專(zhuān)題15等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小

實(shí)數(shù)的符號(hào)：

任意xwR,則x>O（x為正數(shù)）、％=0或xvO（x為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立.

兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：

①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變

符號(hào)語(yǔ)言：a>0,b>0=>a-^-b>0；

a<0,b<0=>a-\-b<0

②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)

符號(hào)語(yǔ)言：a>0,b>0^ab>0；

a<O,b<O^ab>Q

③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)

符號(hào)語(yǔ)言：a>0,Z?<0=>ab<Q

④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0

符號(hào)語(yǔ)言：xeR^>x2>0,x=0o%2=0.

比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：

對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)〃、b

①Q(mào)-Z?>Ooa>b；

②a-Z?vOoavb；

③a-〃=OoQ=b.

對(duì)于任意實(shí)數(shù)。、b,a>b,a=b,avb三種關(guān)系有且只有一種成立.

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)哼@三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明

不等式與解不等式的主要依據(jù).

知識(shí)點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分

基本性質(zhì)有：

⑴對(duì)稱(chēng)性：a>b<=>b<a

(2)傳遞性：a>b,b>c^a>c

(3)可力口性：a>人oQ+c>Z?+c(c￡R)

c>0^>ac>be

(4)可乘性：a>b,<c=0^>ac=be

c<0nac<be

運(yùn)算性質(zhì)有：

(1)可力口法貝U：a>b,c>d^a+c>b+d.

(2)可乘法貝!J：a>b>0,c>d>0na?c>b?d>0

(3)可乘方性：a>b>O,HGN*>b“>0

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)翰坏仁降男再|(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).

知識(shí)點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法

作差法：

任意兩個(gè)代數(shù)式〃、b,可以作差a-b后比較a-)與。的關(guān)系，進(jìn)一步比較，與b的大小.

@a-b>O<^a>b；

②Q—人vOoavb；

③a—b=Ooa=b.

作商法：

任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式。、b,可以作商a+人后比較0與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較。與人的大小.

b

?—>\<=>a>b；

b

?—a<b；

b

(§)—=1oa=b.

b

中間量法:

若且6>c,則“>c（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.

【題型歸納目錄】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

題型二：作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小

題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小

題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

【典例例題】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

例1.（2023?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關(guān)于乘車(chē)行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車(chē)組列車(chē)攜帶品的外部尺

寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm,且體積不超過(guò)72000cm3,設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別記為。，

b,c（單位：cm）,這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）

A.<?+Z?+c<130且o/?c<72000B.a+6+c>130且abc>72000

C.a+b+c<130J!Labc<72CXX）D.?+Z?+c>130j=LflZ?c>72000

【答案】C

【解析】由長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm得a+6+c<130,由體積不超過(guò)TZOOOcm3得必cW72000.

故選：C.

例2.（2023?四川眉山?高一?？茧A段練習(xí)）將一根長(zhǎng)為5m的繩子截成兩段，已知其中一段的長(zhǎng)度為xm,若

兩段繩子長(zhǎng)度之差不小于1m,則無(wú)所滿(mǎn)足的不等關(guān)系為（）

f2x-5>0

A.〈八「B.2x-5>1^5-2x>l

[0<x<5

；5-2x>lf|2^-5|>l

'[0<x<5,10〈尤<5

【答案】D

【解析】由題意，可知另一段繩子的長(zhǎng)度為（5-x）m.

因?yàn)閮啥卫K子長(zhǎng)度之差不小于1m,所以FI71，

0<x<5

化簡(jiǎn)得：

[0<尤<5

故選：D

例3.（2023?西藏林芝?高一?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（）

A.某人月收入尤不高于2000元可表示為“x<2000”

B.某變量y不超過(guò)?？杀硎緸?yWa”

C.某變量x至少為a可表示為“x>a”

D.小明的身高xcm,小華的身高ycm,則小明比小華矮表示為“x>y”

【答案】B

【解析】對(duì)于A,某人收入x不高于2000元可表示為xV2000,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,變量y不超過(guò)a可表示為B正確；

對(duì)于C,變量尤至少為?？杀硎緸閤'a,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,小明身高xcm,小華身高Am,小明比小華矮表示為尤<y,D錯(cuò)誤.

故選：B.

變式1.（2023?黑龍江雙鴨山?高一?？计谥校┩瓿梢豁?xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工

資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請(qǐng)工人滿(mǎn)足的關(guān)系式是（）

A.5x+4y<200B.5x+4y>200

C.5x+4y=200D.5x+4y<200

【答案】D

【解析】依題意，請(qǐng)工人滿(mǎn)足的關(guān)系式是50x+40y42000,

即5x+4y<200.

故選：D

變式2.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）在開(kāi)山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開(kāi)的速

度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)100米以外（含100米）為安全區(qū).為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)

火索的長(zhǎng)度龍（單位：厘米）應(yīng)滿(mǎn)足的不等式為（）

XYYY

A.4x——<100B.4x——>100C.4x——<100D.4x——>100

0.50.50.50.5

【答案】B

【解析】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為六秒，

人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為Jx段）米，由題意可得4x去2100.

\U.J）U.D

故選：B.

變式3.（2023.安徽蚌埠?高一蚌埠二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在數(shù)軸上點(diǎn)AI對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是“6,點(diǎn)A在表示-3

和-2的兩點(diǎn)之間（包括這兩點(diǎn)）移動(dòng)，點(diǎn)8在表示T和0的兩點(diǎn)（包括這兩點(diǎn)）之間移動(dòng)，則以下四個(gè)代數(shù)式

的值，可能比2021大的是（）

1

baab

【答案】D

【解析】由題意一34a4—2,-14匕40.可知：3<b-a<l,-'—^1,1，而是負(fù)數(shù)，只有工一：的值可以

b-aLbaab

超過(guò)2021,如a=-2.5,b=-0.0001,

故選：D.

題型二：作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小

例4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）比大?。?-6亞-2.

【答案】>

【解析】因?yàn)?-g>0,喬-2>0,

所以（2-括『=7-4括，（75-2）2=7-4A/5,

因?yàn)?-4--（7-4司=4如-4鳳0,

所以2-百>百-2.

故答案為：>.

例5.（2023?湖南郴州?高一?？茧A段練習(xí)）已知服=d+5x+6,N=2i+5x+8,則MN的大小關(guān)系是

【答案】M<N

【解析】由于N-M=X2+2>0,

所以M<N.

故答案為：M<N

例6.（2023?四川成都?高一校考階段練習(xí)）已知”=必-3,N=2x-5,則M與N的大小關(guān)系為

【答案】M>N!N<M

【解析】因?yàn)椤?，一3,N=2x-5,

所以M—N=X2—3—（2X_5）=JC2—2X+2=（X—1）2+1>0,

所以M>N.

故答案為：M>N

變式4.（2023?吉林長(zhǎng)春?高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)。、6為實(shí)數(shù)，比較兩式的值的大?。篴*2+b2

2a-2b-2（用符號(hào)＞,2,＜4或=填入劃線部分）.

【答案】＞

【解析】^a2+b2-（2a-2b-2）=（a-1）2+（Z＞+1）2＞0,a=1,6=-1時(shí)等號(hào)成立，

所以/+/22。-2）-2.

故答案為：＞

變式5.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）P=a2+a+l,Q=一一則P,Q的大小關(guān)系為_(kāi)______.

a—a+1

【答案】＞

【解析】因?yàn)镻=a2+a+l=]a+g[+；＞o,+i=+|＞0則Q＞0

所以P2Q

故答案為：＞

變式6.（2023?上海寶山?高一?？计谥校┤绻鹸＜0,0＜y＜l,那么上，工!從小到大的順序是

【答案】。＜上＜廣

XXX

9

2

【解析】因?yàn)槿齻€(gè)式子很明顯都是負(fù)數(shù)，所以上=ye（0,l）,所以匕＞上；

yxx

X

2

同理牛=ye（0,l）,所以

XX

X

綜上：—

XXX

故答案為：

XXX

題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

例7.（多選題）（2023?高一單元測(cè)試）如果。,瓦。滿(mǎn)足cvbva,且acv。，那么下列不等式中一定成立的是

()

A.ab>acB.(b-a)c>0

C.cb2=ab2D.ac(a-c)<0

【答案】ABD

【解析】由實(shí)數(shù)dc滿(mǎn)足c<6<a,且ac<。，可得a>O,c<。，

對(duì)于A中，由6>c,a>0,可得必>ac,所以A正確；

對(duì)于B中，由，<。，可得b-a<0,因?yàn)閏<0,所以（6-a）c>0,所以B正確；

對(duì)于C中，當(dāng)匕=0,則>2=0,可得劭2=話2,所以c不正確；

對(duì)于D中，由c<。，可得a-c>0,因?yàn)閛c<0,所以ac（a-c）<0,所以D正確.

故選：ABD.

例8.（多選題）（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）下列命題為真命題的是（）

Qb

A.若a>6>0,貝1」〃02>歷2B.若d>6>0,則〃+：>/?+—

ba

C.若a<b<0,貝!Ja?</D.若a<Z?<0,貝!!!>:

ab

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)。=0時(shí)，不等式不成立，故A是假命題；

0bnh

對(duì)于B,若a>5>0,則：〉1,0<-<1,所以，+=>人+±,故B是真命題；

baba

對(duì)于C,若a<b<0,貝1J/，〃。，〃匕〉/,

所以故c是假命題;

對(duì)于D,若a<Z?<0,則一>不成立，故D是真命題.

ab

故選：BD.

例9.（多選題）（2023?江蘇南京?高一江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。，b,ceR,則下列結(jié)論正

確的是（）

11

A.若ac>be,則a>6B.若a〈b<0,則/>ab

(ih

C.若c>a>b>0,則----<----D.6?>Z?>1,貝ljQ—>b

c-ac-bba

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A：因?yàn)閍c2>8c2,所以。2>0,所以〃>>，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)樗浴猘>—Z?>0,兩邊同乘以-〃得/>ab，故B正確;

對(duì)于C：因?yàn)椤?gt;a>b>。，所以0<。一〃<。一人，所以1又a>b

0,兩式相乘得

c—ac-b

3>一J,故c錯(cuò)誤；

c-ac—b

a-bab-\\

對(duì)于D：=(Q_/7)一（〃一。）

ababJ

因?yàn)閍>b>l,所以必>1,所以（"6）（約]>。，所以“-：”二，故D正確.

yab）ba

故選：ABD

變式7.（多選題）（2023?湖南長(zhǎng)沙?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列不等式成立的是（）

A.若a>b,貝!]〃。2>兒2B.若a>0>b,則abv/

C.若就=4,則a+Z?>4D.若a>b,c>d,貝

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)。=0時(shí)，貝1」改2=慶2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由。>0〉/?,則就<0,a2>0,故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)〃=/?=一2,貝iJa+b=Y,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由c>d,則a+c>Z?+d,所以a—d〉b—c,故D正確.

故選：BD.

變式8.（多選題X2023?寧夏吳忠?高一統(tǒng)考期中）若。,4。是不為0的實(shí)數(shù)，且。<b,則下列不等式一定成

立的是（）

A.ac>bcB.c—3a>c—3bC.—>—D.a\a\<b\b\

ab

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)a〈b,c>。時(shí)，ac<be,故A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)閏—3Q—（c—3Z?）=30—a）>0,BPc—3a>c—3b,故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)a<0</?時(shí)，故C不正確；

ab

對(duì)于D,由可得。<8<0或OvavZ?或a<0<Z?,

當(dāng)a<b<0時(shí)，IJJlj-a>-b>0,|a|>|Z?|>0,t^-a\a\>-b\b\,^a\a\<b\b\,

當(dāng)Ovavb時(shí),則0<|4<網(wǎng),t^a\a\<b\b\,當(dāng)avOeb時(shí),則a|a|<A|6|,

所以由可得〃1。1<6|6|,故D正確.

故選：BD.

變式9.（多選題）（2023?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末）若3>5>0,m>0,則下列不等式成立的是（）

A.a2>b2B.a3+b^<ab2+a2b

1.1—a+ma

C.a——<b——D.--------<—

abb+mb

【答案】AD

【解析】對(duì)于A,由<3>6>0,則/>〃，故A正確；

332112

對(duì)于B,a+b-^ab+ab^={<a+b]^a-ab+b^-ab^a+b）=^a+b][a-b^,

由d>6>0,所以〃+〃3>"2+々2。，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由a>3>0,可得所以二>",

abab

所以。-故c錯(cuò)誤；

ab

a+mab^a+m)-a{b+m)m(b-a)

b+mbb(b+m)b[b+m)1

,,.a+maa+ma,,_

由a>6>0,則n-------<0,a即n----<—,故D正確.

b+mbb+mb

故選：AD.

題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

例10,（2023?高一課時(shí)練習(xí)）證明下列不等式：

（1）已知。e>f,c>0,求證/一比<6-兒

（2）已知a>6〉0,c<d<0,求證：行<「.

【解析】⑴證明：a>b,c>0,

/.ac>bc,—ac<—be,

又因?yàn)閑>九即/<?,

所以bj

(2)證明：Qc<d<0,—<0,/.—>—>0；

acac

「，abab

又a>6>0,「?一-->—~d<~c；

ac

Y1

例11.（2023?河北石家莊?高一?？计谥蠿D比較（尤+1），+]+1）與（尤+萬(wàn)乂f+x+l）的大小.

⑵已知求證：

[解析]⑴(尤+1)(/+■|+l)-(x+f(尤?+x+l)

+，+1一廿+4+二+7」>0

=X3+-3X2

22I2222

所以(1+1)(X2+楙+1)>(%+[)(兀2+1+1).

(2)因?yàn)閏i>b,ub>0,所以—>0,所以〃x—>Z?x—,

ababab

所以/即“

例12.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一統(tǒng)考期中）證明不等式.

(l)bc-ad>0,bd>0,求證：；

ba

bbc

(2)已知〃>Z?>c>0,求證：------>------->-------.

a—hQ—cQ—c

【解析】(1)證明：

bdbdbd

因?yàn)?，bc-ad>0,所以，ad-bc<0,

又bd>0,所以，竺伊40，

ba

(2)證明：因?yàn)椤?gt;Z?>c>0,

所以有，~b<—c90<Q—Z?<Q—c,/?—c>0,

則bbZ?(6z-c)-Z?(a-Z?)Z?(Z?-c)

、a—ba—c—Z7)(tz—c)(4Z—/?)

即有，一b、>—hL成立；

a-ba-c

因?yàn)?，a-c>0,所以，—^―>0,

a-c

hc

又b>c,所以，一>—成立.

u—cci—c

所以，有芻>上>工.

a-ba—ca-c

變式10.(2023?高一課時(shí)練習(xí))閱讀材料：

(1)若x>y>0,J!Lm>0,貝!J有上<^^

xx+m

(2)若av》,cvd,貝!J有。+cvZ?+d.

請(qǐng)依據(jù)以上材料解答問(wèn)題：

nhc

已知。，b,。是三角形的三邊，求證：=+—下<2.

b+ca+ca+b

【解析】因?yàn)閙6,c是三角形的三邊，則b+c>a>0,由材料(1)知，二<4上二=-—

b+cb+c+aa+b+c

同理_h\<一2b^,三c<一2u^,由材料⑵得：

a+ca+b+ca+ba+b+c

abc2a2b2c2(a+b+c).

----+----+----<-------+-------+-------=---------=2,

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

所以原不等式成立.

變式11.（2023?河北衡水?高一?？茧A段練習(xí)）已知12v〃v60,15<&<36,求，-2b,學(xué)的取值范圍.

b

【解析】因?yàn)?5<h<36,所以—72<—2匕<—30.

又12V。<60,

所以12—72<〃—2b<60—30,

即一60<〃一2/?<30.

因?yàn)?2v〃v60,所以24v2〃vl20,

因?yàn)?5<36,所以

36b15

…242a120

所以——<丁<—，

36b15

即沁<8.

所以a-26的取值范圍是（-60,30）,彳的取值范圍是，8

題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小

例13.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知。>6>c>d>0,則下列結(jié)論不正確的是（）

abac

A.a+c>b+dB.ac>bdC.—>—D.—>—

cddb

【答案】C

【解析】c>d,.\a+c>b+d,故A正確；

c>d>0,ac>bd,故B正確；

取a=4,6=3,c=2,d=0.1,則@=2,§=30,此時(shí)故C錯(cuò)誤；

caca

則>0,又a>b>0,則—,故D正確.

acac

故選：C.

例14.(2023?高一課時(shí)練習(xí))若a>b,則()

A.cr>b2B.ac2>be2C.|。|>網(wǎng)D.\a\>b

【答案】D

【解析】對(duì)于A,C,令a=l,b=-2,滿(mǎn)足而片<廿，|°|<|切，AC錯(cuò)誤;

對(duì)于B,令c=0,ac2-be2,B錯(cuò)誤；

對(duì)于D,|。色。>人，D正確.

故選：D

例15.（2023?廣東深圳?高一深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┰O(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，且a<6<0,則下列不等式正

確的是（）

A.~<TB.ac2Vbe2C.—D.同>同

1111

abab

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?、b、。為實(shí)數(shù)，且〃<b<0,

所以一>7，同>同，a2>b2ab>0,故A錯(cuò)誤，D正確；

ab

當(dāng)。=0時(shí)分="2,故B錯(cuò)誤，

因?yàn)?一2=仁4<0,所以2<9,故C錯(cuò)誤；

ababab

故選：D

變式12.（2023?福建泉州?高一?？计谥校┤粢欢ǔ闪⒌氖牵ǎ?/p>

A.a+ob+cB.a2>b2

C.ac2>be2D.—<-r

ab

【答案】A

【解析】若a>。，則a+c>"+c,故A正確；

當(dāng)q=l,6=_2時(shí)，a2=l<4=b2,-=l>-^-=^,故BC錯(cuò)誤；

a2b

當(dāng)。二0時(shí)，ac2=bc2=0,故C錯(cuò)誤.

故選：A.

變式13.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知。也Gd￡R,且a>b,c>d,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a+c>b+dB.a—c>b—d

ab

C.ac>bdD.—>—

dc

【答案】A

【解析】由Q,6,c,d￡R,且a>b,c>d,可得a+c>>+d,A正確；

取a=3,b=2,c=l,d=0,滿(mǎn)足條件，\^a-c=b-d,B錯(cuò)誤；

（1h

取。=3*=2,。=一2,1=—3,滿(mǎn)足條件，但ac=Z?d,—=-,C,D錯(cuò)誤；

ac

故選：A

變式14.（2023?安徽合肥?高一校考期末）下列命題為真命題的是0

A.若a>6>0,貝”的2>兒2B.若a>6>0,則〃之〉/

C.若貝!JQ2<〃2D,若貝

aD

【答案】B

【解析】對(duì)于A,若a>b>0,則ac?〉歷2,當(dāng)。=0時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a>6>0,所以/一吟3+瑣?！?。,則a?〉/,故B正確;

對(duì)于C,若。<6<0,則/<凡取.=-2,6=-1,計(jì)算知不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a<b<0,貝1jL<\,取。=-2,。=-1,計(jì)算知不成立，故D錯(cuò)誤.

ab

故選：B.

題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

例16.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知0Wa+6<l,2Va-6<3,則8的取值范圍是.

【答案】GT

【解析】由題意，

在2<a—Z?<3中，

—3<b—a<—2

*.*0<a+b<l,

31

—3<2b<-1,解得：—<b<—,

22

故答案為：卜;口

TTJT

例17.（2023?江西贛州?高一上猶中學(xué)?？贾軠y(cè)）若a,乃滿(mǎn)足-1<a,則a-4的取值范圍是

【答案】（-無(wú)⑼

【解析】因?yàn)椤猤vaW/wg,所以—gvawg,<~!3<,

222222

-Tt<a-/3<TI,

又a-尸<。，

-7i<a—6<0.

故答案為：（-兀⑼

例18.（2023?貴州貴陽(yáng)?高一校聯(lián)考期中）已知l<q<3,-2<b<l,則a+2b的取值范圍是.

【答案】（—3,5）

【解析】V-2<b<l,：.-4<2b<2,

1<a<3,-3<a+2b<5.

故答案為：（-3,5）.

變式15.（2023?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知lVa+bV4,-l<a-b<2,貝|3a+2Z;的

取值范圍是.

【答案】[2,11]

【解析】設(shè)3。+2b=x（a+b）+y（a—Z?）=（x+y）a+（x-y）b,

5

%+y=32

所以…一解得

因?yàn)閘Wa+b?4,-l<a-b<2,則:+一6）V1,

因止匕，2W3a+2人W1L

故答案為：[2,11].

變式16.（2023?上海寶山?高一上海市吳淞中學(xué)校考階段練習(xí)）若1<。+8<4,-2<a-b<4,貝1」。+36的取

值范圍是.

【答案】（-2,10）

I^2+〃=]IfYl—2

【解析】令a+3b=m（。+6）+”（。一6）,貝"°,解得<,

[m-n=3[n=-l

因?yàn)?<2（a+b）<8,—4<—（a—b）<2,故a+3Z>e（—2,10）,

故答案為：（-2,10）

變式17.（2023?湖南衡陽(yáng)?高一衡陽(yáng)市一中?？茧A段練習(xí)）已知lWa-〃<2,2<a+bW4,則5a-38的取值范

圍是?

【答案】[6,12]

【解析】由題意可得5a-3人=4（。-6）+（。+勿，

因?yàn)?Wa-/W2,2〈a+/V4,所以4V4m-6）W8,

故644（。-，）+（a+6）412,

即5a-3b的取值范圍是[6,12],

故答案為：[6,12]

JTJT

變式18.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若a、夕滿(mǎn)足一]貝"2a-夕的取值范圍是.

【答案】[（丁3兀兀'J、

【解析】因?yàn)椤汀词窗?，則—二<。<二，且?！?lt;0,所以，—兀va—￡v。，

222222

所以，一弓<（0_尸）_"

故2"分的取值范圍是1-萼，乳

故一答山案d.為、，：[I-彳3K，5711I

、-fl<x+y<2

變式19.（2023?吉林?高一吉林毓文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)%,>滿(mǎn)足八7『則力+y的取值范

[0<x-J<1

圍為一

【答案】（2,5）

【解析】由不等式的性質(zhì)求解即可.

3x+y=2（x+y）+（x-y）,

、fl<x+y<2

因?yàn)閷?shí)數(shù)尤，y滿(mǎn)足八',,

[0<x-y<1

所以2<2（%+））+（%->）<5,

即3》+》的取值范圍為（2,5）.

故答案為：（2,5）.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2023?四川眉山?高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校考期末）已知l<x<3,-3<y<l,則尤-3衛(wèi)的取值范圍是

()

A.(0,12)B.(-2,10)C.(-2,12)D.(0,10)

【答案】C

【解析】,一3<》<1,

-3<-3y<9,又l<x<3,

—2<x—3y<12

故選：C

2.(2023?山東濟(jì)寧?高一曲阜一中?？计谀?已知0<a—6<2,2<a+b<4,則3a+人的范圍是()

A.(4,8)B.(6,10)C.(4,10)D.(6,12)

【答案】C

【解析】設(shè)3a+6=x(a-6)+y(a+b)=(x+y)a+(y-x)b,

[x+y=3(x=l

得，，解得：c，

[丫_尤=11y=2

所以3o+6=(a->)+2(a+b),

因?yàn)?<a-b<2,2<a+b<4,所以4<2（a+b）<8,4<（a-Z?）+2（a+Z?）<10,

所有3。+》的范圍是（4,10）.

故選：C

3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列各式中，不能判斷其符號(hào)的是（）

A.a2+a+\B.a2-a+1C.\a\+a+lD.a2+\a\-1

【答案】D

【解析】tz2+a+l=^?+^+：>0,故A正確；

+l=+［〉（），故B正確；

當(dāng)a20時(shí)，|Q|+Q+1=2Q+1>0；當(dāng)〃<0時(shí)，\a\+a+l=l>0,故C正確；

當(dāng)a=0時(shí)，6/2+|tz|-1=-1；當(dāng)a=l時(shí)，片+時(shí)―1=1；當(dāng)〃=一1；時(shí),片+問(wèn)―1=0,則〃2+時(shí)_］的值

可正，可負(fù)，也可能為0,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若4，則（）

ab

A.a>Z?>0B.b<a<QC.a<0<bD.ab2<a2b

【答案】D

【解析】若工<:，則’一；=?<0,則h（6—a）<0,即"2—°%<。，即而2</人

ababab

故選：D.

5.（2023.高一單元測(cè)試）設(shè)M=2a（a-2）+7,N=（a-2）（a—3）,則有（）

A.M>NB.M>N

C.M<ND.M<N

【答案】A

【解析】M-N=（2a2-4a+l）-（a2-5a+6）=a2+a+l=^a+^+|>0<：.M>N.

故選：A.

6.（2023?廣西?高一校聯(lián)考期中）下列命題為真命題的是（）

A.若a<Z?<0,則ac2VA2B.若則/〈々〃〈廿

C.若a>b,c>d,貝ljac>bdD.若a〉b>c>0,貝lj￡<￡

ab

【答案】D

【解析】對(duì)于A：當(dāng)。=0時(shí)，ac2=bc2=0,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)a</?v0時(shí)，a2>ab>b2B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：取1=2,。=1,。=一2,1=-3滿(mǎn)足">/?,c>d,而ac=-4,bd=-3,止匕時(shí)acvbd,C錯(cuò)誤；

1111cc

對(duì)于D：當(dāng)d>6>0時(shí)，貝lj而〉0,所以即上〈匕又c>0,所以一D正確.

abababab

故選：D.

7.（2023?高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.^a>b>0,c<d<0,則一定有B.若之>乂,則“>b

cdcc

/7+n7n

C.若Z?>a>0,根>0,則---->—D.^a>b,c<d,貝—

b+mb

【答案】A

【解析】對(duì)于A,若a=2,6=l,c=-2,d=-l,則0=與，故A錯(cuò)誤.

ca

nh

對(duì)于B,由=>=,可知。2。0,所以，〉o,所以故B正確.

cc

a+maab+bm-ab-am_m(b-a)

對(duì)于C,因?yàn)椤?gt;。>0,m>。，

b+mbb-(b+m)b?(b+m)

「一、，m(b-a)八?a+ma十

所以,,>o,所以lkl;——.故C正確.

b-(.b+m)b+mb

對(duì)于D,因?yàn)椤?lt;2,所以一c>—d.又a，所以Q—。>b—d.故D正確.

故選：A.

8.（2023?江蘇鹽城?高一統(tǒng)考期中）設(shè)p=&,。=幣-6,R=顯&,則P,Q,R的大小順序是（）

A.P>Q>RB.P>R>Q

C.R>P>QD.Q>R>P

【答案】B

【解析】P-7?=V2-(A/6-V2)=2A/2->/6=A/8-A/6>0,

:.P>R,

R_Q=娓一亞_(不一而=(娓+6)_(幣+A/2),

而(遙+后=9+2萬(wàn)，(近+")2=9+2函，

而18>14,

.-.A/6+A/3>V7+V2,即A>Q,

綜上，P>R>Q.

故選：B.

二、多選題

9.(2023?浙江?高一校聯(lián)考期中)已知實(shí)數(shù)a>10>c>d,則下列不等式正確的是()

A.ab>cdB.a+ob+dC.ad2>be2D.—<^―

bead

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，取a=2,b=l,c=-3,d=Y,

則必=2,cd=12,所以ab<cd,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，由已知可得，a>b,c>d,所以a+c>〃+d,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)閐<c<0,所以屋>02>0

因?yàn)閍>6>0,所以〃儲(chǔ)>仇:2,故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閐<c<0,所以一d>—c>0.

因?yàn)閍>6>0,所以-ad>-be,

所以〃v〃c,所以以/-〃cvO.

又abed>3所以，」-々=牛牛<0,所以故D項(xiàng)正確.

beadabcabead

故選：BCD.

10.（2023?云南玉溪?高一云南省玉溪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知。力,c,deR,則下列結(jié)論正確的為（）

A.若a>b,c>d,貝！|ac>6dB.若6<a<0,c<0,則（a—6）c>0

C.若ac2>be2,則°>bD.若a>b,c>d,貝!|a-d>b—c

【答案】CD

【解析】對(duì)于A：當(dāng)a>6>0,c>d>0,則ac>6d,

若。=10,6=1,c--\,d--2,顯然滿(mǎn)足。>6,c>d,但是ac=-10、bd=-2,止匕時(shí)ac<6d,故選項(xiàng)

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)槿?<a<0,所以a—b>0,又c<0,貝U（a-6）c<0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)閍?〉知?,所以cwO,BPc2>0,所以。>b,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：若c>d,貝i|-d>-c,又因?yàn)椤?gt;>，所以根據(jù)不等式的同向可加性，得a-d>b-c,故選項(xiàng)D正

確；

故選：CD

11.（2023?云南昆明?高一昆明一中統(tǒng)考期末）已知為實(shí)數(shù)，貝1］（）

A.若a>b,則ac?〉》/B.若a>b,貝！|a+c>b+c

/7/7+r?be

C.若a>b>c>0,貝！J—>------D.若a>b>c>0,貝!J------>-------

bb+ca-ba-c

【答案】BCD

【解析】當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2,A錯(cuò)誤；

a>b,則（a+c）-（》+c）=a—〃>。，即a+c>6+c,B正確；

a>b>c>0,貝|〃一/?〉0,b+c>0,

.aa+cQ(/?+C)—僅a+c)c(a-b).a+c〃十普

?-T—j-=----一~~;-----=777~~..ya>--，C正確；

bb+cb(b+c)b(b+c)bb+c

a>b>c>Qf貝！Ja-Z?>0,a-c>Q,b-c>Q,

.bcb(a-c)-c(a-b)a(b-c)bc

??---------------=-----------------------=----------------->0,即---->----

a-ba-c(a-b)(a-c)(a-b)(a-c)a-ba-c

故選：BCD.

12.（2023?吉林長(zhǎng)春?高一?？茧A段練習(xí)）已知-2<〃+b<4,2<2a—b<8,則下列不等式不正確的是（）

A.0<a<4B.0<&<2

C.-6<a+2b<6D.0<Q+2b<8

【答案】BD

【解析】.一2va+Z?v4,2<2a-b<8,

~2+2va+Z?+2a—Z?v4+8,.,.0v3avl2,/.04,AZE^I；

2V2a—Z?v8,—8VZ?—2av—2,

~2va+Z?v4,.,.-4v2a+2bv8,

J-8<b—2a<—2

.[~4<2a+2b