專題訓練：全等三角形知識框架重難點題型題型1利用全等三角形求長度1．（2021·遼寧鞍山市·八年級期中）如圖，在△ABC中，點D為AB延長線上一點，點E為AC中點，過C作CF//AB交射線DE于F，若BD＝1，CF＝5，則AB的長度為_____．2．（2021·福建泉州市·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于點D，點E在邊AB上，且BE＝BC，過點E作EF⊥AB交BD延長線于點F，若EF＝12，則AE＝_____．3．（2021·北京西城區(qū)·八年級期末）如圖，在中，點D，E分別在邊，上，點A與點E關(guān)于直線對稱．若，，，則的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．124．（2021·江蘇八年級期中）如圖，在中，，，平分，于，若，則為______．5．（2021·黑龍江哈爾濱市·八年級期末）如圖所示，為中線，D為中點，，，連接，．若的面積為3，則的面積為______．6．（2021·重慶巴蜀中學七年級期末）如圖，點E在△ABC的邊AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于點D．（1）求證：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周長．題型2利用全等三角形求角度1．（2021·湖北武漢市·八年級期末）如圖，，若，，則的度數(shù)為（）A．80° B．35° C．70° D．30°2．（2020·浙江八年級開學考試）如圖所示，，，，的延長線交于點F，交于點G，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．3．（2021·安徽馬鞍山市·八年級期末）如圖，，若，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2021·北京順義區(qū)·八年級期末）如圖，是等邊三角形，，與交于點F，則的度數(shù)是__________．5．（2021·石家莊市第二十八中學八年級月考）如圖，是的角平分線，延長至點，使，若，，則__________．6．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中七年級期中）如圖所示，在ΔABC中，AD平分∠BAC，點E在DA的延長線上，且EF⊥BC，且交BC延長線于點F，H為DC上的一點，且BH=EF，AH=DF，AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，則__________．題型3利用全等三角形證明數(shù)量（位置）關(guān)系1.（2020?蕭山區(qū)期中）BD、CE分別是△ABC的邊AC、AB上的高，P在BD的延長線上，且BP＝AC，點Q在CE上，CQ＝AB．求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．2.（2020?瑤海區(qū)期末）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）求證：AE＝CD；（2）求證：AE⊥CD；（3）連接BM，有以下兩個結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有（請寫序號，少選、錯選均不得分）．3．（2020·黑龍江松北初一期末）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，則①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CEBF中正確有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4.（2020?溧水區(qū)期末）初步思考（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠BAD＝2∠EAF．求證：EF＝BE+FD．小明發(fā)現(xiàn)此題是證明線段的和（差）問題，根據(jù)證明此類題型的常見方法，于是就有了如下的思考過程：請在下列框圖中補全他的證明思路．解決問題：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠BAD＝2∠EAF，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？說明理由．拓展延伸：（3）在（2）的條件下，若將點E、F改在線段BC、CD延長線上，請直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系．5．（2020?龍崗區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC＝AE+CD．6．（2020?福州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB為邊作等邊△ABD（點C，D在邊AB的同側(cè)），連接CD．（Ⅰ）若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度數(shù)；（Ⅱ）當∠BAC＝2∠BDC時，請判斷△ABC的形狀并說明理由；（Ⅲ）當∠BCD等于多少度時，∠BAC＝2∠BDC恒成立．7．（2020·全國初三專題練習）如圖，在中，，，點是內(nèi)部一點，且，證明：．題型4全等三角形的判定方法：5種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）解題技巧：1）根據(jù)圖形和已知條件，猜測可能的全等三角形；2）尋找邊角相等的3組條件。3）往往有2個條件比較好找，第3個條件需要推理尋找第3個條件思路：原則:1）需要證明的邊或角需首先排除，不可作為第3個條件尋找2）尋找第3個條件，往往需要根據(jù)題干給出的信息為指導，確定是找角還是邊全等三角形證明思路：1°：SSS證全等1．（2020·全國初二課時練習）如圖：在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一點,AE⊥CD于點E,BF⊥CD于點F,若CE=BF,AE=EF+BF.試判斷AC與BC的位置關(guān)系,并說明理由.2．（2020·上海浦東新初一期末）閱讀并填空：如圖：根據(jù)六年級第二學期學過的用直尺、圓規(guī)作線段中點的方法，畫出了線段AB的中點C，請說明這種方法正確的理由．解：連接AE、BE、AF、BF．在△AEF和△BEF中，EF＝EF（），＝（畫弧時所取的半徑相等），＝（畫弧時所取的半徑相等）．所以△AEF≌△BEF（）．所以∠AEF＝∠BEF（）．又AE＝BE，所以AC＝BC（）．即點C是線段AB的中點．3．（2020·江蘇棲霞初二期中）數(shù)學家魯弗斯設(shè)計了一個儀器，它可以三等分一個角．如圖所示，A、B、C、D分別固定在以O(shè)為公共端點的四根木條上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中間的兩根木條上滑動，AE=CE=BF=DF．求證：∠AOE=∠EOF=∠FOD．2°：SAS證全等1．（2021·江蘇南京市·九年級專題練習）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B，D，E在同一條直線上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．50°B．65°C．70°D．75°2．（2020·全國初二課時練習）如圖是工人師傅用同一種材料制成的金屬框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周長為24cm，CF＝3cm，則制成整個金屬框架所需這種材料的總長度為____cm.3．（2020·南山第二外國語學校集團海德學校初一期中）如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求證：BD=CE．4．（2021·河南宜陽初二期末）(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由．3°：ASA證全等1．（2020·河南焦作初一期末）如圖：小剛站在河邊的點處，在河的對面（小剛的正北方向）的處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了20步到達一棵樹處，接著再向前走了20步到達處，然后他左轉(zhuǎn)90°直行，當小剛看到電線塔樹與自己現(xiàn)處的位置在一條直線時，他共走了100步．（1）根據(jù)題意，畫出示意圖；（2）如果小剛一步大約50厘米估計小剛在點處時他與電線塔的距離，并說明理由．2．（2021·重慶萬州區(qū)·八年級期末）如圖，在中，H是高MQ和NR的交點，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH的長為（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2020·江蘇崇川南通田家炳中學初三其他）如圖，在△ABC中，D是線段BC的中點，F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點，且CF∥BE．求證：DE＝DF4°：AAS證全等1．（2020·上海浦東新初一期末）如圖，已知點C是線段AB上一點，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．（1）說明△ACD與△BEC全等的理由；（2）說明AB＝AD+BE的理由．2．（2020·江西大余初二期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．3．（2021·全國七年級專題練習）如圖所示，，，，結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2020·山西朔州初二期末）綜合與實踐閱讀以下材料：定義：兩邊分別相等且夾角互補的兩個三角形叫做“互補三角形”．用符號語言表示為：如圖①，在△ABC與△DEF中，如果AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF，那么△ABC與△DEF是互補三角形．反之，“如果△ABC與△DEF是互補三角形，那么有AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF”也是成立的．自主探究利用上面所學知識以及全等三角形的相關(guān)知識解決問題：（1）性質(zhì)：互補三角形的面積相等如圖②，已知△ABC與△DEF是互補三角形．求證：△ABC與△DEF的面積相等．證明：分別作△ABC與△DEF的邊BC，EF上的高線，則∠AGC=∠DHE=90°．……(將剩余證明過程補充完整)（2）互補三角形一定不全等，請你判斷該說法是否正確，并說明理由，如果不正確，請舉出一個反例，畫出示意圖．5°：HL證全等1．（2019·丹陽市第三中學初二月考）用三角尺可以按照下面的方法畫∠AOB的角平分線：在OA、OB上分別取點M、N，使OM=ON；再分別過點M、N畫OA、OB的垂線，這兩條垂線相交于點P，畫射線OP（如圖），則射線OP平分∠AOB，以上畫角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是()A．SSS B．SAS C．HL D．ASA2．（2020·江蘇常州初二期末）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，（1）求證：△BEC≌△DEA；（2）求證：BC⊥FD．3．（2020·南通市啟秀中學初一期末）如圖，點在直線的同側(cè)，過作，垂足為，延長至，使得，連接交直線于點．（1）求證：（2）在直線上任意一點（除點外），求證：題型5.尺規(guī)作圖與三角形全等1．（2021·河北唐山市·八年級期末）如圖，在，上分別截取，，使，再分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點，作射線，就是的角平分線．這是因為連結(jié)，，可得到，根據(jù)全等三角形對應角相等，可得．在這個過程中，得到的條件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS2．（2020·江蘇蘇州市·七年級期末）如圖，小正方形的邊長為1，為格點三角形．(1)如圖①，的面積為；(2)在圖②中畫出所有與全等，且只有一條公共邊的格點三角形．3．（2020·吉林長春市·九年級其他模擬）我們曾學過定理“在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，其逆命題也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角邊等于斜邊的一半，那么該直角邊所對的角為”.如圖，在中，，如果，那么.請你根據(jù)上述命題，解決下面的問題：（1）如圖1，，為格點，以為圓心，長為半徑畫弧交直線于點，則______；（2）如圖2，、為格點，按要求在網(wǎng)格中作圖（保留作圖痕跡）。作，使點在直線上，并且，.（3）如圖3，在中，，，為內(nèi)一點，，于，且.①求的度數(shù)；②求證：.4．（2020·河北衡水市·）閱讀下面材料：在數(shù)學課上，老師提出如下問題：已知：△ABC，尺規(guī)作圖：求作∠APC=∠ABC．小明同學的主要作法如下：問題：小明的做法正確嗎？請你說明小明作法的正確性．5．（2020·北京懷柔區(qū)·八年級期末）數(shù)學課上，王老師布置如下任務：如圖1，直線MN外一點A，過點A作直線MN的平行線．(1)小路的作法如下：①在MN上任取一點B，作射線BA；②以B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交BA和MN于C、D兩點（點D位于BA的左側(cè)），再以A為圓心，相同的長度為半徑畫弧EH，交BA于點E（點E位于點A上方）；③以E為圓心CD的長為半徑畫弧，交弧EH于點F（F點位于BA左側(cè)）④作直線AF⑤直線AF即為所求作平行線．請你根據(jù)小路同學的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊含的數(shù)學依據(jù)：(2)請你參考小路的作法，利用圖2再設(shè)計一種“過點A作MN的平行線”的尺規(guī)作圖過程（保留作圖痕跡），并說明其中蘊含的數(shù)學依據(jù)．6．（2021·安徽合肥市·八年級期末）（1）如圖，∠MAB＝30°，AB＝2cm，點C在射線AM上，畫圖說明命題“有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”是假命題，請畫出圖形，并寫出你所選取的BC的長約為cm（精確到0.lcm）．（2）∠MAB為銳角，AB＝a，點C在射線AM上，點B到射線AM的距離為d，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是．題型6.利用三角形全等測距離1．（2020·全國七年級課時練習）為了測量河兩岸相對點A、B的距離，小明先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上（如圖所示），可以證明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此測得ED的長度就是AB的長，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS2．（2020·南昌市第一中學八年級期中）如圖1、2，小明為了測出塑料瓶直壁厚度，由于不便測出塑料瓶的內(nèi)徑，小明動手制作一個簡單的工具（如圖2，AC＝BD，O為AC、BD的中點）解決了測瓶的內(nèi)徑問題，測得瓶的外徑為a、圖2中的刀DC長為b，瓶直壁厚度x＝_____（用含a，b的代數(shù)式表示）．3．（2021·陜西九年級專題練習）在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，如何測得距離？一位戰(zhàn)士的測量方法是：面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才的姿勢，這時視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡的距離．這是為什么呢？4．（2020·廣東茂名市·七年級期末）如圖,為了測量出池塘兩端A,B之間的距離,在地面上找到一點C,連接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延長線上確定點D,使CD=BC,那么只要測量出AD的長度就得到了A,B兩點之間的距離.你能說明其中的道理嗎?5．（2021·陜西九年級專題練習）如圖，小葉和小麗兩家分別位于A、B兩處隔河相望，要測得兩家之間的距離，請你設(shè)計出測量方案．6．（2021·全國七年級單元測試）如圖，小明和小月兩家位于A，B兩處隔河相望，要測得兩家之間的距離，小明設(shè)計方案如下：①從點A出發(fā)沿河岸畫一條射線AM；②在射線AM上截取AF＝FE；③過點E作EC∥AB，使B，F(xiàn)，C在一條直線上；④CE的長就是A，B間的距離．(1)請你說明小明設(shè)計的原理．(2)如果不借助測量儀，小明的設(shè)計中哪一步難以實現(xiàn)？(3)你能設(shè)計出更好的方案嗎？題型7.全等三角形中的動態(tài)問題1.（2020秋?濱湖區(qū)期中）如圖，已知長方形ABCD的邊長AB＝20cm，BC＝16cm，點E在邊AB上，AE＝6cm，如果點P從點B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點C向運動，同時，點Q在線段CD上從點C到點D運動．則當△BPE與△CQP全等時，時間t為s．2．（2020·江蘇昆山初一期末）如圖，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直線l經(jīng)過點C且與邊AB相交．動點P從點A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動；動點Q從點B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動．點P和點Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點同時出發(fā)并開始計時，當點P到達終點B時計時結(jié)束．在某時刻分別過點P和點Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F，設(shè)運動時間為t秒，則當t＝_____秒時，PEC與QFC全等．3.（2020·貴州銅仁初三月考）如圖，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．設(shè)點Q的運動速度為xcm/s，若使得△ACP與△BPQ全等，則x的值為_____．4.（2020春?廣饒縣期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設(shè)運動時間為ts．（1）如圖（1），當t＝時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，求點Q的運動速度．5．（2020·江蘇宿遷初二期末）如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．6．（2020·山東廣饒初一期末）如圖（1），在ABC中，，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm.現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊ACCBBA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設(shè)運動時間為ts．（1）如圖（1），當t=______時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，，DE=4cm,DF=5cm,．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著ABBCCA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好，求點Q的運動速度．題型8.全等三角形綜合題1．（2021·湖南岳陽市·八年級期末）已知中，，，點為