拔高點突破02極值點偏移問題與拐點偏移問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：極值點偏移:加法型.......................................................3

題型二：極值點偏移:減法型.......................................................4

題型三：極值點偏移:乘積型.......................................................5

題型四：極值點偏移:商型.........................................................7

題型五：極值點偏移:平方型.......................................................8

題型六：極值點偏移:混合型.......................................................9

題型七：拐點偏移問題...........................................................10

03過關(guān)測試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

1、極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性。若函數(shù)/(X)在x=%處取得極值，且函數(shù)y=/(x)與直線y=6交于4(引力),3(々,6)兩點，則

A5的中點為M(七三,。)，而往往X°H與上。如下圖所示。

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。涉)內(nèi)只有一個極值點/,方程/(%)的解分別為

X］、*2，且。<%<x2<匕，(1)若一產(chǎn)士加,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(西,％2)上極值點與偏移；

(2)若土產(chǎn)〉X。，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(X,％2)上極值點。左偏，簡稱極值點與左偏；(3)若

X1

^—<x0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(芯,％2)上極值點。右偏，簡稱極值點。右偏。

2、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點

為\),即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點無o.

(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)尸(x)=/(x)-/(2Xo-x),若證x/2>x；，則令

F(x)=/(x)-/(^).

X

(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論R(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)R(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出/(x)與/(2%-無)的大小關(guān)系.

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/'(x)的單調(diào)性，將/(%)與/(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2%-x之間的關(guān)

系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明/'[弋2]的符號問題，還需進一步討論五產(chǎn)與我的大小，得出土產(chǎn)所在

的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù).

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿

于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在

聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用,因此對函數(shù)的單調(diào)性

進行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)?/p>

函數(shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔

明快的思路，有著非凡的功效

3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式斥〈T31二^<土產(chǎn)證明極值點偏移：

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到二4；

Injq-Inx2

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明

題中的不等式即可.

題型一：極值點偏移:加法型

【典例1-1](2024?四川南充?一模)已知函數(shù)f(x)=x-ln尤-a有兩個不同的零點4泡.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：Xj+x2>2.

【典例1-2】(2024.安徽馬鞍山.一模)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(Al)-史尹.

⑴若/(A-)>0對Vxe[2,")恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;

(2)已知方程蛇二=’有兩個不同的根毛、巧，求證：占+%>6e+2,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的

x-13e

底數(shù).

【變式1-1](2024?甘肅酒泉.模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=xlnx+g/r.

⑴求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

⑵若/'(%)=0(尸(%)為/(無)的導(dǎo)函數(shù))，方程/(力=加有兩個不等實根小巧，求證：占+%>2%.

【變式1-2](2024?安徽淮南?二模)已知函數(shù)"x)=(l-1卜，

-k(x-1),x>-l,keR.

(1)若左=0,證明：無￡(—1,0)時，f(x)<-l；

⑵若函數(shù)/(X)恰有三個零點展,尤2,W，證明：

3

【變式1-3](2024?河南新鄉(xiāng)?三模)已知函數(shù)/(x)=adnx+歷“(。*0).

⑴討論“X)的單調(diào)性.

(2)若函數(shù)/(元)有兩個零點F%,且占〈尤2，證明：\+x2>^.

題型二：極值點偏移:減法型

【典例2-1]已知函數(shù)/■(x)=31nx+ar2-4x(a>0).

(1)當(dāng)a=l時，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)":時，若方程〃x)=%有三個不相等的實數(shù)根芯，尤2，W，且占＜々＜￡，證明：尤3-尤1＜4.

【典例2-2】(2024.湖南邵陽.一模)己知函數(shù)/(x)=31nx+or2-4x+b3＞0,beR).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)時，方程)("=0有三個不相等的實數(shù)根，分別記為七?=1,2,3).

①求6的取值范圍；

②證明卜-勺|＜4(力=1,2,3"=1,2,3).

【變式2-1】已知函數(shù)/。)=尤2-201+41nx.

(1)討論/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知ae[4,6],設(shè)下⑴的兩個極值點為4%(4＜%),且存在6eR,使得y=/。)的圖象與y=6有三

個公共點玉,馬,％3a＜々＜&)；

①求證：占+無2＞24；

②求證：￡一百＜46.

題型三：極值點偏移:乘積型

【典例3-1】(2024.全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=l-lnx-?aeR).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)有兩個零點4，巧，且求證：百x；＜e-a.

【典例3-2】(2024?北京通州?三模)已知函數(shù)/(%)=以一?一lnx(a>0)

(1)已知/(x)在點(1,/(D)處的切線方程為丁=x-1,求實數(shù)〃的值；

(2)已知/(X)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)〃的取值范圍.

(3)已知g(x)=/(%)+￡有兩個零點A,X?,求實數(shù)〃的取值范圍并證明玉馬〉。2.

【變式3?1】(2024.湖北武漢.模擬預(yù)測)已知/(x)=2x-sinx-癡Inx.

(1)當(dāng)a=l時，討論函數(shù)/(九)的極值點個數(shù)；

(2)若存在》x2(0<xl<x2),使/(%1)=/(%2)，求證：\x2<a.

【變式3-2](2024?江西南昌?二模)已知函數(shù)/(x)=x(lnx-a),g(x)=￡，+”辦.

⑴當(dāng)時，-2恒成立，求a的取值范圍.

(2)若g(x)的兩個相異零點為吃巧，求證：xix2>e2?

【變式3-3](2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(彳)=依-xlnx,尸(x)為其導(dǎo)函數(shù).

⑴若f(x)Vl恒成立，求。的取值范圍；

(2)若存在兩個不同的正數(shù)士,電，使得/a)=/㈤，證明：(曲)>0.

【變式3-4](2024?高三?重慶?期末)己知函數(shù)f(x)=lnx-ax+6(a,6eR)有兩個不同的零點外，電.

⑴求/(x)的最值；

(2)證明：xx<—7.

12a

題型四：極值點偏移:商型

【典例4-1】(2024?浙江杭州?高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)〃x)=(2er)lnx,其中

e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若外,馬?0,1),且&柏菁—xjnxj=2絡(luò)％(111%]—InN),證明：2e<—+—<2e+l.

【典例4-2】已知函數(shù)/(x)=x(l-Inx).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，〃為兩個不相等的正數(shù)，且bln“-=證明：2<-+i<e.

ab

【變式4-1]已知函數(shù)〃x)=x(l-Inx).

⑴討論了(力的單調(diào)性；

⑵設(shè)。，6為兩個不相等的正數(shù)，且blna-“l(fā)nb=4-b,證明：2<,+二

ab

【變式4-2】(2024?廣東茂名?茂名市第一中學(xué)?？既?已知函數(shù)/(x)=ox+(a-l)lnx+1,aeR.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的方程〃無)=xe，-Inx+：有兩個不相等的實數(shù)根毛、巧，

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

5）求證：曰+%>4

X2%XyX2

【變式4-3](2024.高三.黑龍江哈爾濱.期末)已知函數(shù)/(力=加，g(x)=x(l-tax).

⑴若對于任意%?0,y)，都有/(x)<g(x),求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=g(x)-機有兩個零點小三，求證：—+—>2.

玉X2

題型五：極值點偏移:平方型

Ipy1介》

【典例5-1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=^^,g(x)=-.

尤x

⑴若對任意的〃2,77e(O,+(?)都有/(m)<t<g(n),求實數(shù)f的取值范圍;

⑵若不，龍2€(°，+°°)且無產(chǎn)元2，=*,證明：Xf+Xj>2.

【典例5-2】(2024?江蘇南通.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=x-sinxcosx-alnx,a&R.

(1)當(dāng)。=0時，求曲線y=/(x)在點gj：處的切線方程;

(2)f(ni)=f(ri),0<m<n,求證:m2+M2>|tz|.

【變式5-1](2024?山西?模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃x)=—j-辦.

⑴若，(x)V-L,求實數(shù)。的取值范圍；

12

⑵若有2個不同的零點和三(西＜/)，求證：2x；+3考〉丁.

【變式5-2](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(力=山-加.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性：

⑵若為,三是方程/(x)=0的兩不等實根，求證：x；+x；＞2e；

題型六：極值點偏移:混合型

【典例6-1】(2024.江蘇泰州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e'-依2+公-1,其中a,b為常數(shù)，e為自然對數(shù)

底數(shù)，e=2.71828--?.

(1)當(dāng)a=O時，若函數(shù)〃x)Z0,求實數(shù)b的取值范圍；

(2)當(dāng)b=2a時，若函數(shù)〃無)有兩個極值點4，巧，現(xiàn)有如下三個命題：

①7%+如＞28；②+%)＞3%/；③Jx,—I+J%—1＞2；

請從①②③中任選一個進行證明.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

【典例6?2】已知函數(shù)/(x)=x(l-如X),Q20.

⑴討論〃”的單調(diào)性；

⑵若xe，；時，都有/(力<1,求實數(shù)。的取值范圍；

一..，，.、…,l+lnx>x.

(3)右有不相等的兩個正頭數(shù)芯,無2丫兩足——二一9，求證：%+%<"1X2.

1+1叫.^1

【變式6-1](2024.山東.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/i(x)=x-alnx(aeR).

⑴若可力有兩個零點，。的取值范圍；

2

⑵若方程xe'-a(lnx+x)=。有兩個實根X]、巧，且玉中毛，證明：e%1+%2>——e.

題型七：拐點偏移問題

【典例7-1】已知函數(shù)/(x)=ae2*+e，+x,aeR.

⑴若/(x)在x=O處取得極值，求。的值；

⑵設(shè)gCx)=/(x)-(a+3)e，，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a=2時，若存在實數(shù)J々滿足/a)+/(X2)+3e"e”=0,求證：e*+e*>；.

【典例7-2】己知函數(shù)/(x)=21nx+zra?-2(m+l)x-8,m&R.

(1)討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性；

(2)對實數(shù)%=2,令g(x)=/(x)—3x,正實數(shù)4，巧滿足8(不)+8(9)+2王馬=。，求%+%的最小值.

【變式7-1]已知函數(shù)〃尤)=如+21-加,awR.

(1)若/(尤)在x=l處取得極值，求。的值；

(2)設(shè)g(x)=/(x)+(a—4)x,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)。=-2時，若存在正實數(shù)百,工2滿足/(苔)+/(工2)+3%々=%+々，求證：玉+工2>]

【變式7-2】已知函數(shù)/(尤)=21n尤+Y+X.

(1)求曲線>=/(元)在點。，/⑴)處的切線方程.

(2)若正實數(shù)為,超滿足/(占)+/52)=4,求證：xr+x2>2.

【變式7-3】已知函數(shù)/(x)=21nx+x2+(a-l)x-。，(aeR),當(dāng)時,/(x)?0恒成立.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若正實數(shù)4、三(蒼/三)滿足/(%)+/(4)=0,證明：再+%>2.

0

過關(guān)測試

1.已知函數(shù)/(力=(%-2乂1一依)(4€11).

(1)若。=2,討論/(x)的單調(diào)性.

(2)已知關(guān)于x的方程=(x-3”+2也恰有2個不同的正實數(shù)根占,9.

(i)求。的取值范圍；

（ii）求證：玉+%>4.

6.（2024?云南?二模）已知常數(shù)a>0,函數(shù)一以一z/in%.

（1）若7工>0,/（元）>-4〃2,求〃的取值范圍；

（2）若4、々是/⑺的零點，且玉工尤2，證明:玉+入2>4。.

7.已知函數(shù)/（%）=2%1!1%+旦（々￡區(qū)）有兩個零點石,％2（為<元2）?

⑴求實數(shù)。的取值范圍；

（2）證明：甬+犬2>1.

；av：2

8.已知函數(shù)/（兀）=lnx+_（Q+I）X,（QeR）.

（1）當(dāng)a=l時，判斷函數(shù)>=/（%）的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于尤的方程〃刈=；G2有兩個不同實根和力,求實數(shù)。的取值范圍，并證明羽子2>e2.

9.已知函數(shù)/（力=卜-2”一，（其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）.

⑴求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若。/為兩個不相等的實數(shù)，且滿足ae〃-be"=2（e"-e。），求證：a+b>6.

10.已知函數(shù)/(%)=_(2Q+l)x+21nM。$R).

⑴若/（九）有唯一極值，求〃的取值范圍;

(2)當(dāng)。<0時，若/(%)=/■(%),占求證：%％<4.

11.(2024?吉林?二模)在平面直角坐標(biāo)系宜方中，RtA0LB的直角頂點A在無軸上，另一個頂點2在函數(shù)

〃尤)=￥圖象上

(1)當(dāng)頂點2在無軸上方時，求RtAQLB以工軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊A3和邊03旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何

體的體積的最大值；

ax2,21

(2)已知函數(shù)g(x)=e-e,依T,關(guān)于x的方程〃x)=g(x)有兩個不等實根與x2{x1<x2).

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

2

(ii)證明：,+工；>—.

e

12.已知函數(shù)=--111%+%-4.若/0)有兩個零點看,三，證明：X[X2<1.

13.已知函數(shù)f(x)=xlnx的圖像與直線>=相交于不同的兩點A(&yJ,3(心必)，求證：V2<4.

e

14.已知函數(shù)/(x)=x-lnx+m,g(x)=T.

⑴若函數(shù)和g(x)的圖象都與平行于x軸的同一條直線相切，求加的值;

⑵若函數(shù)*x)=/(x)-g(x)有兩個零點為,2，證明：ex,-e"2>e2.

拔高點突破02極值點偏移問題與拐點偏移問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：極值點偏移:加法型.......................................................3

題型二：極值點偏移:減法型.......................................................4

題型三：極值點偏移:乘積型.......................................................5

題型四：極值點偏移:商型.........................................................7

題型五：極值點偏移:平方型.......................................................8

題型六：極值點偏移:混合型.......................................................9

題型七：拐點偏移問題...........................................................10

03過關(guān)測試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

1、極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性。若函數(shù)/(X)在x=%處取得極值，且函數(shù)y=/(x)與直線y=6交于4(引力),3(々,6)兩點，則

A5的中點為M(七三,。)，而往往X°H與上。如下圖所示。

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。涉)內(nèi)只有一個極值點與,方程/(x)的解分別為

玉、x2,且。＜者＜%2＜匕，(1)若、；々氣,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(玉,％2)上極值點/偏移；

(2)若土產(chǎn)＞%,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(西,々)上極值點/左偏，簡稱極值點/左偏；(3)若

網(wǎng)＜x°,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(石,々)上極值點/右偏，簡稱極值點/右偏。

2、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點

為5),即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點尤0.

⑵構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)E(x)=/(x)-/(2/-x),若證焉，則令

F(x)=/(x)-/(^).

X

(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論R(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)尸(%)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出/(x)與/(2%-%)的大小關(guān)系.

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/(x)的單調(diào)性，將/(%)與/(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2%-x之間的關(guān)

系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明尸［七殳］的符號問題，還需進一步討論土產(chǎn)與X0的大小，得出生產(chǎn)所在

的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù).

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿

于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在

聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用,因此對函數(shù)的單調(diào)性

進行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)?/p>

函數(shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔

明快的思路，有著非凡的功效

3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式斥〈T31二^<土產(chǎn)證明極值點偏移：

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到二4；

Injq-Inx2

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明

題中的不等式即可.

題型一：極值點偏移:加法型

【典例1-1】(2024?四川南充?一模)已知函數(shù)f(x)=x-In尤有兩個不同的零點為，%.

(D求實數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：xl+x2>2.

【解析】(1)的定義域為(0,+8),

因為尸(x)=l=土］，所以當(dāng)Ovx<l時，r(x)<0,當(dāng)x>l時，>0,

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,包)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時，/(x)取得最小值1-/

又當(dāng)X趨近于?；?CO時，/(X)趨于+8,

所以，要使/(X)有兩個不同的零點不，Z,只需滿足即

所以實數(shù)。的取值范圍為(1,+8).

(2)不妨設(shè)玉<尤2，由(1)可知，。<玉<1,兀2>1，則2—玉>1,

要證%+%>2,只需證2-x1<x2,

又〃“在(L+8)上單調(diào)遞增，所以只需證7(2—石)</(々)，即證7(2—石)</(%).

ifig（x）=/（2-x）-/（x）=2-2x-ln（2-x）+lnx,XG（0,l）,

（）

則g'(x)4+￡212

x（x-2）

當(dāng)Ovx<l時,g'（x）>0,g（x）單調(diào)遞增,

Xg（l）=/（2-l）-/（l）=0,

所以g（西）=/（2-%）一/（玉）<。,即/（2—番）</（菁）.

所以占+%>2.

【典例1-2】(2024.安徽馬鞍山.一模)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(Al)-M：2).

⑴若〃x)對對Vxe[2,侄)恒成立，求實數(shù)上的取值范圍；

(2)已知方程的二=,有兩個不同的根毛、x2,求證：者+%>6e+2,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的

x-13e

底數(shù).

【解析】(1)由/(x)=ln(x-l)^20,^xln(x-l)-^(x-2)>0.

令"(x)=xln(x—l)—Z(x—2),XW[2,+8),貝|^(x)=ln(x-l)+———k,

x-l

11x—2

令Mx)="(x),則利力=3一訪廠正京20g2).

所以，函數(shù)d(x)=ln(x-l)+」7T在[2,y)上單增，故⑵=2-上

X-1

①當(dāng)左M2時,則*'(x)N2-左N0,所以0(x)在[2,4w)上單增,0(力2夕(2)=0,

此時〃x)20對Vxe[2,y)恒成立，符合題意；

②當(dāng)上>2時，油2）=2-左<0,<p'（ek+1）=e>0,

v7e

故存在XQE(2,內(nèi))使得0'(％)=0,

當(dāng)xe(2,%)時,“(x)<0,則0(x)單調(diào)遞減，止匕時夕(無)<0(2)=0,不符合題意.

綜上，實數(shù)k的取值范圍(F,2].

(2)證明：由(1)中結(jié)論，取上=2,有l(wèi)n(xT)>2(二2)">2),即3>1).

2三-1..一

不妨設(shè)馬>%>1,?=—>h則1!!三>上一2,整理得丑產(chǎn)>1.

王玉三+]2Inx27n網(wǎng)

(西-1)+(々T)>(-T)=______?一號______=3e

于是2-1)一山(再一1)一、[(/_1)_(占_巾一，

即須+馬>6e+2.

【變式1-1](2024?甘肅酒泉?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=Hnx+：尤2一尤.

⑴求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

⑵若r(x°)=o(r(x)為/(無)的導(dǎo)函數(shù))，方程/(力=加有兩個不等實根小巧，求證：.

【解析】(1)因為/(x)=xlnx+g/-x,貝"(x)=x+lnx,所以，/(1)=-1,/'⑴=1,

所以，曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程為y+；=x-i,即y=x-[.

(2)證明:因為r(x)=x+hx，r(%)=0,所以無o+ln.Xo=O.

因為r(x)為增函數(shù)，所以〃無)在(o,%)上單調(diào)遞減，在■，”)上單調(diào)遞增.

由方程/(x)=7〃有兩個不等實根毛、為，則可設(shè)

欲石+%>2x（）,即11E%2>2兀（）-X]>XQ,

即證/（々）>/（2后一芭），而/（%）=/（'），BP/（x1）-/（2x0-x1）>0,

112

即玉In芭+/%；—%一（2%o—西）In（2%—玉）——（2%0一%）+（2x0一玉）>0,

112

設(shè)g（x）=xlnx+]]2_%_（2%0—x）ln（2%0—力一萬（2%0—%）+（2x0-x）,其中Ovxvx。，

則=lnx+ln（2x0-x）+2x0,^/z（x）=lnx+ln（2^-x）+2^（0<x<x0）,

則〃(X)」_」一=坐一”\>0,所以，函數(shù)g'(x)在(O,x。)上單調(diào)遞增,

x2x0—xx^2x0-x)

所以8’(%)<且，(3)=2如％+2%=0,所以g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減,

所以g(x)>g(3)=0,即〃2)>/(2%一下),故國+%>2%得證.

【變式1-2](2024?安徽淮南.二模)己知函數(shù)”x)=

(1)若左=0,證明：龍e(T0)時，/(%)<-1；

⑵若函數(shù)/(x)恰有三個零點再,無2,天3，證明：xr+x2+x3>l.

【解析】⑴八。時，函數(shù)小)=5jd。)’

x2+l

貝IJ尸(x)=ex>0,

(X+1)2

人九)在(-1,0)上單調(diào)遞增,

Y—1

所以〃止Qey(。)j

顯然X=1為函數(shù)的一個零點，設(shè)為Z；

pxx&x

設(shè)函數(shù)歹(尤)=/一-k,F\x)=——i

X+1(1+1)

當(dāng)工￡(-1,0)時，F(xiàn)f(x)<0,當(dāng)九w(0,+8)時，F(xiàn)r(x)>0,

故F(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

由已知，尸(X)必有兩個零點%,吃,且T<尤1<0<尤2，下證：xl+x2>0.

設(shè)函數(shù)〃(元)=/(勸一F(-x),xe(-l,0),貝次(x)=工+匚,

x+1x-1

xeTx(

“(X)=

由于…,。),則品卜一號<0,

由(1)有e"H---->0,故"(%)<0,

x-1

即函數(shù)h(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,

所以城x)>〃(0)=0,

即有F(X2)=尸(xj>尸(一玉)，

由于一西,馬e(0,+co),且在(0,+co)上單調(diào)遞增,

所以馬>-占，

所以國+尤2>0.

3

【變式1-3］（2024.河南新鄉(xiāng)?三模）已知函數(shù)〃x）=?dnx+總（"0）.

⑴討論〃x）的單調(diào)性.

（2）若函數(shù)/（X）有兩個零點西，%,且X1〈尤2，證明：%+工2＞荒

【解析】（1）函數(shù)/（尤）的定義域為（0,+8）,f'（x）=alnx+a=a（lnx+l）.

①當(dāng)a＞0時，令/'（x）＜0,得。＜x＜：則在［,）上單調(diào)遞減；

令用對＞（）,得x＞（,則/（尤）在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)"0時，令/'（x）＜0,得則/⑺在1,+8）上單調(diào)遞減；

令用對＞0,得0＜x＜,，則在］。,「上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a＞0時，/⑺在［。,j上單調(diào)遞減，在+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)°＜0時，/（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

33

（2）證明：因為再，馬為了⑺的兩個零點，所以1呻+而一=。，1眸+而一=°，

IUX11UX,

兩式相減，可得MW-lnw+S7-舒=0，即皿*=*?”，**10也五，

X2

A_11_三

因此，為哈、,“荒子.

101n五1°In五

x2x2

令;五，則X+X=a.二+』.■=2.￡，

37710Inf10In，10Inr

令旗。=則/"）=］+!」=廠-；+1＞0,

所以函數(shù)可。在（0,1）上單調(diào)遞增，所以/2（。＜/，。）=0,BPr---ln^＜0.

；-13

因為Ovrvl,所以_”,故石+々＞6得證.

\ntW

題型二：極值點偏移:減法型

【典例2?1】已知函數(shù)/(尤)=31nx+G；2—4x(a>0).

⑴當(dāng)a=l時，討論〃力的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時，若方程/(x)=b有三個不相等的實數(shù)根且玉</<，證明：龍3一玉＜4.

【解析】(1)由題意可知：/(尤)的定義域為(0,+。)，

\3c.lax1-4x+3

fix)=-+2ax-4=-----------------，

xx

令r(x)=。,可得2分2_4%+3二0,且4=1’

即2f-4%+3=0,

A=16-24=-8<0,可知2f-4x+3>0在(。,+8)內(nèi)恒成立，

即用M>0在(0,+。)內(nèi)恒成立，所以〃x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

11

(2)當(dāng)〃=/時，KTW/(.^)=31nx+—x2-4x,

XX

1<x<3,r(x)<0;0cx<1,或x>3,r(x)>0;

故/(x)在(0,1),(3,M)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減,

由題意可得：。<玉<1</<3<W,

因為/(玉)=/(9)=/(七)=6,

令g(x)=/(x)-/(2-x),0<x<l,

3「/

貝ijg‘(x)=r(x)+r(2-x)=-+X-4J+-------I-2-X-4

2-xx(2—x)

可知g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,

則g(x)<g(l)=0,可得/(力<〃2-力在(0,1)內(nèi)恒成立,

因為0<再<1,則/&)=/(9)</(2—玉)，

且1<2-%<2,1<%<3,/(%)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減

則2-玉<%,即玉+%>2；

令人(%)=/(%)-/(6-力,1<%<3,

貝=+:(6一司=信+工―4]+(——+6-犬_4]=”*^>0,

可知h(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增,則/?(%)</?(3)=0,

可得/(x)<"6-尤)在(1,3)內(nèi)恒成立，

因為1<%<3,貝1]/(%2)=/(七)</(6-々)，

且3<6—無2<5,x；>3,/(X)^E(3,-HX))內(nèi)單調(diào)遞增，

則6-Z>入3，即工2+兀3<6；

由玉+%>2和％+工3<6可得七一石<4.

【典例2?2】(2024.湖南邵陽?一模)已知函數(shù)/(x)=31nx+辦2一4%+僅Q>0,b￡R).

⑴討論函數(shù)/("的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=g時，方程〃x)=0有三個不相等的實數(shù)根，分別記為x#=l,2,3).

①求6的取值范圍；

②證明卜-%|<4(力=1,2,3"=1,2,3).

【解析】(1)函數(shù)“X)的定義域為(O,+“)/(x)=j+2辦-4=2"二?+3.

又a>0,令/(%)=0,得-4%+3=0,A=16-24〃.

當(dāng)AMO,即〃時，2o?—4%+3N0在(。,+。)恒成立，/(^)>0.

當(dāng)△>€),即0<。<2時，方程2金2一4x+3=0有兩根，可求得：2-J4-6a2+J4-6q,

32a2a

、43

因為%+%=——>0,x^x=——>0,所以w>%>。，

2a22a

當(dāng)元￡(0,3)和(形,y)時，f^x)>0,/(x)為增函數(shù)，

當(dāng)工?再,元2)時，/'(x)<。，/(X)為減函數(shù).

綜上：當(dāng)“2j時，〃6在(0,+。)上單調(diào)遞增，

.2,?(、人2-J4—6a.r2+J4-6a,皿、E|2-J'4—6a2+J4—6a).”

當(dāng)0<。<彳時，〃x)在0,—三-----和一三----,+oo上單調(diào)遞增，在一三--------,-T-----上單

312〃J(2"J(2〃2a?

調(diào)遞減.

(2)當(dāng)時，/(%)=31nx+-4x+b.

①方程/(%)=0有三個不相等的實數(shù)根，

即方程-b=31n.Y+；Y_4尤在(0,+e)上有三個不相等的實數(shù)根.

令g(x)=31nx+gf_4x,xG(0,+oo),

貝!Jg(x)=—+x-4=----------

XX

令g'（x）=。,求得：x=l或x=3,

貝！J當(dāng)。vxvl或x＞3時，g'Cx）＞。，

當(dāng)1vxv3時，g'（犬）＜0,

則g（力在（0,1）和（3,+?）上單調(diào)遞增，在（1,3）上單調(diào)遞減,

g⑴存在極大值為g(1)=-7-，存在極小值g⑶=31n3-三15,

且當(dāng)x.0時，g(x)f-°o,當(dāng)％f+00時，g(x)f+8.

157

要使方程/（X）=o有三個不相等的實數(shù)根，則31n3-T＜-b「,

的取值范圍為C-31n3

②證明：設(shè)方程/（力=。三個不相等的實數(shù)根分別為：士,馬,無3,且不＜/＜七，

由①可得。＜%＜1＜%＜3＜不，要證卜-x/＜4（，=l,2,3;j=l,2,3）,

只需證卜一勺匚＜4,即證無3一演＜4,

當(dāng)”;時，/⑴在（0,1）和（3,m）上單調(diào)遞增，在（1,3）上單調(diào)遞減，

且當(dāng)x-0時，/（X）.YO,當(dāng)Xf+8時，

由〃%）=〃々）=〃玉）=0,

構(gòu)造函數(shù)Mx）=〃x）—〃2-x）（0＜x＜l）,

6(x-l)2

〃(x)=/'(x)+/'(2-x)=當(dāng)xe（0,1）時，O,h（x）在（0,1）上單調(diào)遞增,

彳（2-尤）’

g）＜硝）=0，即〃x）-"2-力＜0在（0,1）上恒成立，

又苔《0,1）,則有：/（七）-/（2-不）＜0,;./（々）=/（玉）＜/（2-不）,

又,：“?1,3）,2-玉e（l,2）,且在（1,3）上單調(diào)遞減，

二.％2>2一再，艮f)玉+%>2.

構(gòu)造函數(shù)O(x)=〃x)-〃6-x)(l<x<3),

“(x)=fXx)+f\6-x)=,當(dāng)xe(1,3)時d(x)>0,0(x)在(1,3)上單調(diào)遞增.

x^6-x)

???°(力＜/(3)=0,即。(力一/(6—力＜0在(1,3)上恒成立.

XVX2G(1,3),則-"6-%)<0.即/(玉)=/(彳2)</(6-々)，

由々e(l,3),%?3,+8),則6-々e(3,5).

,."(X)在(3,+co)上單調(diào)遞增，，尤3<6-々,尤3+々<6.

又無1+尤2>2,則可證得：x3-%1<4,|x;-|<4(z=1,2,3;j=1,2,3).

【變式2-1】已知函數(shù)/(x)=x?-2ox+41nx.

⑴討論了(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵已知ae[4,6],設(shè)/(X)的兩個極值點為4，4(4<%)，且存在6eR,使得y=/(x)的圖象與y=6有三

個公共點石,%2，毛(石<彳2<￡);

①求證：％+無2>2%;

②求證：&-不<4々.

2aX+2

【解析】(1)f'(x}=2x-2a+-=^~y》>0，

XX

其中1%)=%2-依+2,A=a2-8>

當(dāng)AW0時，即夜，此時/'(x)N0恒成立,

函數(shù)在區(qū)間(0,+。)單調(diào)遞增，

當(dāng)A＞0時，即。＜-20或(2＞20，

當(dāng)°＜-2&時，刊^)＞。在區(qū)間(°，+向上恒成立，

即函數(shù)/(尤)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＞2忘時，@)=0,得V紇正I或玉="五三，

22

當(dāng)0＜x＜佇4三，或x＞空半三時，盟x)＞0,

當(dāng)a7a'-8＜尤＜”包?今時,/'(x)＜0，

22

所以函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間是0,佇當(dāng)三)和

單調(diào)遞減區(qū)間是

綜上可知，當(dāng)°W2應(yīng)時，函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+動；

a+J/_8、

當(dāng)a>20時，函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是0,—和----2----,+°°'

\7

ci—J/8a+

單調(diào)遞減區(qū)間是2，一

（2）①由（1）知，當(dāng)ae[4,6]時，函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0同）和（%+⑹,

單調(diào)遞減區(qū)間是（4,4），4、4是方程--依+2=0的兩根，

有4%=2,4+4=〃，

又y=f（x）的圖象與y=6有三個公共點外,々,天（不<々<毛），

故o<玉<4<%<4<七，貝!J24—％1>4，

要證玉+工2>24，即證工2>24-王，又2%-%>4，

且函數(shù)/（X）在（4,4）上單調(diào)遞減，即可證/（9）</（24—百），

又〃%）=/（電）="，即可證/（不）</（24—%），

令g（x）=/（x）-/（24-x）,xe（O,4），

,4212_以+2)

由f\x)=2x-2a+—=

XX

2(x—4)(x—4)2(241-4)(24—x—%)

則g'(x)=

X24-x

(%—4)(24—++424)

=2(x—4),

x(24-x)

一f—24^+24%+&工+f—24%

x(24-x)

2(x-4)44石(%-4)

>0恒成立,

x(24-x)x[2\-x)

故g'(x)在(0,4)上單調(diào)遞增,即g(x)<g(4)=/(4)-/(24-4)=。，

即/(%)</(24-石)恒成立，即得證；

②由0<玉V4<