專題5-1二次函數(shù)

（8個考點梳理+13種題型梳理+4種方法解讀）

a:二次項系數(shù)

形如y=ax~+bx+c

b:一次項系數(shù)

c:常數(shù)項

y=ax2+bx+c(a^O)

痂質孰y=g(x-hy+k

55^片a(x+b)(x+c)

頂點拋物線與對稱軸的交點

2

y=ax+bx+c表達式

對稱軸y軸

y=ax'

有兩個交點力>°

函數(shù)(0,0)

有f交點，二°與謝交點M^x=h

函數(shù)與方程質點(h,k)

無交點y=0

y=a(x-h)2+k

個平移m個單位y=a（x-hY+k+m

ax2+bx+c=0式

1■平移m個單位y=a(x-hy+k-m

有兩個不相等的實根方程

圖像平移

有Y不相等的實根解（根）6平移m個單位y=a(x-h+m):+k

今平移m個單位y=a（x-h-m）2+k

二次函數(shù)b=a胸

函數(shù)關系式設

ab>0在ylftfcffll左同右異中間0

方程組_____到

ab^O在y軸右側

方程組解求函數(shù)解析式

y=ax2+bx+cb4ac-b>

把解代人解析式代頂點

寫成解析式寫應用c=o

利潤最值問題c>0與y軸正半軸相交

--------------------1最值問題

圖形最值問題

解決實際問題c<0與y軸負半軸相交

拋物線型問題

開啰回

a>0對稱軸左側y隨x的增大而增大

］對稱軸右側增減性--------------------------------------

y隨x的增大而減小

函數(shù)有最小值

性質同蜥,開口影。

開口方向-G

對稱軸右側

a<0y隨x的增大而減小

增減性］對稱軸左側

y隨x的增大而增大

酉數(shù)有泰值

考點情單

【考點01】二次函數(shù)的定義

二次函數(shù)的定義：一般地，形如丁=。f+法+c（aWO,其中a,b,c是常數(shù)）的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中,

x是自變量，a,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

二次函數(shù)的特征：1）函數(shù)關系式的左側是因變量，右側是含有自變量的是整式；

2）自變量的最高次數(shù)是2；3）二次項系數(shù)不能為0.

二次函數(shù)的一般式：y^ax2+bx+c（aWO,其中a,b,c是常數(shù)）.

【考點02］二次函數(shù)的表達式

名稱解析式前提條件

一般式y(tǒng)=ax2wO)當已知拋物線上的無規(guī)律的三個點的坐標時,常用一般式

求其表達式.

頂點式y(tǒng)=Q(九一/if+k當已知拋物線的頂點坐標（h,k）或對稱軸或最值等有關

條件時，常用頂點式求其表達式.

(QWO,a,h,左為常數(shù))

交點式y(tǒng)二-%)(％-入2)(〃w。)當已知拋物線與X軸的兩個交點坐標（玉,0）,（々,0）時，常

用交點式求其表達式.

【考點03］二次函數(shù)的性質

二次函數(shù)的圖像是一條關于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對

圖像特征

稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.

基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=y=a(x-hf+ky=ax2+bx+c

F/V

J/h>0,k>0

a>0

o______I-___X>X

_____1=>ax

h<0,k<0

圖

像

h<0,k>0a

/c

w

a<0Az^Ui>0,k<0

b

對稱軸y軸y軸x=hx=hx----

2a

2

頂點坐標(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)(b4ac-b^

2a4a

最a>0開口向上，頂點是最低點，此時y有最小值；

值a<0開口向下，頂點是最高點，此時y有最大值.

【小結】二次函數(shù)最小值（或最大值）為。（k或言?）.

a>0在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.

增

a<0在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.

減

性拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大（或減?。┦?/p>

易錯

不對的，必須附加一定的自變量X取值范圍.

【考點04】二次函數(shù)與各項系數(shù)之間的關系

字母字母的符號圖像特征

aa>0開口向上

a<0開口向下

b=0對稱軸是y軸，即-普0

b

a,b同號對稱軸在y軸左側，即-力＜0

a,b異號對稱軸在y軸右側，即-二＞0

c=0圖像過原點

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負半軸相交

b2-4ac>0與X軸有兩個交點

b2-4ac

b2-4ac=0與X軸有唯一交點

b2-4ac<0與X軸沒有交點

【考點05】二次函數(shù)的圖象變換

1）二次函數(shù)的平移變換

平移方式(n>0)P一JSity—^x1+bx+cQ頂v=a(x-hy平移口訣

、片加一

■平移n個單位口y=a(x+n,+6(x+n)+cSy=a(x—力+普)’+左Q

向右平移n仝單位二y=a(x-n1+6(x-n)+cQy=a^x—h-ny右瀛二

2

包平移n個單位。y=co?+bx+c+y=n(x-77)*+左上加一

向TF平移n個單位4y=ax^+bx^-c—n^y=o(x—力)'+左一〃d下減一

平移規(guī)律：上加下減，左加右減.

2)二次函數(shù)的對稱變換

變換方式變換后口訣

關于X軸對稱-y=ov2+&v+c=y=-ax1—bx-cX不變，y變-y

關于y軸對稱,)iy=Mf?*魏一噓*輔0朋=ac-酶普制y不變，x變-x

關于原點對稱,|W=城*阿*銅中型=一翻/*酶-向x變-x,y變-y

【考點06】二次函數(shù)與一元二次方程

求二次函數(shù)y=依?+/?x+c(awO)的圖像與x軸的交點坐標，就是令y=0,求or2+Zzr+c=O中x

的值的問題.此時二次函數(shù)就轉化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交

點的個數(shù)，它們的關系如下表：

二次函數(shù)一元二次方程與X軸

判別式y(tǒng)=ax1+/ZX+C(Qw0)ax2+bx+c=0(。w0)交點個

數(shù)

圖像與X軸的交點坐標根的情況

a>0拋物線一元二次方程

△>0fl/pix

y=ax2+bx+c(aw0)ax2+bx+c=0(〃w0)有兩

與軸交于，個不相等的實數(shù)根2個交

yx(%i0),(x2,0)

av0

J_-b±^b1-4ac點

Ai(為<%)兩點Xl,2~。

°l2a

,XL一元二次方程

a>0拋物線

JbXax2+bx+c=0(aw0)有兩

y=ax2+bx+c(aw0)與x1個交

△=0°l個相等的實數(shù)根

點

軸交于［一o］這一點

a<0FAb

x=x=---

0/V{22a

a>0

IV.拋物線一元二次方程

0X

0個交

2

△<0Iy=ax+bx+c(aw0)ax~+bx+c-0(?w0)在實

y點

a<0

0與x軸無交點數(shù)范圍內無解(或稱無實數(shù)根)

【考點07】二次函數(shù)與不等式

二次函數(shù)y-ax2+bx+c{a主0)與一元二次不等式ax1+bx+c>0(tzw0)及ax2+bx+c<0(。豐0)

之間的關系如下(七＜》2)：

y=ax1+bx+c-a>0QY09

圖像」木'

/I\.八\.

ObXS＜K2Xuq7gxTJp|------T在ft

有兩個交點_有一個交點.無交點j

有兩個交點2有1個交點=無交點a

判別式?！?gt;(P△=g△<(P△>(P△=2△<0Q

全體實數(shù)~J無解一無解」

x<再或X。再d再<x<x2?

X>的全體實數(shù)口

無實根」

CD?+6x+c=。4x=再或x=巧一X=再=巧dx=再或x=巧二X=再=電7無實根J

a^+foc+cv0+再<X<X2^無解二無解U》＜再或%＞巧j全體實數(shù)-

的全體實數(shù)q

拋物線y=+法+c（aw0）在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應的x的所有值就是不等式

。必+6%+?！?（。/0）的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標都為負，所對應的x的所有值就是不等式

ax2+bx+c<0（aw0）的解集.

注意：不等式中如果帶有等號，其解集也相應帶有等號.

【考點08】二次函數(shù)與實際問題

用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：

1）審：仔細審題，理清題意；

2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當

的未知數(shù)；

3）歹U：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；

4）解：依據已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖像和性質等求解實際問題；

5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.

【注意】二次函數(shù)在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果

頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論.

強型陸單

【考點題型一】二次函數(shù)的識別

解題思路：1）看它的解析式右側是不是含有自變量的整式，若不是，則不是二次函數(shù)；

2）看它是不是一個二次的整式，若不是，則不是二次函數(shù)；

3）判斷其二次項的系數(shù)是不是0,若是，則不是二次函數(shù).

【例1】.（23-24九年級上?廣東惠州?期中）下列函數(shù)y=3/-1,y-2x-1,y-2（x-3）（x+2）,

y=|,y=3（久-2）2-1中，二次函數(shù)的個數(shù)為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1-1］（21-22九年級上?山西?期中）若函數(shù)y=（a+l）xM+3|—x+3是關于x的二次函數(shù)，則。

的值是（）

A.1B.-5C.-1D.-5或一1

【變式1-2］（23-24九年級上.安徽黃山.期中）若y=（爪-2）久―-2一乂―3是二次函數(shù)，則小的值是（）

A.-2或2B.4C.2D.-2

【變式1-3］（20-21九年級?河南許昌?階段練習）已知函數(shù)y=（爪？—爪）/+（7n_］）尤+7n+］.

（1）當zn為何值時，這個函數(shù)是關于久的一次函數(shù)；

（2）當爪為何值時，這個函數(shù)是關于x的二次函數(shù).

【考點題型二】二次函數(shù)的圖象與性質

2

【例2】.如圖，各拋物線所對應的函數(shù)解析式為：①yi=a%2；②久2；③y3=c/；y4=dx,比

較a,b,c,d的大小，用“〉”連接為（）

A.a>b>d>cB.b>a>c>dC.a>b>c>dD.b>a>d>c

【變式2-1］（23-24九年級上.北京海淀?期中）若點B（—2,%）,0（0.5,%），D（13%）在拋物線y=2*0+2）

的圖象上，貝31.%，出的大小關系為—（用“>”或“=”進行連接）

【變式2-2］（23-24九年級上.北京東城?期中）已知二次函數(shù)y=/-4x+3.

（1）求出這個二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；

（2）求出這個二次函數(shù)的圖象與x軸的交點；

（3）寫出圖象y隨久增大而增大時，久的取值范圍是.

【變式2-3］（23-24九年級上?廣東汕頭?期中）已知二次函數(shù)y=—/+2比+3.

（1）寫出這個二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標；

（2）求出這個拋物線與x軸的交點坐標.

【考點題型三】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

解題方法：求二次函數(shù)解析式的常見方法：

1）已知拋物線上任意三點坐標，可設丁=以2+"+。

2）已知拋物線上的頂點坐標（h,k）,可設y=a（x—/z）2+左

3）已知拋物線與x軸的兩個交點坐標（玉,0）,（X2，。）時，可設y=。（x-%）（兀一工2）

【例3】（23-24九年級上?廣東廣州?期中）拋物線丫=a/+6%+（:上部分點的橫坐標了,縱坐標y的對應值

如下表：

X-2-i012

y0-4-408

(1)求該拋物線y=ax2+bx+c的解析式.

(2)根據上表填空：

①拋物線與x軸的交點坐標是和；

②拋物線經過點(-3,),對稱軸為；

【變式3-1](23-24九年級上?山東聊城?期中)已知二次函數(shù)y=/++c的圖象過點4(0,2),B(l,0).

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)求這個二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點坐標.

【變式3-2](22-23九年級上?廣東汕頭?期中)已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(l,0),直線y=龍+爪與

該二次函數(shù)的圖象交于4、B兩點,其中A點的坐標為(3,4),B點在y軸上.求相的值及這個二次函數(shù)的關

系式.

【變式3-3](24-25九年級上?江蘇南通?階段練習)二次函數(shù)y=-/+版+c(6、c為實數(shù))的圖象經過

(1)求該二次函數(shù)的表達式及頂點坐標.

(2)當-2W%W3時，求該二次函數(shù)的最大值與最小值.

【考點題型四】二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)的關系

解題方法：1)根據拋物線的開口方向判斷a的正負性；

2)根據拋物線的對稱軸判斷b的正負性(左同右異中間0).

3)根據拋物線與y軸的交點位置，判斷c的正負性.

4)根據拋物線與x軸有無交點，判斷廿—4四的正負性.

5)根據拋物線的對稱軸可得-二與±1的大小關系，可得2a土b的正負性.

6)特殊點代入確定a,b,c的關系.

7)根據拋物線的頂點，判斷空了的大小.

4a

［例4］（22-23九年級上?河南南陽?期末）拋物線y^ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)）的對稱軸為x=—2,

過點（1,一2）和點（久o，yo）,有下列結論：①iabc<0；②對任意實數(shù)都有：am2+bm>4a-2b；③16a+c>

46；④若一4<久。<0,則yo>c-其中正確結論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4T】（23-24九年級上.天津.期末）已知拋物線y=a/+6%+c（a大0）的對稱軸為直線x=2,與x

軸的一個交點坐標為（4,0）,其部分圖象如圖所示，下列結論：①拋物線一定過原點；②方程久+。=

0（a力0）的解為x=0或x=4,（3）a—b+c<0；④當0<尤<4時，ax2+bx+c<0；⑤當x<2時，y隨x

增大而增大，其中結論正確的個數(shù)（）

B.3C.4D.5

【變式4-2］（23-24九年級上.重慶江津.期中）如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c（a+0）的對稱軸為x=

現(xiàn)給出下面四條信息:

②2a+36=0；③b+2c>0；（4）a-2b+4c>0.你認為

其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4-3]（23-24九年級上?江蘇揚州?期末）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結

論：①爐―4ac<0；②a-6+c〉0；③abc〉0；④b=2a中，正確結論的序號是.

【考點題型五】二次函數(shù)圖象的綜合判斷

【例5】（23-24九年級上?湖北武漢?期末）拋物線y=6Q+2）。一1）的對稱軸是（）

A.x=-B.x=-2C.x=1D.x=--

22

【變式5-1]（23-24九年級上?山東威海?期末）已知拋物線y=ax2-4ax+c經過點（5,2）,則該拋物線必

然還經過點（）

A.（-1,-2）B.（-3,2）C.（3,2）D.（-1,2）

【變式5-2]（23-24九年級上?山東煙臺?期中）拋物線3/=32+法+。上的部分點的橫坐標工和縱坐標〉

的對應值如下表；

X-3-2-101

y—60466

容易看出，點（-2,0）是拋物線與x軸的一個公共點，則它與x軸的另一個公共點的坐標是.

【變式5-3]（23-24九年級上?北京房山?期中）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-（a+l）x（a力0）,

若%02，先）為拋物線上兩個不同的點，設拋物線的對稱軸為％=a

（1）當t=l時，求a的值；

（2）若對于/>x2>~1，都有當<y2,求a的取值范圍.

【考點題型六】二次函數(shù)的對稱性問題

解題技巧：

1）拋物線上兩點關于直線乂=-二對稱，則

2a

①這兩點在同一高度，即兩點的縱坐標相同；

②這兩點到對稱軸的距離相等，即兩點的橫坐標與X=-=的差的絕對值相等；

2a

2）若二次函數(shù)與x軸有兩個交點，則這兩個交點關于直線*=-二對稱.

3）已知一點的坐標為（xl,y）,對稱軸為乂力，則這個點關于對稱軸對稱點的坐標為（2h-xl,y）.

【例6】（2023?山西太原?三模）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=mx+ni和y=-m/+2x+2（現(xiàn)為

常數(shù)，且niKO）的圖象可能是（）

【變式6-1］（23-24九年級上?山東煙臺?期中）二次函數(shù)y=ax2+b久和反比例函數(shù)y=:在同一平面直角

坐標系中的圖象可能是（）

A4.上力.工

Yx

【變式6-2］（23-24九年級上?山東泰安?期末）已知在同一直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+b%和反比例

函數(shù)y=（的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx+：的圖象可能是（）

:V

—

【變式6-3］（23-24九年級上.安徽阜陽?期中）在同一平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=ax+6與二次函數(shù)

y=ax2+8%+b（aH0）的圖象可能是（）

H/.

X

1TT

A.1B.NC.D.

【考點題型七】二次函數(shù)的圖象變換

【例7】（23-24九年級上.浙江紹興.期末）如圖，將拋物線G：y=M向右平移2個單位后，再將該圖象關

于x軸進行軸對稱變換得到拋物線C2：y=ax2+bx+c.則下列關于拋物線C2的解析式中，正確的是（）.

A.y=—x2+4%—4B.y=—x2—4%—4

C.y=%2+4x—4D.y=x2—4x—4

【變式7-1](23-24九年級上.山東濟南.期末)要將函數(shù)y=a%2+b%+c的圖象向右平移3個單位長度.再

向上平移2個單位長度得到的二次函數(shù)為y=2%2—4%+3,那么a+b+c=.

【變式7-2](22-23九年級上?河南周口?期末)在平面直角坐標系xOy中，直線y=久-1與y軸交于點4,拋

物線y=ax2+2ax+c經過點A.

(1)求拋物線的對稱軸.

(2)若拋物線y=-1%2是由拋物線y=ax2+2ax+c經過平移得到的，求拋物線y=ax2+2ax+c的解析式.

(3)在(2)的條件下，已知點(-2,%)，(4,%)在拋物線丫=a/+2a久+c上，比較月，y2,%的大

小，并說明理由.

【變式7-31(23-24九年級上?江西贛