第10講銳角的三角函數(shù)(5種題型)

O【知識梳理】

一.銳角三角函數(shù)的定義

在RtZkABC中，/C=90°.

(1)正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做/A的正弦，記作sinA.

即sinA=NA的對邊除以斜邊=曳.

c

(2)余弦：銳角A的鄰邊6與斜邊c的比叫做/A的余弦，記作cosA.

即cosA=ZA的鄰邊除以斜邊=生.

c

(3)正切：銳角A的對邊a與鄰邊6的比叫做乙4的正切，記作tanA.

即tanA=ZA的對邊除以NA的鄰邊=包.

b

(4)三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的銳角三角函數(shù).

二.銳角三角函數(shù)的增減性

(1)銳角三角函數(shù)值都是正值.

(2)當(dāng)角度在0°?90°間變化時(shí)，

①正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)；

③正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小).

(3)當(dāng)角度在0°W/AW90°間變化時(shí)，OWsinAWl,l》cosA20.

當(dāng)角度在0°<NA<90°間變化時(shí)，tanA>0.

三.同角三角函數(shù)的關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2A+cos2A=l；

(2)正余弦與正切之間的關(guān)系(積的關(guān)系)：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA=EZ&

cosA

或sinA=tanA*cosA.

四.互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

在直角三角形中，NA+NB=90。時(shí)，正余弦之間的關(guān)系為：

①一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的余角的余弦值，即sinA=cos(90°-ZA)；

②一個(gè)角的余弦值等于這個(gè)角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）；

也可以理解成若/A+/B=90°,那么sinA=cosB或sin8=cosA.

五.特殊角的三角函數(shù)值

（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值.

=工.=返；tan30°=返；

sin30°cos30°=

23

=叵

sin45°cos45°=tan45°=1；

22

=我.

sin60°cos60°=工tan60°

22

（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的二角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切

逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記.

（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三

角形中應(yīng)用較多.

一」【考點(diǎn)剖析】

銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）

1.（2023?鏡湖區(qū)校級一模）如圖，RtaABC中，ZC=90°,BC=2,A8=3,則cosB的值是（）

A.夸B-Vc-iD-f

2.（2022秋?蒙城縣期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°，2AB=5BC,貝！IcosB的值

為

3.（2021秋?蕭縣期末）在RtZXABC中，ZC=9Q°,AB=5,BC=3,則tanA的值是（）

A.4B.43D.3

5354

4.（2021秋?安徽月考）如圖，在RtZkABC中，AC=4,BC=3,NC=90°,則sinA的值為（

A

A

二.銳角三角函數(shù)的增減性（共5小題）

5.（2021秋?金安區(qū)校級月考）已知：cosa=/，則a范圍是（）

3

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

6.（2021秋?淮北月考）已知角a為AABC的內(nèi)角，且cosa=2,則a的取值范圍是（）

3

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

7.（2023?安徽模擬）比較大?。簊in81°tan47°（填”或

8.（2022秋?天長市月考）比較大?。簍an40°tan50°（填“>”“=”或

cos30°

9.（2023?安徽一模）解不等式組:

2x-l5x+l7[

三.同角三角函數(shù)的關(guān)系（共6小題）

10.（2021秋?金牛區(qū)校級期中）在△ABC中，NC=90°,tanA=2,則sinA+cosA=

11.（2022秋?宣州區(qū)期末）已知a為銳角，cosa=J,求tana-。叵”二-的值.

31-sina

12.（2022秋?宿州月考）已知NA是銳角，COSA=2,求sinA,tanA的值.

5

13.（2021秋?安徽月考）若sinA=L,則tanA=

2

14.（2023?懷寧縣一模）若NA是銳角，且tanA=2sinA,則NA=.

15.（2021?安慶模擬）已知sin〃=-^-（〃為銳角知則tana

13

四.互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共3小題）

16.（2023春^金安區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，NC=90°,tanA=2,則sinB

（秋?懷寧縣月考）在中，互，則的值為（

17.2022RtZXABCZC=90°,sinA=cosB)

13

B-it0?京D-i

18.（2022秋?池州期末）在RtAACB中，NC=90°,tanA=2遙，則sinB的值為()

A-iB4C.&D.M

五.特殊角的三角函數(shù)值（共16小題）

19.（2023?亳州模擬）計(jì)算2sin30°的值()

c.亨

A.3B.1D.73

20.（2022秋?宣城期末）在中,NC=90°，BC=1,AC=2,下列各式中，正確的是（

A81B-cosA=1CsinA=]D.tanB=-^

A.tanA=-

匹-cosB）2=0,則NC的度數(shù)是（

21.（2020秋?蚌埠月考）在△ABC中,若|sinA--1+(

22

A.45°B.75°C.105°D.120°

B滿足|sinA-(~

22.（2012秋?根陽縣月考）若AABC中，銳角A、I+(cosB—2=0,則△ABC是

)

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

23.（2023?合月巴一模）若0°<a<45°,且sin2Cl=喙，貝”式

度

24.（2022秋?宣城期末）在△ABC中，若sinA=-l,cosB=1人人，NB都是銳角，則NC的度數(shù)

22

是

25.(2023?渦陽縣模擬)(1)計(jì)算：2cos?45°-l+tan30°tan60°；

（2）x.l>3（x-l）-4-

26.（2022秋?寧國市期末）計(jì)算：（-1）2023+2sin45°-cos30°+sin60°+tan260°.

27.（2022秋?長豐縣校級期末）計(jì)算：cos60°-2sin245°+.5-tan230o-sin30°.

2

28.（2022秋?池州期末）計(jì)算：2sin45°-7（cos60°-sin60°）2+^^—.

29.（2022秋?宣城期末）計(jì)算：COS230°+sin245°-tan60°*tan30°

30.（2022秋?定遠(yuǎn)縣期末）計(jì)算:

（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；

⑵sin600-1

tan600-2tan45

31.（2023?廬陽區(qū)一模）計(jì)算：6tan230°-V3sin60o+2tan45°.

32.（2023?池州模擬）計(jì)算：（-2022）0-2tan45°+|-2|+%①.

33.（2023春?蚌埠月考）計(jì)算：sin45°*cos45o-tan60°4-cos30°.

34.（2023?廬陽區(qū)校級一模）計(jì)算：2tan45°-——^―-2sin260°.

sin30

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的正方形網(wǎng)格中，若連接格點(diǎn)

AB,CD,A3與8交于點(diǎn)。，貝UtanNAOD的值為（）

A.1B.^5C.若D.2

2.（2。22秋?安徽六安?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知則銳角A的取值范圍是（）

A.60°<A<80°B.30°<A<80°C.10°<A<60°D.10°<A<30°

3.（2023春?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=1,則有（）

cosA=—B.tanA=2y/1D.tanB=2^2

3

4.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在加AABC中，/C=90°,sinA=N，則cosB的值為（）

13WWWV

131255

A.—B.—C.—D.—

5131312

5.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為/a邊上的任意一點(diǎn)，作AC1BC于點(diǎn)C,

于點(diǎn)。，下列用線段比表示出sin。的值，正確的是（）

AD

灰678

6.（2023春?安徽滁州?九年級?？茧A段練習(xí)）在44BC中，ZA都是銳角，sinA=—,tanB=1,則

2

△ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形

7.（2023?安徽合肥?一模）一個(gè)鋼球沿坡角31。的斜坡向上滾動了5米，此時(shí)鋼球距地面的高度是（單位:

米）（）

A.5cos31°B.5sin31°D.5tan31°

sin31°

8.（2023?安徽淮北?淮北市第二中學(xué)?？级＃┤鐖D，。為Rt^ABC的AC邊上一點(diǎn)，ZC=90°,

c

9.（2021?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，在AABC中，0ACB=9O°,回ABC=26。，BC=5.若用科學(xué)計(jì)算器求邊

AC的長，則下列按鍵順序正確的是（）

C.5xcos26°=D.5xtan26°=

10.（2023?安徽蚌埠??？级＃〦,尸分別是正方形ABCD的兩邊BC,CO的中點(diǎn)，AE,相交于

P,M,N分別是AE,3尸的中點(diǎn)，連接ACV,DP.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AErBFB.DP=ADC.糕='D.翳乎

二、填空題

11.（2023?安徽亳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosC=.

12.（2022秋?安徽合肥?九年級期末）比較大?。簊加48°—co$48。（填">"、"<"或

13.（2023?安徽六安?統(tǒng)考三模）在等腰直角三角形ABC中，?B90?,AB=2,。為的中點(diǎn)，作

AADC關(guān)于AC的對稱圖形AAD'C,并連接OD.

（1）DZ7的長為；；（2）sinZDAD'=.

14.（2023?安徽合肥?一模）若0。<夕<45。，且sin2a=走，則夕=度.

2

15.（2022秋?安徽六安?九年級校考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=1,AD=2,點(diǎn)E為對角線上的

一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFLAE交BC于

（2）E廠長的最小值為.

16.（2023春?安徽合肥?九年級合肥市第四十五中學(xué)校考期中）已知：點(diǎn)尸是“3C內(nèi)一點(diǎn),

ZPBA=ZPCB,3尸與CP的中垂線交于點(diǎn)

（1）ZABM=

（2）若AS=2,NABC=60。，BC=3,則AP的最小值是.

三、解答題

17.（2023?安徽合肥?校聯(lián)考三模）計(jì)算：2sin6（y-3tan3（r+G]+（-1戶”

18.（2023秋?安徽宣城?九年級統(tǒng)考期末）已知。為銳角，cosa=1,求的值.

31-smcr