高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺(tái)市質(zhì)檢聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以．故選：A2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．故選：C.3.已知，是兩個(gè)互相平行平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?又，，所以，，，平行或異面.故選：A4.若兩個(gè)單位向量滿足，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得．因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以化簡可得：，解得，則與夾角的余弦值為．故選：D.5.如圖，側(cè)面展開圖為扇形的圓錐和側(cè)面展開圖為扇環(huán)的圓臺(tái)的體積相等，且，則（）A.8 B.4 C. D.2【答案】D【解析】設(shè)側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的體積．側(cè)面展開圖為扇形的圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的體積．由題可知，從而．故選：D.6.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后，與圓相切于點(diǎn)M，則光線從P到M經(jīng)過的路程為（）A.4 B.5 C. D.【答案】C【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則光線反射后經(jīng)過的路徑所在的直線即為直線.根據(jù)的定義，有到直線的距離相等，且其連線與其垂直，故，.從而，，故，即或.但不重合，故，所以，從而，即.而，，故.根據(jù)對稱性，光線經(jīng)過的路程即為.故選：C.7.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（）A.4048 B.2024 C.1012 D.2【答案】C【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，則，則，從而，故．故選：C.8.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)在上是奇函數(shù)，則，且f-x=-f當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，顯然恒成立．當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的的圖象始終在的圖象的下方（或重合）．當(dāng)時(shí)，由函數(shù)與函數(shù)的圖象如下：由圖可知：，則，解得；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)與函數(shù)的圖象如下：的圖象始終在的圖象的下方．故取值范圍為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，在直四棱柱中，，，，分別為，中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，由為的中點(diǎn)，則，在直四棱柱中，易知，所以，故A正確；對于B，由為的中點(diǎn)，則，在直四棱柱中，易知，，故B錯(cuò)誤；對于C，由題意可得與的夾角為，且，則，故C正確；對于D，，故D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.的最大值為C.的最小正周期為 D.的圖象關(guān)于直線對稱【答案】AB【解析】，則，所以為奇函數(shù)，A正確．，所以的最小正周期不是，C不正確．，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，D不正確．，顯然，且，當(dāng)x∈0,π由，及對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，所以．當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，B正確．故選：AB11.已知，，是曲線上的任意一點(diǎn)，若的值與無關(guān)，則（）A.m的取值范圍為B.n的取值范圍為C.的最大值為7D.的最小值為【答案】ACD【解析】由曲線，得，則（），所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓（軸及以上部分）.設(shè)直線：與：，由，得表示點(diǎn)到直線和的距離和的2倍，對于AB，若的值與無關(guān)，則該曲線在兩平行直線：與：之間，當(dāng)與該曲線相切時(shí)，，解得，則的取值范圍為，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得，則的取值范圍為，故A正確，B錯(cuò)誤；對于C，由圖知，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，為，所以的最大值為7，故C正確；對于D，由圖可知，當(dāng)與該曲線相切，且經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線和的距離和最小，此時(shí)，則點(diǎn)到直線和的距離和最小值為，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知遞增的等比數(shù)列滿足，，則的前3項(xiàng)和______．【答案】21【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以．又，所以或（舍去），則的公比，，從而．故答案為：2113.已知，且，則的最大值為______．【答案】【解析】由，得，即，則．因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，從而的最大值為．故答案為：．14.在四面體中，，，且，，，，則該四面體的外接球的表面積為______．【答案】【解析】如圖，過點(diǎn)作且，連接，過點(diǎn)作且，連接，得到三棱柱．因?yàn)?，，所以三棱柱為直三棱柱．由，得，則，從而，則三棱柱外接球的半徑，表面積，即該四面體的外接球的表面積為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，且．（1）若，求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）由，得．因?yàn)?，所以，即．．?）由，得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以則，解得，即的取值范圍為．16.某商場為了吸引顧客，邀請顧客憑借消費(fèi)金額參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)．若抽中金獎(jiǎng)，則可獲得15元現(xiàn)金；若抽中銀獎(jiǎng)，則可獲得5元現(xiàn)金．已知每位顧客每次抽中金獎(jiǎng)和銀獎(jiǎng)的概率分別為和，且每次中獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客參與該商場的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中甲有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，乙有1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．（1）求甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額的概率；（2）記甲、乙兩人抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金總金額為，求的分布列與期望．解：（1）若甲抽中2次銀獎(jiǎng)，則由甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額，可知乙也得抽中銀獎(jiǎng)，此時(shí)概率．若甲至少抽中1次金獎(jiǎng)，則甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額一定大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額，此時(shí)概率．故甲抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額大于乙抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額的概率．（2）記甲、乙兩人抽獎(jiǎng)獲得的現(xiàn)金金額分別為，則．由題可知，，，，，則，，，．的分布列為15253545．17.如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，．證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，所以．又平面平面，平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又平面，平面，所以平面．因?yàn)?，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．又，平面，所以平面平面．因?yàn)槠矫妫云矫妫?）解：由題可知，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則由得令，得．設(shè)平面的法向量為，則由得令，得．所以，則平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，若，，則稱是在上的不動(dòng)點(diǎn)，集合為在上的不動(dòng)點(diǎn)集.（1）求函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集；（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集為，求的取值范圍.解：（1）由，得，解得或，故在0,+∞上的不動(dòng)點(diǎn)集為.（2）方法一：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.即方程在只有一解.因?yàn)槭欠匠痰慕?，所以方程在上無解.作函數(shù)和，的圖象，如下圖：由，，所以.當(dāng)或即或時(shí)，與，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).所以的取值范圍是：.方法二：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，則.若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若，易知是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使得，則當(dāng)和時(shí)，φ'x>0，φx單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，φ'x<0因?yàn)?，所以要使得φx在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則解得.綜上所述，的取值范圍為.（3）由題可知，方程在R上存在3個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則，從而令，則，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，解得.因?yàn)?，所以的取值范圍?19.在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)列中的3個(gè)相鄰的點(diǎn)滿足，則稱關(guān)于的方程是的特征方程，將方程的實(shí)數(shù)根稱為的特征根．已知，點(diǎn)列的特征根為1和．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若是公差為的等差數(shù)列，且各