5.3一元一次方程的應(yīng)用第1課時(shí)

等積變形問題七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?北師大版第五章

一元一次方程1.借助立體及平面圖形學(xué)會(huì)分析復(fù)雜幾何問題中的等量關(guān)系，體會(huì)直接或間接設(shè)未知數(shù)的解題思路，從而建立方程，解決實(shí)際問題；（重點(diǎn)）2.通過探究式的方法，學(xué)生逐步學(xué)會(huì)從較復(fù)雜的生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的能力以及創(chuàng)新的意識(shí).（難點(diǎn)）

教師讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的橡皮泥，先捏出一個(gè)“瘦長”的圓柱體，然后再讓這個(gè)“瘦長”的圓柱“變矮”，變成一個(gè)又矮又胖的圓柱，請(qǐng)同學(xué)們邊操作邊思考下列幾個(gè)問題：（1）在你操作的過程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化？還有哪些量改變了？（2）在這個(gè)變化過程中，什么量沒有變化呢？解：（1）圓柱的底面直徑發(fā)生了變化；

圓柱的面積和周長也發(fā)生了變化；

（2）圓柱的體積沒有發(fā)生變化.

某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料。經(jīng)市場調(diào)研決定對(duì)該產(chǎn)品外包裝進(jìn)行改造，計(jì)劃將它的底面直徑減少為6cm。那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?？?）這個(gè)問題中包含哪些量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？解：（1）易拉罐的直徑，易拉罐的高，易拉罐的容積；易拉罐的容積＝π×(易拉罐的直徑÷2)2×易拉罐的高.有關(guān)量舊包裝新包裝底面半徑/cm高/cm容積/cm3（2）設(shè)新包裝的高度為

xcm，你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎？33.312x130.68π9πx（3）根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程?設(shè)新包裝的高度為

xcm.根據(jù)等量關(guān)系，列出方程:_____________________________.解這個(gè)方程，得x=_________.因此，易拉罐的高度變?yōu)開_______cm.14.5214.52π×3.32×12=π×32×x等量關(guān)系為：舊包裝的容積＝新包裝的容積列方程時(shí)，關(guān)鍵是找等量關(guān)系.1.常見的幾種情形列方程.（1）物體的鍛壓等應(yīng)用題，抓住體積不變建立方程；（2）周長一定，圍成不同形狀的圖形，圖形的面積可能變了，抓住周長不變列方程；（3）圖形的拼接、割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等類型的應(yīng)用題，抓住圖形變化前后的面積、周長不變列方程.注：應(yīng)學(xué)會(huì)“變中找不變”和“不變中找變”的數(shù)學(xué)思想方法.2.

常見圖形的周長、面積及體積計(jì)算公式.（1）長方體的體積＝

?；（2）圓柱的體積＝

?；（3）長方形的周長＝

?；（4）長方形的面積＝

?.3.列一元一次方程解決實(shí)際問題的基本步驟.長×寬×高

底面積×高

2×（長＋寬）

長×寬

用一根長為10m的鐵絲圍成一個(gè)長方形。（1）使該長方形的長比寬多1.4m，此時(shí)長方形的長、寬各是

多少米？例1解：（1）設(shè)長方形的寬為x米，則它的長為（x＋1.4）m.

根據(jù)題意，得2（x＋x＋1.4）＝10，解得

x＝1.8.則長方形的長為1.8＋1.4＝3.2（m），所以，此時(shí)長方形的長為3.2m，寬為1.8m.例1

用一根長為10m的鐵絲圍成一個(gè)長方形.（2）使該長方形的長比寬多0.8m，此時(shí)長方形的長、寬各為多少米？它所圍成的長方形與（1）中所圍長方形相比，面積有什么變化？解：（2）設(shè)長方形的寬為

x

m，則它的長為（x＋0.8）m.根據(jù)題意，得2（x＋x＋0.8）＝10，解得

x＝2.1.則長方形的長為2.1＋0.8＝2.9（m），所圍成的長方形的面積為2.9×2.1＝6.09（m2）則6.09－5.76＝0.33（m2）.所以，此時(shí)的長方形的長為2.9m，寬為2.1m，所圍成的長方形的面積為6.09m2，比（1）中的長方形的面積大0.33m2.例1

用一根長為10·的鐵絲圍成一個(gè)長方形.（3）使該長方形的長與寬相等，即圍成一個(gè)正方形，此時(shí)正方形的邊長是多少米？它所圍成的面積與（2）中相比又有什么變化？解：（3）設(shè)正方形的邊長為

xm.根據(jù)題意，得4x＝10，解得

x＝2.5.則所圍成的正方形的面積為2.5×2.5＝6.25（m2）.則6.25－6.09＝0.16（m2）.所以，所圍成的正方形的邊長是3m，所圍成的正方形的面積為

6.25m2，比（2）中長方形的面積大0.16m2.

應(yīng)用一元一次方程解決實(shí)際問題的步驟：①審——通過審題找出等量關(guān)系(關(guān)鍵)；②設(shè)——設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱；③列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程；④解——求出方程的解(對(duì)間接設(shè)的未知數(shù)切記繼續(xù)求解)；⑤檢——檢驗(yàn)求出的值是否為方程的解，并檢驗(yàn)是否符合實(shí)際；⑥答——注意單位名稱.1.小明打算用長35m的竹籬笆圍成一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，該長方形的長比寬多5m，其中較長的一面靠墻（不需要籬笆），墻長14m，小明的爸爸認(rèn)為小明設(shè)計(jì)得不合理，但可以設(shè)計(jì)為長比寬多2m，你認(rèn)為爸爸說得對(duì)嗎？請(qǐng)用一元一次方程的知識(shí)說明理由；并按照其中一種合理的設(shè)計(jì)方案，計(jì)算出養(yǎng)雞場的面積.解：設(shè)小明設(shè)計(jì)的養(yǎng)雞場的寬為

x

m，則長為（x＋5）m.由題意，得

x＋x＋（x＋5）＝35.解得x＝10，則x＋5＝15.因?yàn)?4＜15，所以小明的設(shè)計(jì)不符合實(shí)際針

對(duì)

練

習(xí)設(shè)小明的爸爸設(shè)計(jì)的養(yǎng)雞場的寬為

y

m，則長為（y

＋2）m.由題意，得

y＋y＋（y＋2）＝35，解得y＝11，則y＋2＝13.所以小明爸爸設(shè)計(jì)的養(yǎng)雞場長為13m，小于墻長，寬為11m，面積為13×11＝143（m2）.所以小明爸爸的設(shè)計(jì)合理，這時(shí)養(yǎng)雞場的面積為143m2.2.如圖，一個(gè)盛有水的圓柱形玻璃容器的內(nèi)底面圓半徑10cm，原容器內(nèi)水的高度為12cm.把一根半徑為2cm的玻璃棒垂直插入水中后，容器內(nèi)的水將升高多少厘米？解：設(shè)容器內(nèi)的水將升高

xcm.根據(jù)題意，得102×12π＋22（12＋x）π＝102（12＋x）π，整理，得1200＋4（12＋x）＝100（12＋x），解得

x＝0.5.故容器內(nèi)的水將升高0.5cm.3.如圖所示，地面上釘著用一根彩繩圍成的直角三角形，如果將直角三角形銳角頂點(diǎn)的一個(gè)釘子去掉，并將這根彩繩釘成一個(gè)長方形，那么所釘長方形的長、寬各是多少？面積是多少？解：三角形的周長＝6＋8＋10＝24.①當(dāng)去掉頂點(diǎn)A的釘子時(shí)，BC為長方形的一條邊長.設(shè)長方形的寬為

x

.由題意，得2（x＋6）＝24，解得

x＝6.則該長方形的長和寬均為6，面積為6×6＝36；②當(dāng)去掉頂點(diǎn)B的釘子時(shí)，AC為長方形的一條邊長.設(shè)長方形的寬為

x

.由題意，得2（x＋8）＝24，解得

x＝4.則該長方形的長和寬分別為8，4，面積為8