PAGE第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)[目標(biāo)]1.記住等差數(shù)列的一些常見(jiàn)性質(zhì)；2.會(huì)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答一些簡(jiǎn)潔的等差數(shù)列問(wèn)題．[重點(diǎn)]等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用．[難點(diǎn)]等差數(shù)列性質(zhì)的理解．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一等差數(shù)列的重要性質(zhì)[填一填]1．a(chǎn)n＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．若m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.[答一答]1．在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，則m＋n＝p＋q成立嗎？提示：不肯定．若數(shù)列{an}是常數(shù)列，則m＋n＝p＋q不肯定成立．2．在公差為d的等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則2ap與am，an有何關(guān)系？提示：2ap＝am＋an.3．在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p，則am＋an＝ap成立嗎？提示：不成立．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二等差數(shù)列的其他性質(zhì)[填一填]1．若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：(1){c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；(2){can}(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；(3){an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為2d的等差數(shù)列．2．若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為pd1＋qd2的等差數(shù)列．[答一答]4．在等差數(shù)列中，如何推斷數(shù)列的單調(diào)性？提示：在等差數(shù)列{an}中，an＝a1＋(n－1)d.當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．5．推斷下列說(shuō)法是否正確，正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．(1)等差數(shù)列去掉前面若干項(xiàng)后，剩下的項(xiàng)仍構(gòu)成等差數(shù)列．(√)(2)搖擺數(shù)列不行能是等差數(shù)列．(√)(3)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＋p＝3t，則am＋an＋ap＝3at.(√)類(lèi)型一等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用[例1](1)已知等差數(shù)列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值；(2)已知等差數(shù)列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值；(3)已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．[分析]分析題目，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，也可利用通項(xiàng)公式求解．[解](1)方法一：設(shè){an}的公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋14d＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(3,2)，))故a25＝a1＋24d＝4＋24×eq\f(3,2)＝40.方法二：因?yàn)?＋25＝2×15，所以在等差數(shù)列{an}中有a5＋a25＝2a15，從而a25＝2a15－a方法三：因?yàn)?,15,25成等差數(shù)列，所以a5，a15，a25也成等差數(shù)列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2(3)令cn＝an－bn，因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{cn}也是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，則5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41.在等差數(shù)列中，一般存在兩種運(yùn)算方法：一是利用基本量運(yùn)算，借助于a1，d建立方程組進(jìn)行運(yùn)算，這是最基本的方法；二是利用性質(zhì)運(yùn)算，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)可簡(jiǎn)化計(jì)算，往往會(huì)有事半功倍的效果.[變式訓(xùn)練1](1)在等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，則a1等于(B)A．－9B．－8C．－7D．－4解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴a6－a4＝6＝2d.∴d＝3.∴a1＋d＝－5.∴a1＝－8.(2)若數(shù)列{an}的公差為2，則數(shù)列{3an－2}的公差為(D)A．3B．4C．5D．6解析：∵數(shù)列{an}的公差為2，∴數(shù)列{3an－2}的公差為3×2＝6.(3)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所組成的數(shù)列的第37項(xiàng)的值為(C)A．0 B．37C．100 D．－37解析：設(shè)cn＝an＋bn，則c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0.故cn＝100(n∈N*)．從而c37＝100.類(lèi)型二等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用[例2]有一批影碟機(jī)原銷(xiāo)售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家商場(chǎng)均有銷(xiāo)售．甲商場(chǎng)用如下方法促銷(xiāo)：買(mǎi)一臺(tái)單價(jià)為780元，買(mǎi)兩臺(tái)單價(jià)為760元，以此類(lèi)推，每多買(mǎi)一臺(tái)則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均削減20元，但每臺(tái)最低不低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷(xiāo)售．某單位需購(gòu)買(mǎi)一批此類(lèi)影碟機(jī)，問(wèn)去哪一家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少？[分析]先求出購(gòu)買(mǎi)n臺(tái)時(shí)甲商場(chǎng)的售價(jià)，再與購(gòu)買(mǎi)n臺(tái)時(shí)乙商場(chǎng)的售價(jià)作差比較．[解]設(shè)該單位需購(gòu)買(mǎi)影碟機(jī)n臺(tái)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為an元，當(dāng)an不低于440時(shí)，a1，a2，…，an構(gòu)成等差數(shù)列，則an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)小于或等于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為(800－20n)元，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)大于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為440元．到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，每臺(tái)售價(jià)為800×75%＝600(元)．又(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，所以，當(dāng)n<10時(shí)，600n<(800－20n)n；當(dāng)n＝10時(shí)，600n＝(800－20n)n；當(dāng)10<n≤18時(shí)，(800－20n)n<600n；當(dāng)n>18時(shí)，440n<600n.所以當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)少于10臺(tái)時(shí)，到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)10臺(tái)時(shí)，到兩商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)相同；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)多于10臺(tái)時(shí)，到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少．1.在實(shí)際問(wèn)題中，若涉及一組與依次有關(guān)的數(shù)的問(wèn)題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成直線(xiàn)上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決.2.在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，肯定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問(wèn)題.[變式訓(xùn)練2]有一個(gè)很神奇的地方，那里有許多的雕塑，每個(gè)雕塑都是由蝴蝶組成的．第一個(gè)雕塑有3只蝴蝶，其次個(gè)雕塑有5只蝴蝶，第三個(gè)雕塑有7只蝴蝶，第四個(gè)雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑根據(jù)這樣的規(guī)律始終延長(zhǎng)到很遠(yuǎn)的地方，學(xué)學(xué)和思思看不到這排雕塑的終點(diǎn)在哪里，那么，第102個(gè)雕塑是由多少只蝴蝶組成的呢？由999只蝴蝶組成的雕塑是第多少個(gè)呢？解：由題知：a1＝3，a2＝5，a3＝7，a4＝9，…，可知其是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則an＝2n＋1，當(dāng)n＝102時(shí)，a102＝205，當(dāng)an＝999時(shí)，2n＋1＝999，n＝499.答：第102個(gè)雕塑是由205只蝴蝶組成的；由999只蝴蝶組成的雕塑是第499個(gè)．類(lèi)型三等差數(shù)列的綜合應(yīng)用[例3]已知兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11，…和3,7,11，…都是100項(xiàng)，求它們有多少個(gè)共同的項(xiàng)．[分析]先寫(xiě)出兩數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用兩通項(xiàng)公式找尋共同的項(xiàng)．[解]解法一：設(shè)兩個(gè)數(shù)列分別為{an}與{bk}，則a1＝5，d1＝8－5＝3，通項(xiàng)an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2；b1＝3，d2＝7－3＝4，通項(xiàng)bk＝3＋(k－1)·4＝4k－1.設(shè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與{bk}的第k項(xiàng)相同，即an＝bk，即3n＋2＝4k－1.∵n＝eq\f(4,3)k－1，而n∈N*，k∈N*，∴k必需為3的倍數(shù)，設(shè)k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1，由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤3r≤100，,1≤4r－1≤100，))解得eq\f(1,2)≤r≤eq\f(101,4)，又∵r∈N*，∴1≤r≤25(r∈N*)．∴共有25個(gè)共同的項(xiàng)．解法二：由解法一知兩數(shù)列的通項(xiàng)分別為an＝3n＋2，bk＝4k－1，設(shè)共同項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列{cn}，則c1＝11，∵數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，∴數(shù)列{cn}仍為等差數(shù)列，且公差為d＝12.∴cn＝11＋(n－1)·12＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1≤302，∴n≤25.25，∴兩數(shù)列有25個(gè)共同項(xiàng)．本題是探求兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題，解法一是常規(guī)解法，解法二利用了最小公倍數(shù)．通常是從通項(xiàng)公式入手，建立an＝bm這樣的方程，再求其肯定范圍內(nèi)的整數(shù)解．本題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是求得數(shù)列an＝3n＋2，bn＝4n－1，即令3n＋2＝4n－1，解得n＝3，所以有一個(gè)公共項(xiàng)11，這明顯是錯(cuò)誤的．[變式訓(xùn)練3]把數(shù)列{2n＋1}中的項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，其次個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)四個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，…循環(huán)，為：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…，則第104個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)之和為(D)A．2036B．2048C．2060D．2072解析：由視察發(fā)覺(jué)，每四個(gè)括號(hào)是一個(gè)循環(huán)，一個(gè)循環(huán)由10個(gè)數(shù)組成，104個(gè)括號(hào)有26個(gè)循環(huán)，則第104個(gè)括號(hào)內(nèi)有四個(gè)數(shù)，這四個(gè)數(shù)為數(shù)列3,5,7,9，…的第257項(xiàng)、第258項(xiàng)、第259項(xiàng)、第260項(xiàng)，分別為3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2，即515,517,519,521，其和為2072.故選D.1．等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4024＝4，則a2013＝(A)A．2B．4C．6D．－2解析：∵2a2013＝a2＋a4024＝4，∴a20132．已知等差數(shù)列{an}中，a7＝eq\f(π,4)，則tan(a6＋a7＋a8)等于(C)A．－eq\f(\r(3),3) B．－eq\r(2)C．－1 D．1解析：∵在等差數(shù)列{an}中，a6＋a7＋a8＝3a7＝eq\f(3π,4)，∴tan(a6＋a7＋a8)＝taneq\f(3π,4)＝－1.3．假如等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＝6，則數(shù)列{2an－3}是公差為4的等差數(shù)列．解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3－a1＝2d＝4，即d＝2.故數(shù)列{2an－3}的公差為4.4．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝13.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a5＝a2＋6，∴a5－a2＝6，即3d＝6，d＝2.∴a6＝a3＋3d＝7＋3×2＝13.5．在等差數(shù)列{an}中：(1)若a5＝a，a10＝b，求a15；(2)若a3＋a8＝m，求a5＋a6；(3)若a5＝6，a8＝15，求a14.解：(1)∵a5＋a15＝2a10∴a15＝2a10－a5＝2b－a(2)解法一：∵a3＋a8＝(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝2a1＋9d＝m∴a5＋a6＝(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝2a1＋9d＝m解法二：∵5＋6＝3＋8，∴a5＋a6＝a3＋a8＝m.(3)解法一：∵a8＝a5＋(8－5)d，即15＝6＋3d，∴d＝3.∴a14＝a8＋(14－8)d＝15＋6×3＝33.解法二：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴數(shù)列a5，a8，a11，a1