第16講極值與最值

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)/（X）在點(diǎn)X。附近有定義，如果對(duì)X。附近的所有點(diǎn)都有/（%）＜〃與），則稱/（x0）

是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作y極大值=/（X。）.如果對(duì)無。附近的所有點(diǎn)都有/（幻＞/g）,則

稱/（七）是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作y極小值=/（/）.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱M為

極值點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)/（%）極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)/（尤）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)f'（x）；

（3）求方程（（x）=0的根；

（4）檢驗(yàn)（（x）在方程-（無）=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，

在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)＞=/（尤）在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，

在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/（x）在這個(gè)根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)/（X）在點(diǎn)％處取得極值的充要條件是：/是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即

「（%）=0,且在/左側(cè)與右側(cè)，/'（X）的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②（（%）=0是％為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/（尤）=/,尸（0）=0,但

無。=0不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/（尤）=國，在極小值點(diǎn)

無o=O是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：毛為可導(dǎo)函數(shù)/（x）的極值點(diǎn)=＞「（毛）=0；但

廣（尤°）=O^xo為f（x）的極值點(diǎn).

2、函數(shù)的最值

函數(shù)y=/（x）最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)“X）最小值為

極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者.

2

導(dǎo)函數(shù)為/（x）=ax+bx+c=a（x-xi）（x-x2'）（m＜xx＜x2＜n）

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，最大值是/（占）與/（〃）中的最大者；最小值是了（々）與FO）中的最

小者.

（2）當(dāng)。＜0時(shí)，最大值是了（々）與/X"?）中的最大者；最小值是/（西）與/（九）中的最

小者.

一般地，設(shè)y=/（x）是定義在[m，汨上的函數(shù)，y=八》在（加，〃）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)

>=/（尤）在刖，網(wǎng)上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

（1）求y=/（x）在（〃z,〃）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

（2）將y=八>）的各極值與/'（附和/（〃）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一

個(gè)為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是

最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，

也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

【解題方法總結(jié)】

（1）若函數(shù)〃無）在區(qū)間。上存在最小值〃尤）3和最大值貝U

不等式“X）>。在區(qū)間。上恒成立。/（X）疝n>。；

不等式“尤"。在區(qū)間。上恒成立o“X）疝n>a；

不等式〃x）<b在區(qū)間。上恒成立o/（x）mM<&；

不等式Wb在區(qū)間。上恒成立o1m*Vb；

（2）若函數(shù)〃尤）在區(qū)間。上不存在最大（?。┲担抑涤?yàn)椋ㄗ?，〃），則

不等式/（尤）>a（或/'（x）2a）在區(qū)間D上恒成立="拒a.

不等式〃尤）〈”或/（x）W6）在區(qū)間D上恒成立.

（3）若函數(shù)〃尤）在區(qū)間刀上存在最小值“X）1nhi和最大值，即

f（x）e[m,n],則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式在區(qū)間。上有解oa<〃x）max；

不等式aW/（x）在區(qū)間D上有解oaV1nM；

不等式在區(qū)間。上有解oa>/（無）而。;

不等式在區(qū)間D上有解oaZ/GL；

（4）若函數(shù)〃尤）在區(qū)間。上不存在最大（?。┲担缰涤?yàn)椋ㄏ?，〃），則對(duì)不等式有

解問題有以下結(jié)論：

不等式a<（或aV"尤））在區(qū)間D上有解oa<n

不等式/(x)(或bN〃x))在區(qū)間。上有解oh>相

(5)對(duì)于任意的玉e[〃，句，總存在％w[m,n],使得

/(%)4g(%2)O/&)max?g(%)皿；

(6)對(duì)于任意的石C[Q,可，總存在々4m,可，使得

(7)若存在不￡心,可，對(duì)于任意的/《[m,n],使得

/6)4g㈤O/(%L,4S(々L；

(8)若存在石￡[〃，b],對(duì)于任意的/Mm,n\,使得

/(%)2g(%)O>g(3Lx；

(9)對(duì)于任意的占e[a,b],x2e[m,〃]使得/(占)4g(%)o/(%)皿』g?)血>,；

(10)對(duì)于任意的占w[a,b],馬e[m,〃]使得了(xj2g(x2)o〃尤J1ntoz8仁心；

(11)若存在玉e[a,b]，總存在x2e[m,〃],使得

〃%)(g(%)o〃%)而?(g(馬Lx

(12)若存在不句々，b],總存在馬句111，川，使得

2g⑸O"%UaxNg(%L-

必考題型全歸納

題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

[例1](2024?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)存在一個(gè)極大值/(石)與一個(gè)極小值

滿足〃々)>/&)，則〃x)至少有()個(gè)單調(diào)區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(2024?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)

尸(力的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()

A./(/?)>/(a)>/(c)

B.函數(shù)/(x)在x=c處取得最大值，在尤=e處取得最小值

C.函數(shù)/(X)在X=c處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)“X)的最小值為〃力

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃*)的導(dǎo)函數(shù)為廣(元)，則“y=r(x)

在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)”是尤)在(0,2)上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(2024?廣西南寧?南寧三中校考一模)設(shè)函數(shù)

/(x)=(x-a)(x-Z?)(x-c),a,b,c^R,/'(x)為〃尤)的導(dǎo)函數(shù).

⑴當(dāng)a=〃=c=0時(shí)，過點(diǎn)P(LO)作曲線y=/(x)的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若〃b,b=c,且和尸(x)的零點(diǎn)均在集合，，-2,g,中，求〃尤)的極小值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(2024?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=4-qln(x+b).

(1)證明：當(dāng)。>0力=0時(shí)，，(無)有唯一的極值點(diǎn)為％,并求/(%)取最大值時(shí)馬的值;

⑵當(dāng)6>0時(shí)，討論/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2024?江蘇無錫?校聯(lián)考三模)己知函數(shù)

〃力=1211%+皿1-_￥）,%4-9，1）求〃力的極值；

【解題方法總結(jié)】

1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗(yàn)方程（（x）=0根左右的符號(hào)，更要注意變

號(hào)后極大值與極小值是否與己知有矛盾.

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零.這個(gè)零點(diǎn)必

須穿越無軸，否則不是極值點(diǎn).判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)）；上坡低

頭找極小，下坡抬頭找極大.

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)

[例2]（2024?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃”=加+灰在x=l處取得極大值

4,則〃-/?二（）

A.8B.-8C.2D.-2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練61（2024?陜西商洛?統(tǒng)考三模）若函數(shù)/（%）=三+&+（〃+6）x無極值，則

〃的取值范圍為（）

A.[-3,6]B.（—3,6）

C.—3]"6,+oo）D.（—8,—3）U（6,+8）

InY

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)gx）=—在區(qū)間

x+1

上,eN*）上存在極值，貝心的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（力=：尤2-（i+Qx+ainx在

了=。處取得極小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1,+<?）B.（1,+<?）C.（0,1]D.（0,1）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024?廣東梅州?梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知函數(shù)

=一依（qeR）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍（）

A.（5）B.（0,1）

C.[0,1]D.。,儀）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州市新華中學(xué)校考開學(xué)考試）若x=a是函數(shù)

/（x）=（x-a）2（x-l）的極大值點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.a<1B.a<lC.a>lD.a>l

【解題方法總結(jié)】

根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)

（I）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;

（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性.

題型三：求函數(shù)的最值（不含參）

【例3】（2024?山東淄博?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知函數(shù)〃x）=e'sinx-2x.

⑴求曲線y=f{x）在點(diǎn)（0,7（0））處的切線方程；

⑵求“X）在區(qū)間上的最大值；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練111（2024?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

外力=111%—-在區(qū)間口,可上最大值為必最小值為相，則M-機(jī)的值是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12]（2024?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/（x）=2sinx（l+cosx）,貝I]/（x）

的最大值是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練131（2024?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃無）=.,

2cosx+smx

則函數(shù)“X）的最小值為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x>o,y>o,且In（孫尸=/,則

尤2y-ln%-x的最小值為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練151（2024?海南?？?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)加,〃滿足：

nlnn=e'"-nlnm,則一的最小值為.

m

【解題方法總結(jié)】

求函數(shù)無）在閉區(qū)間儂,句上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值

/（?）,『⑸與〃無）的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

題型四：求函數(shù)的最值（含參）

【例4】（2024?天津和平?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)〃x）=?-alnx,g（x）=（cosx-l）e-\

其中QER.

⑴若曲線y=/（x）在x=l處的切線4與曲線產(chǎn)g（x）在無、處的切線4平行，求。的值；

⑵若x?0,兀）時(shí)，求函數(shù)g（x）的最小值；

（3）若〃尤）的最小值為M。），證明：當(dāng)ae（0,+co）時(shí)，/?（o）<l.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)=+,aeR.討論函

數(shù)〃尤）的最值;

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練171（2024?四川成都?成都七中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

無）=-i（6+a）x2+（8+6a）x-8aln龍一4a,

其中aeR.

⑴若。=2,求的單調(diào)區(qū)間;

（2）已知"2）="4）,求的最小值.（參考數(shù)據(jù)：l<3（3_\n2）<2）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18]（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=ln（l+x）+<zreT.

（1）當(dāng)。=-1時(shí)，討論函數(shù)/（尤）在（0,+e）上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a20時(shí)，求/（無）在內(nèi)的最大值；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19]（2024?湖南長沙?湖南師大附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

/（x）=l+^^lnx-1+lnx^（fe^0）.

⑴若f（x）存在最大值證明：M+k>l；

⑵在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)g（x）=xeK丁-x，求g。）的最小值（用含M，4的代數(shù)式表

示）.

【解題方法總結(jié)】

若所給的閉區(qū)間3,切含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)“X）求導(dǎo)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)

的單調(diào)性，從而得到函數(shù)/（%）的最值.

題型五：根據(jù)最值求參數(shù)

【例5】（2024?四川宜賓?統(tǒng)考三模）己知函數(shù)/（x）=meT+x-lnx（,〃eR）.

⑴討論函數(shù)〃元）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若m>0,的最小值是l+ln〃z,求實(shí)數(shù)機(jī)的所有可能值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）若函數(shù)=g尤3+尤2-2在區(qū)

間（a-4,a）上存在最小值，則整數(shù)。的取值可以是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21］（2024?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=12尤-V在區(qū)間（利-5,2根+1）

上有最小值，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22］（2024?福建泉州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=|x—l|—alnx的最

小值為0,則a的取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024?江蘇南通?高三校考開學(xué)考試）若函數(shù)/（尤）=愴，+。|-工的最小值

為-1,貝!!”=.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24］（2024?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃x）=e"（f2+2x+a）在區(qū)間

（a,a+l）上存在最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25］(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)“無)=；尤3+；尤2-2%+1,若函

數(shù)在(2a-2,2°+3)上存在最小值.則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用

【例6】(2024?天津河北?統(tǒng)考二模)己知a>0,函數(shù)f(x)=xlna-alnx+(x-e)2,其中

e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)°=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)。/⑴)處的切線方程；

⑵當(dāng)。=e時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求證：函數(shù)/(“存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)與的最小值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=2/-3(4+1)/+6辦+1,

其中a￡R.

⑴當(dāng)〃=3時(shí)，求函數(shù)在(0,3)內(nèi)的極值；

⑵若函數(shù)“X)在［L2］上的最小值為5,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】(2024?全國?高三專題練習(xí))已知f(x)=e-sinx.

⑴求函數(shù)/(x)在［0,2兀］內(nèi)的極值點(diǎn)；

TTJT

⑵求函數(shù)g(x)=/a)-x在-5，萬上的最值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28](2024?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)，(x)=ln(a-x),