第6章圖形的初步相識(shí)

6.1幾何圖形

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1相識(shí)立體圖形

1.下列幾何圖形是立體圖形的是(D)

A.扇形B.長方形C.圓D.正方體

2.(麗水中考)下列圖形中，屬于立體圖形的是(C)

3.視察圖中的立體圖形，分別寫出它們的名稱.

學(xué)問點(diǎn)2相識(shí)平面圖形

4.在長方形、長方體、三角形、球、直線、圓中，是平面圖形的有(B)

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

5.圖中的幾何圖形可看作由哪些簡潔的平面圖形組成的？

解：機(jī)器貓由三角形以及圓組成；郵箱由長方形、三角形以及圓組成；會(huì)笑的人由圓、三角形以及線段組成.

中檔題

6.將第一行的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，便得到其次行中的某個(gè)幾何體，用線連一連.

解：如圖所示.

7.如圖1所示的幾何體是三棱柱，它有6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱，5個(gè)面，圖2,圖3所示幾何體分別是四棱柱和五棱柱.

圖1圖2圖3

(1)四棱柱有女個(gè)頂點(diǎn)，坦條棱，個(gè)面；

(2)五棱柱有坨個(gè)頂點(diǎn)，坨條棱，I個(gè)面；

(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有幾個(gè)頂點(diǎn)，幾條棱，幾個(gè)面？

(4)n棱柱有幾個(gè)頂點(diǎn)，幾條棱，幾個(gè)面嗎？

解：(3)六棱柱有12個(gè)頂點(diǎn)，18條棱，8個(gè)面；七棱柱有14個(gè)頂點(diǎn)，21條棱，9個(gè)面.

⑷n棱柱有2n個(gè)頂點(diǎn)，3n條棱，(n+2)個(gè)面.

綜合題

8.(湖州中考)七巧板是我國祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)建.下列四幅圖中有三幅是小明用如圖所示的七巧板拼成的，則不

是小明拼成的那幅圖是(C)

6.2線段、射線和直線

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1線段、射線、直線的相識(shí)

1.下列生活中的實(shí)例可以看成射線的是(c)

A.緊繃的琴弦B.人行道橫線

C.手電筒發(fā)出的光線D.正方體的棱長

2.如圖，下列幾何語句不正確的是(D)

A.直線AB與直線BA是同一條直線

B.射線0A與射線0B是同一條射線

C.線段AB與線段BA是同一條線段

D.射線0A與射線AB是同一條射線

3.按下列語句，不能畫出圖形的是(A)

A.延長直線AB

B.直線EF經(jīng)過點(diǎn)C

C.線段m與n交于點(diǎn)P

D.經(jīng)過點(diǎn)。的三條直線a、b、c

4.如圖，能用字母表示的直線有L條，線段有區(qū)條，射線有生條.

5.已知平面上四點(diǎn)A,B,C,D,如圖所示.

⑴畫直線AB；

(2)畫射線AD；

⑶直線AB,CD相交于點(diǎn)E；

(4)連結(jié)AC,BD相交于點(diǎn)F.

解：如圖所示.

學(xué)問點(diǎn)2直線的基本性質(zhì)

6.用兩個(gè)釘子把直木條釘在墻上，木條就固定了，這說明(B)

A.一條直線上只有兩點(diǎn)

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.過一點(diǎn)可畫多數(shù)條直線

D.直線可向兩端無限延長

7.開學(xué)整理教室時(shí)，老師總是先把每一列最前和最終的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，一會(huì)兒一列課桌擺

在一條線上，整整齊齊，這是因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線.

中檔題

8.(紹興上虞區(qū)期末)如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、C、D、E分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是1、2、3、4、5,那么表示聲的點(diǎn)應(yīng)在(C)

A.線段AB上B.線段BC上

C.線段CD上D.線段DE上

9.來回于甲、乙兩地的火車中途要?？咳齻€(gè)站，則有坨種不同的票價(jià)(來回票價(jià)一樣)，需打算m種車票.

10.在平面上畫出三條直線a,b,c,說說三條直線將平面分成幾個(gè)部分.

解：四部分

六部分

七部分

綜合題

11.如圖：

(1)試驗(yàn)視察：

假如每過兩點(diǎn)可以畫一條直線，那么：

圖1最多可以畫支條直線，

圖2最多可以畫攵條直線，

圖3最多可以畫過條直線；

(2)探究歸納：

假如平面上有n(n》3)個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在1條直線上，那么最多可以畫上且^匕條直線(用含n的代數(shù)

式表示)；

(3)解決問題：

某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，假如每兩人握1次手問好，那么共握990次手.

6.3線段的長短比較

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1線段的長短比較

1.從直觀上看，下列線段中最長的是(B)

A.B.C.D.

2.下列圖形中，可以比較長短的是(B)

A.兩條射線B.兩條線段

C.兩條直線D.直線與射線

3.為比較兩條線段AB與CD的大小，小明將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合使兩條線段在一條直線上，點(diǎn)B在CD的延長線上，則

(B)

A.AB<CDB.AB>CD

C.AB=CDD.以上都有可能

4.如圖，在三角形ABC中，比較線段AC和AB長短的方法可行的有(C)

①憑感覺估計(jì)；②用直尺度量出AB和AC的長度；③用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，視察點(diǎn)B的位置；④

沿點(diǎn)A折疊，使AB和AC重合，視察點(diǎn)B的位置.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.比較圖中以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段的大小，并把它們用號(hào)連接起來.

解：AB<AC<AD.

6.如圖，四條線段AB、BC、CD、DA,用圓規(guī)截取的方法比較圖中的線段的大小.

解：通過用圓規(guī)比較圖中的四條線段，可得DA>CD>BC>AB.

學(xué)問點(diǎn)2線段的基本領(lǐng)實(shí)及兩點(diǎn)間的距離

7.A,B兩點(diǎn)間的距離是(D)

A.連結(jié)兩點(diǎn)間的直線

B.連結(jié)兩點(diǎn)的線段

C.連結(jié)兩點(diǎn)間的直線的長度

D.連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度

8.(竦州期末)如圖，從A到B有三條路徑，最短的路徑是③，理由是(C)

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.過一點(diǎn)有多數(shù)條直線

C.兩點(diǎn)之間，線段最短

D.因?yàn)橹本€比曲線和折線短

9.如圖，數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)之間的距離為生

10.如圖，直線AB表示一條馬路，馬路兩旁各有一個(gè)工廠，用點(diǎn)M、N表示，要在馬路旁建一個(gè)貨場，使它到兩個(gè)

工廠的距離之和最小，問這個(gè)貨場應(yīng)建在什么地方.

解：圖略.連結(jié)MN,與AB的交點(diǎn)即為所求.

中檔題

11.(徐州中考改編)點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為一3,1,若BC=2,則A、C兩點(diǎn)間

的距離等于(D)

A.3B.2C.3或5D.2或6

12.如圖，小華的家在A處，書店在B處，星期日小華到書店去買書，他想盡快趕到書店，請(qǐng)你幫助他選擇一條最

近的路途(B)

A.A—C—D—B

B.A-C—F一B

C.A-C—E-F-B

D.A一C一M一B

13.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1cm,現(xiàn)將正方形ABCD沿水平方向翻滾15次，那么圖中點(diǎn)A翻滾后所在的

位置與A點(diǎn)起先位置之間的距離為(B)

A.15cmB.16cmC.30cmD.45cm

14.如圖，按下面語句畫圖.

(1)分別延長線段AD和BC,使它們相交于點(diǎn)M；

(2)延長AB至點(diǎn)N,使BN=CD,再連結(jié)DN交線段BC于點(diǎn)P；

(3)用刻度尺比較線段DP和PN的大小.

解：圖略.用刻度尺測量得DP=PN.

15.如圖，平面上有A、B、C、D4個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣栴}，政府打算修建一個(gè)蓄水池，不考慮其他因素，

請(qǐng)你畫出蓄水池P的位置，使它與4個(gè)村莊的距離之和最小.

解：如圖所示，連結(jié)AC、BD的交點(diǎn)即為P點(diǎn)的位置.

綜合題

16.如圖所示，有一個(gè)正方體盒子，一只蟲子在頂點(diǎn)A處，一只蜘蛛在頂點(diǎn)B處，蜘蛛沿著盒子打算偷襲蟲子.蜘

蛛想要最快地捉住蟲子，應(yīng)怎樣走？

解：略.

6.4線段的和差

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1線段的和差

1.如圖，下列關(guān)系式中與圖不符合的式子是(c)

A.AD-CD=AB+BC

B.AC-BC=AD-BD

C.AC-BC=AC+BD

D.AD-AC=BD-BC

2.已知線段AB=3cm,延長BA到C使BC=5cm,則AC的長是(A)

A.2cmB.8cmC.3cmD.11cm

3.如圖，線段AB上有C,D兩點(diǎn)，若AB=5,CD=2,則AC+DB=[.

學(xué)問點(diǎn)2尺規(guī)作線段

4.如圖，已知線段a和b,且a>b,用直尺和圓規(guī)作一條線段，使它等于2a+b.

解：略.

學(xué)問點(diǎn)3線段的中點(diǎn)

5.已知點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，不能確定點(diǎn)C是AB中點(diǎn)的條件是(D)

1

A.AC=CBB.AC=-AB

C.AB=2BCD.AC+CB=AB

6.已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，AB=2,則BC=L

7.如圖，已知線段AB=10cm,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則線段CD=2.5cm.

8.如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)，若AB=8cm,BC=2cm,求MC的長.

解：AC=AB—BC=8—2=6(cm).

因?yàn)镸是線段AC的中點(diǎn)，

所以MC=,AC=3cm.

故MC的長為3cm.

中檔題

9.線段AB=2cm,延長AB到C,使BC=AB,再延長BA到D,使BD=2AB,則線段DC的長為(C)

A.4cmB.5cmC.6cmD.2cm

10.已知線段AB=8cm,點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，BC=2cm,若M是AB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則線段MN的長度

為⑻

A.5cmB.5cm或3cm

C.7cm或3cmD.7cm

11.(西湖區(qū)期末)已知線段AB=8cm,在直線AB上有一點(diǎn)C,且BC=4cm,點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，則線段AM的

長為(C)

A.2cm

B.4cm

C.2cm或6cm

D.4cm或6cm

12.已知線段AB=8cm,在直線AB上畫線段BC,使BC=3cm,則線段AC=11cm或5cm.

3

13.把線段MN延長到點(diǎn)P,使NP=MN,A為MN的中點(diǎn)，則AP=*MP.

14.如圖，已知線段AD=6cm,線段AC=BD=4cm,E、F分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，求EF.

解：*/AD=6cm,AC=BD=4cm,

???BC=AC+BD—AD=2cm.

二?AB=2cm,CD=2cm.

.,.EF=BC+|(AB+CD)=2+|x4=4(cm).

15.如圖，M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=4cm,N是AC的中點(diǎn)，MN=3cm,求線段CM和AB的長.

解：TN是AC中點(diǎn)，AC=4cm,

11/、

「?NC=5AC=5><4=2(cm).

MN=3cm,

???CM=MN—NC=3-2=l(cm).

???AM=AC+CM=4+l=5(cm).

???M是AB的中點(diǎn)，

???AB=2AM=2X5=10(cm).

16.點(diǎn)M,N都在線段AB上，且M分AB為2：3兩部分，N分AB為3：4兩部分，若MN=2cm,懇求出AB的長.

23

解：設(shè)AB=a,則AM=*,AN=ja.

57

32

因?yàn)镸N=7a_7a=2,

75

所以a=70,即AB=70cm.

綜合題

17.如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，D是線段AC的中點(diǎn)，E為線段CB的中點(diǎn).

(1)假如AC=6cm,BC=4cm,試求DE的長；

⑵假如AB=a，試求DE的長度；

(3)若C在線段AB的延長線上，且滿意AC—BC=bcm,D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，你能猜想DE的長度嗎？

干脆寫出你的結(jié)論，不需說明理由.

解：(1)因?yàn)镈、E分別是線段AC、CB的中點(diǎn)，AC=6cm,BC=4cm,

11

所以CD=]AC=3cm,CE=]BC=2cm.

所以DE=CD+CE=5cm.

⑵因?yàn)镃D=*C,CE=|BC,

所以DE=CD+CE="AC+^BC(AC+BC)=~AB=-a.

乙乙乙乙乙

/、1

(3)DE=-b.

6.5角與角的度量

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1角的概念與表示

1.如圖所示，能用/AOB,NO,/I三種方法表示同一個(gè)角的圖形是(B)

2.如圖，NAOB的頂點(diǎn)是°,兩邊分別是0A和0B.

學(xué)問點(diǎn)2角的度量

3.(河北中考)用量角器量NM0N的度數(shù)，下列操作正確的是(C)

ABCD

4.(嘉興期末)把60°30,化成度的形式是60.5°.

5.(1)將26.38°化為度、分、秒;

(2)將35°40'30〃化為度.

解：(1)26.38°=26°+0.38X60'=26°+22.8'=26°+22'+0.8X60〃=26°+22'+48〃=26

22'48".

(2)30〃=焉)'X30=0.5-

40.5，=焉)。X40.5=0.675°,

所以35°40,30〃=35.675°.

學(xué)問點(diǎn)3角的計(jì)算

6.計(jì)算：

(1)56°23,48"+16°35,43〃；

解:原式=72"59'31".

(2)90°-28°12'36".

解：原式=61°47，24〃.

學(xué)問點(diǎn)4鐘面角

7.時(shí)鐘9點(diǎn)30分時(shí)，分針和時(shí)針之間形成的角的度數(shù)等于(C)

A.75°B.90°C.105°D.120°

8.如圖是一個(gè)時(shí)鐘的鐘面，8：00的時(shí)針及分針的位置如圖所示，則此時(shí)分針與時(shí)針?biāo)傻?a是強(qiáng)度.

中檔題

9.甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生在推斷時(shí)鐘的分針和時(shí)針成直角的時(shí)刻，每個(gè)人說兩個(gè)時(shí)刻，說對(duì)的是(D)

A.甲說3點(diǎn)和3點(diǎn)半

B.乙說6點(diǎn)1刻和6點(diǎn)3刻

C.丙說9點(diǎn)和12點(diǎn)1刻

D.丁說3點(diǎn)和9點(diǎn)

10.歸納與猜想：

(1)視察下圖填空：圖1中有支個(gè)角；圖2有出個(gè)角；圖3中有坨個(gè)角；

n(n—1)

(2)依據(jù)(1)猜想：在一個(gè)角內(nèi)引n—2條射線可組成一=~■個(gè)角.

綜合題

11.請(qǐng)解答下面有關(guān)鐘面上的角的問題.

(1)8點(diǎn)15分，時(shí)針與分針的夾角是157.5。；

(2)從12點(diǎn)整始，至少再經(jīng)過多長時(shí)間，分針與時(shí)針能再一次重合？

解：設(shè)至少再過x分鐘分針與時(shí)針再一次重合，

依據(jù)題意，得0.5x+360=6x,

解得x=*.

所以從12點(diǎn)整始，至少再過7詈20分鐘，分針與時(shí)針再一次重合.

6.6角的大小比較

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1角的大小比較

1.下列角度中，比20°小的是(A)

A.19°38,B.20°50'

C.36.2°D.56°

2.若Nl=40.4°,N2=40°4',則/I與N2的關(guān)系是(B)

A.Z1=Z2B.Z1>Z2

C.Z1<Z2D.以上都不對(duì)

3.將Nl、N2的頂點(diǎn)和其中一邊重合，另一邊都落在重合邊的同側(cè)，且那么N1的另一邊落在/2的(C)

A.另一邊上B.內(nèi)部

C.外部D.無法推斷

4.如圖所示，其中最大的角是NAOD,ZDOC,ZDOB,4D0A的大小關(guān)系是最D0A>ND0B>ND0C.

5.如圖，回答下列問題：

(1)比較/F0D與NF0E的大小；

(2)借助量角器比較NA0E與/DOF的大小.

解：(1)：0D在NF0E的內(nèi)部，.,.ZF0D<ZF0E.

(2)用量角器度量得NAOE=30°,ND0F=30°,則NAOE=/DOF.

學(xué)問點(diǎn)2角的分類

6.已知NA0B是銳角，則下列表述正確的是(C)

A.0°<ZA0B<45°B.ZA0B>45°

C.0°<ZA0B<90°D.ZA0B>90°

7.下列說法正確的是(D)

A.大于銳角的角是鈍角

B.周角就是一條射線

C.小于平角的角是銳角

D.一平角等于2個(gè)直角的和

學(xué)問點(diǎn)3用量角器畫角

8.如圖，己知Na,用量角器畫/AOB,使/AOB=/a.

解：圖略.

中檔題

9.如圖，射線0B、0C將NA0D分成三部分，下列推斷錯(cuò)誤的是(D)

A.假如NA0B=NC0D,那么NAOC=/BOD

B.假如NAOBAMCOD,那么NAOONBOD

C.假如/A0BCNC0D,那么NAOCV/BOD

D.假如NAOB=NBOC,那么NA0C=NB0D

10.若Nl=4°18,,/2=3°79',/3=4.4°,則Nl,Z2,N3的大小依次是Nl</2</3(由小到大排列).

11.如圖，NB0D=90°,NC0E=90°,解答下列問題：

(1)圖中有哪些角小于平角？用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎境鏊鼈儯?/p>

⑵比較NAOC、NAOD、/AOE、NA0B的大小，并指出其中的銳角、鈍角、直角、平角.

解：(1)圖中小于平角的角有NAOC、ZAOD>ZA0E>ZCOD,ZC0E>ZC0B>ZDOE,ZDOB,ZEOB.

(2)由圖可知，ZA0C<ZA0D<ZA0E<ZAOB,其中NAOC為銳角，/AOD為直角，NAOE為鈍角，NA0B為平

角.

6.7角的和差

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1角的和差

1.如圖，點(diǎn)B,0,D在同始終線上，若Nl=15°,N2=105°,則/A0C的度數(shù)是(B)

A.75°B.90°C.105°D.125°

2.如圖，小明將自己用的一副三角板擺成如圖形態(tài)，假如NA0B=155。，那么NC0D等于(B)

A.15°B.25°C.35°D.45°

3.如圖，在橫線上填上適當(dāng)?shù)慕牵?/p>

(1)ZB0D=ZB0C+ZD0C=ZAOD-ZAOB；

(2)ZA0B=ZA0C-ZC0B=ZAOD-ZDOB；

(3)/BOC=ZAOC-ZAOB^ZAOD-ZCOD-ZAOB.

4.將一副直角三角板如圖放置，則NABC的度數(shù)是75°.

學(xué)問點(diǎn)2角的平分線

5.已知0C平分NA0B,則下列各式：①NAOB=2NAOC；②NBOC=NAOB；③NAOC=NBOC；④/AOB=NBOC.其

中正確的是(B)

A.①②B.①③C.②④D.①②③

6.如圖，0B表示秋千靜止時(shí)的位置，當(dāng)秋千從0C蕩到0A時(shí)，0B平分/AOC,NB0C=60°,則秋千從0C蕩到0A

轉(zhuǎn)動(dòng)的角度NA0C的度數(shù)是(D)

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

7.如圖，0是直線AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)0作射線0C,0D平分NAOC,0E平分NBOC,若/D0C=50°,則NBOE的度

數(shù)為(B)

A.50°B.40°C.25°D.20°

8.已知NAOE=28°54',OF平分NAOE,則/A0F=14°27,.

9.如圖，0是直線AC上一點(diǎn)，NB0C=50°,0D平分NA0B,則/B0D=65°.

10.如圖，點(diǎn)0在直線AB上，Z1=1ZBOC,0C是NA0D的平分線.

(1)求/2的度數(shù)；

(2)試說明：OD±AB.

解：(1)VZl=|zB0C,Zl+ZB0C=180°,

o

.,.Z1+3Z1=18O°.

AZI=45°.

YOC平分NAOD,

???N2=N1=45°.

(2)VZA0D=ZC0D+ZA0C=45°+45°=90°,

AOD±AB.

中檔題

11.(紹興五校月考)用一副三角板可畫出很多不同角度的角，下列哪個(gè)度數(shù)畫不出來(D)

A.15°B.75°C.105°D.65°

12.如圖，0C是NA0B的平分線，ZB0D=1zD0C,ZB0D=10°,則NA0D的度數(shù)為(C)

A.50

B.60°

C.70°

D.80°

13.(嘉興期末)如圖，已知射線0M,ON分別平分NAOB,ZC0D,若NM0N=a,NB0C=B,則NA0D=(B)

A.2aB.2a-B

C.a+BD.Q—8

14.如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的一點(diǎn)，沿線段BE對(duì)折后，若NABF比NEBF大15°,則NEBF的度數(shù)

是25°.

15.(紹興上虞區(qū)期末)如圖所示，已知NC0D=2NA0C,0D平分NA0B,且NC0D=23°,求NA0B的度數(shù).

解：VZC0D=1zA0C,且NC0D=23°,

???NA0C=2NC0D=46°.

AZA0D=ZA0C+ZC0D=69°.

YOD平分NAOB,

???NA0B=2NA0D=138°.

16.如圖，已知NAOB內(nèi)有兩條射線0C、0D,ZA0D=2ZB0D,ZA0C=1zC0B,ZC0D=70°,求NAOC的度數(shù).

解：設(shè)NB0D=x°,則NA0D=2x°,ZA0C=(2x-70)°,ZC0B=(x+70)°,

1

VZA0C=-ZC0B,

o

.\2x-70=1(x+70).

o

解得x=56.

貝！|NA0C=2X56°-70°=42°.

綜合題

17.(蕭山區(qū)月考)如圖1是一副三角尺拼成的圖案(所涉及角度均小于或等于180度).

(1)ZEBC的度數(shù)為150度;

(2)將圖1中的三角尺ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)a度(0°<a<90°)能否使NEBC=2/ABD?若能，則求出a的值；若不

能，說明理由.(圖2、圖3供參考)

圖1圖2圖3

解：①逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：

90°+60°-a=2a,

解得a=50°；

②順時(shí)針旋轉(zhuǎn)：

當(dāng)0°〈aW30°時(shí)，有90。+60°+a=2a,

解得a=150。，不符題意，舍去；

當(dāng)30。<a<90°時(shí)，有360°-90°-60°-a=2a,

解得a=70°.

綜上所述：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°時(shí)，ZEBC=2ZABD.

6.8余角和補(bǔ)角

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1余角的概念及性質(zhì)

1.(株洲中考)己知/a=35°,那么/a的余角等于(B)

A.35°B.55°C.65°D.145°

2.一個(gè)角的余角是它的2倍，這個(gè)角的度數(shù)是(A)

A.30°B.45°C.60°D.75°

3.(寧波海曙區(qū)期末)如圖，N1和/2都是Na的余角，則下列關(guān)系不正確的是(D)

A.Zl+Za=90°

B.Z2+Za=90°

C.Nl=/2

D./l+N2=90°

4.已知/A與NB互余，若NA=20°15',則NB的度數(shù)為69.75°.

學(xué)問點(diǎn)2補(bǔ)角的概念及性質(zhì)

5.下列圖形中，N1與N2互為補(bǔ)角的是(C)

6./a與的度數(shù)分別是(2m—67)°和(68—m)°,且/a與/B都是NY的補(bǔ)角，那么Na與N8的關(guān)系是?

A.互余但不相等B.互為補(bǔ)角

C.相等但不互余D.互余且相等

7.(杭州上城區(qū)期末)下列推斷中，正確的是(B)

①銳角的補(bǔ)角肯定是鈍角；②一個(gè)角的補(bǔ)角肯定大于這個(gè)角；③假如兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等;

④銳角和鈍角互補(bǔ).

A.①②B.①③C.①④D.②③

學(xué)問點(diǎn)3余角與補(bǔ)角的綜合運(yùn)用

8.N1與N2互余，N1與N3互補(bǔ)，若N3=125°,則/2=(A)

A.35°B.45°C.55°D.65°

9.假如NA的補(bǔ)角與NA的余角互補(bǔ)，那么2NA是(B)

A.銳角B.直角

C.鈍角D.以上三種都可能

10.一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的一半小30°,則這個(gè)角的大小為阻度.

11.將一副三角板按如圖方式進(jìn)行擺放，請(qǐng)推斷N1與N2是否互補(bǔ)，并說明理由.

解：互補(bǔ).

理由如下：：/2+/3=90°,N3+N4=90°,

.\Z2=Z4.

VZ1+Z4=18O°,

/.Zl+Z2=180".

AZI與N2互補(bǔ).

12.如圖，已知NAOB=155°,ZA0C=ZB0D=90s,

(1)寫出與/COD互余的角；

(2)求/COD的度數(shù)；

(3)圖中是否有互補(bǔ)的角？若有，請(qǐng)寫出來.

解：(1)與NC0D互余的角有NA0D和/BOC.

(2)ZB0C=ZA0B-ZA0C=65°,

ZC0D=ZB0D-ZB0C=25°.

(3)/C0D與NAOB、NA0C與NB0D互補(bǔ).

中檔題

13.(紹興上虞區(qū)期末)如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，擺放方式中/a與NB互余的是(C)

14.如圖所示，0A是北偏東60°方向的一條射線，若NN0B與NN0A互余，則0B的方位角是(A)

A.北偏西30°B.北偏西60°

C.東偏北30°D.東偏北60°

15.如圖，0為直線AB上一點(diǎn)，NA0C=a,/BOC=B,則B的余角可表示為(C)

111

-a-

22-D.2

16.(余姚期末)已知點(diǎn)A、B、C、D、E的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(C)

A.ZA0B=130°

B.ZAOB=ZDOE

C.NDOC與NBOE互補(bǔ)

D.NAOB與NCOD互余

17.如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)0,繞點(diǎn)0隨意轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)三角尺，則與NAOD始終

相等的角是NBOC.

18.若一個(gè)角的補(bǔ)角與它余角的2倍之差是平角的;，求這個(gè)角的度數(shù).

解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為X。，則其余角度數(shù)為(90—x)°,補(bǔ)角為(180—x)°,則

/、1

180-X-2(90-x)=-X180.

解得x=45.

答：這個(gè)角的度數(shù)為45°.

綜合題

19.如圖，點(diǎn)0在直線AB上，NA0D=NB0D=NE0C=90°,ZBOC：ZAOE=3：1.

(1)求/COD的度數(shù)；

(2)圖中有哪幾對(duì)角互為余角？

(3)圖中有哪幾對(duì)角互為補(bǔ)角？

解：(1)因?yàn)镹E0C=90°,所以NB0C+NA0E=90°.又因?yàn)镹BOC：NA0E=3：1,

3

所以/B0C=]X90°=67.5°.因?yàn)?B0D=90°,所以/C0D=90°-67.5°=22.5°.

(2)/C0BVNC0D,NCOB與NAOE,NDOE與NCOD,/DOE與NAOE,共4對(duì)角互為余角.

(3)NC0B與NCOA,NAOE與NEOB,NAOD與NBOD,NEOC與NAOD,NE0C與NBOD,NE0D與NAOC,ZDOC

與NB0E,共7對(duì)角互為補(bǔ)角.

6.9直線的相交

第1課時(shí)對(duì)頂角

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1對(duì)頂角的概念

1.(杭州余杭區(qū)二模)如圖，N1和N2是對(duì)頂角的圖形是(C)

甲乙丙丁

A.甲B.乙C.丙D.T

2.如圖所示，BE、CF是直線，0A、0D是射線，其中構(gòu)成對(duì)頂角的是(C)

A.NAOE與NCOD

B.NAOD與NBOD

C./BOF與NCOE

D.NAOF與NBOC

3.如圖，有兩堵墻，要測量地面上所形成的NAOB的度數(shù)，但人又不能進(jìn)入圍墻，只能站在墻外，該如何測量？

解：延長A0與B0得到/AOB的對(duì)頂角NC0D,測出NCOD的度數(shù)，則NAOB=NCOD.

學(xué)問點(diǎn)2對(duì)頂角的性質(zhì)

4.如圖，直線AB,CD交于點(diǎn)0,射線0M平分NA0C,若NB0D=76°,則NA0M等于(A)

A.38°B.36°C.28°D.24°

5.(吉林中考)如圖是對(duì)頂角量角器，用它測量角的原理是對(duì)頂角相等.

6.如圖，直線a,b相交，N2=3N1,則/3=45。.

7.如圖，三條直線L,12,L相交于一點(diǎn)，則/1+/2+/3=180。.

8.如圖，直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)0,且NA0D=90°,Nl=40°,求N2的度數(shù).

解：：直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)0,且NA0D=90°,

???NB0D=90°.

TNI=40°,

???ND0F=40°.

??.N2=90°-40°=50°.

9.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,0E把NBOD分成兩部分.

(1)干脆寫出圖中NAOC的對(duì)頂角為NBOD；

(2)若NA0C=70°,且NB0E：NE0D=2：3,求ND0E的度數(shù).

解：TNAOC的對(duì)頂角為NB0D,

???NB0D=NA0C=70°.

又YNBOE：NE0D=2:3,

33

???ND0E==ND0B=EX70°=42°.

55

中檔題

10.平面內(nèi)三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有(D)

A.1個(gè)或3個(gè)B.2個(gè)或3個(gè)

C.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)D.0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

11.如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)0,0A平分NEOC,ZE0C：ZE0D=2：3,則NB0D=(B)

A.30°B.36°C.45°D.72°

12.一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的對(duì)頂角的4倍，則這個(gè)角的度數(shù)為36°.

13.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,0E平分/BOD,0F平分NCOE.NB0F=30°,則NAOC=80°.

14.已知點(diǎn)0是直線AB上一點(diǎn)，0C,0D是兩條射線，且NAOC=NBOD,則NAOC與NBOD是對(duì)頂角嗎？為什么？

解：NA0C與/BOD不肯定是對(duì)頂角.

如圖1所示，當(dāng)射線0C,0D位于直線AB的同側(cè)時(shí)，不是對(duì)頂角；

如圖2所示，當(dāng)射線0C,0D位于直線AB的異側(cè)時(shí)，是對(duì)頂角.

15.如圖，己知直線AB和CD相交于點(diǎn)0,NCOF與/EOF互余，0F平分/AOE,NC0F=28°,求NBOD的度數(shù).

解：：/COF與NE0F互余，

.\ZC0F+ZE0F=90°.

AZEOF=90°—NC0F=90°-28°=62°.

VOF平分NAOE,

.,.NA0F=/E0F=62°.

/.ZAOC=ZAOF-ZCOF=62°-28°=34°.

...NBOD=NAOC=34°.

16.如圖，直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)0,ZA0E=30°,ZBOC=2ZAOC,求/DOF的度數(shù).

解：設(shè)/AOC=x°,

貝l|NB0C=2x°.

由鄰補(bǔ)角的定義，可得2x+x=180.

解得x=60.

所以NA0C=60。.

所以NE0C=NA0C—NA0E=60°-30°=30°.

所以/D0F=/E0C=30°.

綜合題

17.視察下列圖形，找尋對(duì)頂角(不含平角).

(1)兩條直線相交于一點(diǎn)，如圖1,共有2對(duì)對(duì)頂角；

(2)三條直線相交于一點(diǎn)，如圖2,共有對(duì)對(duì)頂角；

(3)四條直線相交于一點(diǎn)，如圖3,共有對(duì)對(duì)頂角；

(4)依據(jù)填空結(jié)果探究：當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)與直線條數(shù)之間的關(guān)系；

(5)依據(jù)探究結(jié)果，求2018條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù).

解：(4)(n—1)?n.

(5)2017X2018=4070306.

第2課時(shí)垂線

基礎(chǔ)題

學(xué)問點(diǎn)1垂線的相關(guān)概念及計(jì)算

1.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,下列條件中，不能說明ABLCD的是(C)

A.ZA0D=90°

B.ZAOC=ZBOC

C.ZB0C+ZB0D=180°

D.ZA0C+ZB0D=180°

2.如圖，己知點(diǎn)0在直線AB上，COLDO于點(diǎn)0,若Nl=145°,則/3的度數(shù)為(C)

A.35°B.45°C.55°D.65°

3.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)0,EO±AB,垂足為0.若NE0D=20°,則/COB的度數(shù)為110°.

4.(溫州試驗(yàn)期末)如圖，已知AO_LOC,0B10D,ZA0B=142°,求NC0D的度數(shù).

解：VAOXOC,OB±OD,

/.ZA0C=ZD0B=90°.

VZA0B=142°,

/.ZBOC=142°-90°=52°.

/.ZC0D=90°-52°=38°.

5.(諸暨期末)如圖，直線AE與CD相交于點(diǎn)B,且BFLAE,NDBE=50°.

(1)請(qǐng)干脆寫出與NDBE互余的角；

(2)求/CBF的度數(shù).

解：(l)NDBF.

(2)VBF1AE,

NFBE=NABF=90°.

VZDBE=50°,

VZABC=ZDBE=50°,

/.ZCBF=180°-ZABC=140°.

學(xué)問點(diǎn)2垂線的畫法

6.(1)如圖1,用三角板過點(diǎn)A畫直線1的垂線；

(2)如圖2,過點(diǎn)B作直線AC的垂線BD,垂足為D.

解：如圖所示.

學(xué)問點(diǎn)3垂線的基本領(lǐng)實(shí)

7.如圖，已知ON_L1,0M±L則0M與ON重合，其理由是(B)

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線

C.垂線段最短

D.過一點(diǎn)只能作一條垂線

學(xué)問點(diǎn)4垂線段最短

8.如圖，△ABC中，NC=90°,AC=3cm,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長不行能是(A)

A.2.5cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm

9.如圖所示，要把水渠中的水引到水池中，水池在C處，在渠岸AB的何處開挖才能使水溝最短？

解：過點(diǎn)C作CDLAB,垂足為D,依據(jù)垂線段最短，可知在D處開挖可以使水溝CD最短，圖略.

學(xué)問點(diǎn)5點(diǎn)到直線的距離

10.(西湖區(qū)期末)如圖，A是直線1外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C、E、D在直線1上，且AD，1,D為垂足，假如AC=8cm,AD

=6cm,AE=7cm,AB=13cm,那么點(diǎn)A到直線1的距離是(D)

A.13cm

B.8cm

C.7cm

D.6cm

中檔題

11.如圖，0A±0C,0B±0D,ZA0B=25",則NCOD的度數(shù)是(A)

A.25°B.35°C.45°D.55°

12.若A,B,C是直線1上的三點(diǎn)，P是直線1外一點(diǎn)，且PA=5cm,PB=4cm,PC=3cm,則點(diǎn)P到直線1的距

離(C)

A.等于3cm

B.大于3cm而小于4cm

C.不大于3cm

D.小于3cm

13.如圖，CD±AB,垂足為C,Zl=130°,貝1]/2=理_度.

14.(杭州濱江區(qū)期末)如圖，點(diǎn)C是NA0B的邊0B上的一點(diǎn)，按下列要求畫圖并回答問題：

(1)過C點(diǎn)畫0B的垂線，交0A于點(diǎn)D；

(2)過C點(diǎn)畫0A的垂線，垂足為E；

(3)比較線段CE,0D,CD的大小(請(qǐng)干脆寫出結(jié)論)；

(4)請(qǐng)寫出第⑶小題圖中與NA0B互余的角(不增加其他字母).

解：⑴、(2)如圖所示.

(3)CE<CD<0D.

(4)與NA0B互余的角是N0CE和N0DC.

15.如圖，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)0,射線OELAB于點(diǎn)0,射線OFLCD于點(diǎn)0,且NB0F=25°,求NA0C和

ZE0D的度數(shù).

解：V0F1CD,

???ND0F=90°.

又?.?NB0F=25°,AZB0D=90°+25°=115°.

.,.ZA0C=ZB0D=115°.

VOE±AB,ZB0E=90°.

又,.,NB0F=25°,

.\ZE0F=65o.

AZE0D=ZDOF-ZE0F=25°.

16.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)0,NAOC與NAOD的度數(shù)比為4：5,OE±AB,OF平分NDOB,求NEOF的度數(shù).

解：設(shè)NA0C=4x,

則NA0D=5x.

VZA0C+ZA0D=180°,

4x+5x=180°.解得x=20。.

???NA0C=4x=80°.

.,.ZB0D=80°.

VOE±AB,

???NB0E=90°.

AZDOE=ZBOE-ZBOD=10°.

又「OF平分NDOB,

.,.ZD0F=|zB0D=40°.

AZEOF=ZEOD+ZD0F=10°+40°=50°.

綜合題

17.(金華東陽期末)一副直角三角板疊放如圖1,現(xiàn)將含45°角的三角板ADE固定不動(dòng)，把含30°角的三角板ABC

繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(a=/BAD且0°<a<180°),使兩塊三角板至少有一組對(duì)應(yīng)邊(所在的直線)垂直.

⑴如圖2,a=15°時(shí)，BCXAE；

(2)請(qǐng)你在備用圖中畫一種符合要求的圖形，計(jì)算出旋轉(zhuǎn)角a,并用符號(hào)表示出垂直的邊.

圖1圖2備用圖

解：答案不唯一，如圖，當(dāng)AABC繞點(diǎn)A接著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，ACLAE時(shí)，a=105°.

章末復(fù)習(xí)(六)圖形的初步學(xué)問

分點(diǎn)突破

學(xué)問點(diǎn)1平面圖形、立體圖形的識(shí)別

1.下面幾何體中，表面都是平面圖形的是(D)

2.如圖所示的花瓶中，表面可以看作由所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周形成的是(B)

學(xué)問點(diǎn)2直線、射線與線段

3.以下說法中正確的是(B)

A.延長射線ABB.延長線段AB到C

C.延長直線ABD.畫直線AB等于1cm

4.(杭州期末)如圖，圖中線段、射線、直線的條數(shù)分別為(B)

A.5,4,1B.8,12,1

C.5,12,3D.8,10,3

5.如圖，公園里漂亮的草坪上有時(shí)出現(xiàn)了一條很不美觀的“捷徑”，但細(xì)想其中也蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的“道

理”，這個(gè)“道理”是兩點(diǎn)之間，線段最短.

學(xué)問點(diǎn)3線段有關(guān)的計(jì)算

6.假如延長線段AB到C,使得BC=$B,那么AC：AB等于⑻

A.2：1B.2：3

C.3：1D.3：2

7.如圖，線段AB=10cm,延長AB