩位選手在決賽中相遇，甲每局比賽獲勝的概率為:，乙

每局比賽獲勝的概率為g.本次世界大賽，這兩位選手又在決賽中相遇.賽制為五局三勝制（最

先獲得三局勝利者獲得冠軍）.

⑴現(xiàn)在比賽正在進(jìn)行，而且乙暫時(shí)以1:0領(lǐng)先，求甲最終獲得冠軍的概率；

（2）若本次決賽最終甲以3:2的大比分獲得冠軍，求甲失分局序號(hào)之和X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

16.已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前"項(xiàng)和5"=（2""-1）（4產(chǎn)1）.

⑴證明：｛4｝是等差數(shù)列，并求凡;

(2)如果b?=(8a?-l)-4”T,求數(shù)列作“｝的前"項(xiàng)和7；.

17.如圖所示，在四棱錐尸—ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=2,AB=4,為

正三角形.

P

⑴證明：。在平面PAC上的射影8為4c的外心(外接圓的圓心)；

(2)當(dāng)二面角尸-AD-C為120時(shí)，求直線AD與平面APB所成角夕的正弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=axcosx-(a-4x2卜inx,g(x)=(a-4x2^sinx-8xco&r.

⑴如果a=16,求曲線＞=〃彳)+8(同在了=兀處的切線方程；

⑵如果對(duì)于任意的xe/都有＞0且g(x)＞0,求實(shí)數(shù)。滿足的條件.

19.已知橢圓G：\~+y2=i的左、右頂點(diǎn)分別為A4,上、下頂點(diǎn)分別為耳與，記四邊形

A與4星的內(nèi)切圓為c之,過G上一點(diǎn)T引圓c2的兩條切線(切線斜率均存在且不為0),分

別交G于點(diǎn)P，Q(異于T).

(1)求直線7P與TQ的斜率之積的值；

(2)記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷尸,。,。三點(diǎn)是否共線，并說明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.D

【分析】由直線垂直的充要條件即可列式得解.

【詳解】直線y=2x-3的斜率為2,又兩直線互相垂直，所以直線心+3y+C=0的斜率為

A1

即---=—且AwO,3*0,所以_B=2A豐0.

B2

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值即可.

【詳解】由2臉3=3,J廬=網(wǎng)可知，

2叫23+(后/+折=3+4+例.

故選：B

3.A

【分析】借助二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.

【詳解】對(duì)(2-向有7；+]=C；29]-⑸

777

貝U虱=22-(-1)7=-4x36.x1=-144%2.

故選：A.

4.C

【分析】解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程可得。及從的值即可得解.

【詳解】由%2+2%+3=0可得I」±"T2二_]±6,

2

故a=-l,匕2=(±0)=2,即a?+廿+。=1+2-1=2.

故選：C.

5.C

【分析】借助線面角定義與等角定理可得。與/小。相等，夕與NACD相等，結(jié)合線面垂

直的性質(zhì)定理計(jì)算即可得.

【詳解】連接4。，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得CD,平面AOD4，

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

故AC與平面ADD^所成的角為a與ZCA,D相等,

7T

又AOu平面AOQA，故CD,平面A。，即/。。4=萬(wàn)，

又ABICD,故4C與48所成的角與4c與C。所成角相等,

即夕與/AC。相等，XZT\C￡>+ZCAiD+ACDA,=it,

TT

故a+夕=兀一/。。4=萬(wàn).

6.D

【分析】首先判斷各函數(shù)的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判斷即可.

【詳解】對(duì)于①：=+則:一產(chǎn);，解得尤=旦

'74-x>0

所以『（尤）=0{x|x=±2},故為偶函數(shù)且為奇函數(shù)；

對(duì)于②/（x）=J為奇函數(shù)；對(duì)于③/（x）=siiu為奇函數(shù)；對(duì)于④/（x）=cos2x為偶函數(shù);

對(duì)于⑤："》）=寧定義域?yàn)閧xlxwl},為非奇非偶函數(shù)；

L-X

對(duì)于⑥/（x）=2x+3為非奇非偶函數(shù)；

則事件M為：①，②，③；事件而為：④，⑤，⑥;

事件N為：①，④；事件獷為：②，③，⑤，⑥;

事件M+N為：①，②，③，④；M+N為:⑤，⑥;

所以P（M）=.g,P（N）=|=g,P（M）rp婀=消

尸（M+N）=：=g,P（M+7V）=|I

3

所以P（M）HP（V+N）-P（N）,P（M+N）”W）+P⑻,故A、C錯(cuò)誤;

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

又MN為:①；所以麗為：②，③，④，⑤，⑥，所以可研=|,

則尸(而卜尸(再)尸⑸,故B錯(cuò)誤；

又P(MN)=；,P(M|2V)=|=1,所以尸(MN)=P(MN),故D正確.

故選：D

7.A

【分析】容易知道匕=當(dāng)，求出M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)，貝1MN|=6左+之，由正弦定理求外接

16k8k

圓半徑，結(jié)合基本不等式分析求解.

【詳解】由題意可知：AHo)，A(4,0),

設(shè)直線P\,PA,的斜率分別為k,k\,根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)人>0,

因?yàn)樘?/7，勺=』7，

x+4x-4

則，，yy16(V-16)9,即左9

K'K=--------------=~~----------=——16k'

}x-4x+4xo2-1616

可知直線出方程為：y=%（x+4）,則直線尸3方程為：>=言（》-4）,

16k

9

令％=2得%=6左，y=,

N8k

即“（2,6左），貝修加|=6左+[,

聞\MN\

由正弦定理得:|4

2sinN241p42sinZMPN

|A4|

H]=2sin/A尸4二|44|=8/8_86

9

晨2一」^一沖廠6左+2-2於一

2sinZMPN8k8k

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

當(dāng)且僅當(dāng)必=2，即％=且時(shí)，等號(hào)成立，

8k4

所以J的最大值為晅.

尺29

故選：A.

8.D

【分析】對(duì)于A,兀：>1等價(jià)于—>等，構(gòu)造函數(shù)/(x)=F利用導(dǎo)數(shù)研究即可判斷;

對(duì)于B,將血最終等價(jià)于兀2>e"然后利用中間值法即可判斷；對(duì)于C,通過

/>/力+1,%?0,1)即可判斷；對(duì)于D,先將eD三等價(jià)變形為,2?c,再構(gòu)

'In兀-ln-+ln2

Tl

造函數(shù)g")=e'(-lnt+ln2)—2>0研究即可.

【詳解】對(duì)于A,—等價(jià)于左>世，

設(shè)〃x)=g，貝=

XX

當(dāng)xe(O,e)時(shí)，r(x)>0,/(尤)在(。霜)上單調(diào)遞增；

無e(e,+oo)時(shí)，f'(x)<0,〃x)在(e,+e)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閑〈萬(wàn)，所以〃e)>/(萬(wàn))，即皿<小，故A錯(cuò)；

7ie

對(duì)于B,京>五等價(jià)于皿〉野，等價(jià)于21n7r>elne,等價(jià)于In兀？>ine,，

等價(jià)于兀2>e',

又712c32=10.24<10.935=2.72???冊(cè)=e2-5<ee>故B錯(cuò);

對(duì)于C,設(shè)〃x)=e-x—l,xe(O,l),貝!]/?)=/-l>0,

所以在(0,e)上單調(diào)遞增;故/(x)N0,即e$+l,xe(O,l),

故%”>e*2x+l,xe(0,l),則混7>2,即—>n.2,故C錯(cuò)誤;

ee

712

2oe7171e2兀2

2e

鏟>《'等價(jià)于>——：即?

對(duì)于D,等價(jià)于2〉萬(wàn)7—2?2-

In兀---ln-+ln2-In—+ln2

71兀兀(71兀

令「分別，則等價(jià)于八而

即g?)=e'(-ln^+ln2)-2>0,

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

所以g'（,）二一e‘In1一旦+e'In2=erIn?--+In2j=e'/z,

所以〃（，）=-；+'=*〉。在/eg/上恒成立，

所以項(xiàng)在（；，[上單調(diào)遞增，

令s（x）=lnx_3,則/（%）=：_；<0在（2,+8）恒成立，

3

故s（x）=Inx—5r在（2,+8）上單調(diào)遞減，所以ln3—i〈ln2—1<0,

故惘=山3彳<山2一1<0在/七,切上恒成立，

所以g?）<0在上恒成立，故g⑺在（；,號(hào)上單調(diào)遞減，

所以g[3>dlJ=e3ln2-ln|J-2=e31n3-2,

22I__

因?yàn)橐?Ine*=InWe?<in酶=In2,

3

所以￡〈/<e，令〃x）=W，則（3=歲，

所以x?0,e）（x）>0,此時(shí)〃x）在（0,e）上單調(diào)遞增,

2

In”,lneln2ln2

---------<------------=--------

|e,n22

e3

（口6(￡6

所以,，

因?yàn)楸?9>2iI=8,>2I

所以兩邊取對(duì)數(shù)得母〉號(hào),

22

31n2

匚匚I、I缶LIne/]neln2,ln3目口3/ln3nn-

所以由上^^《—<—sP4<-^,即e31n3—2>0,

eln2

e3

2

2ln2-ln|l-2=e3ln3-2>0,

所以g>g

71

2

22

e兀>——------

所以e11-ln-+ln21-2>0,即

-In—+ln2

71

2

e71Tt22

所以嬴，即鏟〉一,故D對(duì).

In兀

71

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于復(fù)雜的指數(shù)塞比較大小，常常需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形、同構(gòu)、

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

放縮等等，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小.

9.BC

【分析】對(duì)A：借助基底的定義與向量共線定理計(jì)算即可得；對(duì)B：借助模長(zhǎng)定義計(jì)算即可

得；對(duì)C：借助模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；對(duì)D：找出反例即可得.

【詳解】對(duì)A：若a"b，即癡-3（7%+2）=0,即相=6,此時(shí)a,6不能作基底，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：=J：/+（7〃+2）~=q2府+4:〃+4={2（m+l）2+32布，

故同有最小值百，故B正確；

對(duì)C：若卜+4=卜一“，則有,+6『=卜_萬(wàn)『

HP|<?|2+|/?|+2°6=同~+仰-2ab,即仍=0，即癡+4（m+2）=0,

解得相=-g,即當(dāng)相=—1時(shí)，,+4=卜-4，故C正確；

對(duì)D：由A知，若a/1b，貝1」%=6,即a,6只能同向不能反向，

故a力的夾角不可能為兀，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.BD

【分析】先由輔助角公式和周期公式計(jì)算得到/（x）=2cos[2x+g]+l,由圖象平移的性質(zhì)

可得A錯(cuò)誤；由整體代入結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得B正確；代入/（春]可得C錯(cuò)誤；整

體代入結(jié)合余弦函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)可得D正確；

【詳解】/（x）=cos-^/Ssin2a>x+1=2cos^2（yx+y^+l,

因?yàn)樽钚≌芷跒樨＃?三兀=兀=0=1,

2co

所以〃x）=2cos（2x+|^+l,

A：由以上解析式可得/'（x）的圖象不可由y=2cos4x的圖象平移得到，故A錯(cuò)誤；

,,7171,71兀八

B：當(dāng)XW~-時(shí)，2x+—€--,0,

_36」3|_3_

TT7T

由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在-§，-不上單調(diào)遞增，故B正確；

C：/[總=2迎2義3+三1+1=1工0,故C錯(cuò)誤；

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

D：當(dāng)冗時(shí)，2冗+弓=兀，此時(shí)=為最小值，

所以/（X）圖象的一條對(duì)稱軸為直線X=g,故D正確；

故選：BD.

11.ACD

【分析】由題意空間直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)尸上。se,sine,的軌跡為1，其中。40,4可，可

知，點(diǎn)P的軌跡r為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計(jì)旋

轉(zhuǎn)兩次兩周，根據(jù)條件即可判斷。

【詳解】由題意空間直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)尸上。se,sine,的軌跡為「，其中夕40,4可，可

知，點(diǎn)P的軌跡r為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計(jì)旋

轉(zhuǎn)兩次兩周。

對(duì)于A,r為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計(jì)旋轉(zhuǎn)兩次

兩周，所以存在定直線/即為z軸，使得「上的點(diǎn)到/的距離是定值為1,A正確；

對(duì)于B,根據(jù)軌跡r可得不存在定點(diǎn)Q,使得「上的點(diǎn)到。的距離為定值，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,軌跡r的長(zhǎng)度是2,4+（2兀）2＜14,C正確；

對(duì)于D,是r上任意兩點(diǎn)，則”（1,0,0）,N（l,0,4）的距離的最大值為4,D正確；

故選：ACD

【點(diǎn)睛】求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題方法：直接法；相關(guān)點(diǎn)法；定義法；

【分析】先求/=!＞的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圖象平移求解新拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.

4

【詳解】對(duì)于拋物線尤2=1y,2P=1,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為

44116J

而拋物線y=4尤2+1是f=；＞由向上平移一個(gè)單位形成的，

所以拋物線y=41+i的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故答案為：［。，葛）

13.60百

【分析】根據(jù)題意結(jié)合角度關(guān)系分析可知：ZADB=105，ZCAE=15，即可得結(jié)果；根據(jù)

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

題意利用正項(xiàng)定理可得，="。，a=3也+3,根據(jù)圖形分別求即可得結(jié)果.

【詳解】在ABC中，可知/ACB=180°—NCAB—NA3C=75°,

因?yàn)?8=60,且BO為23的平分線，可知NA8￡>=NC3￡>=30,

則ZADB=/ACB+ZCBD=105°,

在RtACE中，可得/CAE=180°--ACB-ZAEC=15°,

在△AOQ中，可得NAQD=180。-ZADB-ZCAE=60°,

所以ZPQR=ZAQD=60°；

因?yàn)閟in105=sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30二"十。

4

V6-V2

sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=-------，

4

aasinZACBA/3+1

在一ABC中，由正弦定理可得c=----------=-----a，

sinZACB-sinZBACsinABAC2

則c-a=--a=3,角軍得a=3^3+3，

2

ab可心院崇令'

由正弦定理

sinZBAC-sinZABC

且8。為的平分線，貝U四=四="±1,可得=

DCBC22

QDADAD-sinZQAD瓜

在△AOQ中，由正弦定理可得QO=~?/g,

sinZQAD~sinZAQDsinZAQD

在△BCD中，可知ZBOC=NBCE>=75°,則=3c=34+3,

在Rt3CF中，可知BF，BC=36+3,

22

BFr-

在RtPM中，可知5P=-------------=3+j3,

cosZABD

所以PQ=BD-BP-QD=百.

故答案為：60；yj3.

14.1

【分析】在等邊三角形中，令A(yù)P=x,30=y,CR=z,利用三角形的面積，即可求解.

【詳解】x+y+z-xy-xz-yz=x(l-z)+x)+z(l-y),注意至!]

^+(l-x)=l,_y+(l-y)=l,z+(l-z)=l,

如圖：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為1,2,。,我分別為人氏屈,4。上的點(diǎn),設(shè)4尸=無,砥=%。7?=2,

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

且％,y,z?O,l),

故SAPR+SBPQ+SCQR<SABC,

即工x(l—z)立+，y(l—x)且+，z(l—y)且v^xlxlx也，

2v722v722v7222

故x(l-z)+y(l—x)+z(l-y)<l,gpx+y+z-xy-xz-yz<\,所以」Nl,

故答案為：1

15.⑴稱

（2）分布列見解析，5

【分析】（1）借助題意分析出甲最終獲得冠軍的所有情況，結(jié)合概率公式計(jì)算即可得；

（2）借助題意分析出甲失分局序號(hào)之和X的所有可能取值并計(jì)算其概率即可得其分布列,

由分布列即可得其期望.

【詳解】（1）由于乙以1：0領(lǐng)先，那么甲在接下來的比賽中，第2,3,4局連勝3局獲得冠軍，

或第2,3,4局比賽中丟失1局，直到第5局獲勝而獲得冠軍，

所以甲獲得冠軍的概率八,+c；g[|J哈

（2）甲以3:2的大比分獲得冠軍，表明第五局一定是甲獲勝,

前四局中甲、乙比賽結(jié)果為2:2平，

即前四局比賽中，甲丟失了2局，分別是第1,2局；

或第1,3局；或第1,4局；或第2,3局或第2,4局或第3,4局,

所以X的取值為3,4,5,6,7,

121

P(X=3)=P(X=4)=P(X=6)=P(X=7)=-,P(X=5)=-=-,

X34567

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

11111

66366

E（X）=3+4+l：+6+7=5.

16.（1）證明見解析，歲n+1

八、（12n+5）x4"-5

【分析】（I）借助?！芭cS”的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即可得解；

（2）借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，S]=〃i=^——-------------^=>2q=2。；+q—1=>4=1或q=—',

22

因?yàn)?>0,所以〃1=1,

2S〃=2或+an-l,2Sn+i=2*i+an+1-1,

兩式相減得2%=2a；+i+an+l-2a；-annan+1+?！?2（（zn+]+an）（an+l-an）,

因?yàn)椤！?gt;°，所以4+1-%=3，

故｛%｝是首項(xiàng)為1，公差為g的等差數(shù)列，

n-1n+l

an=%；

（2）由（1）知d=（4〃+3>4i,

2

Tn=7x4°+Ilx4+15x4++（4〃-1）x4"-?+（4〃+3）X4"T,

47；=7x4+11x4?++（4n-l）x4,,-I+（4n+3）x4,!,

貝IJ—37；=7+4x（4+4?++4"-1）-（4/7+3）x4",

=3+4x0+4+42++4"T）-（4"+3）X4"

1_4"

=3+4x^-^--（4n+3）x4"

=3+-^~~（4”+3）x4"'

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

所以T一477+3.4(4,-1)1(12〃+5)x4"+4](12〃+5)x4"-5

〃3999

17.(1)證明見解析

⑵巨

7

【分析】(1)上位?為正三角形，利用三角形全等證明HP=HC=/M,得H為△24C的外

心.

(2)取A3中點(diǎn)G,A。中點(diǎn)0,可證OG_LAD,以。為原點(diǎn)，OA,OG所在直線分別為羽y

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，向量法求線面角的正弦值.

【詳解】(1)如圖所示，

因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，AD=DC,又三角形PAD為正三角形，所以AD=OC=。尸.

。在平面P4C上的射影為即DHL平面PAC,連接HP,HC,HA,

由AD=OC=D尸，DH為公共邊,有RtHDA^RtHDC三RtHDP,

所以HP=HC=HA,即H為△上4c的外心.

(2)在等腰梯形ABCO中，取中點(diǎn)G,連接。G,

由。C//GB,DC=GB=2,則四邊形皿汨為平行四邊形，有DG=BC=2,

又AD=AG=2,則△AOG是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

取A。中點(diǎn)0,所以O(shè)G_LAD,

以。為原點(diǎn)，0AoG所在直線分別為軸，過。與平面ABC。垂直的直線為z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在正P4D中，PO1AD,

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

由二面角的平面角的定義可知NPOG為二面角尸-AD-C的平面角，則/POG=120.

BD=2A/3,DC=AG>

則有A(l,0,0),G(0,石,0),網(wǎng)一1,2百,0),4-2,白,0),。(一1,0,0),

(

在正一上4￡)中，尸。=血，由NPOG=120,有ZPOz=30,則尸。，一萬(wàn)

27

(5Q

則尸8=-1,^-,--,PA=

(22)[42^2j

m-PB=—x+5"y--z=0,

22

設(shè)平面AP6的法向量為機(jī)=(x,y,z),有<

3

m-PA=x+——y——z=0,

2-2

令y=-1,得x=―百,z=―幣,則〃?=卜百1,一百).

又AD=(-2,0,0),

?I\m-AD石

所以sin。=\cosm,AD\=--；-----=------

11\m\\AD7

18.(l)y=-8x

(2)a=ic.

【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；

(2)由題意可得。>8,借助導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可得使

/(x)>0時(shí)有8<aW/,再借助導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性，可得兀24屋8+兀2,即可得

解.

【詳解】(1)當(dāng)a=16時(shí)，y=f(x)+g(x)=8xcosx,

記L(x)=8xcosx,貝(JL'(x)=8(cosx-xsinx)nL'(兀)=一8,“兀)=一8兀，

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

所以切線方程為y+8兀=-8(%-兀)，即y=-8%；

(2)0<x<-^,/(%)>0=>axcosx>[a-4x2^sinx,

g(x)>0=>^-4x2)sinx>8xcosx,

所以有cuccosx>(a—4爐)sinx>8xcosx=>axcosx>8xcosx=a>8,

71

/(x)=axcosx-^a-4x2sirtx,f(0)=0,/兀2_a,

/z(x)=-a)sinx+4xcosx],令/z(x)=(8-a)sinx+4xcosx,

/z(x)=(8-6z)sinx+4xcosx,/z(0)=0,

//(x)=(8—a)cosx+4cosx—4xsinx=(12—a)cosx—4xsinx,

如果12—〃WO=>//(x)<0=>/i(x)在[0,5)上單調(diào)遞減n%(0)>%(%)>h71

即有〃⑺<。=r(x)<0=在］o，B上單調(diào)遞減="0)>n0>,此時(shí)與

/(x)>0矛盾，故12-a>0n8<a<12,

令//(x)=(12-6z)cosx-4%sinx,

則/J(x)=(a-16)sinx-4xcosx,因?yàn)椤?lt;12,x￡1O,3j，

71

所以"(x)<0n〃(x)在上單調(diào)遞減，"(o)>//(x)>h'

71

而“(0)=12—a>0,hr—2兀<0,

]o,5,使得〃(玉)=0,

故由零點(diǎn)存在定理，可知存在玉￡

也就是當(dāng)xe(O,芯)時(shí)，〃(x)>0,當(dāng)時(shí)，h'(x)<0,

進(jìn)一步分析可知存在%,使得/(x)在(0,%)上單調(diào)遞增,

在卜2卷j上單調(diào)遞減,

71

要使得〃力>0恒成立，必有"0)20">0,

71

兀2—。>0=>8<〃4兀之,

g，(x)=(Q-8-4x2)cosx,0<x<Tncosx>0,因?yàn)镼>8,

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

所以由g'(x)20nxW與

如果W=°>8+/,此時(shí)g(尤)在向上單調(diào)遞增,

g(x)>g(O)=O,滿足題意，

如果8<aV8+7i2ng(x)在0,'手上單調(diào)遞增，在宇(上單調(diào)遞減，

要使g(x)>0恒成立，必有g(shù)(0)N0,g]5b0=a-兀220=/VaW8+7,

所以當(dāng)a27時(shí)，g(x)>0恒成立，

綜上有a=7i2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助導(dǎo)數(shù)先推導(dǎo)出/(司>0時(shí)的〃的取值范圍，再推

導(dǎo)出g(x)>0時(shí)的。的取值范圍，綜合兩者所得即可得解.

19.⑴」

9

(2)P,O,Q三點(diǎn)共線，理由見解析

【分析】(1)由題意計(jì)算出圓C?的方程后，可設(shè)圓C2的切線方程為y-〃=m)，結(jié)合

切線定義計(jì)算可得(1。病-9產(chǎn)