第01講導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算

目錄

01考情透視目標導航.............................................................2

02知識導圖思維引航.............................................................3

03考點突破?題型探究.............................................................4

知識點1:導數(shù)的概念和幾何意義................................................................4

知識點2:導數(shù)的運算...........................................................................4

解題方法總結...................................................................................6

題型一：導數(shù)的定義及變化率問題................................................................6

題型二：導數(shù)的運算.............................................................................7

題型三：在點尸處的切線........................................................................9

題型四：過點P的切線..........................................................................9

題型五：公切線問題............................................................................10

題型六：已知切線或切點求參數(shù)問題.............................................................11

題型七：切線的條數(shù)問題.......................................................................12

題型八：利用導數(shù)的幾何意義求最值問題.........................................................13

題型九：牛頓迭代法............................................................................14

題型十：切線平行、垂直、重合問題.............................................................16

題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題.........................................................17

題型十二：切線斜率的取值范圍問題.............................................................18

04真題練習?命題洞見............................................................18

05課本典例?高考素材............................................

06易錯分析答題模板............................................................19

易錯點：求曲線的切線方程時忽視點的位置.......................................................19

答題模板：求曲線過點P的切線方程.............................................................19

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年甲卷第6題，5分

2024年I卷第13題，5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)

(1)導數(shù)的定義

2023年甲卷第8題，5分容、頻率、題型、難度均變化不大.重點考查導

(2)導數(shù)的運算

2022年I卷第15題，5分數(shù)的計算、四則運算法則的應用和求切線方程為

(3)導數(shù)的幾何意義

2021年甲卷第13題，5分主.

2021年I卷第7題，5分

復習目標：

(1)了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù).

(2)通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義.

(3)能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù).

//二知識導圖?思維引航\\

函數(shù)/（1）歸=M處瞬時變彳七率lim在=lim/（?%+：”?/（?。?

Ax-4）AXAx-4ZLV

我們稱它為函數(shù)尸/（X）在mXo處的導數(shù)，記作/'（項）或/|EJ

廠m數(shù)的概今和J1同章義,=同=辿、，函數(shù)＞,=/（2fe=.&處的導數(shù)/'（.&）的幾何意義、

、P數(shù)日9微心和幾何?,乂/Y幾何忌乂）（即為函數(shù)j，=/（；）在點二城處的切線的斜率.）

X------=7^（函數(shù)s=s（/）在點4處的導數(shù)s'（，o）是物體在，0時刻的瞬時速度「，即xs'O

乂物理意義）-I”電在點,。的導數(shù)一（Q是物體而。時刻的瞬時加速度4即a="Q.

/^7cx)=c(c為常數(shù))，/'")=0-

/(x)=v*(ae0,f(x)=axtl

f(x)=ax(a>01LA*1),f'(x)=axlna

f(x)=log^:(a>Q且"1)，/'代)=

基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,,*

/(-v)=e\/'(x)=^

f(x)=lrixt/'(.v)=1

f(x)=shix,f'(x)=cosx/

、'、\^f(x)=cosx,f'(x)=-sinx

T函數(shù)和差求導法則:[/(2坨(2]'=/'(.、)壇'(2)

導數(shù)的運算法則函數(shù)積的求導法則：'=/'(2g(x)+/(Mg'(2)

1函數(shù)商的求導法她其30,則[懸]'=/'")飄；?[4'加'(2；

復合函數(shù)求導數(shù)r復合函數(shù)丁=/ko］的導數(shù)和函數(shù)）'=/（"），〃=/?）的導數(shù)間關系為機/可“〃；；

老占突曲?題理探密

知識固本

知識點1:導數(shù)的概念和幾何意義

1、概念

函數(shù)/(%)在X=X。處瞬時變化率是lim電=lim/(%+-)-/(不),我們稱它為函數(shù)y=/卜)在X=%

0AY°△%

處的導數(shù)，記作r(%)或.

知識點詮釋：

①增量〃可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0.-0的意義：〃與0之間距離要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當Ar.0時，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

包=/5+--)-/(%)無限接近;

AxAx

③導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時

刻的瞬間變化率，即r(x0)=lim包=lim".+一)—"%).

-Ax。Ax

2、幾何意義

函數(shù)y=/(無)在X=X0處的導數(shù)/(X。)的幾何意義即為函數(shù)y=F(x)在點P(x。，%)處的切線的斜率.

3、物理意義

函數(shù)s=s⑺在點r。處的導數(shù)s《)是物體在務時刻的瞬時速度V,即v=s《)；v=v⑺在點小的導數(shù)

r

v(t0)是物體在t0時刻的瞬時加速度a,即a=v'(j0).

【診斷自測】設為R上的可導函數(shù)，且/'(1)=1,則駟/⑴-9+2")=()

A.2B.-2C.1D.-1

知識點2：導數(shù)的運算

1、求導的基本公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)

/(%)=C(C為常數(shù))rw=o

al

f(x)=x(aGQ)f\x)=ax~

f(x)=ax(a>0,Qw1)/'(x)=axIna

f(x)=log。x(a>0,aw1)

xlna

/(x)=e"f\x)=ex

/(x)=lnx

/V)=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosXf\x)=-sinx

2、導數(shù)的四則運算法則

(1)函數(shù)和差求導法則："(x)±g(x)]=f\x)±g'{x);

(2)函數(shù)積的求導法則："(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；

(3)函數(shù)商的求導法則：g(x)/O,則空2]J(x)g(x)-/W(x).

g(x)g(x)

3、復合函數(shù)求導數(shù)

復合函數(shù)、=/[g(x)]的導數(shù)和函數(shù)y=/(?),”=g(x)的導數(shù)間關系為y；=y'uu'x：

【診斷自測】求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)j=xcosx-(lnx)sinx；

yjxCOSX+X

⑵工77T+

Inx

解題方法總結

1、在點的切線方程

切線方程y-/(x0)=/(%)(%-%)的計算：函數(shù)y=/(x)在點A5,/(x0))處的切線方程為

fy=/(x)

，-〃%)=/'(%)(>/)，抓住關鍵0:j0、.

W=/(%)

2、過點的切線方程

設切點為P(%o，%)，則斜率左=/(犬0),過切點的切線方程為：y-,

又因為切線方程過點A(m,n),所以%=jT(%o)(相-/)然后解出/的值.(%有幾個值，就有幾條

切線)

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

3、高考?？嫉那芯€方程

(1)y=*是y=ln(x+l)的切線，同時>=%—1是y=lnx的切線，也是y=1—工和y=xlnx的切線.

x

(2)丁=尤是y=sinx的切線，、=兀是y=tanx的切線.

(3)y=勿是、="的切線，)=%+1是、="的切線.

題型洞察

題型一：導數(shù)的定義及變化率問題

【典例1-1］若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(“㈤內(nèi)可導，且與?(。,?，則段〃:+⑶7的值為()

A./'(%)B.2尸(%)

C.-2/(^0)D.0

【典例1-2］如圖1,現(xiàn)有一個底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm?/s的速度向該容器內(nèi)注入

溶液，隨著時間/(單位：S)的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度,

則當1=兀時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為()

B.畫cm/sc.&/SD.迥cm/s

6兀5兀3兀2兀

【方法技巧］

利用導數(shù)的定義，對所給函數(shù)式經(jīng)過拆項、添項等變形和導數(shù)定義結構一致，然后根據(jù)導數(shù)定義求解.

【變式1-11（多選題）已知/（X）,g（x）在R上連續(xù)且可導，且/'（%）/0,下列關于導數(shù)與極限的說法

中正確的是（）

B.lim/(^A/z)-/(r-A/Q

人?典―y一?。??。?A/i'"

/(xo+3Ax)~/(xo)g(x0+Ax)-g(%)=g[x。)

C.lim=/\xo)

3Ax^o/(x0+Ax)-/(x0)f'(x0)

【變式1-2］（2024?上海閔行?二模）某環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整

改、設企業(yè)的污水排放量W與時間f的關系為W=/（。，用-"“一/⑷的大小評價在［凡句這段時間內(nèi)

b-a

企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.則下列正

確的命題是（）

污

水

達

標

排

放

量

A.在上4］這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

B.在々時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

C.在4時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達標；

D.甲企業(yè)在［0,?。?2］，上聞這三段時間中，在兒用的污水治理能力最強

題型二：導數(shù)的運算

【典例2-1】求下列函數(shù)的導數(shù).

(1)y=xex

Inx

(2)y=

x2+1

(3)y=2sin(l-3元)

(4)y=-^lnx+y]l+x2.

【典例2-2】已知函數(shù)滿足滿足/(x)=「(l)ei-〃0)x+gx2；求/(x)的解析式

【方法技巧】

(1)對所給函數(shù)求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數(shù)求導法則，直接轉化為基本函數(shù)求

導問題.

(2)復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.

【變式2-1［已知"尤)=；/+2礦(2022)-2022依，則廣(2022)=_.

【變式2-2】設函數(shù)/(x)=x(x+D(x+2)…(x+10),則/(。)的值為()

A.10B.59C.10x9x---x2xlD.0

【變式2-3］在等比數(shù)列｛4｝中，^2=2,若函數(shù)“X)二x(x-q)(x-“2)…(工-為陽)，則/'(。)=

()

202220222023

A.-2B.2C.一2283D.2

【變式2-4］若定義域都為R的函數(shù)/(力及其導函數(shù)/'(X),滿足對任意實數(shù)尤都有

2024

/(x)-/(2025-x)=2x-2025,則￡/⑹=.

k=l

【變式2?5】求下列函數(shù)的導數(shù)：

(土x\

(l)y=2；

I)

(2)y=a2x+x2；

(3)y=sin43x-cos34x；

/八xlnx[/

題型三：在點尸處的切線

【典例3-1】（湖南省2024屆高三數(shù)學模擬試題）曲線y=ln2x在點（go）處的切線方程為（）

A.2x—y+1=0B,2x—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

【典例3-2】（2024?全國?模擬預測）已知曲線/（x）=xlnx在點處的切線為/,貝心在y軸上的截距

為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【方法技巧】

[yn=/(xn)

函數(shù)y=/(x)在點A?,/(x。))處的切線方程為y-/(Xo)=r(Xo)(x-%),抓住關鍵.

[k=f(x0)

【變式3-1】曲線〃x)=2e，-sinx-2在點(OJ(O))處的切線方程為()

A.y=3xB.y=2xC.V=xD._V=T

【變式3-2](2024?山東濟寧?三模)已知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，當xvO時，/(x)=ln(-x)+尤,，則曲線

>=/(此在點QJ⑴)處的切線方程是()

A.3%—y—2—0B.3尤+>-2=。c.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【變式3-3](2024?四川?三模)已知函數(shù)〃x)=or+a+cosx(aeR),則曲線y=/(x)上一點(0,-2)處的

切線方程為()

A.2x+y+2=0B,x+y+2=0

C.3x+y+2=0D.3x+y-2=o

題型四：過點P的切線

【典例4」】已知函數(shù)/（x）=V—6f+9x—7,直線/過點（0,1）且與曲線＞=/（同相切，則直線/的斜率為

（）

A.24B.24或-3C.45D.0或45

【典例4-2］過點（0,加）可作/（x）=e'-x的斜率為1的切線，則實數(shù)加=.

【方法技巧】

設切點為P（x（）,%）,則斜率左=r（x。），過切點的切線方程為：y-%=m））（x-Xo）,

又因為切線方程過點A（a,6）,所以。-%=/（％）（°-與）然后解出/的值.

Y過點心。

【變式4-1】曲線。2：/（可=的切線方程為

【變式4-2】過點（0,-2）作曲線/（x）=lnx-2的切線，則切線方程為

【變式4-3］（2024?山西呂梁.二模）若曲線/（x）=hu在點尸（巧，兒）處的切線過原點。（0,0）,則

xo=?

【變式4-4］（2024?高三?海南省直轄縣級單位?開學考試）已知函數(shù)/（x）=alnM"。），過原點作曲線

y=/（x）的切線人則切線/的斜率為—.

題型五：公切線問題

【典例5-1】若直線嚴履+b與曲線C：y=3+e，和曲線C2：y=e"2同時相切，貝同=（）

93311

A.-------In—B.2—ln2C.In—D.3—ln3

22222

【典例5-2］（2024?湖南長沙?一模）若直線y=4（x+l）-1與曲線y=e*相切，直線產(chǎn)匕（尤+1）-1與曲線

y=lnx相切，則匕左2的值為（）

A.1B.eC.&D.-1

【方法技巧】

公切線問題應根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關

切點橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解.

【變式5-1］（2024?廣東茂名?一模）曲線y=lnx與曲線y=/+2融有公切線，則實數(shù)"的取值范圍是（）

（11「1）（11

A.-co,一一B.—一，+sC.-oo,-D.-.4-00

［2」L2）（2」2

【變式5-2］（2024?遼寧大連?一模）斜率為1的直線/與曲線y=ln（x+a）和圓一+爐=|都相切，則實數(shù)。

的值為（）

A.0或2B.—2或0C.一1或0D.0或1

【變式5-3］若存在直線y=h+〃，使得函數(shù)歹（力和G（x）對其公共定義域上的任意實數(shù)X都滿足

F（x）>kx+b>G（x）,則稱此直線尸>”為尸（%）和G（x）的“隔離直線”.已知函數(shù)〃%）=f,

g(x)=alnx(a>0),若和g(x)存在唯一的“隔離直線"，則'=()

A.VeB.C.eD.2e

【變式5-4](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ei,g(x)=；e/,若直線/是曲線y=/(x)與曲線

y=g(x)的公切線，貝心的方程為()

A.ex-y=0B.ex-y-e=0

C.x-y=0D.x-y-l=0

題型六：已知切線或切點求參數(shù)問題

【典例64]若直線>=依與曲線y=log3X相切，則實數(shù)左=()

A.eln3B.elog3e

C.—D.-loge

ee3

【典例6-2】(2024?全國?模擬預測)若直線與曲線"x)=e2F2ax3>-l)相切,則1的最小值為

()

A.-eB.-2C.-1D.0

【方法技巧】

已知切線或切點求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程：①切點處

的導數(shù)是切線的斜率；②切點在曲線上；③切點在切線上.

【變式6-1】已知直線尸京+b與函數(shù)/(xhgd+inx的圖象相切，則左—％的最小值為.

【變式6-2](2024.重慶.模擬預測)己知直線>=依+》與曲線y=e'相切于點(x0,e。，若/e(r),3),則

a+b的取值范圍為()

A.(-co,e]B.(-e3,e]C.(0,e)D.(0,e3]

【變式6-3]已知函數(shù)g(x)=x(以+21nx),若曲線y=g(x)在工=1處的切線方程為y=6x+Z?,則

a+b=__.

【變式6-4](2024?四川?模擬預測)已知加>0,〃>0,直線y=^■無+m+1與曲線y=hix-〃+3相切，典)

e

m+n=.

【變式6-5]對給定的實數(shù)b,總存在兩個實數(shù)。，使直線y=與曲線y=ln(x-b)相切，則b的取值

范圍為_.

題型七：切線的條數(shù)問題

【典例7-1】若過點（1乃）可以作曲線y=ln（x+l）的兩條切線，則（）

A.In2<b<2B.b>ln2

C.0<Z?<ln2D.b>\

【典例7-2］若過點（a,b）可以作曲線y=lnx的兩條切線，則（）

A.eb>0>aB.lna>O>bC.eb>a>0D.lna>b>0

【方法技巧】

設切點為尸（七,%）,則斜率左=/（工0）,過切點的切線方程為：y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因為切線方程過點A（a,6）,所以。-%=r（x0）（a-x。）然后解出與的值，有多少個解對應有多少條

切線.

【變式7-1］（2024?內(nèi)蒙古?三模）若過點（a,2）可以作曲線y=lnx的兩條切線，則。的取值范圍為（）

A.（-co,e2）B.（-oo,ln2）

C.（0,e2）D.（O,to2）

【變式7-2】若曲線y=絲?有且僅有一條過坐標原點的切線，則正數(shù)。的值為（）

e

A1RV2c1D百

4433

【變式7-3］（2024.全國.二模）若曲線〃x）.有三條過點（0,a）的切線，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.?C.D-［°，：

【變式7-4】已知/（力=%3_%,如果過點（2,向可作曲線y=/（x）的三條切線.則下列結論中正確的是（）

A.—l<m<8B.0<m<7C.—3<m<5D.—2<m<7

【變式7-5】已知函數(shù)〃x）=T（x>0）,若過點P（a,b）可作兩條直線與曲線y=/（x）相切，則下列結論正

確的是（）.

A.—l<ab<0B.0<ab<l

C./+廿的最大值為2D.Qb>a

【變式7-6】過點（2,0）作曲線=的兩條切線，切點分別為（孫〃占）），則:+］=

()

A.-2B.-1C.1D.2

【變式7-7］（2024.高三.北京海淀?期末）若關于x的方程log“x-，=。（。>0且。工1）有實數(shù)解，貝M的

值可以為（）

A.10B.ec.2D.-

4

題型八：利用導數(shù)的幾何意義求最值問題

【典例8-1】（2024?四川眉山?三模）若關于x的不等式IIUWG3—樂2一1（。/0）恒成立，則g的最大值為

/、A/3X+y+1

【典例8-2】（2024?四川涼山?二模）已知點P（x,y）是曲線y=/上任意一點，則J2十（十丁的最大值為

A2亞-屈口2亞-屈C厲+2逐厲+26

A.-------------D.--------------

105'105

【方法技巧】

利用導數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結合的思想方法解決，常用方法平移切線法.

【變式8-1］（2024.湖北.模擬預測）設￡>="尤-<+8-2后/+a+1,其中e-2.71828,則。的最小值

為（）

A.72B.72+1C.73D.73+1

【變式8-2］（2024?遼寧遼陽?一模）設曲線>=/在點（1』）處的切線為/,尸為/上一點，。為圓

C:（尤-5）2+y2=:上一點，則戶口的最小值為（）

、后R后「厲口屈

A.D.C,D.

2345

【變式8?3】（2024?寧夏銀川?一模）已知實數(shù)乂y滿足2Y—51nx-y=0,meR,則

+y2—2mx+2my+2m2的最小值為（）

【變式8-4】設點P在曲線丁=%2+1。20）上，點。在曲線y=上，貝力。。|的最小值為.

【變式8.5］已知y=（x-Q）2+keX-“+l『（awR）,則V的最小值為.

【變式8-6］（2024?高三?山東青島?期末）已知動點P,。分別在圓M:（x-lnm）2+（y-附2=：和曲線

>=lnx上，貝的最小值為

【變式8-7］（2024.河南.一模）記函數(shù)y=e，的圖象為G，作G關于直線y=gx的對稱曲線得到C?,則曲

線G上任意一點與曲線G上任意一點之間距離的最小值為.

【變式8-8】已知函數(shù)y=g■的圖象與函數(shù)y=ln（2x）的圖象關于某一條直線/對稱，若P,。分別為它們

圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（）

A.也“2B."n2c,0（1+M2）D72（1-In2）

242

【變式8-9］（2024?全國?模擬預測）若函數(shù)41nr,點P是曲線y=/（x）上任意一點，貝U點

尸到直線/：x-y-3=0的距離的最小值為（）

A.472B.述C.3A/2D.逅

22

【變式8-10］若點A（a,a）,3僅,e^（a,6eR）,則A,3兩點間距離|A目的最小值為.

【變式8-11】實數(shù)a,。滿足:e“j+/=31na+b+l,ceR,（a-c『+0+。）?的最小值是（）

A.4B.0C.2D.10

Yl

【變式8-12］已知、=〃認+〃是曲線y（x）="的一條切線，則「■的最小值為（）

m

A.----rB.----亍C.—D.—1

eee

題型九：牛頓迭代法

【典例9-1】（2024?山東濰坊?三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖，方程/（x）=0的根就

是函數(shù)“X）的零點,，取初始值x°J（x）的圖象在點（不,〃％））處的切線與￡軸的交點的橫坐標為冷/⑴

的圖象在點（％"（%））處的切線與X軸的交點的橫坐標為巧，一直繼續(xù)下去，得到占,程…,五,它們越來越

接近設函數(shù)/（x）=f+bx,%=2,用牛頓迭代法得到%=t，則實數(shù)萬=（）

A.1B-IC1D-1

【典例9?2】已知函數(shù)/（%）=0,若曲線》=/（“在x=0處的切線交工軸于點（q,0）,在X=4處的切線

交X軸于點（生,0）,依次類推，曲線y=/（x）在x=4i處的切線交X軸于點（%,0）,則

1111

——+——+——+…+-------的值是()

^'2^^2^^3^^2023^^2024

2025「20232022一2023

A.------B.------D.------

20242022.20232024

【方法技巧】

數(shù)形結合處理.

【變式9?1】（2024.湖北咸寧?模擬預測）英國數(shù)學家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方法一

Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設廠是/（X）=0的根，選?。プ鳛閞的初始近似值,

過點（%,〃%））做曲線>=/（X）的切線/：y—/（%）=/'（%乂x—%）,則/與％軸交點的橫坐標為

占=%-點：（/'（飛）/0）,稱々是「的一次近似值；重復以上過程，得『的近似值序列，其中

匕一等2（廣（無“）二°）,稱是『的〃+i次近似值.運用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零

J\Xn）

點大小，則函數(shù)"%）二欣+工-3的零點一次近似值為（）（精確到小數(shù)點后3位，參考數(shù)據(jù):

ln2=0.693)

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

“一1,則稱數(shù)列｛七｝為

【變式9-2］（2024?北京?模擬預測）給定函數(shù)/（x）,若數(shù)列｛%,,｝滿足茗用

x—2

函數(shù)“X）的牛頓數(shù)列.已知｛%｝為〃x）=x2-x-2的牛頓數(shù)列,=ln^—且%=l,x”<-1（n€此）,

+1

數(shù)列｛q｝的前八項和為S,.則與23=（

A.22023-1B.22024-l

20222023

C.I-1D.I-1

【變式9-3］英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應用

小“)

廣泛，若數(shù)列｛七｝滿足七+1則稱數(shù)列｛五｝為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)數(shù)列｛X/

為牛頓數(shù)列，設凡=ln」：，且4=1,x?>2,數(shù)列｛4｝的前“項和為S“，則3=_.

Xn~

【變式9?4】令函數(shù)/。）=/+九-1,對拋物線>=/0）,持續(xù)實施下面牛頓切線法的步驟：在點（LD處

作拋物線的切線，交無軸于a，o）；在點（外,〃占））處作拋物線的切線，交無軸于（々,0）；在點（%,〃%））

處作拋物線的切線，交x軸于（七,0）；……由此能得到一個數(shù)列｛%｝隨著〃的不斷增大，相會越來越接近

函數(shù)/（X）的一個零在點X。，因此我們可以用這種方法求/（“零點%的近似值.①設%,+1=g（%），則

g（x“）=；②用二分法求方程尤2+%_1=（）在區(qū)間（0,1）上的近似解，根據(jù)前4步結果比較，可以得到

牛頓切線法的求解速度（快于、等于、慢于）二分法.

題型十：切線平行、垂直、重合問題

【典例10-11（2024.高三?廣東深圳?期末）己知曲線E:y=e*與，軸交于點A,設E經(jīng)過原點的切線為/,

設石上一點石橫坐標為加（加W0）,若直線AB/〃，則加所在的區(qū)間為（）

33

A.—1<m<0B.0<m<1C.\<m<—D.—<m<2

22

【典例10-2］（2024?高三?廣西?開學考試）曲線/（x）=ln尤+2x+3在A點處的切線與直線x+3y-2=0垂直,

則切線方程為（）

A.x+3y+2=0B.3%-y-l=0

C.x-3y+2=OD.3x-y+2=O

【方法技巧】

利用導數(shù)的幾何意義進行轉化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-L

【變式10-1］（2024.全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=（x+4+lnx的圖象上存在不同的兩點A,3,使得曲

線y=/（x）在點A,3處的切線都與直線x+2y=0垂直，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.卜B.（1-V^,0）C.,8,1+V^）D.^0,1+A/2j

【變式10-2］（2024?河北邢臺?二模）已知函數(shù)+21n尤的圖像在，（萬知（芭））,3（孫〃玉））兩個

不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）

c10c10

A.玉+%2=2B.玉+%2=——C.石％2=2D.%/二一

【變式10-3】已知函數(shù)/(x)=e"j+lnx+a(aeR),過坐標原點O作曲線y=/(x)的切線/,切點為A,

過A且與/垂直的直線4交x軸于點B,貝心面積的取值范圍是()

A.[e+l,+oo)B.[2e,+oo)C.[『,+<?)D.[(e+l)~,+s)

x2+x,x<0

【變式10-4]已知函數(shù)/(%)=1的圖象上存在不同的兩點A、笈，使得曲線y=在這兩

—,x>0

點處的切線重合，則點A的橫坐標的取值范圍可能是()

A.(-J，。)B.(―1,--)C.(J,1)D.(1,2)

題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題

【典例11-1】已知函數(shù)/(x)=asin3x+加+4(aeR,beR),/'(%)為〃尤)的導函數(shù),則

/(2016)+/(-2016)+r(2015)-r(-2015)=_.

【典例11-2](2024?海南?？?二模)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,〃x+l)是偶函數(shù)，當時，

f(x)=]n(l-2x),則曲線y=/(x)在點(2,〃2))處的切線斜率為()

22

A.—B.C.2D.—2

55

【方法技巧】

奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).

【變式11-1](2024.北京.模擬預測)記函數(shù)/口)=5畝(如+/3>0,0</<兀)的最小正周期為T,f'(x)

為的導函數(shù).若>=/卜+￡|為偶函數(shù)，則。的最小值為().

A.1B.2C.3D.4

【變式11-2】(2024.全國?模擬預測)已知函數(shù)〃力=爐+5-1)%27+。是定義在[桃2+詞上的奇函數(shù)，

r(x)為“無)的導函數(shù),則rg+b+m)=()

A.-1B.0C.1D.2

【變式11-3](2024.全國?模擬預測)已知/(x)為奇函數(shù)，且當xvO時，〃力=j，其中e為自然對數(shù)的

底數(shù)，則曲線在點處的切線方程為