與對稱有關的題復習講義

在中考中經(jīng)常考查翻折問題.翻折問題屬于軸對稱問題，翻折前后的圖形是全等圖形，折痕為對稱軸，這樣就可

以應用軸對稱的性質(zhì)尋找相關的等量，這是解答翻折問題的關鍵所在.此外中考中也經(jīng)?？疾檩S對稱的另一類問題，

即求折線和最短問題.

解題策略一

"將軍飲馬”類求折線和最短問題，其核心策略分以下兩步：

1.利用軸對稱作定點關于動點所在直線的對稱點；

2.然后把折線和最短問題轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短問題或點到直線的距離來解答.

"胡不歸"問題(AP+^PB,n<6)類折線和最短問題，其核心策略分以下兩步：

1.以B為頂點、PB為與在點A的異側(cè)構造角a,令sina=》

2.然后把折線和(AP+'PB)最短問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離的問題來解答.

精選例題

例1.已知AABC是等腰直角三角形/BAC=90°,將AABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,記旋轉(zhuǎn)角為a,當

90°<a<180°時，作A'D^AC,垂足為點D,A'D與B'C交于點E.

(1)如圖L當NCA'D=15。時，作NA'EC的平分線EF交BC于點F.

①寫出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

②求證:EA'+EC=EF;

(2)如圖2,在⑴的條件下，設P是直線4力上的一個動點，連接PA,PF,若AB=/求線段,PA+PF的最小

值(結(jié)果保留根號).

解析

(1)①a=180°-NA'CD即可；

②發(fā)現(xiàn)FX：,EC,EF是共頂點、不共線的三條線段，可考慮“截長補短"，在EF上截取EM=EC,易證明.△CF

不和ACME是等邊三角形，應用"手拉手"全等模型可證明AFCM三△a'CE(SAS),即可解決問題；

⑵點P在定直線A'D上，點F和點A是.4萬同側(cè)的兩個定點，求線段PA+PF的最小值，滿足"將軍飲馬”

模型.

解Q)①旋轉(zhuǎn)角為105°.

理由：如答圖1

-.A'D±AC,

.■.zA'DC=90°.

?.zCA'D=15°,

.?.zA'CD=75°.

.?.zACA'=105°.

，旋轉(zhuǎn)角為105°;

②證明如答圖L連接A'F,設EF交s'于點。.在EF時截取EM=EC,連接CM.

?.zCED=zA,CE+zCA,E=45o+15o=60°,

.?.zCEA'=120°.

■??FE平分NCEA',

.?.zCEF=zFEA'=60°.

?.zFCO=180o-45o-75o=60°,

.-.zFCO=zA'EO.

?.ZFOC=ZA'OE,.-.AFOC-AA'OE.

OF_PC

,,—?

AO0E

OF_AO

"OC-OE'

?.-zCOE=zFOA',

.".ACOE-AFOA'.

.?.zFA'O=zOEC=60°.

."A'CF是等邊三角形.

???CF=CA=AF.

?.EM=EC,zCEM=60°,

.”CEM是等邊三角形/ECM=60°,CM=CE.

?.zFCA'=zMCE=60°,

.?.zFCM=zA'CE.

."FCM斗A'CE(SAS).

.■.FM=A'E.

.?.CE+A'E=EM+FM=EF;

(2)如答圖2,連接A'F,PB',AB',作B'M±AC交AC的延長線于點M.由②可知,NEA'F='EAB=75°,A'E=A'E,A'

F=A'B'.

??.AAEF=LAEB.

.-.EF=EB'.

二點B',F關于A'E對稱.

.■.PF=PB'.

.-.PA+PF=PA+PB'>AB'.答圖2

在RfCB'M中，

CB'=BC=&AB=2,NMCB'=3?！?

BM=^CB'=1,CM=V3.

AAB,=JAM2+B'M2=J(V2+V3)2+l2=16+2訪

.,.PA+PF的最小值為76+2V6.

n____1r

例2.如圖，在四邊形ABCD中,NB=NC=90*AB>CD,AD=AB+CD./

⑴利用尺規(guī)作NADC的平分線DE,交BC于點E,連接AE(保留作圖痕跡，不寫作法);/

(2)在(1)的條件下，/

①證明:AE^DE;/

②若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點，求BM+MN的最小值./

---------------------'B

■，解析

Q)只要掌握了幾種基本作圖，此問不難解答；

(2)①由于DCllABzADC的平分線DE利用角平分線+平行線一等腰三角形，可以考慮驗證DE與AB相交，

延后找到等腰三角形，并結(jié)合等腰三角形"三線合一”的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②仔細分析可發(fā)現(xiàn)符合"軸對稱相關的最短路徑問題"模型二，所以只需作點B關于AE的對稱點，利用點

到直線的距離最短即可解答.

解(1)如答圖1/ADC的平分線DE;

(2)①如答圖2,延長DE交AB的延長線于點F.

???CDIIAF,

.-.zCDE=zF.

?.zCDE=zADE,

..NADF=NF.

.-.AD=AF.

?.AD=AB+CD=AB+BF,答圖1

.-.CD=BF.

?.NDEC=NBEF,

「.△DEC%FEB.

.-.DE=EF.

■.AD=AF,

.-.AE±DE;答圖2

②如答圖3,作點B關于AE的對稱點K,連接EK作KH±AB于點H,DG±AB于點G.連接MK.

?.AD=AF,DE=EF,

/.AE平分NDAF,則3EK學AEB.

...AK=AB=4.

在RhADG中，DG=7AD?-AG2=4企

?/KHllDG,

tKH_AK

"DG-AD'

tAK_4

-4V2-6

KH=—.

3

-,MB=MK,

.-.MB+MN=KM+MN.

，當K,M,N三點共線，目與KH重合時,KM+MN的值最小，最小值為KH的氏合冏5

」.BM+MN的最小值為

另解：(1)由于DCllAB,zADC的平分線DE,AD=AB+CD.可以在AD邊上截取DK=DC,然后證明ADEC^DEK(S

SS),貝UNAKE=NC=NB=90°,AK=AB,AE=AE,可得AAEKVAAEB(HL),所以AE平分/BAD,利用平行線中同旁內(nèi)角的

角平分線垂直可得到AE±DE.

由(1)可知點K即為點B關于AE的對稱點，下面與上述方法相同.

精選練習

如圖，在RfABC中/BAC=30°,E為AB邊的中點，以BE為邊作等邊^(qū)BDE,連

接AD,CD.

⑴求證:SDE學CDB;

(2)若BC=百，在AC邊上找一點H，使得BH+EH最小，并求出這個最小值.

解題策略二

對于探究兩條線段間的數(shù)量關系要充分應用全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理.熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等或相似是解決問題的關鍵.

對于探究不在同一直線上(尤其是共頂點)的三條線段的和差關系，一般采用“截長補短”法構造全等三角形或

者利用三角函數(shù)來解答.

精選例題

例如圖，在正方形ABCD中,E是邊AB上的一動點(不與點A,B重合)，連接DE,點A關于直線DE的對稱點為

F,連接EF并延長交BC于點G連接DG,過點E作EH^DE交DG的延長線于點H,連接BH.

⑴求證:GF=GC;

(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關系，并證明.

解析

(1)連接DF,根據(jù)對稱的性質(zhì)可知AD=DF=CD,然后證明三角形ADFG和RCG全等即可得到GF=GC;

(2)根據(jù)(1)可求得NEDH=45*ADEH是等腰直角三角形,然后在AB上構造"一線三等角"全等模型即可求解.

解(1)證明:如答圖L連接DF.

???四邊形ABCD為正方形，

，DA=DC=AB,

NA=NC=NADC=90°.

又.?點A關于直線DE的對稱點為F,

.,.△ADE%FDE.

，DA=DF=DC,

NDFE=NA=90°.

.-.zDFG=90o.

在Rt-DFG和RbDCG中，

(DF=DC,

IDG=DG,

.“DFG%DCG(HL).

.-.GF=FC;

(2)解法一:如答圖2,在線段AD上截取AM,使AM=AE.

?.AD=AB,

.-.DM=BE.

由(。得N1=N2/3=N4.

.NADC=90°,

..N1+N2+N3+N4=90°.答圖2

.-.2z2+2z3=90o.

..N2+N3=45。.

..NEDH=45°.

---EH±DE,

，NDEH=90°,ADEH是等月要直角三角形..?.DE=HE.NA=90°.

?.zl+zAED=90°,

又.25+NAED=90°,

.,.zl=z5.

在ADME和AEBH中,

DM=BE,

4=^5,

DE=EH,

."DME當EBH(SAS).

.-.ME=BH.

?.zA=90°,AM=AE,

.".ME=V2AE.

，BH=V2AE.

解法二：一線三等角模型.

如答圖3,過點H作AB的垂線交AB延長線于點N.

.-.zENH=90°,

由解法一可知DE=EH/1=N5.

在ADAE和AENH中，

ZA.=NENH,答圖3

為=^5,

DE=EH,

「.△DAE%ENH(AAS).

..AE=NH,AD=EN.

..AD=AB.

.AB=AE+BE,EN=BE+BN,

??.AE=BN二NH.

?.NENH=90°,BN=NH,

，BH=V2BN.

.-.BH=V2AE.

精選練習

1.在矩形ABCD中，AB=5,BC=8,點E,F分別為AB,CD的中點.

(1)求證:四邊形AEFD為矩形；

(2)如圖2,點P是邊AD上一點,BP交EF于點。點A關于BP的對稱點為點M,當點M落在線段EF上時,

則有(OB=0M,請說明理由；

⑶如圖3,若點P是射線AD上一個動點，點A關于BP的對稱點為點M,連接AM,DM,當△AMD是等腰三

角形時，求AP的長.

2.已知在RfABC中/BAC=9(T,CD為NACB的平分線，將NACB沿CD所在的直線對折，使點B落在點B,

處，連接AB',BB',延長CD交BB，于點E,設/ABC=2a(0°<a<45°).

⑴如圖1,若AB=AC,求證:CD=2BE;

(2)如圖2,若AB/AC,試求CD與BE的數(shù)量關系(用含a的式子表示)；

⑶如圖3,將(2)中的線段BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角(a+45)得到線段FC,連接EF交BC于點。設《OE的面

積為.S小。。尸的面積為S,求式用含a的式子表示).

解題策略三

翻折就是軸對稱，這是翻折問題的本質(zhì)，可以利用軸對稱的性質(zhì)即全等變換，找出相應的相等線段、垂直(對

應點連線垂直折痕)、相等的角進行解答.

關于路徑問題，最關鍵的是確定所求點的軌跡，初中階段點的軌跡一般有兩種：直線型和圓.圓的軌跡的確定一

般有兩種方式，一種是利用圓的定義，另一種是利用定圓定角模型尋找隱藏的定圓.

1.翻折問題中對應點與折痕上的連線相等，對應點與折痕上的點三點構成等腰三角形.

2.在矩形或正方形中有折疊時，通常有把相等的對應線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中應用勾股定理進行解答.

3.折疊問題中有平行線時，往往存在等腰三角形，利用等腰三角形和平行線的性質(zhì)可以找到等角，也可以把相

等的線段進行遷移到同一個三角形中.

4.折疊問題中可能存在相似關系.解答折疊問題時應注意上面關系的應用.

精選例題

例如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AB=1,BC=遮，點E在邊CD上移動，連接AE,將多邊形ABCD沿直

線AE折疊，得到多邊形AB'C,E,點B,C的對應點分別為點B',C.

(1)當BC恰好經(jīng)過點D時(如圖1),求線段CE的長；

(2)若BC分別交邊AD,CD于點F,G,且NDAE=22.5。(如圖2),求3FG的面積；

(3)在點E從點C移動到點D的過程中，求點。運動的路徑長.

解析

Q)如圖L設CE=EC'=xJ^DE=l-x,由"一線三等角"模型可證4DB‘DEC；可得喘="冽出方程即可解決問

DEEC

題；

(2)如圖2,通過已知角進行推導可得證明AAFB',ADFG都是等腰直角三角形,求出DF即可解決問題；

(3)AC的長度不變，所以點C的運動路徑是以A點為圓心AC長為半徑的弧CC,求出圓心角、半徑即可求點

C'運動的路徑長.

解⑴如答圖1,設CE=EC=x，則DE=l-x,

..NADB'+NEDC'=90°,NB'AD+NADB'=90°,

..NB'AD=NEDC'.

?.zB,=zC,=90°,AB,=AB=l,AD=W,

：.DB'=V3^T=V2.

.-.AADB'-ADEC.

,.,AD_—DB.

DEEC'

.V3_V2

,,—?

1-xx

=V6-2.

.'.CE=V6-2;

⑵如答圖2,

?.-zBAD=zB'=zD=90o,zDAE=22.5°,

.".zEAB=zEAB'=67.5°.

,?.zB'AF=zB'FA=45°.

.?.zDFG=zAFB'=zDGF=45°.

.-.DF=DG.

在Rt-AB'F中，AB=FB'=1,

AAF=&AB'=V2.

=愿—五.

DF=DG2

SDFG=|(V3-V2)=I-V6;

⑶如答圖3,點C的運動路徑的長為弧CC'的長.

在Rt-ADC中，；tan/ZMC=—=—,

.,.NDAC=3(T,AC=2CD=2.

?.zC'AD=zDAC=30°,

..NCAC'=60°.

二弧CC的長=若=手

精選練習

1.如圖，在AABC中,.AB=4VXNB=45°/C=60°.

(1)求BC邊上的高線長；

⑵點E為線段AB的中點點F在邊AC上，連接EF,沿EF將MEF折疊得到SEF.

①如圖2,當點P落在BC上時，求NAEP的度數(shù);

②如圖3,連接AP,當PFLAC時，求AP的長.

圖1圖2圖3

2.如圖，在正方形ABCD中,E是DC邊上一點(與點D,C不重合)，連接AE,將^ADE沿AE所在的直線折疊得

至!J&AFE,延長EF交BC于點G,連接AG,作GH^AG,與AE的延長線交于點H,連接CH.顯然AE是/DAF的平分

線，EA是NDEF的平分線.仔細觀察，請逐一找出圖中其他的角平分線(僅限于小于180。的角平分線)，并說明理由.

3.3與旋轉(zhuǎn)有關的題

以旋轉(zhuǎn)為主的幾何變換綜合題，綜合性較強，屬于中考壓軸題型之一，關鍵是要靈活應用所學的知識，特別是

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行解答，在解答的過程中要充分利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，要學會、掌握輔助線的添加方法.

解題策略一

利用旋轉(zhuǎn)探究不在同一條直線上的共頂點的三條線段的數(shù)量關系問題，常用的策略如下：

L利用旋轉(zhuǎn)把線段遷移到同一個三角形或者同一條直線上；

2.利用繞共頂點旋轉(zhuǎn)60。改變線段的方向(不改變長度)，此時會出現(xiàn)等邊三角形，注意，作輔助線時也可以作

等邊三角形，此時相當于把線段旋轉(zhuǎn)60°;

3.利用繞共頂點旋轉(zhuǎn)90。改變線段的方向，同時會出現(xiàn)原線段長四倍的線段，此時會出現(xiàn)等腰直角三角形；

4.利用繞共頂點旋轉(zhuǎn)120。改變線段的方向，同時會出現(xiàn)原線段長四倍的線段，此時會出現(xiàn)120。的等腰三角

形.

精選例題，

例1.(2018廣州)如圖，在四邊形ABCD中,NB=60°/D=30°,AB=BC.

(1)求NA+NC的度數(shù)

⑵連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)若AB=1,點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動,且滿足BE2+CE號求點E運動路徑的長度.

感解析

(1)利用多邊形內(nèi)角和即可得到答案；

(2)AD,BD,CD為共頂點D的三條線段，可以通過^ABD繞點D旋轉(zhuǎn)60。把這三條線段遷移到同一個三角形中

探究這三條線段的關系；

(3)共點E的三條線段滿足AE2=BE2+CE3同(2)類似，繞點E旋轉(zhuǎn)，把三條線段遷移到同一個三角形中，

然后通過導角尋找定角和定弦，進而確定E點的運動軌跡.

解(1)在四邊形ABCD中，

?.zA+zB+zC+zD=180o,zB=60o,zC=30°,

.?.zA+zC=360°-60°-30°=270°;屋:二^

(2)DB2=DA2+DC2.

理由：如答圖1,連接BD,以BD為邊向下作等邊三角形△BDQ.

?.zABC=zDBQ=60°,

.-.zABD=zCBQ."Q

答圖1

..AB=BC,DB=BQ,

.“ABD學CBQ.

.-.AD=CQ,zA=zBCQ.

?.zA+zBCD=zBCQ+zBCD=270°,

.-.zDCQ=90o.

DQ2=DC2+CQ2.

-,CQ=DA,DQ=DB,

???DB2=DA2+DC2,

另解:把△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。,或者把AABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。,或者把△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)

60。均可求證；

⑶解法一:如答圖2,連接AC,將MCE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得至SABR,連接RE則^AER是等邊三角形.

???EA2=EB2+EC2,EA=RE,EC=RB,

RE2=RB2+EB2.

.■.zEBR=90°.

..NRAE+NRBE=150°.

..NARB+NAEB=NAEC+NAEB=210°.

答圖2

..NBEC=150°.

?.如答圖3,點E的運動軌跡在以點。為圓心的圓上，在。。上取一點K,連接KB,KC,OB,OC.

?.zK+zBEC=180°,

..NK=30°,NBOC=60。.

??OB=OC,

.?.△OBC是等邊三角形.

.?點E的運動路徑=鬻=與

loU3

解法二：如答圖4,把線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AR,連接ER,CR,CE,后面的解法類似解

法一.

解法三：如答圖5，把線段BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BR,連接ER,AR,后面的解法類似解法一.

例2如圖l'ABC中,CA=CB/ACB=a,D為^ABC內(nèi)一點，將ACAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a得到4BE,

點A,D的對應點分別為點B,E,且A,D,E三點在同一直線上.

⑴填空NCDE=(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,若a=60。,請補全圖形,再過點C作CF±AE于點F,然后探究線段CF,AE,BE之間的數(shù)量關系，并證明

你的結(jié)論；

⑶若a=90°,AC=5a，且點G滿足/人68=90。力6=6,直接寫出點C到AG的距離.

cC

E

圖1圖2

解析

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE/DCE=a,即可求解；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=BE,CD=CE/DCE=60°,可證ACDE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得DF=

EF=即可求解；

(3)分點G在AB的上方和AB的下方兩種情況討論，利用勾股定理可求解.

解(1)?.將△以。繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角a得到ACBE,

.,.△ACD^ABCE,zDCE=a.

..CD=CE.

NCDE=

2

故答案為手；

(2)力E=BE+^~CF.

理由：如答圖1.

?.將ACAD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角60。得到ACBE,

."ACD當BCE.

.■.AD=BE,CD=CE,zDCE=60°.

.?.<DE是等邊三角形，且CF±DE.

DF=EF=—CF.

3

?.AE=AD+DF+EF,

：.AEBE+—CF;答圖1

3，

⑶如答圖2,當點G在AB上方時，過點C作CE±AG于點E.

.?NACB=9（T,AC=BC=5V2,

.-.zCAB=zABC=45o,AB=10.

???NACB=90°=ZAGB,

.,.點C,點G,點B,點A四點共圓.

.-.zAGC=zABC=45o,nCE±AG.

.-.zAGC=zECG=45o.

，CE=GE.

.AB=10,GB=6,NAGB=90°,

AG=7AB2-GB2=8.

-：AC2=AE2+CE2,

2

（5V2）=（8—CE）2+CE2.

，CE=7（不合題意舍去）,CE=1.答圖3

如答圖3,若點G在AB的下方，過點（：作CF±AG.

同理，可得CF=7.

.?點C到AG的距離為1或7.

精選練習

如圖L在矩形ABCD中，點E為AB邊上的動點(不與A,B重合)把AADE沿DE翻折，點A的對應點為A1，

延長EAi交直線DC于點F,再把NBEF折疊，使點B的對應點B1落在EF上折痕EH交直線BC于點H.

(1)求證：^ANDEOABIEH;

(2)如圖2,直線MN是矩形ABCD的對稱軸，若點A1恰好落在直線MN上,試判斷△DEF的形狀，并說

明理由；

⑶如圖3,在⑵的條件下，點G為3EF內(nèi)一點，且NDGF=150。,試探究DG,EG,FG的數(shù)量關系.

解題策略二

L旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，旋轉(zhuǎn)角相等；

2.兩個對應點和旋轉(zhuǎn)中心構成等腰三角形，這樣得到相等的線段、相等的角；

3.旋轉(zhuǎn)時可以得到“手拉手”全等模型，可以用其進行證明和計算得到有用的結(jié)論或結(jié)果.

精選例題

例1.(2019北京)已知NAOB=30；H為射線OA上一定點,(OH=<3+1,P為射線OB上一點，M為線

段OH上一動點，連接PM,滿足NOMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉(zhuǎn)150:得到線段PN,

連接ON.

(1)依題意補全圖1；

(2)求證:.N0MP=N0PN;

⑶點M關于點H的對稱點為Q,連接QP.寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有(ON=QP,并證

圖1備用圖

解析

(1)按作圖要求作出圖形即可，標出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角；

(2)由三角形內(nèi)角和角的關系易得答案;

⑶由NAOB=30。,。舊=8+1,你能想到包含30角的直角三角形嗎?可初步猜想OP=2時滿足條件，然

后通過構造全等三角形驗證結(jié)論是否成立.

解⑴如答圖1；

(2)在AOPM中,.N0MP=1800-NPOM-N0PM

NOPN=NMPN-N0PM=1500-N0PM,

.?.zOMP=zOPN；

⑶當OP=2時，對于任意點M總有ON=PQ.

理曲如答圖2,過點P作PELOA,過點N作NF±OB.

當點E在點M的右側(cè)時，

?.NOMP=NOPN,..NPME=NNPF.

在ANPF和APME中,

fNNPF=NPME,

[NNFP=NPEM=90。，

.“NPF學PME(AAS).

，PF=ME,NF=PE.

在Rt^POE中，

?.OP=2,zAOB=30°,

???PE=NF=l,OE=V3.

OH=V3+1,

.".EH=1.

答圖2

設PF=ME=a.

?.MH=ME+EH=a+l=HQ,

.-.EQ=EH+HQ=a+2=OF.

」.RtANO踵RfPQE(HL).

.-.ON=PQ.

同理，點M與點E重合或點E在點M的左側(cè)時，類似證明即可.

例2.在AABC中,CA=CB/ACB=a點P是平面內(nèi)不與點A,C重合的任意一點.連接AP,將線段AP繞點P逆時

針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接AD,BD,CP.

⑵如圖2,當a=90。時,請寫出a=90°器的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形

說明理由.

⑶當a=90時若點E,F分別是CA,CB的中點點P在直線EF上,請直接寫出點C,P,D在同一直線上時若

的值

解析

(1)NCAB=NPAD=6(T,AC=AB,AP=AD,滿足“手拉手”全等模型，利用該模型不難得到答案；

⑵NCAB=NPAD=45°,該組對應角的兩邊對應成比例，滿足"一線三等角"相似模型，利用該模型即可解決

問題；

⑶分兩種情形:當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H.證明AD=DC即可解決問題；

當點P在線段CD上時，同法可證DA=DC來解決問題.

解(1)如答圖L延長CP交BD的延長線于點E,設AB交EC于點0.入

?.zPAD=zCAB=60°,/!\

.?.zCAP=zBAD.//\\

■.CA=BA,PA=DA,

.”CAP%BAD(SAS).E口

.-.PC=BD,zACP=zABD.答圖1

如答圖2,/zA0C=zB0E,

.-.zBEO=zCAO=60o.

翳=1,線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60。.故答案為1,60°;i

⑵如答圖3,設BD交AC于點O,BD交PC于點E.

?.zPAD=zCAB=45°,

..NPAC=NDAB.

??些=2=魚

答圖AP'

.'.△DAB-APAC.

ZPCA=ZDBA,—=—=V2.

PCAC

如答圖4;/zEOC=zAOB,

.-.zCEO=zOAB=450.

二直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°;

⑶如答圖5,當點D在線段PC上時，延長AD交BC

?.CE=EA,CF=FB,

.".EFllAB.

..NEFC=NABC=45°.

?.zPAO=45°,

答圖4

.?.zPAO=zOFH.

?.zPOA=zFOH,

.?.zH=zAPO.

?.zAPC=90°,EA=EC,

.-.PE=EA=EC.

..NEPA=NEAP=NBAH.

.'.zH=zBAH.

..BH=BA.

.NADP=NBDC=45°,

.-.zADB=90o.

H

.-.BD±AH.

.?.zDBA=zDBC=22.5°.

?.zADB=zACB=90°,

.-.A,D,C,B四點共圓/DAC=NDBC=22.5°/DCA=NABD=22.5°.

.-.zDAC=zDCA=22.50.

，DA=DC,設AD=a,貝[]DC=AD=a,PD=^-a.

,,方一工一2T.答圖5

2

如答圖6,當點P在線段CD上時，

同法可證DA=DC,設AD=a,

貝！ICD=AD=a,PD=~a.

PC=a——ci.

2

??考=Yr=2+a-

PCV2

a-----a

2

精選練習

1.若AABC和AAED均為等腰三角形，且NBAC=NEAD=90°.

⑴如圖1,點B是DE的中點，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；

⑵如圖2,若點G是EC的中點，連接GB并延長至點F,使CF=CD.求證:①EB=DC;②NEBG=NBFC.

2.如圖，△ABC和A4DE是有公共頂點的等腰直角三角形,ZBAC=ZDAE=90。.

⑴如圖L連接BE,CD,BE的廷長線交AC于點F,交CD于點P.求證：BP1CD；

⑵如圖2把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當點D落在AB上時，連接BE,CD,CD的延長線交BE于點P,

若BC=6a,AD=3,求APDE的面積.

圖I圖2

精選練習

解題策略一

解:⑴證明:在RtAABC中,/BAC=3(T,E為AB邊的中點，

/.BC=EA,ZABC=60°.

VADEB為等邊三角形，

,>.DB=DE,ZDEB=ZDBE=60°.

ZDEA=120°,ZDBC=120°.

ZDEA=ZDBC.

.,.△ADE^ACDB;

⑵解：如圖，作點E關于直線AC的對稱點E；連接BE交AC于點H.

則點H即為符合條件的點.

由作圖可知,EH=HE:AE'=AE,NEAC=/BAC=30。.

AAEAE'=60°.

...△EAE為等邊三角彩

EE'=EA=-AB.

2

AAAE'B=90°.

在RtAABC中,/BAC=3(F,BC=V3,

???AB=243,AE'=AE=y[3.

2

BE'=7AB2-4E'2=(2百)2-V3=3.

.,.BH+EH的最小值為3.

解題策略二

1.證明：(1)：E,F分別為AB,CD的中點,

11

：.AE=-AB,DF=-CD.

22

;矢巨形ABCD中,AB=CD,AB〃CD,

；.AE=DF,AE〃DF,

.??四邊形AEFD為平行四邊形.

又?矩形ABCD中,NA=90。，

/.□AEFD為矩形；

⑵連接PM,BM,如答圖1.

?矩形ABCD中,AD〃BC,

矩形AEFD中,EF〃AD,

；.AD〃BC〃EF.

為AB中點，

；.0為BP的中點.

.點M是點A關于BP的對稱點，D

/.AP=PM,

/M

BA=BM.

又：BP=BP,

AABP注AMBP(SSS).答圖1

ZA=ZBMP=90°.

.?.在RtABMP中,0為BP中點.

OM=-BP.

2

.*.OB=OM;

⑶：點M是點A關于BP的對稱點,

ABP垂直平分AM.

/.AP=PM,AB=AM.

I.當點P在射線AD±D點的左側(cè)時，△AMD為等腰三角形：

①如答圖2,以AD為底，則AM=MD.

點M在AD的垂直平分線上.

作AD的垂直平分線EF分別交AD,BC于點E,F.

;矢巨形ABCD中,AD=BC=8,

/.AE=BF=4.

VAB=BM=5,

.?.在RtABMF中,由勾股定理，得

MF=yjBM2-BF2=V52-42=3.

EM=EF-MF=AB-MF=5-3=2.

設AP=PM=x，貝！|PE=4-x.

在RtAPEM中,由勾股定理，得

PE2+EM2=PM2,

即(4-x)2+22=久2.解之，得x=|,于是AP=|.

②以AD為腰,AD=DM,如答圖3,此時點P與點D重合.

，AP=AD=8.

③以AD為腰,DA=AM,如答圖4,M

；BP垂直平分AM,答圖3

AO=-AM=1x8=4.

22

在RtAAOB中，AB=5,AO=4,由勾股定理，得

BO=-JAB2-AO2

=V52-42=3.

ZBAO+ZOAP=90°,

ZDAO+ZAPO=90°,

???NBAO=NAPO.答圖4

sinNBAO二sinZAPO,

即￡2=絲；=工

ABAP5AP

.「20

??.AP=—.

3

II.當點P在AD射線點D的右側(cè)時,△AMD為等腰三角形.

以AD為底則AM=MD,如答圖5.

同理得MF=3.

AME=EF+MF

=5+3=8.

在RtAAEM中，由勾股定理，得

AM=VME2+AE2=V82+42=4V

AO=-AM=2V5.

2

VAO±BP,AB±AP,

???ZAPO=ZBAO.

???AB〃EM,

???ZBAO=ZAME=90°.

???ZAME=ZAPB,sinZEMA=sinZAPB.

EA_AOqn4_2V5

"AM-AP網(wǎng)4V5―AP'

AAP=10.

綜上所述，當^AMD為等腰三角形時,2尸二|或10或g或8.

2.解:⑴如答圖1,

??,BB關于EC對稱，

???BB」EC,BE=EB1

ZDEB=ZDAC=90°.

ZEDB-ZADC,

???ZDBE=ZACD