專題18二元一次方程組的實際問題

考點一行程問題

考點二分配問題

專題18二元一次

方程組的實際問題

考點三打折銷售問題

考點四其它問題

考點一行程問題

【方法點撥】掌握路程、速度、時間之間的關(guān)系：路程=速度X時間

選擇題(共1小題)

1.(2019?南江縣校級模擬)甲乙兩地相距360千米，一輪船往返于甲、乙兩地之間，順?biāo)写?8小時,

逆水行船用24小時，若設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，水流速度為y千米/時，則下列方程組中正確

的是()

[18(%4-y)=360

A?l24(x-y)=360

[18(%+y)=360

0124(%+y)=360

r[18(%—y)=360

124(%-y)=360

C18(x-y)=360

I24(x+y)=360

【思路點撥】兩個等量關(guān)系為：順?biāo)畷r間x順?biāo)俣?360；逆水時間X逆水速度=360,把相關(guān)數(shù)值代

入即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可得，順?biāo)俣?工+乃逆水速度=、-歹，

???根據(jù)所走的路程可列方程組為借"貿(mào)：360-

故選：A.

【點睛】考查用二元一次方程組解決行程問題；得到順?biāo)烦碳澳嫠烦痰牡攘筷P(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；

用到的知識點為：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度.

二.填空題（共1小題）

2.（2019?富順縣校級期末）李明同學(xué)早上騎自行車上學(xué)，中途因道路施工步行一段路，到學(xué)校共用時15

分鐘，他騎自行車的平均速度是250米/分鐘，步行的平均速度是80米/分鐘，他家離學(xué)校的距離是2900

米.如果設(shè)他騎自行車和步行的時間分別為x、y分鐘，則列出的方程組是—呂蔡；捻=2900—.

【思路點撥】由題意可得等量關(guān)系：①騎自行車和步行的時間和為15分鐘；②騎自行車路程+步行的路

程=2900米，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可.

【解答】解：設(shè)他騎自行車和步行的時間分別為x分鐘、y分鐘，由題意得：

[%+y=15

l250x+80y=2900,

故答案為:（250%+80y=2900-

【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量

關(guān)系.

三.解答題（共2小題）

3.黃玉騎自行車去香山，她先以8千米/時的速度走平路，而后又以4千米/時的速度上坡到達香山，共用

了1.5小時，返回時，先以12千米/時的速度下坡，而后以9千米/時的速度度過平路，回到原出發(fā)點，

共用去55分鐘，求從出發(fā)點到香山的路程是多少千米？

【思路點撥】設(shè)平路為x千米，坡路為y千米，根據(jù)往返的用時不同可得到兩個關(guān)于x、y的方程，求方

程組的解即可，然后求x、y的和即得從出發(fā)點到香山的路程.

【解答】解：設(shè)平路為x千米，坡路為y千米，根據(jù)題意得：

償+

[84

]X,y_55，

（9+12-60

解得：｛?。?/p>

貝！|%+y=6+3=9（千米）.

答：從出發(fā)點到香山的路程是9千米.

【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量

關(guān)系，列方程求解.

4.（2019?雅安）甲、乙二人在一環(huán)形場地上從/點同時同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分鐘兩

人首次相遇，此時乙還需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環(huán)形場地的周長.（列方程

（組）求解）

【思路點撥】設(shè)乙的速度為X米/分，則甲的速度為2.5X米/分，環(huán)形場地的周長為y米，根據(jù)環(huán)形問題的

數(shù)量關(guān)系，同時、同地、同向而行首次相遇快者走的路程-慢者走的路程=環(huán)形周長建立方程求出其解

即可.

【解答】解：設(shè)乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環(huán)形場地的周長為y米，由題意，得

（2.5xX4—4x=y

14%+300=y'

即16%—y=°

即14%-y=-300

解得：｛二揶，

乙的速度為：150米/分，

甲的速度為：2.5X150=375米/分；

答：乙的速度為150米/分，甲的速度為375米/分，環(huán)形場地的周長為900米.

【點睛】本題考查了列二元一次方程組解環(huán)形問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，解答時運用環(huán)

形問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵.

考點二分配問題

【方法點撥】找出量與量之間的數(shù)量關(guān)系

一.選擇題（共2小題）

1.（2019?株洲）“雞兔同籠”是我國民間流傳的詩歌形式的數(shù)學(xué)題：“雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露,

看來腳有100只，幾多雞兒幾多兔”解決此問題，設(shè)雞為x只，兔為〉只，則所列方程組正確的是（）

.[x+y-36fx+y-36

A

-lx+2y=100B.[4x+2y=100

?Cx+y=36（x+y=36

I2x+4y=100l2x+2y=100

【思路點撥】首先明確生活常識：一只雞有一個頭，兩只腳；一只兔有一個頭，四只腳.

此題中的等量關(guān)系為：①雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=36只；②2火雞的只數(shù)+4X兔的只數(shù)=100只.

【解答】解：如果設(shè)雞為x只，兔為y只.根據(jù)“三十六頭籠中露”，得方程x+y=36；根據(jù)“看來腳有

100只”，得方程2x+4y=100.

即可列出方程組｛幺?）2100.

故選：C.

【點睛】根據(jù)實際問題中的條件列方程組時，要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語，找出等量關(guān)系，列

出方程組.本題要用常識判斷出隱藏的條件.

2.（2019?集美區(qū)模擬）用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個，或制盒底40個，一個盒身與兩個盒

底配成一套罐頭盒.現(xiàn)有36張白鐵皮，設(shè)用x張制盒身，＞張制盒底，恰好配套制成罐頭盒.則下列方

程組中符合題意的是（）

（x+y=36Cx+y=36

A-ly=2x段125%=2X40y

（x+y=36（x+y=36

c.]25x=^yD.空=上

【思路點撥】根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是（1）盒身的個數(shù)義2=盒底的個數(shù)；（2）制作盒身的

白鐵皮張數(shù)+制作盒底的白鐵皮張數(shù)=36,列方程組即可.

【解答】解：設(shè)用龍張制作盒身，y張制作盒底，

根據(jù)題意得：卜-4Oy,

故選：C.

【點睛】此題考查二元一次方程組問題，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解.注意運用本題中隱含的一個相等關(guān)系“一個盒身與兩個盒底配成

一套盒”.

考點三打折銷售問題

【方法點撥】利潤、售價、進價、標(biāo)價、折扣之間的關(guān)系：①利潤=售價一進價；②售價=標(biāo)價*5（"為

折扣）

一.選擇題（共2小題）

1.（2019?武侯區(qū)期末）在文體專賣店，小明買了6張卡片和4支筆，店員優(yōu)惠了1元，實際收費17元；

小王買了5張卡片和10支筆，店員八折優(yōu)惠，實際收費28元.若卡片每張x元，筆每支y元，則所列

二元一次方程組正確的是（）

[6%+4y=17+1

A.〔5%+10y=28x0,8

[6%+4y=17+1

B.15%+lOy=28+0.8

[6x+4y=17—1

C.15%+lOy=28x0,8

[6%+4y=17—1

D.15%+10y=28+0.8

【思路點撥】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①6張卡片的錢+4支筆的錢=17+1元；②5張卡片的錢+10支筆

的錢=28+0.8,根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可.

【解答】解：若卡片每張x元，筆每支y元，由題意得:

(6x+4y=17+1

I5x+10y=28^0.8,

故選:B.

【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)花費列出方

程.

2.(2019?金牛區(qū)期末)某公司去年的利潤(總產(chǎn)值-總支出)為300萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了

20%,總支出比去年減少了10%,今年的利潤為980萬元，如果去年的總產(chǎn)值尤萬元，總支出y萬元，

則下列方程組正確的是()

Afx-y=300

1(1+20%)x-(1-10%)y=980

(x—y=300

1(1-20%)x-(1+10%)y=980

廠［%—y=300

l20%x-10%y=980

(x—y=300

1(1-20%)x-(1-10%)y=980

【思路點撥】分別根據(jù)：去年總產(chǎn)值-去年總支出=300和今年增加后的總產(chǎn)值-今年減少后的總支出=980,可列方程

組.

【解答】解：設(shè)去年的總產(chǎn)值1萬元，總支出y萬元，

根據(jù)題意可列方程組：+20^x-(1-10%)y=980，

故選：A.

【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到蘊含的相等關(guān)系.

解答題(共4小題)

3.(2019?成都期末)用二元一次方程組求解某商場購進商品后，加價40%作為銷售價，商場搞優(yōu)惠促銷,

決定由顧客抽簽確定折扣.某顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到七折和九折，共付款399元.兩種商

品原銷售價之和為490元.則兩種商品進價分別為多少元？

【思路點撥】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題.

【解答】解：設(shè)甲種商品進價為。元，乙種商品進價為6元，

(?<2(1+40%)x0.7+b(l+40%)x0.9=399

ta(l+40%)+b(l+40%)=490

解得,(ft=200,

答：甲乙兩種商品進價分別為150元、200元.

【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組.

4.（2019?廬陽區(qū)期末）某汽車專賣店銷售/、8兩種型號的新能源汽車，上周售出1輛/型車和3輛8型

車,銷售額96萬元，本周己售出2輛/型車和1輛B型車，銷售額為62萬元.

（1）求每輛/型車和5型車的售價各是多少？

（2）隨著汽車限購限號政策的推行，預(yù)計下周起48兩種型號的汽車價格在原有的基礎(chǔ)上均有上漲,

若/型汽車價格上漲加％,8型汽車價格上漲3加％,則同時購買一臺/型車和一臺2型車的費用比漲價

前多12%,求加的值.

【思路點撥】（1）每輛/型車和8型車的售價分別是x萬元、y萬元.則等量關(guān)系為：1輛/型車和3

輛8型車，銷售額為96萬元，2輛/型車和1輛8型車，銷售額為62萬元；

（2）根據(jù)：'7型汽車價格上漲的部分+8型汽車價格上漲的部分=同時購買N、8型汽車比原價高的部

分”列方程求解可得.

【解答】解：（1）設(shè)每輛/型車和5型車的售價分別是x萬元、y萬元.則

[%+3y=96

L2x+y=62，

解得｛二基

答：每輛/型車的售價為18萬元，每輛8型車的售價為26萬元；

（2）根據(jù)題意，得：18Xm%+26X3相％=（18+26）X12%,

解得：m=5.5,

答：加的值為5.5.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用.解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到

關(guān)鍵描述語，進而找到所求的量的等量關(guān)系.

5.（2019?椒江區(qū)校級期中）“全民閱讀”深入人心，好讀書，讀好書，讓人終身受益.我校上月舉辦了“讀

書節(jié)”活動.為了表彰優(yōu)秀，主辦單位王老師負責(zé)購買獎品.他發(fā)現(xiàn)：若以2支鋼筆和3本筆記本為一

份獎品，則可買60份獎品；若以2支鋼筆和6本筆記本為一份獎品，則可以買40份獎品.設(shè)鋼筆單價

為x元/支，筆記本單價為y元/本.

（1）請用x的代數(shù)式表示y.

（2）若用這錢全部購買筆記本，總共可以買幾本？

（3）若王老師用這錢恰好買30份同樣的獎品，可以選擇。支鋼筆和6本筆記本作為一份獎品（兩種獎

品都要有），請求出所有可能的。、b值.

【思路點撥】（1）根據(jù)兩種購買方案總錢數(shù)相同，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程，化簡后即可得出

結(jié)論；

（2）根據(jù)數(shù)量=總錢數(shù)+單價結(jié)合（1）結(jié)論，即可求出能夠購買筆記本的本數(shù)；

（3）根據(jù)總錢數(shù)為定值結(jié)合（1）結(jié)論，即可得出關(guān)于0、6的二元一次方程，再根據(jù)0、6均為正整數(shù),

即可求出二元一次方程的所有正整數(shù)解，此題得解.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：60（2x+3y）=40（2x+6y）,

2

化簡得：y=

（2）60（2x+3y）+y=360.

答：若用這錢全部購買筆記本，總共可以買360本.

（3）根據(jù)題意得：60（2x+3y）=30Cax+by）,

即4x+6y=ax+by,

2、2

把y=夢代入得：4x+4x=ox+-

2

整理得：a+~h—S.

-：a,6均為正整數(shù)，

??.6為3的整數(shù)倍，

二當(dāng)6=3時，a=6；當(dāng)6=6時，a=4；當(dāng)6=9時，a=2.

.（a=6fa=4（a=2

,*IZ>=3,th=6,b=9,

【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)兩種購買方案總錢數(shù)相同，列出關(guān)

2

于x、y的二元一次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計算；（3）根據(jù)總錢數(shù)為定值結(jié)合丁=夢，列出關(guān)于

a、6的二元一次方程.

6.（2019?蕪湖）某縣政府打算用25000元用于為某鄉(xiāng)福利院購買每臺價格為2000元的彩電和每臺價格為

1800元的冰箱，并計劃恰好全部用完此款.

（1）問原計劃所購買的彩電和冰箱各多少臺；

（2）由于國家出臺“家電下鄉(xiāng)”惠農(nóng)政策，該縣政府購買的彩電和冰箱可獲得13%的財政補貼，若在不

增加縣政府實際負擔(dān)的情況下，能否多購買兩臺冰箱？談?wù)勀愕南敕?

【思路點撥】（1）應(yīng)先找出等量關(guān)系列出方程求解.本題的等量關(guān)系為“計劃恰好全部用完此款”.

（2）“縣政府購買的彩電和冰箱可獲得13%的財政補貼，若在不增加縣政府實際負擔(dān)的情況下”為此題

的等量關(guān)系，列方程求解.

【解答】解:（1）設(shè)原計劃購買彩電x臺，冰箱y臺，根據(jù)題意得：

2000x+1800y=25000,

化簡得：10x+9y=125.

Vx,y均為正整數(shù)，

??x=8,y=5,

答：原計劃購買彩電8臺和冰箱5臺；

（2）該批家電可獲財政補貼為：25000X13%=3250（元）

由于多買的冰箱也可獲得13%的財政補貼，實際負擔(dān)為總價的87%.

32504-（1-13%）?3735.6>2X1800.

可多買兩臺冰箱.

答：（2）能多購買兩臺冰箱.

我的想法：可以拿財政補貼款3250元，再借350元，先購買兩臺冰箱回來，再從總價3600元冰箱的財

政補貼468元中拿出350元用于歸還借款，這樣不會增加實際負擔(dān).

【點睛】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，找出關(guān)鍵的描述語：“計劃恰好全部用完此款”.列出方程，再

求解.

考點四其它問題

【方法點撥】找出等量關(guān)系與不等關(guān)系列出對應(yīng)的二元一次方程組或一元一次不等式（組）即可。

一.解答題（共4小題）

1.（2018秋?武侯區(qū)期末）列方程（組）解應(yīng)用題

《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，也是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)

學(xué)體系的形成.《九章算術(shù)》早在隋唐時期即已傳入朝鮮、日本并被譯成日、俄、德、法等多種文字版

本.書中有如下問題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價各幾何？

大意是：有幾個人一起去買一件物品，如果每人出8元，則多了3元；如果每人出7元，則少了4元錢,

問有多少人？該物品價值多少元？

【思路點撥】設(shè)有x人，該物品價值y元，根據(jù)“如果每人出8元，則多了3元；如果每人出7元，則

少了4元錢”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)有x人，該物品價值y元，

根據(jù)題意得：^

解得:g：53-

答：有7人，該物品價值53元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

2.（2019?哈爾濱模擬）某公園的門票價格規(guī)定如下表:

購票人數(shù)1-50A51-100人100人以上

每人門票價5元4.5元4元

某校初一甲、乙兩班共103人（其中甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)）去游該公園，如果兩班都以班為單位分別

購票，則一共需付486元.

（1）如果兩班聯(lián)合起來，作為一個團體購票，則可以節(jié)約多少錢？

（2）兩班各有多少名學(xué)生？（提示：本題應(yīng)分情況討論）

【思路點撥】第一問顯然用算術(shù)方法即可解答.

第二問是分情況討論題，經(jīng)分析顯然主要對乙班人數(shù)分情況討論即可.

【解答】解：（1）V103>100

每張門票按4元收費的總票額為103X4=412（元）

可節(jié)省486-412=74（元）

答：如果兩班聯(lián)合起來，作為一個團體購票，則可以節(jié)約74元錢.

（2）?.?甲、乙兩班共103人，甲班人數(shù)〉乙班人數(shù)

.,?甲班一定大于50人.又由兩班都以班為單位分別購票，則一共需付486元這一條件，甲班一定小于

100人.甲班票價按每人4.5元計算.下就乙班人數(shù)分析：

①若乙班少于或等于50人，設(shè)乙班有x人，則甲班有（103-%）人，依題意，得

5x+4.5（103-%）=486

解得x=45,

A103-45=58（人）

即甲班有58人，乙班有45人.

②若乙班此時也大于50人，而103義4.5=463.5<486.應(yīng)舍去.

答：甲班有58人，乙