專題15分類討論思想在五種題型中的應用

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一、等腰三角形的存在問題分類討論

i.假設結論成立；

2.找點：當所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：

①當定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，

若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐

標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；

②當定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線

有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點

不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.

3.計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添

加輔線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進行求解

題型二、直角三角形的存在問題分類討論

1.設出所求點的坐標，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數(shù)式，如本題，設點F（l,f）,

△BCF三邊長為：附=4+/,C7^=/+6f+10,BC=18；

2.找點：根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論：

①當定長（已知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC）,分

別過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有

交點時，此交點即為符合條件的點；

②當定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交

點時，此交點即為符合條件的點.

3.計算：把圖形中的點的坐標用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段

時，注意代數(shù)式的符號），再利用相似三角形得比例線段關系或利用勾股定理進行計算.

題型三、不等式（組）中的分類討論思想

分類討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問題，在

求其解集時要對字母進行分類討論。

對含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進行分類討論。

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想

在函數(shù)問題中，分類有兩種情況：一種是對概念進行分類，一種是分情況討論問題，對概念進行分

1

類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們?nèi)?/p>

面考察一個對象，得出可能的結論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學生來是比較

難掌握的一種數(shù)學思想方法，在對概念進行分類時，往往把握不住標準，不能堅持用同一個標準進

行分類，出現(xiàn)“重”或"漏"的現(xiàn)象，從而容易導致錯誤的發(fā)生

題型五、圓中的分類討論思想

由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉不變性，因此有不少題目會出現(xiàn)多解問

題。這類題目重在考查同學們對基礎知識的掌握與運用情況，它有利于培養(yǎng)同學們嚴謹周密的邏輯

思維能力。如果解題時考慮不嚴密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓

中解這類問題時，需要利用分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進行折疊或旋轉。

壓軸題預測

題型一：等腰三角形中的分類討論思想

1.(2023?廣安)如圖，一次函數(shù)〉=履+2(左為常數(shù)，左片0)的圖象與反比例函數(shù)>='(加為常數(shù)，根片0)

4x

的圖象在第一象限交于點41,"),與x軸交于點2(-3,0).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)點尸在x軸上，A48尸是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標.

【分析】(1)把點/、2的坐標分別代入一次函數(shù)解析式，列出關于左、〃的方程組，通過解方程組求得

它們的值；然后將點N的坐標代入反比例函數(shù)解析式，求得機的值即可；

(2)設PQ0),利用兩點間的距離公式和勾股定理以及=列出方程，借助于方程求解即可.

【解答】解：(1)將4(1/)、5(-3,0)分別代入一次函數(shù)》=履+1，得

79

k+—=n

4

9

—3kH—=0

4

k=-

解得4.

n=3

2

故/(1,3).

將其代入反比例函數(shù)＞=得

X

m_

——3.

1

解得m=3.

故一次函數(shù)的解析式為y=[x+；,反比例函數(shù)的解析式為y=3；

(2)由(1)知，/(1,3)、5(-3,0),貝(/8=j32+42=5.

設尸(。,0)，

當=時，5=7(l-a)2+32.

解得°=5或a=—3(舍去).

故尸(5,0)；

當/2=尸3時，5=|-3-a|.

解得。=-8或a=2.

故尸(-8,0)或(2,0).

綜上所述，符合條件的點P的坐標為：(5,0)或(-8,0)或(2,0).

【點評】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，勾股定

理以及等腰三角形的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用.

2.(2023?澄城縣一模)如圖，拋物線y=-f+6x+c與x軸交于點/(-1,0)、B,與y軸交于點C(0,3),

直線/是拋物線的對稱軸.

C1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)在對稱軸/上是否存在點使AA￡4C為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點”的坐標；

若不存在，請說明理由.

3

【分析】(1)運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可；

(2)由于沒有指明等腰AA〃C的底邊，所以需要分類討論：AC=AM,AC=CM,AM=CM,運用兩

點間距離的求法列出相應的方程，通過解方程求得答案.

【解答】解：⑴把點4(7,0)、點。(0,3)分別代入k—f+bx+c,得。C—U.

[c=3

解得P=2.

[c=3

故該拋物線解析式為：y^-x2+2x+3；

(2)由(1)知，該拋物線解析式為：y^-x2+2x+3.

則該拋物線的對稱軸為直線x=-——=1.

-1x2

故設.

點C(0,3),

:.AC2=10,AM2=4+m2,CM2=l+(m-3)2.

①若NC=N/時，10=4+機2,

解得m=±V6.

.,.點M的坐標為(1,V6)或(1,-V6)；

②若4C=CN時，10=1+0-3)2,

解得加=0或加=6,

.?.點M的坐標為(1,0)或(1,6).

當點W的坐標為(1,6)時，點/、C、M共線，

.?.點M的坐標為(1,0)；

③當=時，4+療=i+(7M-3)2,

解得m=1,

.?.點M的坐標為(1,1).

綜上所述，符合條件的點M的坐標為(1,V6)或(1,-76)或(1,0)或(1,1).

4

【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，等腰

三角形的性質(zhì)，解題過程中，需要對等腰三角形的底邊或腰進行分類討論，以防漏解.

3.（2023?婺城區(qū)模擬）在矩形N3CD中，AB=4,AD=10,E是/。上的一點，且ZE=2,M是直線48

上一點，射線ME交直線CD于點尸，EG交直線8c于點G,連結MG、FG,直線尸G交直線4D于

點、N.

（1）①當點"為48中點時，求。尸與EG的長；

②求收的值.

FG

（2）若AEGN為等腰三角形時，求滿足條件的的長.

【分析】（1）①過點G作GH_LND于點X,易得AB=GH=2,\AEM為等腰直角三角形

NDE尸=N4E"=45。，進而得到為等腰直角三角形，DF=DE=8,由EG_LME■可推出NGEH=45。,

則AGE”為等腰直角三角形，EG=42GH=472；

②過點G作GK_L/D于點K,易得KG=4B=4,DE=8,易證A4EA/SAKGE,\KGE^\DEF,得到

EM=2==—=—,于是tanNEGM=""=工,tanZ.EFG==—>進而可得NEGAf=NE/G,

GE4282GE2EF2

由等角加同角相等得N/G尸=90。，在RtAFGM中，tanZJWFG=—=-；

FG2

(2)易得AAEMs/^DEF,得到坐=2=_L,設貝I]8A/=4-“，DF=4a,CF=4+4a,易證

DF84

BGMsACFG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得8G=2a+2,CG=8-2a,再分三種情況討論：（I）當

EG=NG時，過點G作GP_LAD于點P,則AP=BG=2a+2,PE=PN,進而求出PN=PE=2a,EN=4a,

DN=8-4a,再利用平行線分線段成比例得到"=上土，以此建立方程求解即可；（II）當EN=NG時,

CGCF

過點￡作￡Q_L8C于點。，則NNEG=NNGE,AE=BQ=2,AB=EQ=4,進而求出。G=2a,由平行

線的性質(zhì)得到ZNEG=NEGQ,于是NEGQ=ANGE,由等角的余角相等得NQFG=ZEFG,則

tanZQFG=tanZEFG=▲=絲

以此建立方程求解即可;(III)當EN=EG時，則NENG=NEGN,由

2EQ

平行線的性質(zhì)可得ZENG=ZNGC,于是ZEGN=NNGC,由等角的余角相等得NEFG=NCPG,進而得

5

到tanNCFG=tan/EFG=-=—,以此建立方程求解即可.

2CF

【解答】解：（1）①當點〃為48中點時，如圖，過點G作G〃_L4。于點H,

則/GH4=90。，

???四邊形45C。為矩形，

/./A=NB=90°,

二.四邊形/5G/Z為矩形，

AB=GH=2,

?點M為AB的中點，

AM=BM=2,

4E=2,

AM=AE=2,DE=AD—AE=8,

.?.A4E以為等腰直角三角形，ZAEM=45°,

/DEF=ZAEM=45°,

為等腰直角三角形，DF=DE=8,

???EGLME,

/./MEG=90°,

ZGEH=45°,

AGE以為等腰直角三角形，EG=?GH=4C,

/.DF=8,EG=4A/2；

②如圖，過點G作GK_L4D于點K,

6

F

~~B_~7G~C~

則KG=AB=4,

,：AE=2,

DE=8,

???EGLME,

/AEM+/KEG=90°,ZKGE+/KEG=90°,/KEG+/DEF=90°,

z.ZAEM=ZKGE=/DEF,

KAEMS'KGE,\KGE^NDEF,

EMAEEM21

二.---=——，即Hn——=一=一，

GEKGGE42

GEKG41

一,P*|J0n——,

EFDEEF82

,Li,EM1/llcGE1

二.tan/EGM-.......=—，tan/EFG-------——，

GE2EF2

ZEGM=ZEFG,

ZEGF+ZEFG=90°,

ZEGF+ZEGM=90°,即ZMGF=90°,

MG1

tan4EFG------——；

FG2

(2)/AEM=/DEF,/EAM=Z.EDF=90°,

/.AAEM^ADEF,

AMAE0nAM21

DFDEDF84

設4"=a,貝lj8"=4—a,DF=4a,

/.CF=CD+DF=A+,

由(1)②可知，ZMGF=90°,

z.ZBGM+ZCGF=90°,

/CFG+ZCGF=90°，

/BGM=/CFG，

7

???/B=/C=90。,

...bBGMsACFG,

BG—2a+2，CG=8—2a,

(I)當EG=NG時，如圖，過點G作GP_L4D于點尸，

"P

貝ljAP=BG=2a+2,PE=PN,

PN=PE=AP-AE=2a,

EN=4。，

/.DN=DE—EN=8—4a,

DN//BC,

DNDFnn8-4Q4Q

CGCF8-2a4+4a

解得：a}=—1+yj~5,a2=—1—A/5(舍去)，

AM=亞-1；

(II)當EN=NG時，如圖，過點￡作￡Q_L8C于點。,

-B-Q/GC-

貝(IZNEG=ZNGE,AE=BQ=2,AB=EQ=4,

QG=BC-BQ-CG=10-2-^-2a)=2a,

8

AD/IBC,

/./NEG=/EG。,

/.ZEGQ=ANGE,

ZQFG=ZEFG,

tanZQFG=tanZEFG=—=-，

FG2

.QG_2a

一匹75'

解得：a=1,

AM

(III)當EN=￡G時，如圖，

則ZENG=AEGN,

ADIIBC,

/.ZENG=ANGC,

/./EGN=ZNGC,

ZEFG=/CFG,

???tan/CFG=tanZEFG=-，

2

.CGS-2a_1

''~CF~A+Aa~2f

解得：a=—,

2

/.AM=~.

2

4

當NG=GE時，同理可得=3

4x+84x

AM=45+1,

9

【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角二

角形、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是：（1）①熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì);

②利用相似三角形性質(zhì)和銳角三角函數(shù)推出NVG尸=90。；（2）利用分類討論和數(shù)形結合思想解決問題.

4.（2023?濮陽縣模擬）在等腰直角三角形48c中，AACB=90°,/C=5C,點尸為直線上一個動點,

繞點C將射線CP逆時針旋轉45°，交直線于點。.

在圖1中，將KAPC繞點C逆時針旋轉90°得到KBMC,連接MQ,

NACP+ZBCQ=45°,ZACP=ZBCM,

ZMCQ=45°=ZPCQ,

又,：CP=CM,CQ=CQ,

NPCQ=\MCQ.

請閱讀上述過程，并完成以下問題：

（1）得出APC。=AA/C。的依據(jù)是②（填序號）.

①iSSS

②S/S

③44s

@HL

10

(2)在以上條件下，如圖2,當點P在線段84的延長線上時，求證：PQ2=止+BQ?.

(3)在等邊三角形N3C中，3c=2,點尸為射線34上一個動點，將射線CP繞點。逆時針旋轉30。交直

線34于點。，將AAPC繞點。逆時針旋轉60。得到AB/C,連接M。，當AW0為直角三角形時，請直接

寫出NP的長.

【分析】(1)根據(jù)判定APC0MAA/C。的條件看判定的依據(jù)是什么即可做出選擇；

(2)將AAPC繞點C逆時針旋轉90。得到ABMC，連接，根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到BM=AP,CM=CP,

ZCPM=ZCAP,然后推出判定APCQ=AMC0的條件，得至在ASM。中推出乙版》。=90。，

根據(jù)勾股定理得到等式，再代換即可得證；

(3)當點P在線段34上時，ABM。不可能是直角三角形，當點尸在線段BZ延長線上時，令NBMQ=90。

和NBQM=90°兩種情況，根據(jù)旋轉的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)分別進行計算即可求

出結果.

【解答】(1)解：?.?推理過程中判定APCQMAMC。的條件是兩邊和夾角對應相等，

得出NPCQ=\MCQ的依據(jù)是SAS,

故答案為：②；

(2)證明：如圖1,將A4尸。繞點C逆時針旋轉90。得到連接M。，

NACQ=45°-NPCA,

NBCQ=90°-(45°-ZPCA)=45°+ZPCA,

???NPCA=ZBCM,

ZMCQ=NBCQ-ZBCM=ZBCQ-ZPCA=453+NPCA-ZPCA=4S,

ZMCQ=ZPCQ,

X-.-CP=CM,CQ=CQ,

KPCQ=/^MCQ(SAS),

：.QM=QP,

ZACB=90°,AC=BC,

11

:.ZCAB=ZCBA=45°,

ZPAC=ZMBC=135°,

ZQBM=90°,

222

:.MQ=BM+BQf

XvAP=BM9QM=QP,

PQ2=AP2+BQ2；

(3)分兩種情況：①如圖2,當NBMQ=90。時,

又???NCA4=60。,

ZQBM=120°-60°=60°,

:.BM=^BQ,QM=y[3BM,

設PA=BM=a,貝！JBQ=2a,PQ=QM=43a,

/.AQ=PQ—PA=A/3(7—a=yfia—a,

AB=AQ+BQ,AB=2,

-x/3ci-。+2?！?,

/.a—"x/s-1,

即4P的長為6-1；

②如圖3,當NMQ5=90。時，

12

c

由旋轉可知/CBM=ZCAP=120。，

又?.?/CA4=60。，

ZQBM=120。—60°=60°,

/.BM=2BQ,QM=^BQ,

1

設AP=BM=a,則BQ=~a1QM=PQ=~^a，

-AQ=x-^-X,

???BA=BQ-AQ,

:.x--x-(x--x)=2,

22

x=2A/3+2；

綜上所述，/尸的長為白-1或2百+2.

【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，深入理解題意是解決問題的關鍵.

5.(2023?武侯區(qū)校級模擬)如圖，在矩形43CD中，AB=kBC(0<k<\,將線段N8繞點/逆時針旋

轉a度(0<a<90)得到線段/E,過點E作NE的垂線交射線CD于點〃，交射線NO于點M.

13

備用圖

［嘗試初探］

(1)當點刊在/。延長線上運動時，NR4E與N4WE始終相等，且AAEM與A/犯飲始終相似，請說明理

由；

［深入探究］

1Q

(2)若左=一，隨著線段/￡的旋轉，點77的位置也隨之發(fā)生變化，當C〃=±C。時，求tana的值；

24

［拓展延伸］

(3)連接ED,當相〃屈為等腰三角形時，求tana的值(用含左的代數(shù)式表示).

【分析】(1)由矩形的四個角是直角，又AELEM,容易得到結果.

(2)連接///，設40=245=8a,DH=a,求出￡77,由得到2￡=絲絲=!，可求出四，

EMAM4

tana=tanNAME=色絲得到結果.

DM

(3)分類討論：①點M在4D延長線上時，作DG_LMEf，設=/E=a,AD=DE=DM=ka,AM=2ka,

Ap_

由勾股定理求出ME,tana=tmZAME=——，得到結果.②當〃在4。上時，^ME=MD=x,由

AM

AE2+ME2—AM2,求出"E,tana=tanZAME=,得出結果.

ME

【解答】(1)證明：???四邊形/5CQ是矩形，

ABAD=ZADC=90°,

/./BAE+ZEAD=90°，

AE1ME,

/.ZAEM=90°,

/.NAME+ZEAD=90°，

/.NBAE=/AME,

又???ZAME=NADC=90°，

NAME=/HMD，

14

...\AEM^\HDM.

(2)解：AB=kBC,k=-,

2

AB=-BC,

2

?.,四邊形48。是矩形，

AB=CD,AD=BC,ZADC=90°,

3

■：CH=-CD,

4

：.設CD==4。，

則DH=a,AE=4a,AD=8a,

連接AH,

由勾股定理得，

AH'=AD2+DH2=(8a)2+a2=65a2,

EH2=AH1-AE2=65a-(4a)2=49a2,

EH=7a,

由(1)得，\AEM^\HDM,

.DM_MHDH_a

.DM_MH

-MH+7a~DM+8a―4'

1213

:.DM=—a,MH=—a,

55

,.…DHa5

tanCL—tan/A,ME=-----=———=—.

DM1212

---Q

5

(3)解：分兩種情況討論，

①如圖2,當〃在4。的延長線上時，

過點。作。G_L板于G,

?/AEVME,

DGIIAE,

/.ZMDG=ZMAE,ZEDG=ZDEA,

又DE=DM,

15

.../MDG=/EDG，

/MAE=/DEA,

/.AD=DE,

設=。，貝U4。=DE=DM=a,AB=AE=ka,

/.AM=2a，

由勾股定理得，

ME=NAM2-AE。=d(2a)2-(ka)2，4-k2cl,

tana-tanNAME==/

ME”34-1

②如圖3,當M在上時，

設ME=MD=x,

貝!JAM=a-x,

由勾股定理得，

AE2+ME2=AM2,

(ka￥+x2=(a-x)2，

\-k2

x=-------a，

2

2k

tana=tanZ.AME=-----=------；—

MEl-k21-k2

16

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識是一道綜合題，正確分類討

論并畫出圖形，恰當添加輔助線，靈活運用所學知識是解題關鍵.

3

6.（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在A48c中，AB=AC=10,sin5=-,點。、E分別在邊42、BC±,

5

滿足NCDE=NB.點、F是DE延長線上一點,且ZECF=ZACD.

（1）當點。是45的中點時，求tan/BCD的值；

（2）如果/￡>=3,求二的值；

DE

（3）如果ASAE是等腰三角形，求C尸的長.

B

F

【分析】（1）過點/作NG_LBC于點G,過點。作于點X,利用等腰三角形的性質(zhì)，直角三角

形的邊角關系定理，勾股定理，三角形的中位線定理解答即可；

（2）利用等腰三角形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

（3）利用分類討論的思想方法分①當3。=BE時，②當助=8￡時，③當=3E時三種情形討論解答：

利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和三角形的內(nèi)角和定理求得前兩種情形不存在，對于③利用等腰三

17

角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關系定理，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】解：（1）過點N作4G_L5c于點G,過點。作。于點〃，如圖，

AB=AC=10,

:.BG=GC,

?八3.AG

sinB——,sinBo—,

5AB

/.AG=6.

/.BG=^AB2-AG1=A/102-62=8.

:.CG=BG=8.

vAGLBC,DH1BC,

AG11DH,

?；D是AB的中點，

DH是\ABG的中位線，

DH=HG=—BG=4,DH=—AG=3,

22

/.CH=CG+GH=12.

在RtACDH中，

DH31

tan/BCD-.......=—=—；

CH124

(2)?/ZECF=ZACD,

NACB=ZDCF.

???ZB=ZCDE,

/.AABCsAFCD,

ABAC=ZF.

AB=AC,

FD=FC.

?:/BAC=/F,ZACD=ZFCE,

/.\ACD^\FCE,

.AC_CF

,,而一定.

???45=10,4。=3,

18

.CF10

..=—,

EF3

DE+EF=FC,

.CF_10

,,~;

DE7

（3）如果A5DE是等腰三角形，

①當AD=DE1時，

則NB=NDEB.

■：ACDE=NB,

ACDE=ZDEB,

CD/IBC,這與已知條件不符，

,此種情況不存在；

②當ED=BE時，

貝I]ZB=NEDB,

ZCDE=ZB,

AZCDB=22B，

ZCZ>^=180°-2Z5，

???AB=AC,

NB=NACB,

ZA=1800-Z5-ZACB=180°-2ZB,

ZA=ACDA,

//為鈍角，

此種情況不存在；

③當BD=BE時，

過點￡作￡K_L/5于點K,如圖，

_,3

由題思得：sinB=—9

5

.EK_3

..---——,

BE5

33

:.EK=—BE=—BD,

55

4

:.BK=-BD,

5

19

:.DK=-BD.

5

DE=yjDK2+EK2=—BD.

5

ACDE=/B,ZDCE=/BCD,

/.ACDESACBD,

.DECD

''訪一ZF’

BD~~t6f

??3巫.

5

由（1）知：\ABC^\FCD,

.BC_AB

'~CD~'CFf

.一—10

-16而-CF?

5

...CF=2而.

F

F

【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關系定理，勾股定理，三角形的內(nèi)

角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關鍵.

20

7.（2023?文成縣一模）如圖，點E,尸分別為矩形48CD邊，CD上的點，以3E為直徑作。。交2尸

于點G,且E尸與。。相切，連結EG.

（1）若/E=EG,求證：\ABE=AGBE.

（2）若/2=2,tanZE5F=-.

2

①求DE的長.

②連結ZG,若A43G是以NG為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的8C的長.

（3）連結CG,若CG的延長線經(jīng)過點/,且ED=EG,求生的值.

EF

【分析】（1）利用圓周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；

（2）①利用切線的性質(zhì)定理，矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，通過證明A48ESME尸得到

—=再利用直角三角形的邊角關系定理解答即可得出結論；

DEEF

②利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：I,當G/=G3時，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到

BE=BC,設3C=x,則/O=BC=x,貝lJ/E=/D-DE=x-l,利用勾股定理列出方程解答即可；II.當

G/=/B=2時，利用相似三角形的判定得到進而得到包=必，再利用（2）①的結論，

BCBF

利用勾股定理解答即可得出結論；

（3）利用全等三角形的判定定理證明得到RtAEGF=RtAEDF和RtAEABSRtAEGB,得到AE=EG=DE,

利用三角形的中位線得到。尸=FC=PG,DF=FC=FG=a,貝1]48=CD=8G=2a,則

BF=BG+GF=3a,取3斤的中點〃，連接E",利用梯形的中位線定理得到E尸，最后利用相似三角形

的判定定理得到AC/GsASS,由相似三角形的性質(zhì)即可得出結論.

【解答】（1）證明：?."E為直徑，

ZBAE=ZBGE=90°.

在RtAABE和RtAGBE中，

AE=GE

BE=BE

21

/.RtAABE和RtAGBE(HL)；

(2)解：①???跖與。。相切，

BE工EF,

/BEF=90°，

...ZAEB+ZDEF=90°.

???四邊形45為矩形，

/.ZBAE=90°，

/ABE+ZAEB=90°,

/ABE=/DEF,

?//BAE=/D=90°,

,AABE^/^DEF,

.AB_BE

,?法一麗?

在RtABEF中，

tan/EBF=—，

2

.EF

??—9

BE2

:.DE=-AB=-x2=\；

22

②若\ABG是以/G為腰的等腰三角形,

I.當G4=G5時，

GA=GB,

/GAB=AGBA,

???NDAB=ZCBA=90°,

...ZEAG=ZFBC.

ZEAG=ZEBG,

.../EBG=ZFBC.

在NBEF和\BCF中,

ZBEF=ZC=90°

</EBG=ZCBF,

BF=FB

22

...NBEF?ABCF(AAS),

BE=BC.

設8C=x,則4D=8C=x,

.e.AE=AD—DE=x—1,

vAB2+AE2=BE2,

22+(x—I)2=x2,

解得：x=*,

2

,BC=~；

2

II.當G4=45=2時，

?「GA=4B,

NABG=ZAGB.

NAEB=/AGB.

NAEB=NABG.

?「ZAEB+NABE=90°,ZABG+NFBC=90°,

/ABE=ZFBC,

/BAE=NC=90°,

/.ABAEsABCF,

.AB_BE

由(2)知：—

BF2

BE_2

..法=7T

.2_2

,?茄―TT

:.BC=45.

綜上，若A48G是以/G為腰的等腰三角形，滿足條件的BC的長為3或右；

2

(3)解：?「BE為圓的直徑，

...ZEGF=90°.

在RtAEGF和RtAEDF中,

23

\EG=ED

[EF=EF'

RtAEGF=RtAEDF(HL),

/.ZDEF=ZGEF,DF=FG.

?/AAEG+ZGEF=90°,ZDEF+ZAEB=90°,

z.ZAEB=ZGEB.

在RtAEAB和RtAEGB中,

/EAB=NEGB=90°

<NAEB=ZGEB,

EB=EB

RtAEABtRtAEGB(AAS),

/.AB=BG,AE=EG,

AE=EG=DE,

/.BEVAC.

???BELEF,

:.EF//AC.

.?.EF為ADAC的中位線，

/.DF=FC,

DF=FC=FG.

設DF=FC=FG=a,貝1ZB=CO=5G=2。，

/.BF=BG+GF-3a.

取8尸的中點X,連接即，如圖，

則EH為梯形ABFD的中位線，

…AB+DF3

/.Er=------------=—a.

22

-EF//AC,

/.ZFGC=ZEFH.

???EH11CD,

/CFG=/EHF,

...NCFGsNEHF,

24

CGCFa_2

EF-EH-3一3

-a

2

【點評】本題主要考查了圓的有關性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)三角形的中位線定理，利用分類討論的

思想方法解答是解題的關鍵.

8.（2023?涪城區(qū)模擬）如圖，已知：在A48C中，NC=90。，點尸是8c邊上的動點，PD工BC交4B于

D,以尸。為直徑的。。分別交,/P于點E,F.

（1）求證：NEFP=2EPB.

3

（2）若45=20,sinB=—.

5

①當NAPB=4NAPD,求PC的長.

②當AP跖為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的AP跖的腰長.

（3）若sin8=Y2,且。，F(xiàn),C在一條直線上，則DP與/C的比值為—三5_.

2一2一

【分析】（1）利用切線的判定定理與弦切角定理解答即可；

（2）①利用直角三角形的邊角關系解答即可；

②利用分類討論的方法分三種情況討論解答：當跖=￡尸時，通過證明ASE尸三乙4￡尸，利用直角三角形的

邊角關系解答即可；當￡P=F尸時，利用垂徑定理和直角三角形的邊角關系解答即可；當FE=P尸時，利用

等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關系和勾股定理解答即可；

（3）畫出符合題意的圖形，通過證明A4CPSACPD,得出比例式，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，

25

通過等量代換得到關于。尸與4。的一元二次方程，解方程即可得出結論.

【解答】（1）證明：???尸。為。。的直徑，PDLBC,

:.BC為OO的切線，

/EFP=/EPB；

(2)①???NAPB=4NAPD,ZAPB=90°+ZAPD,

4/APD=90°+ZAPD,

/.ZAPD=30°.

ZAPC=90°-ZAPD=60°.

3

,/AB=20,sin5=—,

5

3

.?./C=48sinB=20x—=12.

5

Arl

tan/4尸C=——二J3,

PC

PC=?=46；

百

②當￡尸二￡尸時，

EF=EP,

/EPF=ZEFP,

?「/EFP=AEPB,

/.ZEPF=/EPB.

?：PD為OO的直徑，

PE1AB.

/BEP=ZAEP=90°,

在A5月尸和\AEP中，

/BEP=ZAEP=90°

<PE=PE,

ZEPB=ZEPA

:.\BEP=\AEP{ASA),

/.BE=AE=\G.

■「

sinB——39

5

26

n3PE

「.tanB=——--

4AE

■7

當=時,

EP=FP,

：.EP=FP,

?:PD為OO的直徑，

PDLEF,

PD1BC,

...EF//BC.

/B=ZAEF,

ZAEF=NDPF,

NB=ZDPF.

?/PDLEF,ACIBC,

DPIIAC,

ZDPF=ZPAC,

ZPAC=ZB.

3PC

/.tanZPAC=tanB=-=——.

4AC

PC=9.

PB=BC-PC=7.

,「3PE

,：sin5=—=----，

5PB

:.PE=—；

5

當在=尸尸時，

FE=PF,

/FEP=NFPE.

???FEP+ZAEF=90°,ZFPE+ZFAE=90°,

NAEF=ZFAE,

EF=AF.

27

/.AF=FP=EF.

???ZDPA=/AEF，

/DPA=/DAP,

...PD=AD.

設PQ=/Q=3x,