2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（新高考地區(qū)）

第二模擬

（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.已知復(fù)數(shù)z=|l+i|T（i為虛數(shù)單位），則口（）

A.1B.-41-iC.y/2-i，x/2+z

【答案】D

【詳解】

解：因?yàn)閦=|l+—i=十產(chǎn)_,?=血一乙

所以z=+i，故選：D

2.若=2，則sin2。=（）

（4）2

A-1R6C106

2222

【答案】A

【詳解】

由cos］；得：sin26=cos（g-26卜2cos2f^-^1-1=^-1=-i.

【詳解】

-4x

由題得f（一x）-Xc*=-/?＞所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B,D.

e+Be

4

由題得/⑴=----->0,所以排除選項(xiàng)c.

e+er

4.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都

有，則不同的組隊(duì)方案共有()

A.140種B.420種C.80種D.70種

【答案】D

【詳解】

可分兩類，男醫(yī)生2名、女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名、女醫(yī)生2名，共有+C；C：=70種

不同的組隊(duì)方案.

5.已知函數(shù)/(x)=sin"+?(xcR,3>0)的最小正周期為萬，將/(力的圖象向右

平移(p((p>0)個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則中的一個(gè)值是

2冗K71n

A.-----B.—C.—D.—

3348

【答案】B

【分析】

首先求得。的值，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象確定。的值即可.

【詳解】

由函數(shù)的最小正周期公式可得：6=—=—=2,

T不

則函數(shù)的解析式為+

將/(x)的圖象向右平移8個(gè)單位長度或所得的i出數(shù)解析式為：

g(x)=sin2(工一0)+?=sin(2x-2°+譽(yù)

9

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)g(x)為偶函數(shù),即當(dāng)天=0時(shí):

2x-2(p+—=-2(p+—=k7r+^keZ),

則夕=_紅一己(AeZ),

26

令％=—1可得：9=（,

其余選項(xiàng)明顯不適合①式.

本題選擇4選項(xiàng).

6.如圖，在棱錐P—ABCD中，底面A8CO是正方形，PD=AB=?尸￡）_!"平面

ABCD,在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，則球的最大半徑為（）

A.72B.72+1C.2D.72-1

【答案】D

【詳解】

解：由電＞，平面4?。力，PDLAB^乂AB工AD,PDcAD=O，

所以48JL平面尸40，所以B4_LA5，PA=\lDA2+DP2=2?

設(shè)此球半徑為尼最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，設(shè)球心為S,連接SD，SA、SB、SC、

SP,則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，它們的高均為尼

四棱錐的體積匕xPD=ix(V2)2xV2=|>/2,

四棱錐的表面積

[212

S=2S?A0+2s“m+SA8cL2xy(&)+2x5x2x&+(a)=4+2&,

3%"二2&二1

因?yàn)閊P-ABCD=—x51x/?,所以R二=>/2-1.

S4+2夜&+1

故選：D.

己知過雙曲線三

7._211（。＞0,人＞0）的右焦點(diǎn)凡且與雙曲線的漸近線平行的直線1

交雙曲線于點(diǎn)A,交雙曲線的另一條漸近線于點(diǎn)6（48在同一象限內(nèi)），滿足|人邳=2|方川,

則該雙曲線的離心率為（）

B.V2C.小D.2

【答案】B

【詳解】

雙曲線的漸近線方程為丁=±2工，如圖，不妨設(shè)A8在第一象限,

a

123

直線/的方程為丁二一一h(％-。)，與1Y一v馬二1聯(lián)立，得力=上h一

aa~b~2ac

直線/與丁=2%聯(lián)立，得58二/

a2a

由|所|二2|E4|,得％=2打，即"=2x&-,

2a2ac

得。2=力2,即/=2八則《二&,

故選：B.

8.已知函數(shù)/("二一；/一COSX,雇工)=12_欠，若“X)與g(x)的圖象有且只有一

個(gè)公共點(diǎn)，則上的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】

???“X)與g(x)圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，?.J(x)=g(x)有唯一解，

3,

即％=一/+COSX有唯?解,

2

32

令/l(x)=—x~+COSX則/z'(x)=3x-sinx,/?*(%)=3-cosx,

2

Qcosxcj-1』］,>0,在R上單調(diào)遞增,

又”（0）=0,.,.當(dāng)xe（F,O）時(shí)，//（x）＜0；當(dāng)x￡（0,+oo）時(shí)，，2’（x）〉0；

在（YO,0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增，.?.〃（力2=〃（0）=1,

可得大致圖象如下圖所示：

3

攵=//+cosx有唯一解等價(jià)于y=〃（x）與y二上有唯一交點(diǎn)，

由圖象可知：當(dāng)女=1時(shí)，y=/z（x）與y=%有唯一交點(diǎn)，即〃x）Hg（R）的圖象有且只

有一個(gè)公共點(diǎn).

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得。分.

9.為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對部分企業(yè)的稅攻進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，現(xiàn)

調(diào)查了當(dāng)?shù)氐?00家中小型企業(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖,

則下面結(jié)論正確的是（）

年收入（萬元）

A.樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為18

B.如果規(guī)定年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有30%的當(dāng)?shù)刂行⌒?/p>

企業(yè)能享受到減免稅政策

C.樣本的中位數(shù)小于350萬元

D.可估計(jì)當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)超過400萬元(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點(diǎn)值為代表

【答案】AB

【詳解】

由圖可得100x(0.001+0.002+0.0026x2+。+0.0004)=1=>?=0.0014

樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為100x(0.0014+0.0004)x100=18,故A正確；

年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)頻率為100x(0.001+0.002)=0.3,故B正確；

100x(0.001+0.002+0.0026)=0.56>0.5則中位數(shù)在［300,400］之間，設(shè)為x則

(工一300)x0.0026=0.2=>x?377>350,故C不正確；

年收入的平均數(shù)超過

150x0.1+250x0.2+350x0.26+450x0.26+550x0.14+650x004=376v400,故D

不正確

故選：AB

10.在平面直角坐標(biāo)系才勿中，設(shè)定點(diǎn)A(G,G),尸是函數(shù)>=夕1>0)圖象上一動點(diǎn)，若點(diǎn)

P,力之間的最短距離為2&，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的可能值為()

A.曬B.-1C.3D.4

【答案】AB

【分析】

設(shè)P(x」)(x>0),寫出『關(guān)于'的函數(shù)表達(dá)式，利用換元思想，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題，利

X

用基本不等式得到自變量取值范圍，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論求得實(shí)數(shù)a的取

值.

【詳解】

解：設(shè)尸?！?(％>0),

貝=（x_a>,+J-2a1+1卜勿?

令，=X+1，?.x>0,..x+—..2jxx—=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號，

XX\X

.0./e[2,+oo）.

\PAf=t2-2at+2^a2-\）=（t-ay+a2-2,

當(dāng)aN2時(shí)，在/=〃時(shí)，1PAl2取得最小值a2_2儲+2,2_]）=。2_2=8,解得。=加

當(dāng)"2時(shí)，在，=2時(shí)，|尸取得最小值4_加+2（°2_1）=〃2—牝+2=8,即°2_2〃_3=0,

解得o=_l（a=3舍去）；

故選:AB.

11.已知正數(shù)。、〃滿足〃+力=1,則下列說法正確的是（）.

B.ab的最小值是:

A.2“+4”的最小值是2夜

O

C.4+4A2的最小值是gD.工+1的最小值是4起

ah

【答案】AC

【詳解】

因?yàn)檎龜?shù)。、b滿足a+?=l.

對于A選項(xiàng)，由基本不等式可得2“+4'=2“+22h＞2V2a-22Z,==2&，

當(dāng)且僅當(dāng)。=助=!時(shí)，等號成立，A選項(xiàng)正確；

2

對于B選項(xiàng)，由基本不等式可得l=a+2bN20^，即8必＜1，即而＜：,

O

當(dāng)且僅當(dāng)。=?=［時(shí)，等號成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

對于C選項(xiàng)，由基本不等式可得/+你222"二=4"，

所以，2（d2+4/j2）=（a2+4Z;2）+（?2+4/?2）>（6Z2+4/?2）+4^=（a+2Z?）2=l,

所以，a2+2Z>2>-,當(dāng)且僅當(dāng)。=3=,時(shí)，等號成立，C選項(xiàng)正確；

22

對于D選項(xiàng)，由基本不等式可得

11/“J12ba八\2baooo/r

—i—=(a+2/?)—i—I=----1—h322J----------F3=3+2,2,

ab\ab)ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=血時(shí)，等號成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.如圖所示，在棱長為2的正方體A8CO—4與中，M，N分別為棱C1R,C,C

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.直線40與8N是平行直線B.直線8N與M片是異面直線

9

C.直線MN與AC所成的角為6?！鉊.平面BMN截正方體所得的截面面積為一

2

【答案】BCD

【詳解】

A.直線用好與8N是異面直線，故A不正確;

B.直線BN與MB1是異面直線，故B正確；

C.由條件可知MN//RC,所以異面直線MV與4c所成的角為4C。，△4CR是等邊

三角形，所以NACZ)1=60,故C正確;

D.如圖，延長MN,并分別與皿和DC交于E,F,連結(jié)EA,GB交于點(diǎn)產(chǎn)，連結(jié)%M,BN,

則四邊形48NM即為平面8MN截正方體所得的截面，由對稱性可知，四邊形A8NM是

等腰梯形，MN=RAB=2y[i,AM=BN=5則梯形的高是

仁=呼，所以梯形的面積s=：x(、5+2夜)=故1)正

確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13..已知向量a，方不共線，若向量版+力和。-6共線，則實(shí)數(shù)4=

【答案】

【分析】

根據(jù)向量共線定理，可得版+力=〃。-2匕)="-2仍，即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)橄蛄?方和a-2b共線，

^\^ka+b=A(a-2b)=Aa-2Ab,

所以解得4=2=-1.

1=-2X2

故答案為：-3

14.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實(shí)數(shù)孫恒有“2-x)=/(x),若/⑴=2,

則/⑴+/(2)+〃3)+…+/(2022)=_____.

【答案】2

【分析】

先證明函數(shù)的最小正周期為7=4,再證明〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=0,即得解.

【詳解】

由題得/3+4)=A2-x-4)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(2-x-2)=-f(-x)=f(x),

所以函數(shù)的最小正周期為7=4.

因?yàn)?(可是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

因?yàn)椤?-力=〃力,所以/(0)=/(2)=0,

/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,

所以〃1)+/(2)+/⑶+/(4)=2+0-2+0=0,

2022=4x505+2,

所以〃l)+〃2)+"3)+-+f(2022)=/(l)+f(2)=2.

故答案為：2

15.在數(shù)列｛4｝中，已知4+2=3%“-24,4=1,叼=3,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

&二________?

【答案】2n-l

【詳解】

解：將見+2=34+1-2《，兩邊同時(shí)減去凡+1得，

限一%=2(4川一4)，%一4=2,

aa

n+2~n+\

，

即｛。向-勺｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為2,公比為2,

aa

所以n+i~n=(%一4"I=T,

從而當(dāng)心2時(shí)，an=(%—4T)+(4T—41-2)+…+(%-4)+4

■lx(l-2n)

=2"-'+2,,-2+-+2+1=—----L=T-\-

1-2

又4=1=2—1,故勺=2〃-1

P(l,——)2

16.過點(diǎn)’2作圓X+y2=1的切線/,已知A,8分別為切點(diǎn)，直線AB恰好經(jīng)過

橢圓的右焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.

r2v2

【答案】—+^-=1

54

【詳解】

解：①當(dāng)過點(diǎn)(1,-g)的直線/斜率不存在時(shí)，直線方程為x=l,切點(diǎn)的坐標(biāo)41,0)；

②當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)/方程為)，=23-1)一」，即米一丁一%-！=0,

22

-k--

根據(jù)直線與圓相切，圓心(0,0)到切線的距離等于半徑1,得2-

次+(一［『

335

可以得到切線斜率即/:y=—x-一，

4-44

x2+y2=l

直線/方程與圓方程的聯(lián)立!35

y=—x——

144

34

可以得切點(diǎn)的坐標(biāo)鳳丁一?，

根據(jù)A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)可以得到直線A8方程為2工一y一2=0,(或利用過圓/+/2=/上

一點(diǎn)(%,%)作圓的兩條切線，則過兩切點(diǎn)的直線方程為％x+%>=戶)

依題意，與1軸的交點(diǎn)(L0)即為橢圓右焦點(diǎn)，得c=l,

與丁軸的交點(diǎn)(0,-2)即為橢圓下頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以人=2,

根據(jù)公式得/=6+/=5,

r22

因此，橢圓方程為二+2V-=l.

54

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題10分）

在①(sinB-sine)?=sin?A-sin/sinC,②加in=4sinB,③

?sinB=/?cos^A——這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.

問題：AA6c的內(nèi)角AB,。的對邊分別為a,8，c,若6a+b=2c，，求A和C.

注：若選擇多個(gè)條件作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】條件性選擇見解析，C=7f.

【詳解】

（1）選擇條件①，由（5抽8—5皿。1=5抽24—5布85也。及正弦定理知,

（Z?-c）~=a2-be?整理得，b2+c2-a2=bc

,b2+cz-a2be1

由余弦定理可得,cosA=----------=----=—

2bc2bc2

又因?yàn)锳￡（0,〃），所以，A=^.

又由+h=2c得，V5sinA4-sinB=2sinC

由B=得，sin—+sinI--Cj=2sinC；

3313)

整理得，sinfc--l=—,

I6j2

因?yàn)樗裕珻—gJ-E，]],

k/6162yz

從而c—g=工，解得。=包

6412

（2）選擇條件②，因?yàn)?+5+。=4，所以空色=勺一4；

222

由8sin-----=asinB得，Z?cos—=?sinB

22

AAA

由正弦定理知，sin8cos—=sinAsin^=2sin—cos—sinB；

222

AA1

又sinB>0，sin—>0,可得sin一二一；

222

ArTT

又因?yàn)锳w（0,%）,所以，一==,故4=一.

''263

以下過程同（1）解答.

（3）選擇條件③，由〃sinB=Z?cosA一2卜正弦定理知，

sinAsinB=sin^cosA--

I6j

XsinB>0>從而sinA=cos1A--1=—cosA+—sinAt

I6J22

解得tanA=：

又因?yàn)??0,乃），所以，A=-.

以下過程同（1）解答.

18.（本小題12分）

已知等差數(shù)列｛?！ǎ凉M足%+2。間=3/2+5.

（1）求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列,」一|的前〃項(xiàng)和為S..若v〃eN"，S“<-42+4/H/l為偶數(shù)），求九的

〔4%J

值.

【答案】（1）%=〃+1：（2）2=2.

【詳解】

（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為&

q+2a2=8,

因?yàn)閝+2為+|=3〃+5,所以一

a2+2a3=11,

'3q+2d=8,

即《

3a,+5d=11,

解得q=2,d=l,所以q,=2+(〃_l)=〃+l.

經(jīng)檢驗(yàn)，凡=〃+1符合題設(shè),

所以數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為=〃+L

]1_11

（2）由（1）得,

44+1(〃+1)(〃+2)〃+1n+2

所以'=(")(；1)(Uh工

neN*,：.S<二,

〃2

2

因?yàn)閂/?￡N*，Sn<—2+42,

,17

所以一下+4%..一，BP(A,—2)9?一.

22

因?yàn)?為偶數(shù)，所以4=2.

19.（本小題12分）

某疫苗研發(fā)機(jī)構(gòu)將其生產(chǎn)的某款疫苗在征集的志愿者中進(jìn)行人體試驗(yàn),現(xiàn)隨機(jī)選取100名試

驗(yàn)者檢驗(yàn)結(jié)果并評分（滿分為100分），得到如圖所示的頻率分布宜方圖.

（1）求f的值，并估計(jì)所有試驗(yàn)者的平均得分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代

表）；

(2)據(jù)檢測，這100名試驗(yàn)者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率分別為

若同時(shí)給此三人注射該疫苗，記此三人中產(chǎn)生抗體的人數(shù)為隨機(jī)變量4,求隨機(jī)

34

變量4的分布列及其期望值E?.

13

【答案】(1)0.015,72；(2)分布列見解析，—.

12

【詳解】

⑴由(0.005+1+0.020+0.025+0.030+0.005)x10=1得f=0.015,

平均得分

=45x0.005x10+55x0.015x104-65x0.020x10+75x0.030x10+85x0.025x10+

95x0.005x10=72.

(2)由已知得：＜=0,1,2,3,

p（"l）

P（-2）=L或\1161

7

23I4j2k3j41.2y/34244

pM=3）=lxlxl=—,

'723424

則分布列為：

40123

J_11j_1

P

424424

MWaE（^）=0xl+lx—+2xl+3x—=—.

V742442412

20.（本小題12分）

如圖，己知四邊形A8CO和均為直角梯形，AD//BC,CE//BG,且

ZBCD=ZBCE=-,ZECD=120°.BC=CD=CE=2AD=2BG.

2

G

(1)求證：AG〃平面8DE；

(2)求二面角E—3D—C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)巫.

5

【詳解】

(1)證明：在平面BCEG中，過G作GN_LCE于N,交BE于M，連DM，

由題意知，MG=MN,MNHBCVDARMN=AD=NBC,

2

VMG//AD,MG=AD,

故四邊形ADMG為平行四邊形，，AG//DM,

又DMu平面BDE，AG<t平面8DE，

故AG〃平面BDE.

(2)由題意知8C_L平面ECO,在平面EC。內(nèi)過。點(diǎn)作CF_LCD交OE于尸，

以C為原點(diǎn)，CD，CB，。尸的方向?yàn)閤，丁，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)AD=1，則BC=C￡>=CE=23G=2.

且C（0,0,0）,D（2,0,0）,5（020）,4-1,0,⑹,

設(shè)平面EBD的法向量〃=(x,y,z)‘

DE-/?=0,-3x+x/3z=0,

則由?

BDn=0,2x-2y=0,

取y=l,得〃=(1,1,0),

易知平面5CZ)的?個(gè)法向量為獷=(0,0,1)

所以二面角七一3。一。的余弦值為姮.

5

21.(本小題12分)

已知橢圓C：W+￡=l(a>8>0)的左、右焦點(diǎn)分別為“，K，過點(diǎn)居作直線/交橢圓C

ab-

于M，N兩點(diǎn)(/與x軸不重合)，△KMN,△耳鳥M的周長分別為12和8.

(1)求橢圓C的方程；

(2)在％軸上是否存在一點(diǎn)T，使得直線7M與77V的斜率之積為定值？若存在，請求出

所有滿足條件的點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴(+[=1；(2)存在，坐標(biāo)為(-3,0)和(3,0).

【詳解】

4。=12

(1)設(shè)橢圓。的焦距為2c(c>0),由題意可得口.0,

[2a+2c=8

tz=3______

解得｛,所以b=后二^=2&，

c=\

22

因此橢圓C的方程為土+工=1.

98

(2)因?yàn)橹本€/過點(diǎn)6(1,0)且不與x軸重合，所以設(shè)/的方程為x=〃D+l,

x=陽+1

聯(lián)立方程2,消去x并整理得(8，/+9)y2+i6my-64=0,

---=1

16/n

獷%二一寸為

設(shè)”(%,%),N(孫力)，則'

64

18

所以玉+超=機(jī)（y+%）+2=8/+9，

甲2=（毆1+0（沖2+1）=加2%%+“（％+%）+