PAGEPAGE9課時(shí)作業(yè)14余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．(多選)如圖，為了測量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，無法測出AB長度的數(shù)據(jù)為(ABD)A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b解析：由余弦定理，得|AB|＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ)，∴ABD三組數(shù)據(jù)均無法測出AB距離．2．地上畫了一個(gè)角∠BDA＝60°，某人從角的頂點(diǎn)D動(dòng)身，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)△BDA的另一邊BD上的一點(diǎn)，我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N，則N與D之間的距離為(C)A．14米 B．15米C．16米 D．17米解析：如圖，設(shè)DN＝xm，則142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍)．∴N與D之間的距離為16米．3.如圖所示，為測一棵樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A，B與樹根部在同始終線上)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為(A)A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))m解析：設(shè)樹高為h，則由題意得eq\f(AP,sin180°－45°)＝eq\f(AB,sin45°－30°)，h＝AP·sin30°，∴h＝eq\f(AB·sin135°,sin15°)·sin30°＝30(eq\r(3)＋1)＝(30eq\r(3)＋30)(m)．4．某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來，他望見第一輛車與其次輛車的俯角差等于他望見其次輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與其次輛車的距離d1與其次輛車與第三輛車的距離d2之間的關(guān)系為(C)A．d1>d2 B．d1＝d2C．d1<d2 D．不能確定大小解析：如圖，B，C，D分別是第一、二、三輛車所在的位置，由題意可知α＝β.在△PBC中，eq\f(d1,sinα)＝eq\f(PB,sin∠PCB)，在△PCD中，eq\f(d2,sinβ)＝eq\f(PD,sin∠PCD)，∵sinα＝sinβ，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(PB,PD).∵PB<PD，∴eq\f(d1,d2)<1，即d1<d2.5．一艘客船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°，之后它以每小時(shí)32海里的速度接著沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)測得船與燈塔S相距8eq\r(2)海里，則燈塔S在B處的(C)A．北偏東75°B．東偏南75°C．北偏東75°或東偏南75°D．以上方位都不對(duì)解析：依據(jù)題意畫出示意圖，如圖，由題意可知AB＝32×eq\f(1,2)＝16，BS＝8eq\r(2)，A＝30°.在△ABS中，由正弦定理得eq\f(AB,sinS)＝eq\f(BS,sinA)，sinS＝eq\f(ABsinA,BS)＝eq\f(16sin30°,8\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴S＝45°或135°，∴B＝105°或15°，即燈塔S在B處的北偏東75°或東偏南75°.6.如圖，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為140°的方向航行，為了確定船的位置，船在B點(diǎn)觀測燈塔A的方位角為110°，航行eq\f(1,2)h到達(dá)C點(diǎn)，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是(B)A．10km B．10eq\r(2)kmC．15km D．15eq\r(2)km解析：在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20×sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．二、填空題7．有一個(gè)長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長eq\r(2)千米．解析：如圖，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．8．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點(diǎn)A處望見燈塔S在船的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處望見燈塔在船的北偏東75°方向上，則船在點(diǎn)B時(shí)與燈塔S的距離是3eq\r(2)km.解析：如圖，由條件知，AB＝24×eq\f(15,60)＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°.由正弦定理，得eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴BS＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝3eq\r(2).9．如圖所示，某建筑物的高度BC＝300m，一架無人機(jī)Q上的儀器觀測到建筑物頂部C的仰角為15°，地面某處A的俯角為45°，且∠BAC＝60°，則此無人機(jī)距離地面的高度PQ為200_m.解析：依據(jù)題意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，∴AC＝eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(300,\f(\r(3),2))＝200eq\r(3)(m)．在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，∴∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°.由正弦定理，得eq\f(AQ,sin45°)＝eq\f(AC,sin60°)，解得AQ＝eq\f(200\r(3)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝200eq\r(2)(m)，在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200(m)．三、解答題10．如圖，某炮兵陣地位于地面A處，兩視察所分別位于地面C處和D處，已知CD＝6000m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處，測得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，求炮兵陣地與目標(biāo)的距離．解：由∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，得∠CAD＝60°.在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(CD,sin60°)＝eq\f(AD,sin45°)，則AD＝eq\f(\r(6),3)CD.在△BCD中，可得∠CBD＝135°，由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin30°,sin135°)＝eq\f(\r(2),2)CD.又∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝75°＋15°＝90°，連接AB，則在△ABD中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\f(\r(42),6)CD＝eq\f(\r(42),6)×6000＝1000eq\r(42)(m)．故炮兵陣地與目標(biāo)的距離為1000eq\11．某單位有A，B，C三個(gè)工作點(diǎn)，須要建立一個(gè)公共無線網(wǎng)絡(luò)放射點(diǎn)O，使得放射點(diǎn)到三個(gè)工作點(diǎn)的距離相等．已知AB＝80m，BC＝70m，CA＝50m．假定A，B，C，O四點(diǎn)在同一平面內(nèi)．(1)求∠BAC的大??；(2)求點(diǎn)O到直線BC的距離．解：(1)在△ABC中，因?yàn)锳B＝80m，BC＝70m，CA＝50m，所以由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝eq\f(802＋502－702,2×80×50)＝eq\f(1,2).因?yàn)椤螧AC為△ABC的內(nèi)角，所以∠BAC＝eq\f(π,3).(2)設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由(1)知A＝eq\f(π,3)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，由正弦定理得2R＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(70,\f(\r(3),2))＝eq\f(140\r(3),3)(m)，即R＝eq\f(70\r(3),3)m.過點(diǎn)O作邊BC的垂線，垂足為D，在Rt△OBD中，OB＝R＝eq\f(70\r(3),3)m，BD＝eq\f(BC,2)＝35m，所以O(shè)D＝eq\r(OB2－BD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(70\r(3),3)))2－352)＝eq\f(35\r(3),3)(m)，所以點(diǎn)O到直線BC的距離為eq\f(35\r(3),3)m.——實(shí)力提升類——12．如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為(B)A．30mB.eq\f(15,2)eq\r(3)mC．15eq\r(3)mD．45m解析：在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(152＋102－5\r(19)2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，所以∠ACB＝120°，∠ACD＝180°－120°＝60°.然后由正弦定理eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(AC,sin∠ADC)，可得AD＝ACsin60°＝eq\f(15\r(3),2)m．故選B.13．在一片三角形的草地上建一圓形花池，使花池與草地相切，假設(shè)三角形草地頂點(diǎn)為A、B、C，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若b2＝ac，且角B＝eq\f(π,3)，c＝3，則△ABC的形態(tài)是等邊三角形，花池周長為eq\r(3)π.解析：由B＝eq\f(π,3)，b2＝ac，c＝3，依據(jù)余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝eq\f(π,3).所以△ABC為等邊三角形．則△ABC的高為eq\f(3\r(3),2)，故其內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，則△ABC內(nèi)切圓周長為l＝2πr＝eq\r(3)π.即花池周長為eq\r(3)π.14．一次機(jī)器人足球競賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由點(diǎn)A起先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)覺足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽視機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在距A點(diǎn)7dm的C處截住足球．解析：設(shè)BC＝xdm，由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－eq\f(23,3)(dm)(舍去)．∴該機(jī)器人最快可在線段AD上距A點(diǎn)7dm的點(diǎn)C處截住足球．15.如圖，已知海島B在海島A的北偏東45°方向上，A，B相距10海里，小船甲從海島B以2海里/小時(shí)的速度沿直線向海島A移動(dòng)，同時(shí)小船乙從海島A動(dòng)身沿北偏西15°方向也以2海里/小時(shí)的速度移動(dòng)．(1)經(jīng)過1小時(shí)后，甲、乙兩小船相距多少海里？(2)在航行過程中，小船甲是否可能處于小船乙的正東方向？若可能，懇求出所需時(shí)間，若不行能，請(qǐng)說明理由．解：(1)設(shè)經(jīng)過1小時(shí)后，甲船到達(dá)M點(diǎn)，乙船到達(dá)N點(diǎn)，AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×eq\f(1,2)＝52.所以MN＝2eq\r(13).所以經(jīng)過1小時(shí)后，甲、乙兩小船相距2eq\(2)設(shè)經(jīng)過t(0<t<5)小時(shí)小