3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)

（第2課時(shí)）一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用,會(huì)判斷直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系能解決與橢圓有關(guān)的弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題能利用橢圓的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧定義圖形方程范圍對(duì)稱(chēng)性焦點(diǎn)頂點(diǎn)離心率a,b,c的關(guān)系|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)(c,0)、(

c,0)(0,c)、(0,

c)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)F1F2M??xyOF1F2M??xyO

a≤x≤a,

b≤y≤b

a≤y≤a,

b≤x≤b(a,0),(

a,0),(0,b),(0,

b)(b,0),(

b,0),(0,a),(0,

a)典例解析例5

如圖示,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分,過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的截口BAC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上,片門(mén)位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上,由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線(xiàn),經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2

.已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm.試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求截口BAC所在橢圓的方程(精確到0.1cm).解:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)所求橢圓方程為在Rt△BF1F2中，由橢圓的性質(zhì)知，所以，所求的橢圓方程為總結(jié)橢圓有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第一步

結(jié)合橢圓的定義，及相關(guān)幾何條件，求出a,b,c的值第二步

寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，及根據(jù)題意求出相關(guān)的量第三步

將所求的量，“翻譯”成實(shí)際問(wèn)題的解答第四步

典例解析例6動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和M到定直線(xiàn)l:的距離的比是常數(shù)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.OxyMHFl?d解：

橢圓第二定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線(xiàn)的距離比是常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。（教材P116）橢圓的第二定義

平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與它到定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)e,（定點(diǎn)F不在定直線(xiàn)上，0<e<1）,則點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

②比值e為橢圓的離心率。注意：①定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)稱(chēng)為橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)。橢圓中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸時(shí)一、離心率問(wèn)題1、若橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng)，則其離心率為

。2、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則其離心率為

。3、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)把長(zhǎng)軸分成三等分，則其離心率為

。4、若某個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的和是短軸長(zhǎng)的兩倍，則其離心率e=___

5、以橢圓的焦距為直徑并過(guò)兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率

。一、離心率問(wèn)題(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝

求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解.(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.求橢圓的離心率及離心率的取值范圍的兩種方法

反思感悟列式換b除an求e

設(shè)橢圓C：

＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則橢圓C的離心率為_(kāi)____.例

3《學(xué)習(xí)筆記》P831.若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求橢圓C的離心率.延伸探究《學(xué)習(xí)筆記》P83在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，2.若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“橢圓C上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2為鈍角”，求橢圓C的離心率的取值范圍.延伸探究《學(xué)習(xí)筆記》P842.若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“橢圓C上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2為鈍角”，求橢圓C的離心率的取值范圍.橢圓C上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2為鈍角，只需當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2為鈍角，則c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，延伸探究④M在短軸頂點(diǎn)時(shí)，頂角γ最大。橢圓焦點(diǎn)三角形點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系000000(±a,0)a(0,±b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c二、焦半徑、通徑焦半徑：橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F的連線(xiàn)段

|PF|max=a+c,|PF|min=a-c(P位于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)時(shí)焦半徑PF有最值)

OxyF1F2結(jié)論：橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的最大距離為a,最小距離為b，|PO|max=a,|PO|min=b橢圓通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦。長(zhǎng)度為

OxyF2F1AB焦點(diǎn)弦中，通徑最短。

跟蹤訓(xùn)練

3√《學(xué)習(xí)筆記》P841.三種位置關(guān)系三、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系設(shè)橢圓的方程為：直線(xiàn)的方程為：m相離問(wèn)題1直線(xiàn)與橢圓有哪些位置關(guān)系？如何判定直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系？相切相交相離(沒(méi)有公共點(diǎn))相切(一個(gè)公共點(diǎn))相交(兩個(gè)公共點(diǎn))追問(wèn)

能像直線(xiàn)與圓那樣用幾何法判斷直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系嗎？問(wèn)題2若直線(xiàn)與橢圓交于P，Q，如何求弦長(zhǎng)|PQ|?2.判斷三種位置關(guān)系三、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系OxyF2l?F1?QP①△＞0②△＝0③△＜0方程有兩不等實(shí)根方程有兩個(gè)相等實(shí)根方程無(wú)實(shí)數(shù)根相交相切相離兩個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)3.弦長(zhǎng)問(wèn)題三、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題2若直線(xiàn)與橢圓交于P，Q，如何求弦長(zhǎng)|PQ|?OxyF2l?F1?QP3.弦長(zhǎng)問(wèn)題若直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為弦長(zhǎng)公式：P(x1,y1),Q(x2,y2)(關(guān)于x的核心方程)三、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系①前提：公式①前提是直線(xiàn)斜率k存在

公式②前提是直線(xiàn)斜率k存在且不為0

②典例解析例7OxyF2?F1?解：lll利用韋達(dá)定理設(shè)而不求2.經(jīng)過(guò)橢圓

的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).鞏固練習(xí)課本P114解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)l：y＝x＋t.傾斜角為45°的直線(xiàn)l與橢圓x2＋2y2＝2交于A,B兩點(diǎn),求弦AB最長(zhǎng)時(shí)直線(xiàn)l的方程.此時(shí),直線(xiàn)l：y＝x.由△>0,得一組平行線(xiàn)與橢圓相交,當(dāng)直線(xiàn)過(guò)橢圓中心時(shí),弦長(zhǎng)最長(zhǎng).鞏固提升鞏固提升已知橢圓直線(xiàn)橢圓上是否存在一點(diǎn),使得(1)它到直線(xiàn)l的距離最?。孔钚【嚯x是多少？F1F2xOy解1：

(2)它到直線(xiàn)l的距離最大？最大距離是多少？課本P116拓廣探索第13題鞏固提升已知橢圓直線(xiàn)橢圓上是否存在一點(diǎn),使得(1)它到直線(xiàn)l的距離最小？最小距離是多少？(2)它到直線(xiàn)l的距離最大？最大距離是多少？OxyF2l?F1?P?解2：

利用韋達(dá)定理“設(shè)而不求”解1：

聯(lián)立+中點(diǎn)公式4.中點(diǎn)弦問(wèn)題《學(xué)習(xí)筆記》P86解2：

點(diǎn)差法4.中點(diǎn)弦問(wèn)題(中點(diǎn)/斜率公式)代點(diǎn)作差解2：

點(diǎn)差法4.中點(diǎn)弦問(wèn)題=點(diǎn)差法

問(wèn)題3已知橢圓的方程為

＝1(m>0，n>0，m≠n)，直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中點(diǎn)為M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值嗎？ABMMBA結(jié)論：橢圓的弦AB中點(diǎn)為M，

焦點(diǎn)在x軸上，kOM·kAB=

焦點(diǎn)在y軸上，kOM·kAB=