高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市三校聯(lián)誼2025屆高三上學期12月聯(lián)合調(diào)研數(shù)學試題（時間：120分鐘滿分150分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知，是兩個復數(shù)，則“，互為共軛復數(shù)”是“為實數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設，若“，互為共軛復數(shù)”，則，故，故“為實數(shù)”成立，若“為實數(shù)”，取，則為實數(shù)成立，但，不互為共軛復數(shù)，故“，互為共軛復數(shù)”是“為實數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.2.已知集合，且，則集合可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，A中集合不合題意，B中集合為或，也不合題意，C中集合為，不合題意，D中集合為，滿足題意．故選：D．3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，即.已知，即，將代入可得：，即，解得.所以.根據(jù)，可得：.故選：B.4.已知向量，滿足，，且在上的投影向量為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，且在上的投影向量為，所以，所以，故選：A.5.已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，為其前n項和，且，則當取最大值時，（）A.10 B.20 C.25 D.50【答案】D【解析】∵，∴，由已知，得，∴，當且僅當時等號成立．此時數(shù)列為常數(shù)列5，所以，故選：D6.若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（）A.2 B.0或 C.0或2 D.【答案】B【解析】設直線與曲線的切點為，由，則，則，即切點為，所以直線為，又直線與圓都相切，則有，解得或．故選：B7.已知橢圓，為橢圓上任意一點，過點分別作與直線和平行的直線，分別交、交于、兩點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設過點分別與直線、平行的直線為、，如圖：設、、Px0,y0，則，顯然四邊形為平行四邊形，故的中點與的中點重合，則，即，又因為橢圓上任意一點，所以，即，即，而，所以當時，.故選：A.8.已知某正三棱柱的外接球的表面積為，則該正三棱柱的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設外接球的半徑為，則，解得.設正三棱柱的底面三角形的邊長為，則該三角形的外接圓的半徑為，故三棱柱的高為，所以該正三棱柱的體積，由，解得，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時取得最大值，因為，所以該正三棱柱的體積的最大值為.故選：C二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.已知數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因為，，所以，，，，故A正確，B錯誤；所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，故C正確；，故D錯誤.故選：AC10.關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.有兩個極值點 B.的圖象關于對稱C.有三個零點 D.是的一個零點【答案】ACD【解析】對于B選項，函數(shù)的定義域為，，所以，，故函數(shù)的圖象關于對稱，故B錯誤；對于函數(shù)，求導可得：，對于ACD選項，令，解得，可得下表：極大值極小值則，，所以，函數(shù)有兩個極值點，故A正確，作出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)有三個零點，故C正確，，故D正確.故選：ACD.11.在年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)、、后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），、為與其中兩條曲線的交點，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域面積不大于【答案】BCD【解析】對于A，由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點在原點，焦點為,將其逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，即，故A錯誤；對于B，根據(jù)A項分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象的對稱性，可得、，故，即B正確；對于C，設直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，且方程即為，解得，，此時，切點坐標為，設直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，此時方程即為，解得，，此時，切點坐標為2,1，兩切點連線的斜率為，即切點的連線與直線垂直，故當、時，取最大值，且其最大值為，C對；對于D，根據(jù)對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，對函數(shù)求導得，則拋物線在點處的切線斜率為，所以，拋物線在點處的切線方程為，即，該切線交軸于點，所以，半個花瓣的面積必小于，故原圖中的陰影部分面積必小于，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，則的值是__________．【答案】2【解析】為偶函數(shù)，所以，，得，，當x∈0,π時，，在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，所以，解得：，所以.故答案為：213.已知、分別為雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線左支交于A，B兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點B，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】因為、分別為雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線左支交于A，B兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點B，得，設，則，在中，由勾股定理得，解得，則，在中，由勾股定理得，化簡得，，所以的離心率.故答案為：14.在中，內(nèi)角所對的邊分別為（）.已知，則的最大值是__________.【答案】【解析】由，則由正弦定理可得，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，則，所以，當時，，則在上遞增；當時，，則在上遞減；所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.設數(shù)列是首項為的等比數(shù)列，已知、、成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記和分別為數(shù)列和的前項和，試比較與的大小.解：（1）因為是首項為的等比數(shù)列且、、成等差數(shù)列，設的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）由（1）可得.數(shù)列的前項和，①則.②由①②得，即.由，可得.16.如圖，已知直線與拋物線C：交于兩點，且，交于點，點的坐標為，（1）求的值．（2）若線段的垂直平分線于拋物線C交于E，F(xiàn)兩點，求的面積.解：（1）設Ax因為交于點，點的坐標為，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，，則，因為，所以，即，即，解得，（2）設線段的中點為，由（1）知，所以，所以，即，聯(lián)立，消去可得，，設，則，所以，又點到直線的距離為，所以的面積為.17.已知三棱錐中，平面平面，平面．（1）求證：（2）若二面角的正弦值為，且，，求．（1）證明：過作于，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因為平面，且所以平面，平面，因此．（2）解：方法一：過作于，連接，則平面，所以，所以即為二面角的平面角，所以，，又有（1）可得，設，則，所以，所以，從而；方法二：同方法一得，，設，則，所以，解得，從而；方法三：如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，記二面角為，設，由法一可知，，，，設面的法向量為，則，即，令，得，又面的法向量為，記二面角為，則，所以，解得，則，所以.方法四：如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，，設，有，，設面的法向量為，有，即，令，得，又面的法向量為，記二面角為，則，則，所以，解得，又，即，所以，則.18.在中，角、、的對邊是、、，已知，為常數(shù)．（1）若，，求面積的最大值；（2）若，，求的值．解：（1）方法一：當時，，由余弦定理得，所以，，設，則，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為.方法二：時，，即以所在的直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標系，則、，設，由得，化簡得，即的軌跡方程為，所以面積的最大值為.（2）方法一：由及正弦定理可知，由及，得，整理可得，解得或（舍），故.方法二：不妨設，則.由可得，所以，解得，所以，因此.方法三：不妨設，則，即，.以所在直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標系，顯然有、，所以點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓（除去長軸端點），設橢圓方程為，則，，，故橢圓方程為，即點在橢圓上.設，其中，則，，，，因為，，，，由可得，化簡即得，從而.故，從而.19.已知直線與軸交于點，與曲線交于兩點（其中在第一象限，在第二象限）．（1）若，試比較與的大??；（2）①若點恰好為的中點，證明：；②設，若，證明．（1）解：由，得到，設，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當