專題10數(shù)據(jù)的分析知識點(diǎn)及習(xí)題訓(xùn)練

計(jì)算方法

權(quán)

2加權(quán)平均數(shù)

計(jì)算方法

數(shù)

據(jù)

的

分

析

定義

5方差意義

計(jì)算方法

1.平均數(shù)

一般地，如果有n個數(shù)Xi、X2、…、Xn，那么％='(項(xiàng)+/+…+%)叫做這n個數(shù)的平均數(shù).

n

若Xi、X2、…、Xn的平均數(shù)為x,貝(Jaxi+b,ax2+b,ax/b的平均數(shù)為ax+b.

2.加權(quán)平均數(shù)

—xf+xfxf

在n個數(shù)中，xi出現(xiàn)fi次，X2出現(xiàn)&次，…，xk出現(xiàn)fk次，那么，x=I堂-----

力+力+…+Z,

稱為這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù).其中，6、f2....人叫做權(quán)，fi+$+...+fk=n.

3.算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)區(qū)別與聯(lián)系

①聯(lián)系：都是平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的特殊形式.

②區(qū)別：算術(shù)平均數(shù)將所有數(shù)相加除以個數(shù)；加權(quán)平均數(shù)是指各個數(shù)所占的比重不同，按照

相應(yīng)的比例把所有數(shù)乘以權(quán)值再相加，最后除以總權(quán)值.

4.眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（非唯一，可能存在多個）.

5.中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

①必須將數(shù)據(jù)按大小依次排列；

②這n個數(shù)據(jù)，若n為奇數(shù)，則中位數(shù)為第4里個若n為偶數(shù)，則中位數(shù)是第巴和第己+1

222

的平均數(shù).

6.方差

①概念

在一組數(shù)據(jù)Xi、X2...Xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)

的方差，用S2表示，即：

②意義

衡量數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，數(shù)據(jù)越

穩(wěn)定.

若X]、X2、…、Xn的方差為S2,則axi+b,ax2+b,ax/b的方差為a2s2.

【練習(xí)題】

1.Q021?江蘇南通市）一組數(shù)據(jù)1,4,X,3的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.3.5B.3C.4D.4.5

【答案】A.

]+4+Y+3

【解析】解：根據(jù)題意得：----------=3,

4

解得x=4

這組數(shù)據(jù)按大小順序排列為：1,3,4,4,

4+3

數(shù)據(jù)的中位數(shù)是——=3.5,

2

故答案為：A.

2.（2021?四川廣元市）一組數(shù)：20,21,22,23,23,24,這組數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是

A.22.5,23B.21,23C.21,22D.22,23

【答案】A.

【解析】解：把這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：20,21,22,23,23,24,

22+23

中位數(shù)為：------=22.5,

2

出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是23,眾數(shù)為23,

故答案為：A.

3.（2021?江蘇無錫市）數(shù)學(xué)老師對小明的5次單元測驗(yàn)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，要判斷小明的

數(shù)學(xué)成績是否穩(wěn)定，老師需要知道小明這5次數(shù)學(xué)成績的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】D.

4.（2021?山東濟(jì)南市）牛牛同學(xué)10個周綜合素質(zhì)評價(jià)成績統(tǒng)計(jì)如下：

成績（分）94959798100

周數(shù)（個）12241

下列說法錯誤的是（）

A.這10個周的綜合素質(zhì)評價(jià)成績的中位數(shù)是98

B.這10個周的綜合素質(zhì)評價(jià)成績的平均數(shù)是97

C.這10個周的綜合素質(zhì)評價(jià)成績的方差是3

D.這10個周的綜合素質(zhì)評價(jià)成績的眾數(shù)是98

【答案】A.

【解析】解：A.把這些數(shù)從小到大排列為：94,95,95,97,97,98,98,98,98,100,

97+98

則中位數(shù)是-------=97.5；A錯誤；

2

B.平均數(shù)是：—x（94+95x2+97x2+98x4+100）=97,B正確；

10

C.這組數(shù)據(jù)的方差為：一x[（94-97）2+（95-97）2x2+（97-97）2x2+（98-97）2x4+

10

（100-97）2]=3；C正確；

D.98出現(xiàn)次數(shù)最多，D正確；

故答案為：A.

5.（2021?河南平頂山市期末）已知一組數(shù)據(jù)石口2，當(dāng)，…，々0的平均數(shù)為7,則

3X1+2,312+2,313+2,…,3I2o+2的平均數(shù)為()

A.7B.9C.21D.23

【答案】D.

【解析】解：設(shè)再，X?,x3,120的平均數(shù)為1貝哌=7，

設(shè)3再+2,3X2+2,3退+2,…3X2（）+2的平均數(shù)為貝ij

—1

x'-x[（3X]+2）+（3%2+2）+（3退+2）+.,.+（3x20+2）]

—X[3（X|+/+*3+,,,+120）+2x20]

=3x（再+X2+*3+,,,+Wo）+2

=23；

故答案為：D.

6.（2021?山東聊城市）對參加某次野外訓(xùn)練的中學(xué)生的年齡（單位：歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果

如表：

年齡131415161718

人數(shù)456681

則這些學(xué)生年齡的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）

A.17,15.5,15.4B.17,16,15.4C.15,15.5,15.5D.16,16,15.5

【答案】A.

7.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特）在一次古詩詞誦讀比賽中，五位評委給某選手打分，得到互不

相等的五個分?jǐn)?shù)若去掉一個最高分，平均分為〃；若去掉一個最低分，平均分為。；同時(shí)去

掉一個最高分和一個最低分，平均分為加，則（）

A.c>m>aB.a>m>cc.c>a>mD.m>c>a

【答案】A.

【解析】解：由題意可得：若去掉一個最高分，平均分為。，則戰(zhàn)加，

去掉一個最低分，平均分為則c>加，

即c>m>a,

故答案為：A.

8.對于三個數(shù)〃，b,c,用b,。｝表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用機(jī)b,c｝表示這三

-1+2+34

個數(shù)中最大的數(shù)，例如：Af{-1,2,3}=-------------=—；max{-1,2,3}=3,max

,<-、[ci(a>2)

{—12。}=<，若M{4,N,x+2}=max{4,N,x+2}；則x的值為()

[2(Q<2)

3

A.2或——B.2或-3C.2D.-3

2

【答案】C.

【解析】解：排除法

觀察選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)3個有2,令I(lǐng)=2,

4+4+4

22

則M{4,X,x+2}=-----------=4,max{4,xfx+2}=max{4,4,4}=4

故x=2符合題意，排除。；

令x=_3,則”{4,x2,x+2}=4+4+(2+2)_9a

23=4

3

故苫=—-不符合題意，排除/；

2

49-3+2

令x=-3,則A/{4,x2,x+2}=---+------------=4,max{4,x2,x+2)=max[4,9,-1}=

9

4<9,故x=-3不符合題意，排除2；

綜上，故答案為：C.

9.（2021?廣西柳州市）小明同學(xué)5次數(shù)學(xué)單元測試的平均成績是90分，中位數(shù)是91分，

眾數(shù)是94分，則兩次最低成績之和是—分.

【答案】171.

【解析】解：???五次數(shù)學(xué)單元測驗(yàn)的平均成績是90分，

.*.5次數(shù)學(xué)單元測驗(yàn)的總成績是450分，

???中位數(shù)是91分，眾數(shù)是94分，

最低兩次測試成績?yōu)?50-91-2x94=171.

故答案為：171.

10.（2021?福建福州市）某商場為了招聘商品拆裝上架員工一名，設(shè)置了計(jì)算機(jī)、語言和商

品知識三項(xiàng)測試，并對這三項(xiàng)測試成績分別賦權(quán)2,3,5.若某應(yīng)試者三項(xiàng)測試成績分別為

70,50,80,則該應(yīng)試者的平均成績是.

【答案】69.

【解析】解：該應(yīng)試者的平均成績是：70x20%+50x30%+80x50%=69

故答案為：69.

11.（2021?山東青島市）某運(yùn)動隊(duì)要從甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動員中選拔一人參加比賽,

教練組統(tǒng)計(jì)了最近幾次隊(duì)內(nèi)選拔賽的成績并進(jìn)行了分析，得到如下表：

甲乙丙T

平均數(shù)（cm）176173175176

方差10.510.532.742.1

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，教練組應(yīng)該選擇參加比賽（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）.

【答案】甲.

【解析】解：,?,XfpnX丁〉》丙〉》乙，

，從甲和丁中選擇一人參加,

/.教練組應(yīng)該選擇甲參加比賽;

故答案為：甲.

12.（2021?北京模擬）要從小華、小明兩名射擊運(yùn)動員中選擇一名運(yùn)動員參加射擊比賽，在

賽前對他們進(jìn)行了一次選拔賽，下圖為小華、小明兩人在選拔賽中各射擊10次成績的折線

圖和表示平均數(shù)的水平線.你認(rèn)為應(yīng)該選擇（填“小華”或“小明”）參加射擊比賽；理

由是

【答案】小明；小明的成績更穩(wěn)定.

13.某公司銷售一批新上市的產(chǎn)品，公司收集了這個產(chǎn)品15天的日銷售額的數(shù)據(jù)，制作了

如下的統(tǒng)計(jì)圖.

計(jì)日銷售額為元

5■

4■,

3??

2--

1-?

--1----1---1---1---1----L-J_I----1-----1----1----1----1----1----1--1->

u123456789101112131415時(shí)間/天

關(guān)于這個產(chǎn)品銷售情況有以下說法：

①第1天到第5天的日銷售額的平均值低于第6天到第10天的日銷售額的平均值；

②第6天到第10天日銷售額的方差小于第11天到第15天日銷售額的方差；

③這15天日銷售額的平均值一定超過2萬元.

所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③.

【解析】解：第一天2萬，第二天3萬，第三天3.5萬，第四天4萬，第五天約4.5萬.銷

售額的平均值3.4萬，

第六天4.5萬，第七天4.5萬，第八天4.5萬，第九天4.5萬，第十天約4.5萬，銷售額的平

均值4.5萬

①第1天到第5天的日銷售額的平均值低于第6天到第10天的日銷售額的平均值正確；

第6天到第10天日銷售額波動較小，第6天到第10天日銷售額的方差較小，

第11天到第15天日銷售額逐天下降，波動較大，第11天到第15天日銷售額的方差較大，

②第6天到第10天日銷售額的方差小于第11天到第15天日銷售額的方差正確；

銷售額超4萬有7天，銷售額超3萬以上4萬以下有4天，銷售額超2萬以上3萬以下有3

天，只有第十五天銷售額1萬，

這15天日銷售額最低值的平均值\（1+2X3+3X4+4X7）=&X47=3.13〉2.

③這15天日銷售額的平均值一定超過2萬元正確.

所有正確結(jié)論的序號是①②③.

故答案為：①②③.

14.（2021?湖南長沙市）某地區(qū)中考，將學(xué)生的初二的生物中考卷面成績（滿分100分）乘

以40%,加上初三的物理、化學(xué)卷面成績（滿分200分）乘以80%作為該生的最后理科綜

合最終成績.某學(xué)生生物成績?yōu)?0分，若該生理科綜合最終成績想不低于160分，則該生

物理、化學(xué)卷面成績至少是分.

【答案】155.

【解析】解：設(shè)該生物理、化學(xué)卷面成績X分,

根據(jù)題意得：90x40%+xx80%>160,

解得：丘155,

故答案為：155.

15.（2021?山西）在市運(yùn)動會射擊比賽選拔賽中，某校射擊隊(duì)甲、乙、丙四名隊(duì)員的10次

射擊成績，如圖所示，他們的平均成績均是9.0環(huán)，若選一名射擊成績穩(wěn)定的隊(duì)員參加比賽,

最合適的人選是（填“甲”、“乙”、“丙”、“丁”）

丙的射擊或餓r的射擊成破

【答案】丁.

【解析】解：四人的平均成績均是9.0環(huán),

jr22

與2=點(diǎn)］（9.1—9）X5+（8.9-9）X5j=0.01,

02=宗［.2-9）2x3+（9.1-9）2x2+（9.0-9）2x2+（8.8—9『x3=0.026.

條2=_L1（9.2一9fx2+（9.1一9『x3+（8.9一寸x3+（8.8一9『x2=0.022,

斗2=,（9.1_9）2x4+（9-9）2x2+（8.8-9『x4=0.008,

丁的方差最小，數(shù)據(jù)更穩(wěn)定

故答案是：丁.

16.（2021?湖南長沙市）如果樣本方差52=\［區(qū)一18）2+（%—18）2+3+（々0-18）2］,

那么這個樣本的平均數(shù)是,樣本容量是.

【答案】18；20.

【解析】解：在公式S2=:[(X[—元)2+(%—無月+…+(x“—元)2]中，平均數(shù)是"樣本

容量是"，在52=([&-18)2+(々-18)2+3+區(qū)0-18)2]中，這個樣本的平均數(shù)為

18,樣本容量為20.

故答案為：18；20.

17.(2021?江蘇揚(yáng)州市)已知一組數(shù)據(jù)的方差岸=^[(6-10)2+(9-10)2+(a-10)2+

(11-10)2+(b-10)2]=6.8,則出+62的值為.

【答案】296.

2

【解析】解：：一組數(shù)據(jù)的方差S2=g[(6-10)+(9-10)2+(a-10)2+di-io)2+

(6-10)2]=6.8,

這組數(shù)據(jù)的的平均數(shù)是10,

.6+9+a+ll+b,.

??―10,

5

；.a+b=24,

22

(6-10)+(9-10)2+(fl-10)2+(11-10)2+代-10)]=6.8,

.,.16+l+(a-10)2+l+(6-10)2=34,

即(a-10y+(b-10)2=16,

；?a2+Zj2-20o-20Z)=-184.

a2+b2=-184+20(a+Z?)=-184+20x24=296.

故答案為：296.

18.(2021?江蘇南京市)在對一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，小華列出了方差的計(jì)算公式：

片」2-司+(3—%)+(3—%)+(4—%),由公式提供的信息，①樣本的容量是4,②

n

樣本的中位數(shù)是3,③樣本的眾數(shù)是3,④樣本的平均數(shù)是3.5,則說法錯誤的是(填

序號)

【答案】④.

【解析】解:由題意知，這組數(shù)據(jù)為2、3、3、4,

所以這組數(shù)據(jù)的樣本容量為4,中位數(shù)為過二=3,眾數(shù)為3,平均數(shù)為2+3+3+4=3,

24

故答案為：④.

19.（2020?鹿邑縣期末）青少年科技創(chuàng)新大賽是一項(xiàng)具有30年歷史的全國性青少年科技創(chuàng)

新成果和科學(xué)探究項(xiàng)目的綜合性科技競賽.某校準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四個科創(chuàng)小組中選出

一組參加青少年科技創(chuàng)新大賽.表格反映的是各組平時(shí)成績的平均數(shù)］（單位：分），及方

差$2,如果要選出一個成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的組去參賽，那么應(yīng)去的組是.

甲乙丙T

X7887

S211.20.91.8

【答案】丙.

【解析】解：二?乙組、丙組的平均數(shù)比甲組、丁組大，

乙組、丙組優(yōu)先

二?丙組的方差比乙組的小，

丙組的成績比較穩(wěn)定，

.?.丙組的成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定，應(yīng)選的組是丙組，

故答案為：丙.

20.某校七年級甲班、乙班舉行一分鐘投籃比賽，每班派10名學(xué)生參賽，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)進(jìn)

球數(shù)不少于8個為優(yōu)秀學(xué)生.比賽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖表如下（數(shù)據(jù)不完整）：

甲班乙班1分鐘投籃測試成績統(tǒng)計(jì)表

甲班乙班

平均數(shù)6.5a

中位數(shù)b6

方差3.454.65

優(yōu)秀率30%C

甲班乙班學(xué)生進(jìn)球個數(shù)統(tǒng)計(jì)圖

（1）直接寫出a,b,c的值.

（2）你認(rèn)為哪個班的比賽成績要好一些？請簡要說明理由.

【答案】（1）a=6.5,6=6.5,c=30%；（2）甲班的比賽成績要好一些.

【解析】解：（1）由統(tǒng)計(jì)表可知：甲班進(jìn)球數(shù)平均數(shù)為6.5,

因此甲班共進(jìn)球數(shù)為6.5x10=65（個），

所以甲班的3號同學(xué)進(jìn)球的個數(shù)為：65-3-5-6-6-7-7-8-8-10=5（個）,

由統(tǒng)計(jì)圖可知，乙班3號同學(xué)進(jìn)球個數(shù)也是5個，

所以。=—（3+4+5+6x3+7+9x2+10）=6.5,

10

將甲班10名同學(xué)進(jìn)球的個數(shù)從小到大排列為：

3,5,5,6,6,7,7,8,8,10；

處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為3=6.5,故中位數(shù)是6.5,即6=6.5,

2

因?yàn)橐野噙M(jìn)球8個及以上的人數(shù)為3人，

??.c=3+10=30%,

故。=6.5,6=6.5,c=30%；

（2）甲班的比賽成績要好一些；

理由：兩個班的平均數(shù)相同，甲班的中位數(shù)略高于乙班，方差小于乙班.

21.（2021?山東濰坊市期末）甲、乙兩名隊(duì)員參加射擊訓(xùn)練，每次射擊的環(huán)數(shù)均為整數(shù).其

成績分別被制成如下統(tǒng)計(jì)圖表（乙隊(duì)員射擊訓(xùn)練成績統(tǒng)計(jì)圖部分被污染）：

乙隊(duì)員射擊訓(xùn)練成績

9

8

7

6

5

4

3

23456789I。順序/次

平均成績/環(huán)中位數(shù)/環(huán)眾數(shù)/環(huán)方差/環(huán)2

甲a7712

乙7b8C

根據(jù)以上信息，解決下列問題:

(1)求出。的值;

(2)直接寫出乙隊(duì)員第7次的射擊環(huán)數(shù)及6的值，并求出c的值；

(3)若要選派其中一名參賽，你認(rèn)為應(yīng)選哪名隊(duì)員？請說明你的理由.

【答案】(1)7,(2)乙隊(duì)員第7次的射擊環(huán)數(shù)是7環(huán)或8環(huán)；7.5；4.2(3)乙.

5xl+6x2+7x4+8x2+9xl

【解析】解：(1)甲的平均成績a=--------------------=7(環(huán))；

1+2+4+2+1

(2):已知的環(huán)數(shù)分別是：3、4、6、7、8、8、9、10,平均數(shù)是7,

可知剩余兩次的成績和為：70-55=15(環(huán))，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知不可能是9和6,只能是7和

8,所以乙隊(duì)員第7次的射擊環(huán)數(shù)是7環(huán)或8環(huán)；

把乙的成績從小到大排列：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10,

7+8

???乙射擊成績的中位數(shù)b=—=7.5(環(huán))，

2

方差c=^-x[(3-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2X(7-7)2+3x(8-7)2+(9-7)2+

10

(10-7)2]=-x(16+9+1+3+4+9)=4.2；

10

(3)從平均成績看甲、乙二人的成績相等均為7環(huán)，從中位數(shù)看甲射中7環(huán)以上的次數(shù)小

于乙，從眾數(shù)看甲射中7環(huán)的次數(shù)最多而乙射中8環(huán)的次數(shù)最多，從方差看乙的成績比甲的

成績穩(wěn)定綜合以上各因素，若選派一名隊(duì)員參加比賽的話，可選擇乙參賽，因?yàn)橐耀@得高

分的可能更大.

22.(2021?江蘇南京市)某校八年級(1)班甲、乙兩男生在5次引體向上測試中有效次數(shù)

如下:

甲：8,8,7,8,9；乙：5,9,7,10,9；

甲乙兩同學(xué)引體向上的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下:

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

甲8b80.4

乙a9C3.2

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）表格是。=,b=,c=.（填數(shù)值）

（2）體育老師根據(jù)這5次的成績，決定選擇甲同學(xué)代表班級參加年級引體向上比賽，選擇

甲的理由是,班主任李老師根據(jù)去年比賽的成績（至少9次才能獲獎），決定選擇乙

同學(xué)代表班級參加年級引體向上比賽，選擇乙的理由是；

（3）如果乙同學(xué)再做一次引體向上，有效次數(shù)為8,那么乙同學(xué)6次引體向上成績的平均

數(shù),中位數(shù),方差_____.（填“變大”、“變小”或“不變”）

【答案】（1）8、8、9；（2）甲的方差較小，比較穩(wěn)定乙的中位數(shù)是9,眾數(shù)是9,獲獎次

數(shù)較多；（3）不變；變小；變小.

因?yàn)榧字?共出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，所以b=8

因?yàn)橐业挠行Т螖?shù)中按順序排列后處于中間位置的是9,所以中位數(shù)c=9；

故答案為a、b、c的值分別是8、8、9；

（2）V0.4<3.2,

...甲的方差較小，成績比較穩(wěn)定，

二選擇甲同學(xué)代表班級參加年級引體向上比賽；

?.?乙的中位數(shù)是9,眾數(shù)也是9,

獲