試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廈門市2025屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題2025.1本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在復平面內(nèi)，對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知等軸雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為1，則C的焦距為（

）A． B．2 C． D．44．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，且，則（

）A．-1 B． C．0 D．6．已知，若，則（

）A． B． C． D．7．過拋物線C：的焦點F的直線l交C于A，B兩點，交直線于點P，若，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．18．若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值域為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知平面向量，，則（

）A．，不可能垂直 B．，不可能共線C．不可能為5 D．若，則在方向上的投影向量為10．藥物臨床試驗是驗證新藥有效性和安全性必不可少的步驟．在某新藥的臨床實驗中，志愿者攝入一定量藥物后，在較短時間內(nèi)，血液中藥物濃度將達到峰值，當血液中藥物濃度下降至峰值濃度的20%時，需要立刻補充藥物．已知血液中該藥物的峰值濃度為120mg/L，為探究該藥物在人體中的代謝情況，研究人員統(tǒng)計了血液中藥物濃度y（mg/L）與代謝時間x（h）的相關數(shù)據(jù)，如下表所示：x012345678y120110103938268594738根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗回歸方程，則（

）A． B．變量y與x的相關系數(shù)C．當時，殘差為-1.5 D．代謝約10小時后才需要補充藥物11．已知定義在上的函數(shù)滿足，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如[，．當時，，設x，為從小到大的第n個極小值點，則（

）A． B．C．數(shù)列是等差數(shù)列 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知圓錐的母線長為6，且其軸截面為等邊三角形，則該圓錐的體積為．13．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則；．14．從集合的所有非空子集中任選兩個，則選中的兩個子集的交集為空集的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)設D為邊AB的中點，若，且，求a．16．如圖，在三棱柱中，，，．(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面ABC所成角為60°，求平面與平面ABC夾角的余弦值．17．已知動圓M與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，記圓心M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程；(2)設點P，Q在C上，且以PQ為直徑的圓E經(jīng)過坐標原點O，求圓E面積的最小值．18．設函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若是增函數(shù)，求a的取值范圍；(3)當時，設為的極小值點，證明：．19．若數(shù)列滿足數(shù)列是等差數(shù)列，則稱為“絕對等差數(shù)列”，的公差稱為的“絕對公差”．(1)若“絕對等差數(shù)列”的“絕對公差”為2，且，求的值；(2)已知“絕對等差數(shù)列”滿足，，且的“絕對公差”為1，記為的前n項和．（ⅰ）若，求；（ⅱ）證明：對任意給定的正整數(shù)m，總存在，使得．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【詳解】解析：易知，所以對應的點為，位于第二象限，故選B．2．A【詳解】解析：易知集合，所以，故選A．3．C【詳解】解析：設等軸雙曲線的焦距為2c，因為焦點到其漸近線的距離為，所以，雙曲線的焦距為，故選C．4．D【詳解】解析：若，則m，n平行或異面，A選項錯誤；若，則或，B選項錯誤；若，則m，不一定垂直，也可能平行或相交，C選項錯誤；若，則，D選項正確；故選D．5．C【詳解】解析：如圖所示，，所以，解得，故選C．6．C【詳解】解析：，因為，所以，，解得，故選C．7．B【詳解】解析：易知為C的準線，過A，B分別作的垂線，垂足分別為M，N，因為，所以，即，所以與的面積之比為，故選B．8．B【詳解】解析：，依題意，，所以，所以，解得，所以，因為，所以，故選B．9．ACD【詳解】解析：，A選項正確；若向量，共線，則，解得，所以向量，可能共線，B選項錯誤；，所以，C選項正確；若，則，，所以在方向上的投影向量為，D選項正確；綜上所述，應選ACD．10．AC【詳解】解析：因為樣本中心點在直線上，所以，A選項正確；血液中藥物濃度y（mg/L）隨代謝時間x（h）的增大而減小，所以變量y與x的相關系數(shù)，B選項錯誤；當時，，殘差為，C選項正確；令，解得，D選項錯誤；綜上所述，應選AC．11．BC【詳解】解析：，故A選項錯誤；當時，，等式兩邊同時加，得，故，，故B選項正確；當時，設，則極小值點為，所以當時，，此時，的極小值點為，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，故C選項正確；所以設，則，，，所以，當時，，故D選項錯誤．綜上所述，應選BC．12．【詳解】解析：設圓錐的底面半徑為r，則，解得，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，應填；13．【詳解】解析：依題意，，所以，即，解得，所以，因為，所以，應填，；14．【詳解】解析：設，，且，易知集合U的非空子集個數(shù)為，任取兩個集合A，B共有種選法．（方法一）①若，則共有種選法；②若，從4個元素里選3個，再分成兩組（不平均），有種選法；③若，4個元素平均分為兩組共有2-=3種；不平均分組共有種，小計共有7種選法；所以選中的兩個子集的交集為空集的概率為．（方法二）①當時，4個元素里任選一個放入集合A中，集合B共有種情況，故有種情況；②當時，4個元素里任選兩個放入集合A中，集合B共有種情況，故有種情況；③當時，4個元素里任選三個放入集合A中，集合B共有種情況，故有種情況；總共有種情況，所以選中的兩個子集的交集為空集的概率為．（方法三）對于集合U中的任意元素x均有，且；，且；這三種選法，再減去集合A，B其中一個為空集的情況，故共有種，所以選中的兩個子集的交集為空集的概率為．應填．15．(1)(2)或【詳解】解：（1）方法1：由正弦定理可得，即，即．因為，可得，所以，因為，所以．評分細則：方法1：分兩個過程（3分+2分）過程1：邊化角：利用兩角和的正弦公式及化解．過程2：求值：求出，求方法2：由余弦定理可得，，，所以，整理得，，所以因為，所以．評分細則：方法2：分兩個過程（3分+2分）過程1：余弦定理角化邊：化解整理結(jié)果正確．過程2：求值：求出，求出．說理過程酌情給分．（2），所以，所以，或，（寫出∠CDA的兩個余弦值，得2分）（ⅰ）當時，因為，所以，（由正弦和角公式得到∠ACD的正弦值，過程正確結(jié)果錯誤扣1分）在中，由正弦定理得，，即，所以，在中，由余弦定理可得，解得．（求出AC得1分，求a得1分）（ⅱ）當時，同理得，，，所以，或．（漏一種情況，扣兩分，AC和a值各占1分）16．(1)證明見解析(2)．【詳解】解：（1）方法1：取AC的中點O，連接AO，BO，因為，所以，且，因為，，O為AC的中點，所以，所以，所以，因為，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，因為平面，所以平面平面．評分細則：方法1：，BO垂直關系證明，說理過程酌情給分．線面垂直證明，線面垂直面面垂直．說理過程酌情給分．方法2：設O為在底面ABC的射影，則與OA，OB，OC均垂直，因為，所以射影O為底面的外心，又為直角三角形，所以O恰為斜邊AC的中點，因為平面，所以平面平面．評分細則：方法2：設O為投影，得出，說理過程酌情給分．證明O恰為斜邊AC的中點，面面垂直證明．（2）由（1）可知，平面ABC，所以AB與平面ABC所成角即為，所以，因為，所以，所以，，無推理過程直接寫出不扣分．求出，．方法1：如圖所示，以O為原點，分別以，，所在方向為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，所以，，建系及點，C，的坐標，向量，，建系正確設平面的法向量為，則有，即令，則，，所以，易知平面ABC的一個法向量為，設平面ABC與平面ABC的夾角為，所以，所以平面與平面ABC夾角的余弦值為．法向量需要有求解過程．，代入運算，結(jié)論．若有其他建系方法，仿照上述方案給分．方法2：如圖，過C作AB的平行線l，因為，所以，過O作，垂足為H，因為，，，所以平面，因為平面，所以，所以平面與平面ABC的夾角即為，易知，所以，所以平面與平面ABC夾角的余弦值為．作出平行線l，垂足，證明，證明過程酌情給分；寫明即為所求夾角，求出，結(jié)論．17．(1)(2)【詳解】解：（1）設圓M的半徑為r，則由題意可知，且，所以，所以圓心M的軌跡為橢圓，易知橢圓C的長軸長為，焦距為，所以，，所以，所以的方程．設圓M半徑表達，由橢圓定義證明M軌跡為橢圓計算出a，b，c，有計算錯誤酌情給分寫出C的方程．（2）方法1：設，，由可知，，當直線PQ的斜率不存在時，設直線，則，，由可得，，所以，解得，此時，圓E的面積為．當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ：，由可得，，所以，，所以，所以，即，代入，所以，當且僅當時，取得最小值，所以圓E面積的最小值為．考慮直線PQ的斜率不存在的情況，并計算圓E的面積聯(lián)立直線PQ與橢圓，設點寫出韋達關系由OP，OQ垂直關系，得到k，m的關系式寫出的表達式，求出最小值，結(jié)論方法2：因為以PQ為直徑的圓E經(jīng)過坐標原點O，所以，①當直線OP，OQ中有一條斜率不存在時，則另一條斜率為0，易知，所以圓E的半徑為，所以圓E的面積為．②若直線OP，0Q的斜率均存在，設直線OP：，直線OQ：，，，所以由可得，同理可得所以，所以，當且僅當時，取得最小值，所以此時，圓E面積的最小值為，因為，所以圓E面積的最小值為．考慮直線OP或者OQ斜率不存在的情況，并計算圓E的面積若計算錯誤，寫出了OP與OQ的垂直關系，給1分．聯(lián)立直線OP與橢圓，得到，與k的關系寫出的表達式，求出最小值，結(jié)論方法3：設，，因為，所以，所以，因為，所以，整理得，，由基本不等式，得，所以，設，則，即，解得，所以，所以圓E面積的最小值為．由參數(shù)方程分別寫出P，Q的坐標由OP與OQ的垂直關系，得到兩參數(shù)關系寫出的表達式，求出最小值計算過程酌情給分，結(jié)論方法4：設，，因為，所以可設，且，因為點在C上，所以，所以，同理可得，，所以，所以，所以，當且僅當，，或、，時等號成立，所以圓E面積的最小值為．寫出P，Q的坐標分別寫出與的表達式，得到求出的最值，結(jié)論．18．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)(3)證明見解析【詳解】解：（1）當時，，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．求導正確，單調(diào)性，可根據(jù)具體書寫形式酌情給分，結(jié)論．（2），設，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，取得極小值，（?。┧援敃r，，，所以，單調(diào)遞增，符合題意；（ⅱ）當時，，又存在兩個零點，即存在區(qū)間使得，所以不恒成立，不合題意；（ⅲ）當時，若，因為的零點為，且，則與有唯一相同零點且零點兩側(cè)函數(shù)值符號相同，所以，解得，此時，當時；當時，則所以綜上a的取值范圍為求導情形（?。?，情形（ⅱ）情形（ⅲ）求出，說理過程酌情給分，結(jié)論．（3）當時，，，設為的零點，則，因為，所以，所以當時，，，所以，單調(diào)遞增，當時，，，所以，單調(diào)遞減，當時，，，所以，單調(diào)遞增，所以，且，即，所以，設，則，單調(diào)遞增，所以，，所以．判斷，討論單調(diào)性，說理過程酌情給分；判斷，寫出的表達式，求導判斷單調(diào)性，結(jié)論．19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【詳解】解：（1）設，則，因為，若與均為負數(shù)，則，解得，不合題意；若與一正一負，則或-2，不合題意；所以，，所以，解得，故．拆解成，有設參過程正確理解題意給1分，與正負討論，直接判斷為正可扣1分，結(jié)論．（2）（?。驗椋裕蟮?，，結(jié)論若有其他求解方法，酌情給分．（ⅱ）依題意，，記，其中，①若m為奇數(shù)，令，由（?。┛芍?，因為，所以，符合題意；所以對任意給定的奇數(shù)m，存在滿足的使得．m為奇數(shù)情形（分），其中，②若m為偶數(shù)，因為，，……，，累加得由（?。┲?可得，．若，則，符合題意，故下面只討論的情況．寫出，討論的情況滿足題意易知，當k為大于1的奇數(shù)時，，，設此時的，即，，構造新數(shù)列，其中，，其余各項均不變即，所以，記調(diào)整為后該數(shù)列的前m項和為，則，寫出，構造新數(shù)列，得到的表達式有調(diào)整相鄰兩項的思路給1分，其他表達書寫過程酌情給分．令，解得，則對任意給定的偶數(shù)m，當，或時，其中為不超過x的最大整數(shù)，即存在滿足，所以綜上所述，對任意給定的正整數(shù)m