PAGE§2排列學(xué)問點(diǎn)一排列的定義[填一填]一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，依據(jù)肯定的依次排成一列，叫作從n個(gè)不同的元素中隨意取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．有關(guān)求排列個(gè)數(shù)的問題叫作排列問題．[答一答]1．如何推斷一個(gè)問題是排列問題？提示：推斷一個(gè)問題是否為排列問題的依據(jù)是，是否與依次有關(guān)，與依次有關(guān)且是從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)不同元素的問題就是排列問題，而推斷它是否有依次的依據(jù)是變換元素的位置，看其結(jié)果是否有改變，有改變就是有依次，無改變則無依次．學(xué)問點(diǎn)二排列數(shù)公式[填一填]把從n個(gè)不同的元素中隨意取出m(m≤n)個(gè)元素的排列，看成從n個(gè)不同的球中選出m個(gè)球，放入排好的m個(gè)盒子中，每個(gè)盒子里放一個(gè)球，分n步計(jì)數(shù)，依據(jù)乘法原理，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]種放法．即從n個(gè)不同的元素中隨意取出m(m≤n)個(gè)元素的排列共有n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)種．由此，可得排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．規(guī)定Aeq\o\al(0,n)＝1.當(dāng)m＝n時(shí)，Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)·…·2·1.說明：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫作n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，記作Aeq\o\al(n,n).我們把n(n－1)(n－2)·…·2·1記作n！，讀作：n的階乘，即Aeq\o\al(n,n)＝n！，規(guī)定0?。?.于是排列數(shù)公式寫成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝n！,(n－m)！.[答一答]2．如何理解和記憶排列數(shù)公式？提示：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的排列，一共有Aeq\o\al(m,n)＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)種，排列數(shù)公式中的第一個(gè)數(shù)是n，依次遞減1，最終一個(gè)數(shù)為(n－m＋1)，共有m個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘．1．正確理解排列的定義排列的定義包含兩個(gè)方面的含義：一是“取出元素”，二是“依據(jù)肯定的依次排列”．因此，當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列依次也完全相同時(shí)，它們才是同一個(gè)排列，元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而依次不同的排列，都不是同一個(gè)排列．定義中規(guī)定給出的n個(gè)元素各不相同，并且只探討被取出的元素也各不相同的狀況，也就是說，假如某個(gè)元素已被取出，則這個(gè)元素就不能再取了，否則就變成了取出兩個(gè)相同元素．定義中的“肯定依次”是與位置有關(guān)的問題，對有些詳細(xì)狀況，如取出數(shù)字1,2,3組成三位數(shù)，就與位置有關(guān)，因123和132是不同的三位數(shù)；但如取出數(shù)字1,2,3，考慮它們的和，則與位置無關(guān)．2．“排列”與“排列數(shù)”的區(qū)分“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，依據(jù)肯定的依次排成一列”，它不是一個(gè)數(shù)，而是詳細(xì)的一個(gè)排列(也就是詳細(xì)的一件事)；排列數(shù)是指“從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的全部不同排列的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．比如從a、b、c3個(gè)元素中每次取出2個(gè)元素，依據(jù)肯定的依次排成一列，有如下幾種：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一種都是一個(gè)排列，共有6種，而數(shù)字6就是排列數(shù)，在這里Aeq\o\al(2,3)＝6.3．排列數(shù)公式的兩種不同形式的選擇排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)和Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)在應(yīng)用時(shí)，要依據(jù)狀況選擇．除依據(jù)詳細(xì)的已知條件進(jìn)行選擇外，還有當(dāng)m和n都是較小的整數(shù)時(shí)，常選擇前者；m和n是較大整數(shù)時(shí)，常選擇后者用計(jì)算機(jī)計(jì)算．對含有字母的排列數(shù)式子進(jìn)行變形時(shí)，也常用后者．4．解答排列問題的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)留意的問題(1)留意排列的有序性．(2)對受條件限制的位置與元素應(yīng)首先排列，并適當(dāng)選用干脆法或解除法(間接法)．(3)從位置動(dòng)身的“填空法”和不相鄰問題的“插空法”是解答排列應(yīng)用題中常用的有效方法．某些元素的相鄰問題，常用“捆綁”法，將其看成一個(gè)元素．(4)要留意通過排列應(yīng)用題，深化對分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的理解，培育“全局分類”和“局部分類”意識(shí)．題型一排列數(shù)公式的計(jì)算[例1]計(jì)算下列各題．(1)Aeq\o\al(3,12)；(2)Aeq\o\al(8,8)－9Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(7,7)；(3)eq\f(m－1！,A\o\al(n－1,m－1)m－n！).[思路探究]公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)常用來求值，特殊是m，n均已知的狀況；公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)常用來證明或化簡．[解](1)原式＝12×11×10＝1320.(2)原式＝Aeq\o\al(8,8)－8Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(7,7)＝Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(8,8)＋Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(7,7)＝0.(3)原式＝eq\f(m－1！,\f(m－1！,m－n！)·m－n！)＝1.規(guī)律方法運(yùn)用排列數(shù)公式時(shí)應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：(1)排列數(shù)公式的連乘形式常用于計(jì)算詳細(xì)的排列數(shù)；(2)排列數(shù)公式的階乘形式主要用于含有排列數(shù)的分式形式的計(jì)算，或?qū)凶帜傅呐帕袛?shù)的式子進(jìn)行化簡、證明．(1)若Aeq\o\al(m,n)＝17×16×15×…×5×4，則n＝17，m＝14.(2)若n∈N，則(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列數(shù)符號(hào)表示為Aeq\o\al(15,69－n).解析：(1)由Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝17，,n－m＋1＝4，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝17，,m＝14.))(2)若n∈N，則(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).題型二排列數(shù)公式的應(yīng)用[例2](1)解方程：3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)；(2)解不等式：Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).[思路探究](1)(2)中排列數(shù)的上標(biāo)不明確，因此，干脆利用公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)求解會(huì)比較麻煩，而利用公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)求解則比較便利，然后轉(zhuǎn)化為有關(guān)的方程或不等式即可．[解](1)由題意可得，原方程可化為3×eq\f(8！,8－x！)＝4×eq\f(9！,10－x！)，化簡得3＝eq\f(4×9,10－x9－x)，即x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，,0≤x－1≤9，))解得1≤x≤8.故原方程的解是x＝6.(2)由題意可得，原不等式可化為eq\f(8！,8－x！)<6×eq\f(8！,10－x！)，化簡得1<eq\f(6,10－x9－x)，即x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，,0≤x－2≤8，))解得7<x≤8.又x∈N＋，所以x＝8.規(guī)律方法運(yùn)用排列數(shù)公式時(shí)的留意點(diǎn)運(yùn)用排列數(shù)公式時(shí)應(yīng)留意以下兩點(diǎn)：(1)排列數(shù)公式的連乘形式常用于計(jì)算詳細(xì)的排列數(shù)；(2)排列數(shù)公式的階乘形式常用于含有排列數(shù)的分式形式的計(jì)算或?qū)凶帜傅呐帕袛?shù)的式子進(jìn)行化簡．(1)解方程：Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)；(2)解不等式：Aeq\o\al(x,6)<6Aeq\o\al(x－2,6).解：(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，))∴x≥3，x∈N＋，由Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，化簡得，4x2－35x＋69＝0，解得，x1＝3或x2＝eq\f(23,4)(舍)，∴方程的解為x＝3.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤6，,1≤x－2≤6，))得3≤x≤6，且x∈N＋.又Aeq\o\al(x,6)<6Aeq\o\al(x－2,6)?eq\f(6！,6－x！)<6·eq\f(6！,6－x＋2！)?(8－x)(7－x)<6?x2－15x＋50<0?(x－10)(x－5)<0?5<x<10.綜上可知x＝6，不等式解集為{6}．題型三無限制條件的排列問題[例3]將4位司機(jī)、4位售票員安排到4輛不同班次的公共汽車上，每輛汽車分別配有一位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的安排方案？[思路探究]解決這個(gè)問題可以分為兩步，第一步：把4位司機(jī)安排到4輛不同班次的公共汽車上，即從4個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素排成一列，有Aeq\o\al(4,4)種方法；其次步：把4位售票員安排到4輛不同班次的公共汽車上，也有Aeq\o\al(4,4)種方法．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即得安排方案的種數(shù)．[解]依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的安排方案共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576種．規(guī)律方法無約束條件的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特殊限制的問題，這種類型的題目相對簡潔，分清元素和位置即可．一般狀況下涉及的“大數(shù)”是元素?cái)?shù)，“小數(shù)”是位置數(shù)．同時(shí)，要明確完成一件事是分類還是分步．3張卡片正反面分別標(biāo)有數(shù)字1和2,3和4,5和7，若將3張卡片并列組成一個(gè)三位數(shù)，可以得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？解：“組成三位數(shù)”這件事，分兩步完成：第一步：確定排在百位、十位、個(gè)位上的卡片，即3個(gè)元素的一個(gè)全排列Aeq\o\al(3,3).其次步：分別確定百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字，各有2種狀況．依據(jù)乘法原理，可以得到Aeq\o\al(3,3)×2×2×2＝48個(gè)不同的三位數(shù)．題型四有限制條件的排列問題[例4]7名同學(xué)站成一排．(1)其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？(2)甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？(3)甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？[思路探究]這是一個(gè)有限制條件的排列問題，每一問均應(yīng)優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊元素或位置優(yōu)先支配的原則．[解](1)先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個(gè)位置排另外6名同學(xué)，共有Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720種排法．(2)先考慮甲、乙站在兩端的排法有Aeq\o\al(2,2)種，再在余下的5個(gè)位置排另外5名同學(xué)的排法有Aeq\o\al(5,5)種，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝2×1×5×4×3×2×1＝240種排法．(3)法一：先考慮在除兩端外的5個(gè)位置選2個(gè)支配甲、乙有Aeq\o\al(2,5)種，再在余下的5個(gè)位置排另外5位同學(xué)的排法有Aeq\o\al(5,5)種，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(5,5)＝5×4×5×4×3×2×1＝2400種排法．法二：考慮特殊位置優(yōu)先法，即兩端的排法有Aeq\o\al(2,5)種，中間5個(gè)位置有Aeq\o\al(5,5)種，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(5,5)＝2400種排法．規(guī)律方法(1)“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優(yōu)先．(2)從元素入手時(shí)，先給特殊元素支配位置，再把其他元素支配在剩余位置上；從位置入手時(shí)，先支配特殊位置，再支配其他位置．留意：無論從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹究竟，不能既考慮元素又考慮位置．4名男同學(xué)和3名女同學(xué)站成一排．(1)3名女同學(xué)必需排在一起，有多少種不同的排法？(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)男生與女生相間排列的方法有多少種？解：(1)3名女同學(xué)是特殊元素，優(yōu)先支配，共有Aeq\o\al(3,3)種排法；由于3名女同學(xué)必需排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是5個(gè)元素的全排列，應(yīng)有Aeq\o\al(5,5)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720種不同的排法．(2)先將男生排好，共有Aeq\o\al(4,4)種排法；再在這4名男生的中間及兩頭的5個(gè)空當(dāng)中插入3名女生，有Aeq\o\al(3,5)種排法．故符合條件的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種．(3)不妨先排男生，有Aeq\o\al(4,4)種排法，在4名男生形成的3個(gè)間隔共有3個(gè)位置支配3名女生，有Aeq\o\al(3,3)種，因此共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)種排法，故4名男生3名女生相間的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)＝144種．題型五數(shù)字問題[例5](1)由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的奇偶數(shù)字相間且無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)有多少個(gè)？(2)由0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字組成的六位數(shù)中，數(shù)字1排在奇數(shù)位上的數(shù)有多少個(gè)？(注：本題中提到的“奇數(shù)位”按從最高位起先從左到右依次為奇數(shù)位、偶數(shù)位來理解)[思路探究](1)奇偶相間有兩種狀況：①從首位到個(gè)位先是奇數(shù)后是偶數(shù)；②從首位到個(gè)位先是偶數(shù)后是奇數(shù)．在第②種狀況中，要考慮數(shù)字“0”不能在首位，應(yīng)優(yōu)先支配其位置．(2)題目中有0,1兩個(gè)有限制條件的元素，且數(shù)字1的位置選擇對0的位置選擇有影響，應(yīng)分類考慮．[解](1)第一類，首位為奇數(shù)的奇偶數(shù)字相間且無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)．第一步：把1,3,5三個(gè)數(shù)排列在奇數(shù)位上，有Aeq\o\al(3,3)種方法．其次步：把0,2,4三個(gè)數(shù)排列在偶數(shù)位上，有Aeq\o\al(3,3)種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得首位為奇數(shù)的奇偶數(shù)字相間且無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(個(gè))．其次類，首位為偶數(shù)的奇偶數(shù)字相間且無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)．第一步：把1,3,5三個(gè)數(shù)排列在偶數(shù)位上，有Aeq\o\al(3,3)種方法．其次步：把0,2,4三個(gè)數(shù)排列在奇數(shù)位上，有2×Aeq\o\al(2,2)種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得首位為偶數(shù)的奇偶數(shù)字相間且無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)有Aeq\o\al(3,3)×2×Aeq\o\al(2,2)＝24(個(gè))．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得滿意條件的六位數(shù)共有36＋24＝60(個(gè))．(2)第一類，當(dāng)數(shù)字“1”在首位時(shí)，數(shù)字“0”有5種選擇，其他數(shù)字不受限制，其排列方法為Aeq\o\al(4,4)種，所以當(dāng)數(shù)字“1”在首位時(shí)，滿意條件的六位數(shù)共有1×5×Aeq\o\al(4,4)＝120(個(gè))．其次類，當(dāng)數(shù)字“1”不在首位時(shí)，依據(jù)數(shù)字“1”只能在奇數(shù)位上，數(shù)字“1”只能在千位或十位上，有2種選擇，數(shù)字“0”不能在首位，有4種選擇，其他數(shù)字不受條件限制，其排列方法為Aeq\o\al(4,4)種，所以當(dāng)數(shù)字“1”不在首位時(shí)，滿意條件的六位數(shù)共有2×4×Aeq\o\al(4,4)＝192(個(gè))．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿意條件的六位數(shù)共有120＋192＝312(個(gè))．規(guī)律方法(1)由第(2)題可知若一個(gè)排列中有多個(gè)受限制的元素和受限制的位置時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)一個(gè)元素的位置選擇對另一個(gè)元素的位置選擇有影響，此時(shí)我們應(yīng)分類考慮．(2)對較困難的排列問題，一般這樣思索：①先看完成所要求的事務(wù)的方法可以不重不漏地分成幾類，依據(jù)加法原理把各類的數(shù)目相加，就可得到所要求事務(wù)的總數(shù)目；②在每一類中，把完成所要求事務(wù)的過程分成幾步，依據(jù)乘法原理把每步的可能數(shù)相乘，便得到這一類的數(shù)目；③計(jì)算每一步的可能數(shù)．用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，則(1)可以組成多少個(gè)六位奇數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)不大于4310的四位偶數(shù)？解：(1)方法一(從特殊位置入手)：分三步完成：第一步，填末位，有Aeq\o\al(1,3)種填法；其次步，填首位，有Aeq\o\al(1,4)種填法；第三步，填其他位，有Aeq\o\al(4,4)種填法，故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288個(gè)無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)．方法二(從特殊元素入手)：0不在首位也不在末位，有Aeq\o\al(1,4)種排法；從1,3,5中任選一個(gè)排在末位，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其他各位上用剩下的數(shù)字進(jìn)行全排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288個(gè)無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)．方法三(間接法)：六個(gè)數(shù)字共有Aeq\o\al(6,6)種排法，數(shù)字0,2,4在末位上有3Aeq\o\al(5,5)種排法，數(shù)字1,3,5在末位上且0在首位上共有3Aeq\o\al(4,4)種排法，故組成的無重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288個(gè)．(2)①當(dāng)千位上排1,3時(shí)，從0,2,4中任選一個(gè)排在個(gè)位，有Aeq\o\al(1,3)種排法，其他各位上從剩下的四個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(2,4)種排法，故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)種排法；②當(dāng)千位上排2時(shí)，從0,4中任選一個(gè)排在個(gè)位，然后從剩下的四個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)排列，故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)種排法；③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40××，42××的各有Aeq\o\al(1,3)種排法，形如41××的有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)種排法，形如43××的只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110個(gè)．題型六排列在實(shí)際問題中的應(yīng)用[例6]一條鐵路途上原有n個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)須要，新增加了m個(gè)車站(m>1)，客運(yùn)車票增加了62種，則原有多少個(gè)車站？現(xiàn)在有多少個(gè)車站？[思路探究]本題是一道應(yīng)用題．正確找出相等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要考慮到來回兩種狀況，屬排列問題．[解]∵原有n個(gè)車站，∴原有客運(yùn)車票Aeq\o\al(2,n)種．又∵現(xiàn)有(n＋m)個(gè)車站，∴現(xiàn)有客運(yùn)車票Aeq\o\al(2,n＋m)種．由題設(shè)知：Aeq\o\al(2,n＋m)－Aeq\o\al(2,n)＝62，∴(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，∴2mn＋m2－m＝62，∴n＝eq\f(31,m)－eq\f(1,2)(m－1)>0，∴eq\f(31,m)>eq\f(1,2)(m－1)，∴62>m(m－1)，即m2－m－62<0.又∵m>1，∴1<m<eq\f(1＋\r(249),2)，∴1<m≤8.當(dāng)m＝2時(shí)，n＝15.當(dāng)m＝3,4,5,6,7,8時(shí)，n均不為整數(shù)．∴n＝15，m＝2.∴原有車站15個(gè)，現(xiàn)有車站17個(gè)．規(guī)律方法解方程Aeq\o\al(2,n＋m)－Aeq\o\al(2,n)＝62時(shí)，留意m、n的限制條件，這樣才能將解方程問題轉(zhuǎn)化成解不等式問題，勝利的做到消元．從六名老師中選四名老師去西藏、新疆、青海、甘肅援教，要求每個(gè)省份去一名老師，且這六名老師中甲、乙兩名老師不去西藏，則有多少種不同的方案？解：先從六名老師中把甲、乙兩名老師去掉，然后從余下的四名老師中選一名老師去西藏的方案有Aeq\o\al(1,4)種，然后從包括甲、乙兩名老師在內(nèi)的五名老師中選三名老師去其他三個(gè)省份的方案有Aeq\o\al(3,5)種，所以符合要求的方案為Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＝240(種)．——數(shù)學(xué)思想系列——分類探討思想在排列中的應(yīng)用[例7]方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在全部這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A．60條B．62條C．71條D．80條[解析]明顯方程ay＝b2x2＋c表示拋物線時(shí)，有ab≠0，故該方程等價(jià)于y＝eq\f(b2,a)x2＋eq\f(c,a).(1)當(dāng)c＝0時(shí)，從{－3，－2,1,2,3}中任取2個(gè)數(shù)作為a，b的值，有Aeq\o\al(2,5)＝20種不同的方法，當(dāng)a肯定，b的取值互為相反數(shù)時(shí)，對應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有4×3＝12條，所以此時(shí)不同的拋物線共有Aeq\o\al(2,5)－6＝14條；(2)當(dāng)c≠0時(shí)，從{－3，－2,1,2,3}中任取3個(gè)數(shù)作為a，b，c的值有Aeq\o\al(3,5)＝60種不同的方法，當(dāng)a，c的值肯定，而b的值互為相反數(shù)時(shí)，對應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有4Aeq\o\al(2,3)＝24條，所以此時(shí)不同的拋物線有Aeq\o\al(3,5)－12＝48條．綜上所述，滿意題意的不同的拋物線有14＋48＝62條．[答案]B用數(shù)字0,1,2,3,4,5能夠組成407個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且比240135大的數(shù)．解析：第一類，首位上的數(shù)字分別是3,4,5的符合題意的數(shù)有3Aeq\o\al(5,5)個(gè)；其次類：首位上的數(shù)字是2，其次位上的數(shù)字是5的符合題意的數(shù)有Aeq\o\al(4,4)個(gè)；第三類，首位上的數(shù)字是2，其次位上的數(shù)字是4，第三位上是1,3,5時(shí)，滿意題意，共有3Aeq\o\al(3,3)個(gè)；第四類，首位上的數(shù)字是2，其次位上的數(shù)字是4，第三位上的數(shù)字是0，第四位上的數(shù)字是3,5時(shí)，符合題意，共有2Aeq\o\al(2,2)個(gè)；第五類，首位上的數(shù)字是2，其次位上的數(shù)字是4，第三位上的數(shù)字是0，第四位上的數(shù)字是1，只有1個(gè)數(shù)符合題意．由分類加法計(jì)數(shù)原理，符合題意的數(shù)的個(gè)數(shù)為：3Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＋3Aeq\o\al(3,3)＋2Aeq\o\al(2,2)＋1＝407個(gè)．1．有5個(gè)不同的科研小課題，從中選3個(gè)由高二(3)班的3個(gè)學(xué)習(xí)愛好小組進(jìn)行探討，每組一個(gè)課題，則不同的支配方法數(shù)是(B)A．120B．60C．125D．6解析：N＝Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60.2．電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的產(chǎn)品廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必需播放公益廣告，則不同的播放方式有(A)A．48種B．24種C．720種D．120種解析：分兩步：第一步先排首尾，其次步再排中間4個(gè)位置，則N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝2×24＝48.3．Aeq\o\al(3,6)＋Aeq\o\al(3,7)＝330.4．有5名男生和3名女生，從中選出5人分別擔(dān)當(dāng)語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，若某女生必需擔(dān)當(dāng)語文科代表，則不同的選法共有840種．(用數(shù)字作答)解析：從剩余7人中選出4人擔(dān)當(dāng)其他4個(gè)學(xué)科的科代表，共有Aeq\o\al(4,7)＝840(種)．5．五個(gè)人排成一排，按下列要求分別有多少種排法？(1)其中甲不站排頭；(2)其中甲不站排頭，乙不站排尾；(3)其中甲、乙兩人必需相鄰；(4)其中甲、乙兩人必需不相鄰．(5)其中甲、乙中間有且只有一人；(6)其中甲必需排在乙的右邊．解：(1)方法一：先排甲，有4種排法，然