2024-2025學(xué)年度高二年級(jí)上學(xué)期綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)二

數(shù)學(xué)學(xué)科

一、單選題（每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意.請(qǐng)將正確

答案的序號(hào)填涂在答題卡上）

1.直線氐一〉一3=°的傾斜角為（）

兀兀兀2兀

A.-B.-C.-D.—

3643

【答案】A

【解析】

【分析】先求出直線斜率，再根據(jù)傾斜角的范圍即可求解.

【詳解】設(shè)直線的后—y—3=0的傾斜角為。，且。式0,兀），

直線—y—3=0的斜率比=tana=，所以a=

故選：A

2.已知直線a的方向向量為￡,平面a的法向量為下列結(jié)論成立的是（）

A.若￡//￡,則a//aB.若之,人則a_La

C若，則aJ_aD.若Z_LZ則a//a

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線的方向向量和平面分法向量的關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€。的方向向量為平面a的法向量為

由￡//￡，可得a_La，所以A不正確，C正確；

對(duì)于B中，由可得a//a或aua,所以B、D都不正確；

故選：C.

3.已知圓。：/+/+機(jī)x+l=0的面積為兀，則加=（）

A.±2B.+272C.+472D.±8

【答案】B

第1頁(yè)/共19頁(yè)

【解析】

【分析】由題意確定圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式建立方程，解之即可求解.

【詳解】因?yàn)閳A。：/+/+加工+1=0,即[x+g[

2

所以S=兀7°=((-1)兀=兀，解得加=±2丁^.

故選：B.

4.己知兩點(diǎn)2(-3,2),8(2,1),過(guò)點(diǎn)尸(0,-1)的直線/與線段N3(含端點(diǎn))有交點(diǎn)，則直線/的斜率的

取值范圍為()

A.1]U[1,+0°)B.[-1,1]C.[一叫一,]u[l,+oo)D.——,1

【答案】A

【解析】

【分析】求出直線P/、網(wǎng)的斜率后可求直線/的斜率的范圍.

故直線/的取值范圍為O(1,+。)，

故選：A.

5.已知40,1,1),5(2,—1,0),。(3,5,7),。(1,2,4),則直線48和直線CD所成角的余弦值為()

A572205V22c2V22c2V22

66663333

【答案】A

【解析】

【分析】算得益=(2,-2,-1),西=(-2,-3,-3),結(jié)合向量夾角的坐標(biāo)公式即可求解.

【詳解】=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),

第2頁(yè)/共19頁(yè)

\_阿。|_—4+6+35^/22

所以直線48和直線CD所成角的余弦值為cos（JB,CD

'|AS|-|CD|3,4+9+966

故選：A.

6.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-Z0GA中，E，P分別為棱AA,,8片的中點(diǎn)，G為棱4以上的一

點(diǎn)，且4G=4（0<2<2）,則點(diǎn)G到平面AEE的距離為（）

C2同D.竽

B.V2

'3

【答案】D

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，。。所在直線為N軸，DA所在直線為z軸，建立如圖

則G(2,4,2),2(0,0,2),￡(2,0,1),尸(2,2,1),

所以函=(—2,0,1),麗=(0,2,0),EG^(O,A,l).

n-ED1=—2x+z=0

設(shè)平面QEE的法向量為力=（x）,z）,貝卜

n-EF=2y=0

取x=l,得%(1,0,2),

EGn2245

所以點(diǎn)G到平面D[EF的距離為d=

故選：D.

7.若動(dòng)點(diǎn)拉（西,%），N（%,y2）分別在直線x+,v+7=0與直線x+y+5=0上移動(dòng)，則兒W的中點(diǎn)尸

到原點(diǎn)的距離的最小值為（）

第3頁(yè)/共19頁(yè)

A.24>B.3GC.372D.2V2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出點(diǎn)尸的軌跡，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.

【詳解】解：由題意知，的中點(diǎn)尸的軌跡為平行于兩直線且到兩直線距離相等的直線，故其方程為

x+y+6=0,

尸到原點(diǎn)的距離的最小值為d-5正一3,2.

故選：C

8.邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-451GA中，」E,廠分別是44i，4A中點(diǎn)，〃是。8靠近5的四等分

點(diǎn)，P在正方體內(nèi)部或表面，DP-^EF+MF)=0,則麗的最大值是()

A.1B.—c.V2D.V3

2

【答案】D

【解析】

333

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x/,z),從而求得-+=再根據(jù)向量模長(zhǎng)公式結(jié)合

0<x<l,0<y<l即可求解.

—R

【詳解】

B

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸

則￡>(0,0,0),￡]1,0,3；/13,0,1；河11,：川，

所以0,；1板=11,

則EF+A/F=,

1442)

因?yàn)辂?(而+/)=0,又赤=(x,y,2)

第4頁(yè)/共19頁(yè)

所以一3x—3v+,z=0,即2=X+■,

4422

所以1詞2=x2+j2+z2=x2+y2

又0<x<l,0<y<l,所以f+了2+[￡|2]wi+i+1『]=3,當(dāng)且僅當(dāng)》=了=1,止匕時(shí)z=l

時(shí)，等號(hào)成立，

所以|加|的最大值是g.

故選：D.

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.如圖，四棱柱ABC。—481GA中，/為的中點(diǎn)，。為上靠近點(diǎn)4的五等分點(diǎn)，則（）

—?—-1—-1—.

AAM=AB+-AD+—AA,B.2AM=AB+2AD+AA

.321X

—■1—■3—?3—

C.AQ=-AB+-AD+-AA.D.5AQ=^B+AD+AAA

5451i

【答案】BD

【解析】

【分析】運(yùn)用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運(yùn)算規(guī)則可解.

【詳解】AM=AB+BC+CM=AB+AD+^^CD+CC^

—AB+AD—ABH—AA,——AB+AD—441，

221221

即2標(biāo)=75+27萬(wàn)+石，故A錯(cuò)誤、B正確；

AQ=AAl+A^Q=AAl+^A^C=AAl+j^Di+D^Cl+qC)

—(■1/—>—>—*\1—*1—*4—*

^AA+-\AD+AB-AAA^-AB+-AD+-AA,

15V"555i

即5而=75+石+4數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確.

第5頁(yè)/共19頁(yè)

故選：BD.

10.已知兩條直線4的方程分別為3x+4y+12=0與辦+8〉—11=0,下列結(jié)論正確的是（）

7

A.若〃/乙，則a=6B,若IJh，則兩條平行直線之間的距離為a

32

C.若4J_，2，則。=彳D.若aw6,則直線4一定相交

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行求出。的值，可判斷A選項(xiàng)；利用平行線間的距離公式可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)兩直

線垂直求出。的值，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)兩直線相交求出。的范圍，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】?jī)蓷l直線4，4的方程分別為3x+4y+12=0與ax+8y-11=0,它們不重合，

若/J4，貝44a=3x8,得。=6,檢驗(yàn)符合，故A選項(xiàng)正確；

若1加2,由A選項(xiàng)可知，I2：6x+8v-ll=0,直線4的方程可化為6x+8y+24=0,

111+2417

故兩條平行直線之間的距離為＞?=一,故B選項(xiàng)不正確；

V36+642

32

若4JL/2,則3a+4x8=0,得。=一§,故C選項(xiàng)不正確；

由A選項(xiàng)知，當(dāng)a=6時(shí)，所以若則直線4一定相交，故D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

11.如圖，在多面體Z8CDES中，5/，平面25。）,四邊形Z3CD是正方形，旦DEIISA,

SA=AB=2DE=2,M,N分別是線段8C,S3的中點(diǎn)，。是線段。C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)

D,C）,則下列說(shuō)法正確的是（）

S

A.存在點(diǎn)。，使得NQJ_S8

B.存在點(diǎn)0,使得異面直線N。與雙所成的角為60°

2

C.三棱錐體積的最大值是］

第6頁(yè)/共19頁(yè)

D.當(dāng)點(diǎn)。自。向。處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線。。與平面。MN所成的角逐漸增大

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A,利用異面直線的向量

夾角公式計(jì)算判斷B,連接AQ,AM,AN,結(jié)合錐體體積公式，利用等體積法判斷C,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)

sin，

算表示線面角的正弦值,然后利用二次函數(shù)及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，彳瓦石，樂(lè)正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,Z）（0,2,0）,￡（0,2,1）,5（0,0,2）,N（l,0,l）,"（2,1,0）；

對(duì)于A,假設(shè)存在點(diǎn)。（機(jī),2,O）（O＜機(jī)＜2）,使得N0LS5,

則而=（切—1,2,—1）,又豆=（2,0,—2）,

所以福?豆=2（掰—1）+2=0,解得機(jī)=0,即點(diǎn)0與。重合時(shí)，NQLSB,A正確;

對(duì)于B,假設(shè)存在點(diǎn)0（m,2,0）（0〈機(jī)W2）,使得異面直線N。與雙所成的角為60°,

因?yàn)槎?（m—1,2,—1）,S4=（O,O,-2）,

1

所以cosN0,SZ=--方程無(wú)解；所以不存在點(diǎn)。，B錯(cuò)誤;

第7頁(yè)/共19頁(yè)

對(duì)于C,連接NQMM/N,設(shè)。。=加(04機(jī)42),

因?yàn)镾"MQ~S口ABCD-S“BM~^QCM~^ADQ=2一彳，

所以當(dāng)加=0,即點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，取得最大值2；

又點(diǎn)N到平面AMQ的距離d=工￡4=1,

2

所以(VQ-AMN)max=^N-AMQLx='2X1=g,C正確；

對(duì)于D,由上分析知：NQ=(m-l,2,-l),2W=(1,1,-1),

/、[m-NO=(m-l)x+2y-z=0

若應(yīng)=(x,y,z)是面NMQ的法向量，則一.二,)?

in-NM—x+y—z=0

令i=1,則成=(1,2-加,3-加)，

因?yàn)榉?（2,0,0）,設(shè)直線。C與平面所成的角為。，0,|

1「1

所以M-H11+（2-加『+（3—加）2（,_目\!，

當(dāng)點(diǎn)。自。向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)的值由0到2變大，此時(shí)sin。也逐漸增大,

兀

因?yàn)閥=sinx在0,-為增函數(shù)，所以。也逐漸增大，故D正確.

故選：ACD

三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分.）

12.已知點(diǎn)尸（4,-2）,點(diǎn)A為圓工2+/=4上任意一點(diǎn)，則PN連線的中點(diǎn)軌跡方程是—

【答案】（X-2）2+（y+l）2=l

【解析】

【分析】首先設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為0（x，N），再設(shè)出相關(guān)點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求解.

【詳解】設(shè)尸/連線的中點(diǎn)為。（X,力,則幺（2x—4,2>+2）,

則（2x-4）2+（2y+2）2=4,即（x—2）2+（v+l）2=1.

故答案為：（x—2y+（y+iy=1

第8頁(yè)供19頁(yè)

13.已知點(diǎn)尸(-2,-1)和直線7:(1+22)x+(1-32)y+2—2=0,則點(diǎn)尸到直線/的距離的取值范圍是

【答案】

【解析】

【分析】先求得直線/的定點(diǎn)，進(jìn)而求得點(diǎn)P到直線/的最大距離，然后檢驗(yàn)點(diǎn)尸(-2,-1)是否可能在直線/

上即可

【詳解】/:(1+2幾)%+(1—+X—2=0可化為：x+y—2+(2x—3y+1)幾=0

x~\~y—2—0

設(shè)直線/的定點(diǎn)為A,點(diǎn)P到直線/的距離為d,則有：〈

2x-3y+1=0

可得：2(1,1)為直線/的定點(diǎn)

則有：附=，32+22=岳,此時(shí)上訓(xùn)為點(diǎn)p到直線/的最大距離

若尸(一2,-1)在直線/上，則有：—2—1—2+(—4+3+1)4=0,即—5=0

可得：尸(-2,-1)不可能在直線/上，則有：d>0

綜上可得：

故答案為：(0,歷］

14.如圖，已知點(diǎn)A是圓臺(tái)的上底面圓。上的動(dòng)點(diǎn)，民C在下底面圓。上，AOX=1,0a=2,

BO=3,BC=2#，則直線NO與平面Q8C所成角的正弦值的最大值為.

【答案】—

10

【解析】

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求

線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.

【詳解】解：連接。C,過(guò)C點(diǎn)作CH垂直于8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐

標(biāo)系如下所示：

第9頁(yè)/共19頁(yè)

故c°sB=OB』C2-OC2=9+20?=g

20BBC2x3x2石3

則B"=BCcos8=

則CH=^BC2-BH2=,20—；=；,

OH=BH-OB=-,

3

故點(diǎn)c1—；,半,o]，又0(0,0,0),a(0,0,2),8(3,0,0),

I33J

設(shè)點(diǎn)2(根,%2),m,we[-l,l],由。/=1,可得加？+〃2=i，

BC=-,BOX=(-3,0,2),

設(shè)平面OXBC的法向量訪=(x,y,z),

104A/5

m-5C=0-■-XH---J-=0

則—.，即33

、

m-BO—0—3x+2z—0

取天=石，則x=2,z=3,

故平面QBC的法向量成=(2,百,3卜

又OA=(m,小2),

7T

設(shè)直線NO與平面Q8C所成角為。，0,-

第10頁(yè)/共19頁(yè)

2m+y[5n+6|

7T；-I和OA2m+y[Sn+6

則sin0=cosQ4,M=?J_>1

|m|tM3y/2xy/m2+H2+43V10

因?yàn)榧?〃￡[―1,1],且加2+〃2=],

故令加=cos。，n=sina,aw（0,2?），

則2加+君〃+6=君5也1+2（：05<2+6=35111（（2+0）+6,tancp=,（p&

又ae(0,2〃)，所以sin(a+9)e[-l,l],

3sin(?+^)+6e[3,9],即2機(jī)+&n+6G[3,9],

所以sin0的最大值為一T==3^^.

3V1010

故答案為：巫.

10

四、解答題(本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

15.在區(qū)14幺8。中，ZBAC=90°,8c邊上的高幺。所在直線的方程為x—2y+2=0,//的平分線

所在直線的方程為＞=0,點(diǎn)2的坐標(biāo)為(1,3).

(1)求直線8c的方程；

(2)求直線ZC的方程及點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴2x+y-5=0

(2)直線/C的方程為：y=-X-2,C(7,-9)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)垂直的位置關(guān)系，算出直線5c的斜率為-2,利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)整理

即可得到直線8c的方程；

第11頁(yè)/共19頁(yè)

(2)由8c邊的高所在直線方程和y=0,解出4-2,0),從而得出直線48的方程.由直線NC、AB

關(guān)于直線V=0對(duì)稱，算出ZC方程，最后將ZC方程與8c方程聯(lián)解，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo).

【小問(wèn)1詳解】

由于所在直線的方程為x—27+2=0,故幺。的斜率為

2

???BC與AD互相垂直，，直線BC的斜率為k=-2,

結(jié)合8(1,3),可得8C的點(diǎn)斜式方程：j-3=-2(x-l),

化簡(jiǎn)整理，得2x+y-5=0,即為所求的直線8c方程.

【小問(wèn)2詳解】

由x—27+2=0和了=0聯(lián)解，得/(-2,0)

由此可得直線48方程為：匕9=葉2,即y=x+2,

3-01+2

AB,ZC關(guān)于角A平分線x軸對(duì)稱，

???直線ZC的方程為：y=-x-2,

?：直線BC方程為j=-2x+5,

.,.將ZC、8c方程聯(lián)解，得x=7,y=-9,

因此，可得C點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,-9).

16.如圖，在直四棱柱4BCD—451GA中，底面4BCD為矩形，且/&=4B=2ZQ,E,尸分別為

的中點(diǎn).

(1)證明：/尸〃平面&E5.

(2)求平面與平面夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

第12頁(yè)/共19頁(yè)

【解析】

【分析】(1)不妨設(shè)2。=1,建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4助的法向量前，由靜晶=0,得到

AFlm-即可得證；

(2)求出平面的法向量，利用空間向量法計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

不妨設(shè)ZD=1,則幺4=25=2,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,2),5(1,2,0),￡(0,1,2),4(100),尸(0,0,1),D(0,0,0),

所以醒=(—1,1,0),福=(0,2,—2),AF=(-1,0,1),

設(shè)訪=(x,y,z)是平面AXEB的一個(gè)法向量,

m-AyE=-x+y=0

則一.,?。?1,則y=z=l,

mA]B=2y-2z=0

所以平面4班的一個(gè)法向量成=(1,1,1),

又彳斤五=0,所以衣_L而，因?yàn)椤笆?平面4助，所以/尸〃平面4E5.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镈4J_平面AA^B,所以5N=(1,0,0)是平面AB]B的一個(gè)法向量,

m-DA_1V3

又因?yàn)閏os(應(yīng),D1)

同03

所以平面4片8與平面4BE夾角的余弦值為YL

3

第13頁(yè)/共19頁(yè)

17.已知直線（：氣一y—3—4左=0（keR）過(guò)定點(diǎn)尸.

（1）求過(guò)點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線4方程；

（2）若直線4交x軸正半軸于點(diǎn)A,交N軸負(fù)半軸于點(diǎn)8,V48C的面積為S（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的

最小值并求此時(shí)直線4的方程.

【答案】⑴x+〉T=0或尤->-7=0或3x+4y=0

（2）最小值為24,直線4:3x—4y—24=0

【解析】

【分析】（1）求出直線4過(guò)的定點(diǎn)，分。工0,6/0和。=6=0兩種情況，當(dāng)。工0,670時(shí)，設(shè)/的方

程為二+￥=1,根據(jù)。點(diǎn)（4,-3）在直線上求出直線方程，若求出直線方程，若。=-6,求出直

線方程，當(dāng)a=6=0,根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（4,-3）求出直線的方程；

（2）求出直線6交x軸的正半軸的點(diǎn)，交N軸的負(fù)半軸的點(diǎn)，求出VZ08的面積，根據(jù)基本不等式求出

S的最小值時(shí)上的值.

【小問(wèn)1詳解】

直線4：歹+3=左卜一4）,則直線4過(guò)定點(diǎn)尸（4,-3）,

①當(dāng)QW0,時(shí)，設(shè)/的方程為一X+?V=：!.

ab

。點(diǎn)（4,一3）在直線上，.?.3+口=1.

ab

若a=b,則Q=6=1,

直線的方程為x+y=1,

若a=-b,則〃=7,Z?=-7,

???直線的方程為％—V=7；

②當(dāng)。=6=0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（4,一3）,

???直線的方程為3x+4y=0,

綜上所述，所求直線/的方程為》+>-1=0或工-》-7=0或3x+4y=0；

【小問(wèn)2詳解】

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4左+3

令V=0,則x=-------；令x=0,則y=-4k-3,

k

4左+3、

直線4交x軸的正半軸于點(diǎn)/—^,0,交歹軸的負(fù)半軸于點(diǎn)5(0,—4后—3),k>0,

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)VZ08的面積為S,

11+31（16左+24+,>1-24+2-J16k3、

則S=—?04-05=------------（4左+3）=—=24,

22左2

93

當(dāng)且僅當(dāng)16左=—時(shí)，即左=—時(shí)取等號(hào),

k4

3

故S的最小值為24,此時(shí)y

直線:3%-4j-24=0.

18.如圖，在四棱錐P—4BC。中，平面尸40J_平面48CD,PALPD,AB1AD,PA=PD,

AB=\,AD=2,AC=CD=45

(1)求證：尸。，平面尸45.

(2)求直線與平面尸CD所成角的正弦值.

⑶在棱族上是否存在點(diǎn)使得四〃平面尸⑵？若存在，求出*的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑶存在；；

【解析】

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得48,平面尸Z。，進(jìn)而得Z81P。，再結(jié)合線面垂直的判定定理

進(jìn)行證明即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸CD的一個(gè)法向量，再利用空間向量夾角公式、線面角的定義進(jìn)行

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求解即可；

(3)要使5M7/平面尸CD,則瓦？.1=(),由此列式求解/可得.

【小問(wèn)1詳解】

???平面PAD1平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,

且48_L40,ABu平面ABCD,

.?.48,平面尸40,

???PQu平面0AD,??.A81產(chǎn)。，

又PDLPA,且尸Zn48=Z,尸448u平面尸45,

??.尸。，平面尸4§；

【小問(wèn)2詳解】

取40中點(diǎn)為。，連接C0,尸。，

X--PA=PD,：.POLAD.則4。=尸。=1,

■.-CD=AC=45>..COLAD,則C0=Jzc?—。幺2=^T7=2,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以雙,力,而所在直線為x/,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

則尸(0,0,1),5(1,1,0),Z)(0,-1,0),C(2,0,0),

則麗=(1,1,一1),PD=(O,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),

設(shè)元=(久,y,z)為平面PCD的一個(gè)法向量，

n-PD=0\-y-z=0(1、

則由<_，得:令z=l,貝牖=不—1」.

n-PC=012x-z=0<2)

設(shè)PB與平面PCD的夾角為0,

--1-1

則sin6^=|cos/?,Ps|=n-PB—2=在

宿而g+1+lx百

【小問(wèn)3詳解】

假設(shè)在棱P4上存在點(diǎn)M點(diǎn)，使得加0〃平面PCD.

設(shè)而=4而北［0,1］，

--?uu

由⑵知,/(0,1,0),5(1,1,0),尸(0,0,1),則幺尸=(0,-1,1),區(qū)4=(-1,0,0),

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BM=BA+AM=BA+AAP=(-1,0,0)+(0,-2,2)=(-1,-2,2),

由(2)知平面PCD的一個(gè)法向量H=

——■—11

若BMII平面PCD，則BM-n=----+X=24=0,

22

解得幾=」，又平面PCD,

4

故在棱P4上存在點(diǎn)村點(diǎn)，使得2M〃平面尸Q?,此時(shí)

AP4

19.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，已知向量權(quán)=(。,仇。)，點(diǎn)6(Xo，%),Zo)若直線/以1為方向向量且經(jīng)過(guò)

點(diǎn)4,則直線/的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為三口=匕比(abcwO)；若平面a以￡為法向量且經(jīng)

abc

過(guò)點(diǎn)4,則平面a的點(diǎn)法式方程表示為a(x-Xo)+b(y-yo)+c(z-Zo)=O.

(1)已知直線/的標(biāo)準(zhǔn)式方程為=3,平面內(nèi)的點(diǎn)法式方程可表示為氐+y-2+5=0，

1—V32

求直線I與平面名所成角的余弦值；

(2)已知平面的的點(diǎn)法式方程可表示為2x+3y+z-2=0,平面外一點(diǎn)尸(1,2,1),點(diǎn)p到平面里的距

離；

(3)(i)若集合〃={(工4/)|忖+,區(qū)2,匕歸1},記集合M中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為S,求幾何體S

的體積：

(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+H<2,|j|+|z|<2,|z|+|x|<2).記集合N中