考點(diǎn)清單6-1相似三角形

(9個(gè)考點(diǎn)梳理+16種題型解讀+10種方法解讀)

兩條線段長度的比

線段的比|------------------

【注意】求線段的比時(shí)，兩條線段先統(tǒng)一長度單位

比例線段

在四中，如果其中兩^￡8的移于另外兩的比

成比例成比例線段

其中a,b,c,d是成比例線段

娥個(gè)寸T【注意】不能寫成其它形式

角分別相等，邊成叱例

--------------:---------------19比例中項(xiàng)

相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比|-------在比例式產(chǎn)彳，若b=c—b2=ad-b叫做a和d的比例中項(xiàng)

相似多邊形

。對(duì)應(yīng)角相等

--------------------1蜩

?對(duì)應(yīng)邊成比例-------

相平行線分線基本事實(shí)兩條線段被一對(duì)應(yīng)的線段成比例

?——)(三個(gè)角相等似段成比例組平i亍線所截

圖

|相似--------------1兩個(gè)三角形中定義圖

1——1三條刎既?產(chǎn)2--------------------截其它兩邊

形

形ffiie平行于三角形所得對(duì)應(yīng)闞EM

截兩邊的延長線

的一條邊的直線

相

似相似i圖形

對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)

對(duì)應(yīng)線段平行或共線

2-廣守?先判斷是否相似

判斷方法|-T--------------------

------------?再看對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過位似中心

位似圖腕似

■對(duì)應(yīng)邊互相平行或者共線

?兩角分別相等對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比=相似比

定中心確定位似中心

-----------------1?兩邊外-角

夾角相等卜~^-------判定連線位似中心和原圖關(guān)鍵點(diǎn)

與其它兩?平行于三角形延長

所構(gòu)哪三角形-虻角形邊相交的聯(lián)1-畫法-定點(diǎn)確定位似圖關(guān)鍵點(diǎn)下

?斜邊和苴角邊成比例(&)

連線順次連接

易錯(cuò)原點(diǎn)為中心，樹以比為k對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于kgg-k

考點(diǎn)儕單

【清單01】比例線段

比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線

段，簡稱比例線段.四條線段a,b,c,d,如果幺=—，那么a,b,c,d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a,d叫

bd

做比例外項(xiàng)，線段b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng).

77K)

比例中項(xiàng)：如果比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即。：人二人"或一=—,那么線段b叫做線段a,c的

bc

比例中項(xiàng).

【清單02】比例性質(zhì)的基本性質(zhì)

基本性質(zhì)：色=&。)

1)ad=be(bdw0

—=^(&,c,d不為0)

2)推論:—=—<—=—(a,b,d不為0)

bdbav)

—=—d不為0)

ca

a+bc+daca-bc-d心c、

3)合比性質(zhì)：a=±o(bdwO)，分比性質(zhì):=—=------=-------(bdwO)

bdbdbdbdI)

AR

4）黃金分割：如圖，點(diǎn)B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB>BC）,滿足叫=至（此時(shí)線段AB是線

ABAC

段AC,BC的比例中項(xiàng)），那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它

J5-1

們的比值為二一，近似值為0.618.

2

ABC

【清單03】平行線分線段成比例

定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

1）示例：如圖，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例的有第=瞿或黃=瞿或蓋=高或差=整或祟=番等等.

卜卜卜卜下下下下卜下

2）對(duì)應(yīng)線段成比例可用語言形象表示：===或k=k或;=；或｝=《或丁=士等等.

下下全全上上全全上下

推論：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

CD

AC

【清單04】

相似圖形：把形狀相同的圖形叫做相似形.

【補(bǔ)充】1）相似圖形的形狀完全一樣，圖形的大小不一定相同；

2）全等圖形是一種特殊的相似圖形，它們不僅形狀相同，大小也相同；

3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看兩個(gè)圖形的是不是形狀相同，與其它的因素?zé)o關(guān).

【清單05】相似多邊形

相似多邊形的定義：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做

相似多邊形.

相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

相似多邊形的表示：兩個(gè)相似多邊形可以用符號(hào)“S”，讀作“相似于”.

【補(bǔ)充】1）相似多邊形的三個(gè)條件：①邊數(shù)相同；②對(duì)應(yīng)角相等；③對(duì)應(yīng)邊成比例；

2）全等多邊形的相似比是1,即全等圖形是一種特殊的相似圖形;；

3）當(dāng)用符號(hào)“s”表示兩個(gè)相似圖形時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)必須寫在對(duì)應(yīng)位置.

【清單06】相似三角形

相似三角形的定義：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.如AABC和4DEF

相似可表示為△ABCS/\DEF.

【補(bǔ)充】三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于1.

【注意事項(xiàng)】符號(hào)“s”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大宇母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，如

△ABC^ADEF,表示頂點(diǎn)A與D,B與E,C與F分別對(duì)應(yīng)；

【易錯(cuò)點(diǎn)】如果僅說aABC與4DEF相似，沒有用“s”連接，則需要分情況討論它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【清單07】相似三角形的性質(zhì)與盤底

相似三角形的性質(zhì)：

1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

3）相似三角形周長的比等于相似比.

4）相似三角形面積比等于相似比的平方.

5）傳遞性：若△ABCS^BDC,AABC^AADB,則△BDCS^ADB.

相似三角形的判定方法：

1）判定三角形相似的常用定理：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

②三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；

③兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；

④兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

2）直角三角形相似的判定方法：

①有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.

②兩組直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

③斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

【清單08】位似圖形

定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這

個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.

判斷位似圖形的方法：首先看這兩個(gè)圖形是否相似，再看對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過位似中

2.位似圖形的性質(zhì)

1）位似圖形的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線相交與一點(diǎn).

2）位似圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且比相等.

3）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質(zhì).

5）一對(duì)對(duì)應(yīng)邊與位似中心（不在同一直線上）形成的兩個(gè)三角形相似

3.畫位似圖形

位似變換：利用位似圖形的性質(zhì)將一個(gè)圖形進(jìn)行放大或縮小叫做位似變換.

【清單09】位似圖形的坐標(biāo)特征

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的

相似比為k,那么與原圖形上的點(diǎn)（x,y）對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（kx,ky）或（-kx,-ky）.

【小結(jié)】以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形的坐標(biāo)符號(hào)變化：若兩個(gè)圖形在原點(diǎn)同側(cè)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)

符號(hào)相同；若兩個(gè)圖形在原點(diǎn)異側(cè)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)相反.

盛型陸單

【考點(diǎn)題型一】成比例線段

【解題思路】

1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段按照從小到大或從大到小的順序排列，再判斷前兩條線段的比與

后兩條線段的比是否相等，比值相等的四條線段成比例；

2）成比例的線段是有順序的，比如：已知a，b,c,d成比例，貝釬:即：在1=嘉）或a：b-d,要注

意位置不能隨意顛倒.

1.⑵-24九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期中）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（)

A.4,5,8,10B.5,6,7,8C.2,4,6,8D.3,4,6,7

2.（23-24九年級(jí)上?江蘇泰州?期中）已知線段a、b、c,當(dāng)a=4,b=5時(shí)，則a、b的比例中項(xiàng)c等于

)

A.±2V5B.2V5C.±6D.6

3.（22-23九年級(jí)上?廣東河源?期中）已知四條線段4,x,2,3成比例,若%為整數(shù)，貝!=

4.⑵-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）已知點(diǎn)尸把線段分割成AP和尸8Q4P>8P）兩段，如果AP是AB和

PB的比例中項(xiàng)，那么BP:力P的值等于—.

【考點(diǎn)題型二】圖上距離與實(shí)際距離

【解題思路】比例尺就是圖上長度與實(shí)際長度的比（注意單位）

1.（23-24九年級(jí)上.江蘇鹽城?期末）在比例尺為1:38000的揚(yáng)州旅游地圖上，某條道路的長為5cm,則這

條道路實(shí)際長km.

2.（22-23九年級(jí)上?江蘇無錫?階段練習(xí)）在比例尺為1:20000的地圖上，測得A、B兩地間的圖上距離為

2.5厘米，則其實(shí)際距離為米.

【考點(diǎn)題型三】利用比例的性質(zhì)求解

解題方法：與比例性質(zhì)相關(guān)的題目主要是運(yùn)用比例的性質(zhì)對(duì)比例式進(jìn)行各種變形，得出所要求的結(jié)果.

1.（23-24九年級(jí)上.江蘇無錫?期中）若？=則唉=（）

b2a+b

123，

A.-B.-C.-D.-

3353

2.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?期末）如果a:b:c=2:3:4,a+b+c=36,那么2。一3b+4c=_.

3.（20-21九年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）已知線段a,b,c滿足色=2=￡,且a+2b+c=26.

326

（1）求線段a,b,c的長.

（2）若線段巾是線段a,6的比例中項(xiàng)，求線段小的長.

【考點(diǎn)題型四】黃金分割

1.（23-24九年級(jí)上?江蘇鹽城?期中）大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”.如圖，尸為4B的黃

金分割點(diǎn)（4P>PB）,如果48的長度為10cm,那么4P的長度是（）

B

A.（5V5-10）cmB.（15-5V5）cmC.（5V5-5）cmD.（SVS+5）cm

2.（23-24九年級(jí)上.江蘇揚(yáng)州?期中）如圖，點(diǎn)尸是線段48的黃金分割點(diǎn)，且4P<BP.如果2B=2,那

么BP=.

III

APB

3.（22-23九年級(jí)上?江蘇南京?期末）已知線段48=2,若C,。是4B的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則CD長

為.

4.（23-24九年級(jí)上.江蘇連云港?期末）（1）在圖①中按下列步驟作圖：

I|||

ACAB

圖①圖②

第一步：過點(diǎn)C畫CD14C,使

第二步：連接力D,以點(diǎn)。為圓心，DC的長為半徑畫弧，交2D于點(diǎn)E；

第三步：以點(diǎn)A為圓心，AE的長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)反

（2）在所畫圖中，點(diǎn)8是線段2C的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？

（3）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形.請(qǐng)你在圖

②中以線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個(gè)黃金三角形ABC.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【考點(diǎn)題型五】相似圖形的識(shí)別

1.（23-24九年級(jí)上.江蘇宿遷?期末）下列每個(gè)選項(xiàng)的兩個(gè)圖形，不是相似圖形的是（）

2.（22-23九年級(jí)下?山東青島?開學(xué)考試）下列形狀分別為兩個(gè)正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中

不一定是相似圖形的是（）

3.（22-23八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期末）以下命題中，①兩個(gè)直角三角形一定相似；②兩個(gè)等邊三角形一定相

似；③兩個(gè)菱形一定相似；④任意兩個(gè)矩形一定相似；⑤兩個(gè)正六邊形一定相似.其中真命題的個(gè)數(shù)是

()

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)題型六】利用相似圖形的性質(zhì)求解

1.（20-21九年級(jí)上.江蘇揚(yáng)州?假期作業(yè)）圖，四邊形ABCD與四邊形4BO相似，若NB=65。，ZC=

82°,NA=110°,則ND=°.

2.（20-21九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,剪去一個(gè)矩形ABEF

后，余下的矩形EFDCs矩形BCDA,則EC的長為

AFD

BEC

3.（23-24九年級(jí)上?山西太原?期中）五邊形ABCDEs五邊形AB'C'O'E',相似比為1：3,若2B=2,則

A'B'=_________

4.（23-24九年級(jí)上?吉林長春?期中）如圖，四邊形ABCDs四邊形EFG”.若48=18,EF=4,FG=6,

NB=77。，ZC=83°,NE=117。，求線段BC的長和NH的大小.

【考點(diǎn)題型七】利用平行線分線段成比例求解

模型介紹。A型4X型9

圖示QED

A

A

BC二BC二

..?..ADAE^ADAE,..4DAE-^,4DAE,

幾何表達(dá)」.DEIIBC..——=——或——=—P.DE//BC..——=——或——=—Q

4BACBDCEABACBDCE

解題方法：當(dāng)“A型”或“X型”在幾何圖形中出現(xiàn)時(shí)，我們可以利用平行線分線段成比例定理及推論建立有關(guān)線

段的比例式，把線段的長代人比例式，通過解方程求出線段的長“

1.（20-21九年級(jí)上.江蘇南京.期末）如圖，直線為12%，直線。、b與小I2、G分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)

D、E、F,若4B:BC=1:2,DF=6,則5T的長為（）

A.2B.3C.4D.5

2.（23-24九年級(jí)上?江蘇無錫?期中）如圖，直線a||b||c,直線AC分別交a,b,c于點(diǎn)4B,C；直線DF分

別交a,b,c于點(diǎn)D,E,F.若蔡=|,則案=（）

3

cD.

-12

3.（23-24九年級(jí)上.云南昆明?階段練習(xí)）如圖，AB||CD||EF,若祭=BC=6,貝UCE的長=

4.（23-24九年級(jí)上.江蘇淮安?期中）如圖，已知28IIC0IEF,它們依次交直線12,于點(diǎn)人、E和點(diǎn)

B、D、F,若力C:CE=2:3,BF=9,求DF的長.

【考點(diǎn)題型八】作平行線構(gòu)造成比例線段

解題方法：當(dāng)幾何圖形中所求線段的比與已知條件沒有明確的聯(lián)系時(shí)，可以過某一點(diǎn)作平行線，分離圖

形，構(gòu)造出“A型”或“X型”，得出與已知和未知線段相關(guān)聯(lián)的成比例線段，從而解決問題.有效構(gòu)建,

準(zhǔn)確識(shí)別是處理此類問題的關(guān)鍵.

1.（23-24九年級(jí)上?河北邯鄲?階段練習(xí)）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一

條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C都在橫線上.若線段BC=3cm,則線段AC的長是（）

C.4.5cmD.5cm

2.（22-23八年級(jí)下?江蘇無錫?期末）如圖，在中，。在ZC邊上，AD-.DC=1:2,。是80的中點(diǎn)，連

接4。并延長交BC于點(diǎn)E,若BE=1,則EC的長為（）

A

D

/^70\

BEC

A.2B.2.5C.3D.4

3.(23-24九年級(jí)上?四川內(nèi)江?期中)如圖，△4BC中，。在力C上，且AD:DC=1:3,E為BD的中點(diǎn)，AE的

延長線交BC于F,那么蕓的值為.

4.(22-23八年級(jí)下?江蘇鹽城?期中)本學(xué)期我們研究了三角形的中位線的性質(zhì)，回顧研究的過程，請(qǐng)回答

以下問題：

(1)三角形中位線定理是：_；

(2)梯形是有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形，連接梯形兩腰的中點(diǎn)，得到的線段叫做梯形的中

位線.如圖①，EF就是梯形A8CD的中位線，梯形的中位線具有什么性質(zhì)呢？

小明思考之后給出了如下的證明思路：如圖②，連接2F并延長，交BC的延長線于點(diǎn)G.先證△4。尸和小

GCF全等，再說明EF是AABG的中位線.經(jīng)過你的分析，請(qǐng)寫出梯形的中位線EF和兩底4。、8c之間的關(guān)

(3)已知梯形的中位線長為7cm,高為6cm,則梯形面積是_cm2；

(4)如圖③，直線/為團(tuán)ABCD外的任意一條直線，過A、B、C、。分別作直線/的垂線段BE、AF,CG、

DH,請(qǐng)?zhí)剿骶€段BE、AF,CG、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖③

【考點(diǎn)題型九】選擇或補(bǔ)充條件證明兩個(gè)三角形相似

解題方法：判定兩個(gè)三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法.有時(shí)條件不具備，需從以下幾個(gè)方面探求：

1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；

2）兩個(gè)三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；

3）兩個(gè)三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；

4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；

5）條件中若有等腰三角形，可找頂角相等，或找底角相等，或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.

1.（22-23九年級(jí)上?江蘇泰州?期末）如圖，點(diǎn)E為△48C外兩點(diǎn)，給出下列信息：①4BAD=4CAE；

?^ADB=AAEC；?AABC=^ADE.

請(qǐng)從上述三條信息中選擇兩條作為補(bǔ)充條件，余下的一條作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并說明理由.你選擇

的補(bǔ)充條件是，結(jié)論是.（填寫序號(hào)）

2.（22-23九年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）如圖，N1=N2

（1）要使△ABC“△ADE,需要添加什么條件，說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果4B=24D,DE=2,貝ijBC=_

3.（20-21九年級(jí)上.江蘇鎮(zhèn)江.期末）如圖，已知華=華.

ADAE

（1）添加條件（答案不唯一，寫出一個(gè)即可），使得△ABC“△4DE；

（2）由（1）,你還能得到哪兩個(gè)三角形相似？說明理由.

AE

BD

【考點(diǎn)題型十】利用相似三角形的性質(zhì)求解

解題方法：利用相似三角形的性質(zhì)可推得成比例線段，從而建立等式求得未知線段的長.在中考題中常常運(yùn)

用相似三角形的面積比等于相似比的平方解決與幾何圖形面積相關(guān)的問題.

1.（23-24九年級(jí)上.江蘇揚(yáng)州.期末）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：

5,且三角板的一邊長為10cm.則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長為（）

A.25cmB.12cmC.4cmD.3.2cm

（23-24九年級(jí)上.江蘇無錫?期末）如圖，△ADCsZkBAC,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

AD_DC

A./.ADC=A.BACAB—BC

C.以平分/BCDD.AC2=BC-CD

3.（23-24九年級(jí)上?北京門頭溝.期中）如圖，在AABC中，D、E分別是邊4B、4C上的點(diǎn)，且DEIIBC,若

AD:DB=2:3,貝IJAADE與AABC的面積比等于.

4.（22-23九年級(jí)下?江蘇南京?期中）如圖，在平行四邊形A8CD中，點(diǎn)E在4D上，AE=2ED,射線BE交

CD的延長線于點(diǎn)R若SADE尸=L貝US"CF的值為.

F

AE

D

B

【考點(diǎn)題型十一】相似三角形性質(zhì)與判定綜合

1.（23-24九年級(jí)上.江蘇揚(yáng)州.期末）如圖，正方形2BCD的邊長為4,BF=1,E為4B的中點(diǎn).

求證:

{\)^AEDS&BFE.

(2)￡T1ED.

2.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?期末）如圖，在四邊形ABC。中，點(diǎn)、E,尸在邊BC上，連接2E,AF,DF,

A—B=—AE,Z.BAAFV=Z.LEA4DC.

AFAD

D

(2)若NB=NC,AB=5,^1=|,貝UCF=_.

3.（23-24九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）如圖