因式分解(2)

知識梳理

1.十字相乘法

1)二次項系數(shù)為1的二次三項式，直接利用公式一x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)——進行因式分解.

特點：(1)二次項系數(shù)是1；

⑵常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；

(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)之和.

2)對二次項系數(shù)不為1的二次三項式--a/+版+c——進行分解.

右;兩足條件：(l)a=a1ct2

(2)c=CiC2

(3)6=ag+a2cl

2

則分解結果：ax+bx+c-(ajx+Ci)(a2K+c2)

2.因式分解的應用

因式分解在解決數(shù)學問題時應用得非常廣泛，例如在多項式恒等變形中、在代數(shù)證明題中、在方程求解中、

在不等式求解中以及很多幾何學中的應用都非常廣泛，它能把高次轉(zhuǎn)化為低次，起到化難為易的效果.

典型例題

例1

不解方程組Z3求代數(shù)式((2%+y)(2x_3y)+3x(2%+y)的值.

分析不要求解方程組，我們可以把2x+y和5x-3y看成整體，它們的值分別是3和-2,觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一

項都含有2x+y,利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有2久+y和5x-3y的式子,即可求出結果.

解(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x-3y+3x)=(2x+y)(5x-3y)

把2x+y和5x-3y分別為3和-2代入上式，求得代數(shù)式的值是6

例2

兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù).

分析先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來，然后進行變形和討論.

解設這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為2n+l,2n+3(n為整數(shù))，

則(2n+3)2-(2n+I)2

=(2n+3+2n+l)(2n+3-2n-l)

=2(4n+4)

=8(n+l)

由此可見，(2n+3)2-(2n+l)2一定是8的倍數(shù).

例3

已知0<aW5,且a為整數(shù).若2%2+3%+a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a.分析凡是能十字相乘的二

次三項式ax2+bx+c,都要求△=配-4ac>0,而且是一^完全平方數(shù).

解由已知彳導△=9-8a為完全平方數(shù)，所以a=l.

例4

已知長方形的長、寬分別為x,y,周長為16厘米，且滿足x-y-x2+2xy-y2+2=0,求長方形的面積.

分析要求長方形的面積，需借助題目中的條件求出長方形的長和寬.

解因為x—y-x2+2xy-y2+2=0

所以(%2-2xy+y2)-(x-y)-2=0

所以(%-y)2-(%-y)-2=0

所以(x-y-2)(x-y+1)=0

所以x-y-2=0或x-y+l=0

又因為x+y=8

所以或仁

解得卷二測

所以長方形的面積為15平方厘米或號平方厘米?

例5

求方程x-y=xy的整數(shù)解.

分析這是一道求不定方程的整數(shù)解問題，直接求解有困難，因等式兩邊都含有x與y,故可考慮借助因式分

解求解.

解因為x-y=xy

所以xy-x+y=0

所以xy-x+y-1=-1,即x(y-l)+(y-l)=-l

所以(y-l)(x+l)=-l

又x,y是整數(shù).

所以1=—1或匕―1=1，

解得已;或「〉2

雙基訓練

1.若Y—必+MX+5y-6能分解為兩個一次因式的積，則m的值為().

A.lB.-1C.±lD.2

2.已知a,b,c是小ABC的三邊長,且滿足a3+ab2+be2=b3+a2b+四2貝必ABC的形狀是().

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

3.對于任何整數(shù)m,多項式(4m+5)2-9都能().

A.被8整除B.被m整除

C.被(m-1)整除D.被(2m-1)整除

4.把4/必-5/y2-9必分解因式的結果是.

5.如果一個數(shù)的各位數(shù)字之積加上各位數(shù)字之和，恰好等于這個數(shù)，我們就稱這個數(shù)為“巧數(shù)”，那么在所有兩

位數(shù)中，最大的“巧數(shù)”是—.

6.在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用因式分解法產(chǎn)生的密碼記憶方法.原理是：如對于多項

式/-yM因式分解的結果是(x-y)(x+y)(x2+V),若取x=9,y=9時，則各個因式的值是：(*-y)=0,(x

+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼.對于多項式x3-xy2^x=20,y=10,用

上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是().

A.201010B.203010C.301020D.201030

7.利用十字相乘法進行因式分解.

(l)x2+3x+2(2)x2—x—6(3)(x2—5x)2—36

+力2+2etc——29

8.已知正實數(shù)a,b,c滿足方程組b+c2+2ab=18,求a+b+c的值.

-c+cz2+2bc=25

9.如果%4-%3+mx2-2mx-2能分解成兩個整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個多項式分解

因式.

10.四邊形的四邊順次為a,b,c,d,且滿足a2+b2+c2+d2=2gb+cd),請判斷這個四邊形的形狀.

11.證明：對于任意自然數(shù)n,3n+2—2n+2+3n-2n一定是10的倍數(shù).

12.將+3+1)2+④+a)2分解因式,并用分解結果計算62+72+422.

13.給出三個整式a2,b2和2ab.

(1)當a=3,b=4時，求a2+b2+2ab的值；

⑵在上面的三個整式中任意選擇兩個整式進行加法或減法運算，使所得的多項式能夠因式分解.請寫出你所選

的式子及因式分解的過程.

14.若a,b,c是三角形的三條邊,求證:a2-b2-c2-2bc<0.

15.水壓機內(nèi)有4根相同的圓柱形空心圓鋼立柱，每根的高度為h=18米，外徑D=1米，內(nèi)徑d=0.4米，每立方

米鋼的質(zhì)量為7.8噸，求這4根鋼立柱的總質(zhì)量(兀取3.14,結果保留兩個有效數(shù)字).

16矩形的周長是28厘米，其長、寬分別為x,y,且使爐+丹—孫2_y3=0,求矩形的面積.

17.如圖20-1所示，用一張邊長為a的正方形紙片、兩張邊長為b的正方形紙片、三張長、寬分別為b,a的長

方形紙片拼成新的長方形(無縫隙),通過不同的方法計算面積，探求相應的等式.

(1)你得到的等式是:.

⑵利用因式分解說明：367-6或能被140整除.

19.已知有理數(shù)a,b,c滿足關系式a2+c2=2ab+2bc-2〃,試判斷a,b,c之間的關系,并說明你的理由.

20.已知長方形周長為300厘米，兩鄰邊分別為x厘米、y厘米，且爐+—4孫2—4y3=0,求長方形的面

積.

能力提升

21.若多項式33/一17%-26可因式分解成(ax+b)(cx+d),其中a,b,c,d均為整數(shù)，則|a+b+c+d|之值為().

A.3B.10C.25D.29

22.若4x2+3x-16除以一多項式，得商式為x+2,余式為-6,則此多項式是().

A.4x-5B.4x-ll

C.4x3+llx2-10%-26DAx3+llx2-10%-38

23.已知a+6+c=3,a?+〃+?2=3則a2005+b2005+?2。。5的值是().

A.OB.3C.22°05D.3-22005

24.任何一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=sxt(s,t是正整數(shù)，且s&t),如果pxq在n的所有這種分解中

兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱pxq(pSq)是n的最佳分解，并規(guī)定：F(n)=，列如18可以分解成1x18,2x9,3

x6這三種，這時就有F(18)=|=今給出下列關于F(n)的說法：⑴尸⑵=(2)9(24)=(3)F(27)=3;⑷若n是

一個完全平方數(shù)，則F(n)=l.其中正確說法的個數(shù)是()個.

A.lB.2C.3D.4

25.分解因式：

(1)2005/-(20052__2005

(2)(x+l)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

26證明:若4x-y是7的倍數(shù).其中x,y都是整數(shù).則8x2+10xy-3y?是49的倍數(shù).

27.利用因式分解說明：兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù).

28.如圖20-2所示△ABC是某小區(qū)的一塊空地，現(xiàn)要加以綠化，其中點O是空地內(nèi)安裝噴泉的位置，它到三

邊的距離相等，即。D=OE=OF=現(xiàn)測得m=8.48米，三條邊長分別為：a=41米b=34米c=25米.利

用因式分解求這塊空地的面積.

(1)這塊空地的面積用含a,b,c,m的代數(shù)式表示為；

(2)利用因式分解求這塊空地的面積.

圖20-2

29.求證不論a,b,c取什么有理數(shù),a2+b2+c2-ab-ac-be一定是非負數(shù).

30.已知：a,b,c為互不相等的數(shù)，且滿足(a-c)2=4(6-a)(c-b).

求證:a-b=b-c.

拓展資源

31.閱讀下列方法：為了找出序列3,8,15,24,35,48,…的規(guī)律，我們有一種“因式分解法”(見表20-1).

項123456

值3815243548

分解因式：

1X31X81X151X241X351X48

2X4||3X5|2X125X7|2X24

4義63X16

4X12

6X8

因此，我們得到這組序列的第n項是n(n+2).那么，有一組新的序列0,5,12,21,32,45,…(見表20-2),請你利用上述

方法，說出這組新序列的第n項是.

表20-2

項123456

值0512213245

32.已知4=。+2,8=。2—。+5,。=出+5?！?9其中a>2.

⑴求證:B-A>0,并指出A與B的大小關系；

⑵指出A與C哪個大?說明理由.

33.已知a,b,c是不全相等的實數(shù)，且abc0,a3+b3+c3=3abe，試求：

(l)a+b+c的值;

⑵。弓+》+坨+5+。&+辨值

34.為進一步落實《中華人民共和國民辦教育促進法》，某市教育局拿出了b元資金建立民辦教育發(fā)展基金

會，其中一部分作為獎金發(fā)給了n所民辦學校.獎金分配方案如下：首先將n所民辦學校按去年完成教育、教學工

作業(yè)績(假設工作業(yè)績均不相同)從高到低，由1到n排序，第1所民辦學校得獎金b/n元，然后再將余額除以n發(fā)

給第2所民辦學校，按此方法將獎金逐一發(fā)給了n所民辦學校.

⑴請用n,b分別表示第2所、第3所民辦學校得到的獎金；

⑵設第k所民辦學校所得到的獎金為a□元(iWkWn),試用k,n和b表示a□(不必證明)；

(3)比較a□和。ak+1的大小((k=l,2,…,n-1),并解釋此結果關于獎金分配原則的實際意義.

35.按下面規(guī)則擴充新數(shù)：已有兩數(shù)a,b,可按規(guī)則c=ab+a+b擴充一個新數(shù)，在a,b,c三個數(shù)中任取

兩數(shù)，按規(guī)則又可擴充一個新數(shù)……每擴充一個新數(shù)叫作一次操作.現(xiàn)有數(shù)1和4.

⑴求按上述規(guī)則操作三次得到擴充的最大新數(shù)；

(2)能否通過上述規(guī)則擴充得到新數(shù)1999,并說明理由.

1.C2.C3.A4.y2(x2+l)(2x+3)(2x-3)

5.假設'巧數(shù)”是ab,那么ab+a+b=10a+b,所以可得到b等于9,“巧數(shù)'是19,29,39,49,59,69,79,89,99；那么在所有

兩位數(shù)中，最大的“巧數(shù)”是99.

6.A

7.(I)%2+3%+2=(%+1)(%+2);

(2)x2—%—6=(%—3)(%+2);

(3)(x2-5x)2-36=(x2-5x-6)(x2-5x+6)=(x-6)(x+l)(x-2)(x-3).

8.三式相加，得:(a+b+c)+(出+/++2ab+2bc+2ca)=72,

所以((a+b+c)2+(a+b+c)—72=0,

所以[(a+b+c)+9][(a+b+c)-8]=0,

因為a,b,c都是正實數(shù)，

所以a+b+c>0,

所以a+b+c=8.

9。)設原式分解為(%2+ax-l)(x2+.+2),其中a,b為整數(shù)，去括號，得:

%4+(a+b)x3+必+(2a—b)x—2,

將它與原式的各項系數(shù)進行對比，得：

a+b=-l,m=1,2a-b=-2m,

解得a=-l,b=0,m=l.此時，原式:=(%2+2)(%2-x-1).

(2)設原式分解為(%2+cx-2)(x2+dx+1),其中c,d為整數(shù),去括號，得:

%4+(c+d)x3—%2+(c-2d)%—2,

將它與原式的各項系數(shù)進行對比，得：

c+d=-1,m=-l,c-2d=-2m,

解得:c=0,d=-1

此時，原式：=(x2-2)(%2-%+1).

10.因為a2+b2+c2+d2=2ab+2cd,

所以a2+b2+c2+d2—2ab—2cd=0,

所以(a-b}2+(c-dp=0,

所以a-b=0且c-d=0,

所以a二b且c=d.

所以四邊形是對角線互相垂直的四邊形(箏形).

11.3n+2-2n+2+3n-2n=3n+2+3n-2n+2-2,

=3n(32+1)-2n(22+1)

=10x3n-5x2n

因為對任意自然數(shù)n,10x3”和5x2”都是10的倍數(shù).

所以3n+2_2n+2+3n-2〃一)定是10的倍數(shù).

12.因為a2+(a+l)2+(a2+a)2=(a2+a+l)2

所以62+72+422=(36+6+I)2=432=1849.

13.(1)當a=3,b=4時,a2+62+2ab=(a+b)2=49.

(2)答案不唯一，過程略.

14.因為a,b,c是三角形的三條邊

所以a+b+c>0且a<b+c,

所以(a+b+c)(a-b-c)<0,

即a2—b2—c2—2bc<0.

15.這4根鋼立柱的總質(zhì)量為3.7x102噸.

16.矩形的面積是49平方厘米.

17.(l)(a+2&)(a+b)=a2+3ab+2b2;

(2)a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b).

18.(1).+3-2xm+2y+xm+1y2=xm+1(x2-2xy+y2)=xm+1(x-y)2;

10

(2)因為為367—6,2=6M—6,2=6,2<36—1)=35X6,2=35X6X6X6,O=140X9X6，所以367—6籃能被140整除.

19.a=b=c.

理由:因為a2+c2=2ab+2bc—2b2,

所以a2+2b2+c2—2ab—2bc=0,

a2—2ab+b2+b2-2bc+c2=0,即((a—b)2+(b—c)2=0,

所以a-b=0,且b-c=0,即a=b,且b=c,

所以a=b=c.

20.因為x3+x2y—4xy2—4y3=0,所以%2(%+y)—4y2(x+y)=0.

因為((%+y)(x+2y)(x-2y)=0,,所以x=2y(符合題意),x=-y和x=-2y(不合題意，舍去).

又由題意可得x+y=150,

解方程組(得:x=100,y=50.

所以長方形的面積=100x50=5000平方厘米.

21.A22.A23.B24.C

25.(1)設2005=a，則原式=ax2-(a2-l)x-a

=(ax+l)(x-a)

=(2005x+l)(x-2005).

⑵類似abcd+e的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘.

原式=(x2+7%+6)(x2+5%+6)+%2

設/+5x+6=4則x2+7x+6=X+2%

所以原式：=(A+2x)A+x2=A2+2Ax+x2=(A+x)2=(x2+6x+6)2.

26.因為4x-y是7的倍數(shù)設4x-y=7m(m是整數(shù))，則y=4x-7m.

又因為8/+10xy—3y2=(2x+3y)(4x—y)

所以((2x+12x-21m)(4x-4x+7m)=7m(14x-21m)=49m(2x-3m),

因為x,m是整數(shù)，所以m(2x-3m)也是整數(shù)，

所以，8%2+10xy-3y2是49的倍數(shù).

27.設兩個連續(xù)偶數(shù)為2n,2n+2,貝有(2n+2P(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)x2=4(2n+l),因為n為整數(shù).所以4(2

n+1)中的2n+l是正奇數(shù)，所以4(2n+l)是4的倍數(shù)，故兩個連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除.

28.(1)空地的面積為：SAB0+SBXO+SACO=+~mb+|mc.

(2)原式=|m(a+b+c),當m=8.48,a=41,b=34,c=25時，

原式=|x8.48X(41+34+25)=|x8.48x100=424空地的面積為424平方米.

29.a2+b2+c2—ab—ac—be=(2a2+2b2+2c2—2ab—2ac—2bc)

=|[(a2-2ab+62)+(h2—2bc+c2)+(a2—2ac+c2)]

=|[(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]>。所以a2+b2c2—ab—ac—be一定是非負數(shù).

30.因為(a—c)2=4(b—a)(c—b)

所以(a-c)2_4(b一a)(c-b)=0

所以a2—2ac+c2—4bc+4ac-4ab+4b2=0

所以(a+c)2-4b(a+c)+4b2=0

所以((a+c-2b)2=0

所以a+c-2b=0

所以a-b=b-c.

31.根據(jù)題意,分析可得：

0=(l-l)x(l+3)=0x4,

5=(2-l)x(2+3)=lx5,

12=(3-l)x(3+3)=2x6,

故其第n項是(n-l)(n+3).

32.(1)8—Z=(a—1)2+2>0,所以B>A.

(2)C—4=a?+5a—19—a—2=ci2+4a—21=(a+7)(a-,3).

因為a>2,所以a+7>0,從而當2<a<3時,A>C;當a=3時,A二C;當a>3時,A<C.

33.(1)由因式分解可知

a+b3+c3—3abc=(a+b+c)?(a2+b2+c2—ab—be—ca)

所以(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—be—ca)=|(a+6+c)[(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2]=。又因a,b,c不

全相等，所以a+b+c=0.

⑵所求代數(shù)式較復雜，考慮恒等變形.

因為