重慶市高2025屆高三第三次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，總共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求.

1.復(fù)數(shù)~的實(shí)部和虛部相等，則:；=()

A.1B,-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】復(fù)數(shù)的計(jì)算得到復(fù)數(shù)，實(shí)部虛部建立等式，解得。的值.

aa.]。

【詳解】復(fù)數(shù)--,因?yàn)閷?shí)部和虛部相等，所以2-[，即a=-l.

故選：B

2.已知向量萬、，且同書若不在6上的投影向量為耳',則1與6的夾角為()

xxx_

A.6B.4c,3D,2

【答案】C

【解析】

【分析】投影向量的定義得到等式，即可解出夾角.

r\_rtcrn?l|a|coj^-i-=cos^=licos^=-

【詳解】設(shè)《°'"?"刈0.可，由題意有田|-,2.3.

故選：C

3.已知數(shù)列SJ的前”項(xiàng)和為斗S.=”-4,數(shù)列㈤的通項(xiàng)公式為I2=1-屈，則“SJ為等

比數(shù)列”是“色)是遞減數(shù)列”的()條件

A,充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件求出對應(yīng)的/的值，由集合的包含關(guān)系，判定是否滿足充分必要條件.

【詳解】是等比數(shù)列，即義=1,是遞減數(shù)列，即4>。，所以是充分不必要條件.

故選：A.

4.已知非零向量Kb,Mab-o,函數(shù),(")=卜?用”叫,若〃-叫則實(shí)教―

的取值范圍是()

111,1

m>iR>一彳

A.JB.2C.-D.

【答案】A

【解析】

【分析】由條件且36.0,對函數(shù)化簡，根據(jù)偶函數(shù)的圖像的對稱性及單調(diào)性得

力的不等式，求解即得.

【詳解】???￡,是非零向量，且d

./(.V)=\a-xb|=a3-256.x4-&3x2=|a|'+|i|xJ

函數(shù)/C?是偶函數(shù)且開口向上，

.、1

v/(m)>/(l-/n)m>2.

故選：A.

&=

5.已知等比數(shù)列［°上單調(diào)遞增，前"項(xiàng)和為［6=殳%+4=4,則0()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)求出公比即可得解.

【詳解】在等比數(shù)列&:中，。？?="?廣3,又%+為=4,且10」是遞增數(shù)列，

解得q=1,4=3,則數(shù)列SJ的公比9滿足/=3,

.=%+%+%+gi(4+%+的)_［+/=4

所以W.+%+%

故選:D

a=ln->t=sin-.c=eJ,

6.已知33,則a，b,c的大小關(guān)系為()

A.c>b>a

B.c

c.b>c>a

D.n>b>c

【答案】A

【解析】

，1c

Q<b<，_T>-

【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明sin/vsi,可得3,利用導(dǎo)數(shù)證明e*三\+l,可得e3,又a<0,

從而可得結(jié)論.

a=In二v0

【詳解】3,

令，=SinV-T,求導(dǎo)可得/：V=cosV-1s0,

所以.’⑴在上單調(diào)遞減，所以了舊<了(0),所以5WL、<0,

*>no

sin二〈二0<b〈二

所以siniSY,所以33,即3,

令g(x)=「-x-L求導(dǎo)得g'(x|=J-l,

當(dāng)丁ey.O)時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)9(*)=--、-1在(-8,0)單調(diào)遞減，

當(dāng)、e(0,4?)時(shí)，g'(D>0,函數(shù)g(x)=e、x?l在(0,y)單調(diào)遞增，

所以於期0),所以所以+

J.1，

eJ>1-1=-c>三

所以33,即3,所以a<b<c.

故選：A.

7.將正整數(shù)如圖排列，第〃行有〃個(gè)數(shù)，從1開始作如下運(yùn)動(dòng)，先從左往下碰到2,記為a,再從a開始

從右往下碰到5,記為內(nèi),接著從%開始，從左往下碰到8,記為的.依此類推，按左右左右往下，

碰到的數(shù)分別記為勺力/,構(gòu)成數(shù)列5..則°1。=()

I

23

456

78910

1112131415

A.59B.60C.61D.62

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知對數(shù)列SJ用后項(xiàng)減前項(xiàng)，歸納出性質(zhì)：的.一科?“=%+1,=

然后由…+98計(jì)算可得.

【詳解】由題意得力-%=3,a「a,=3,a.-a1=5,…，所以的「％.1=%+1,

因此。誦=。1+(%??！?+1%-勺l+,+(13.-%)=61

故選：c.

8.在平行四邊形<5（?。中，點(diǎn)E是對角線BD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)后與A。'不重合），且

|可=|研+樂網(wǎng):在后=2,則四邊形而8的面積為（）

A.點(diǎn)B,2C;6D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可求得.4「?EB=0,進(jìn)而可得，貼=,此，利用向量的數(shù)量積求得月=6。°,求得面積.

【詳解】

|^|3=|^I|：+BEED=>AB2=AE\BE而=（而-近“石+石）+麗ED

=麗|而+荏+而|=而|而+而）=0

又四邊形43CD是u/13C7?,所以,45+4口=.4。，

所以而?初=0,所以47_LRB,所以=所以二4300為菱形.

cos福石=一"=二~」

由兩亞五7所以畫閹,

-cSg=AffxXDxsind=m*=m

所以角,4=60°,所以—2

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過向量的線性運(yùn)算與向量的數(shù)量積求得四邊形一組鄰邊的長與夾角，從而求得面

積，向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積是解決向量有關(guān)問題的基礎(chǔ).

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得。分.

9.已知兩個(gè)復(fù)數(shù)二1與不，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.若二i+與6口，則二1與二）互為共軌復(fù)數(shù)

B.若匕卜R,則二〉-

c若司,1闖?2,貝曲1+二，卜

D.若hT=L則匕+U的最大值為8+1

【答案】ABC

【解析】

【分析】舉反例即可求解AB,利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解CD.

【詳解】A選項(xiàng)：若二1二1-1,大=1,二1與與并不互為共軌復(fù)數(shù)；A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：虛數(shù)不能比較大??；必如二1=17,與=L匕卜匕」，但二「三無法比較大小，B錯(cuò)誤,

c選項(xiàng)：由于L+與E匕l(fā)+hl,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：設(shè)二?在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為二】，由匕一"二1

可知點(diǎn)4的集合是以m為圓心，1為半徑的圓.

匕+U表示點(diǎn)A到(T°’的距離，所以匕+1最大值為b+l,D正確，

故選：ABC

10.設(shè)a.b.c分別是二ABC的內(nèi)角Aa匚的對邊，則下列條件中能確定。為銳角的是()

A.a2+b2-c3=abB.ab=c3

C(a+261cosC+ccosJ=0Dsin(^4-5)=1-2cosj4sin5

【答案】AB

【解析】

【分析】選項(xiàng)A由余弦定理可判斷；選項(xiàng)B由余弦定理可判斷；選項(xiàng)C由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒

等變換可判斷；選項(xiàng)D利用三角恒等變換可判斷.

_a'+b'-c'ab1cn

cosC-----------------C=—

【詳解】對于A選項(xiàng)：2ab2ab2,即3,故A正確；

對于B選項(xiàng)：丁/=ab=a'+/-cosC22a6(l-cosC),

—>1—cosC:.cosC^—:.

,2,3,故B正確；

對于c選項(xiàng).：(a+2)cosC+ccos4=0,(sin4+?smB)cosC+sinCcos4=0,

?C-

sm(4+0)+2sjnBcos(?=0,]+2cosC=0,-T,故c錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)：；”n(4-B)=l-28s4iinB,..ftn<cosB-8$4mB=l-2co“sin3,

.c=E

sm(4+B)=l,-2,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.已知數(shù)列Sj滿足％=1,J=+CMMJT，/eN).則下列選項(xiàng)正確的是()

B.數(shù)列SJ是單調(diào)遞增數(shù)列

a、

C.若4,則瓦+'+%++%』<二

_-3M3+I6n-16/

D.若仆況+1,則d-+%=F

【答案】ACD

【解析】

_i卜——二，

a-Aa

【分析】由條件得出角標(biāo)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的等式，化簡得到今“1-"/'-1]，證明數(shù)列〔'，為等

比數(shù)列，判斷A選項(xiàng)；

根據(jù)三=',判斷B選項(xiàng)；求奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式，由放縮法得到結(jié)論，判斷C選項(xiàng)；求出偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公

式，由裂項(xiàng)相消求和，判斷D選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)：1％”=上物-1

1)

所以I上是等比數(shù)列，公比為4,首項(xiàng)為三，

=3-3*-1+11=1|23B-1I

33,所以選項(xiàng)A正確；

B選項(xiàng)：%=】=%,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

111手高J1

I337+-+?*+--<---------]

—=-......<—%aJaj?-l、4

C選項(xiàng)：?為奇數(shù)時(shí)，4-~,所以4

-3MJ+16I?—16w1-4(n-2)1n2(n-2)1

D選項(xiàng)：”為偶數(shù)時(shí)，“a+1--

所以

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

4_刀+3a^_

12.已知等差數(shù)歹/與0｝的前"項(xiàng)和分別為4與若凡工力+11,則b,

【答案】5##0.6

【解析】

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)以及等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.

9(%+%)

M=%=90+%)24=9+33

bs~9b5~9?+、)一貼+至-穌2(9+1)5

［詳解］―2-

故答案為：5.

13.設(shè)函數(shù)"有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.

fo.11

【答案】I-)

【解析】

【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)/'卜仁川9一門⑴有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于，'("=：/->n+l有兩個(gè)零點(diǎn)，等

價(jià)于函數(shù)】'=由》與J=1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象.由圖可求得實(shí)數(shù)

力的取值范圍.

【詳解】解：由題意，3+"Mr

令X)=lnx-2；m+1=0得卜口.2(m_1,

函數(shù)「"vhn-；帚有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于戶：'］=lixr_2i，n+1有兩個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于函數(shù)?」=：n丫與.V=-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

又直線”L1的圖象過定點(diǎn)，°'T),

當(dāng)直線.「=2”、一】與)'=瓜丫的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(‘J11nli1，

,11

V二—一

A,則切線的斜率為\,

j-kix-—r-x

所以切線方程為‘"0%0，

將點(diǎn)(°'7'代入得?1?小。??%,解得與=L

即切線的斜率為1,即二力=1,所以2,

由圖可知，當(dāng)°<3'時(shí)，與廣加-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

(。,—)

則實(shí)數(shù)力的取值范圍是2,

(0.—)

故答案為：2.

14.如圖所示，四邊形48CD內(nèi)接于圓。ADIIBC.AB-BCxSC+.rfiA2x+6y=3,則

四邊形的面積為.

【解析】

【分析】在3。延長線上取點(diǎn)N,使BN=9,取AB中點(diǎn)M,由已知可得MN過圓心0,求得

COSB=-

3,進(jìn)而可求得梯形的高與上底，從而可求面積.

【詳解】在BC延長線上取點(diǎn)N,使BN=9,取AB中點(diǎn)M,

7訪"57；,y]BO=iBN+KBM

又因?yàn)?。=.+”4所以3,

、。、二、+%=[-

由-、+b'=‘，可得3',所以直線MN過圓心。，

[

_A.Fcos5z-anB=二—―

在Pa-MSN中，BN=9,BM=3,所以3,3,

所以梯形48CD高為/BAD=BC-2ABcotB=2,

仞+30.=]6A

所以梯形/CD面積為

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過向量的線性運(yùn)算與點(diǎn)共線的判斷方法，進(jìn)而求得梯形的高與上底，從而求得面

積，向量的線性運(yùn)算是關(guān)鍵..

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知向量

xe\O.-

（1）若a“b,且,求1的值;

（2）設(shè)函數(shù)-1-"倍+3Lp|,求函數(shù)60.-

在區(qū)間L?」上的最大值以及相應(yīng)的T的值.

n

x=—

【答案】（1）

ft

（2）-T'J的最大值為-1,此時(shí)3.

【解析】

相皿1,結(jié)合同角關(guān)系即可求解,

【分析】（1）根據(jù)向量共線滿足的坐標(biāo)關(guān)系，即可得C"'=

/（x）=2sin

（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換可得’,即可利用整體法求解.

【小問1詳解】

Val(b,cosxsinxssin.v*0,cosx=>/3smx,

n

6.

【小問2詳解】

由題意得

/(x)=［百sinr(cosv-1)+2stn+sinx)-4=2x/3sinrcojx+2sin:x-4

n_3

6j

n5n

xeA0?—兀X--e

66*T

故當(dāng)~6~2時(shí)，即?取最大值-1,

.八”的最大值為-1,此時(shí)3.

16.新能源車性能測試，分為實(shí)驗(yàn)室檢測和路面檢測兩個(gè)階段.實(shí)驗(yàn)室檢測通過后才能進(jìn)入路面檢測，路面

檢測合格后該車才可投入生產(chǎn)，這兩個(gè)檢測階段能否通過相互獨(dú)立.其中實(shí)驗(yàn)室檢測階段.包括環(huán)節(jié)I和環(huán)

節(jié)IL兩個(gè)環(huán)節(jié)都通過才能通過實(shí)驗(yàn)室檢測，且這兩個(gè)環(huán)節(jié)檢測結(jié)果相互獨(dú)立.某公司汽車研發(fā)組研發(fā)出

12

甲、乙丙三種車型、現(xiàn)對其進(jìn)行性能檢測，實(shí)驗(yàn)室檢測階段中甲車通過Ln環(huán)節(jié)的概率分別為33,乙

2222

車通過I、n環(huán)節(jié)的概率分別為三7,丙車通過I、n環(huán)節(jié)的概率分別為V路面測試環(huán)節(jié)中三款車通

過測試的概率分別為］3

(1)求甲、乙、丙三款車型中恰有一款車通過實(shí)驗(yàn)室檢測的概率；

(2)記隨機(jī)變量X為甲、乙、丙三種車型通過性能測試的種數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

25

【答案】(1)54

夙?=?

(2)分布列見解析，1S

【解析】

【分析】(1)設(shè)事件A表示甲車通過實(shí)驗(yàn)室測試，事件2表示乙車通過實(shí)驗(yàn)室測試，事件C表示丙車通

過實(shí)驗(yàn)室測試,求出尸(4)、尸(B)和尸(C),求出甲、乙、丙中恰有一款車通過實(shí)驗(yàn)室測試的概率；

(2)求出隨機(jī)變量X可能的取值，分別求出概率，求出數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

設(shè)事件A表示甲車通過實(shí)驗(yàn)室測試，事件8表示乙車通過實(shí)驗(yàn)室測試，事件C表示丙車通過實(shí)驗(yàn)室測

試，

尸(#P(5)=ixr=lP(C)=^x2=l

則339,一，1,342,

則甲、乙、丙中恰有一款車通過實(shí)驗(yàn)室測試的概率為

P(ABC+ABC+加C)=a#F(g)FC)+代萬尸(8)尸C)+F(N)P(?)F(C)

=式”9時(shí)尚紙in卜上打;卷

【小問2詳解】

隨機(jī)變量X可能的取值為：X=0,1,2,3,

85280152812,85166

D/V=vI=**=I1=XXxX

963162,963963963162,

X0123

P8066151

162162162162

MSc80,,66,c15.19911

E(X?=0x-+1x—+.x—+3x----=------=—

所以數(shù)學(xué)期望16216216216216218.

17.已知數(shù)列SJ的前八項(xiàng)和為S.,滿足2sz-耳=201=1.

（1）求2”；的通項(xiàng)公式；

2+2

（2）若數(shù)列滿足a=7og]&,4,{%）的前”項(xiàng)和為、若不等式刁-2>Ac.

對一切正整數(shù)內(nèi)恒成立，求2的取值范圍.

【答案】⑴"

⑵Y0

【解析】

【分析】（1）利用二?久間的關(guān)系及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；

（2）由條件求出口,%,利用錯(cuò)位相減法求出工，進(jìn)而可求/的取值范圍.

【小問1詳解】

由3“-$.=2,令力=1,得風(fēng)?Si=2,即+%）-，=2,

又勺?】,得..五

25.S21

\*“*=_（萬之）n?工=S.-Szn況U=a?na“i=—a.

U.-D._]=--

11

又歸=針，符合上式，則-=T?”N]

則數(shù)列；，J是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

、1

2)(neN,J

【小問2詳解】

.ca=---------:-二小」

由題意得2”嗎仁1(—一(1)

所以1=1x21+2x3+.”+”x?■①，

3,U

27；=1X?+2X2+..+(H-1)X2+?X2*

②-①得

,3+1l1

Z=-lx2-(2+-+2-)+?x2-=-2-^_+nx2-=2+(n-l)2-

7；-2=(n-l)2**1

?.?不等式7一二-對一切正整數(shù)八恒成立，

1,AS2H-1

即不等式S-D-'2加二對一切正整數(shù)力恒成立，

2mNO

?eN,,In）,

A<0.

（1）證明｛""一?'；：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列;八」的通項(xiàng)公式；

（2）記d44i4*“的面積為Z,求彳；

++―

a.=ln—>bx=（6,1+b-&）=I777+三+7<1

⑶若511.求證：&-%電-%山「%nb,-a,

注：“5。中，若加=5,.n、4C=（WJ3）,則“8。面積一寸引」

【答案】（1）證明見解析,

（3）證明見解析

【解析】

【分析】(1)由已知可得'"'5'3由累加法可得的通項(xiàng)公式；

f2032

XA=|6r-5/:fI44?:=*—T

⑵利用⑴的結(jié)論求得“z1,I93),可求1；

n11

,<....------

(3)放縮法可得\a”，可證結(jié)論.

【小問1詳解】

y.-(-AVi).rB+.rB.i1u_1

nA=---------------=T-----5-y=-----------=-----------

T.-\-i3；-y,-in-n-i,同理1

V

匕4,-?、(.—)v-3--'l=j

S-，T^13,乂【，

自:則

所以u，“一J1是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,

所以

令"用心引,則基—),同理4"匕丁間,

【小問3詳解】

92

a_=111-71=3〃ln二

所以5

“111111

----------2----------SA<S-------S------

曲-4b「工“-3昨b-3K-1]6'+lA%

則"3?(3J

所以

123nI')f1(11、

++----------+…+-----------<———+1———+…+-—

“一%--為一%-36,-a,血-a.gb2)g%)gK)

111,

=―<—=1

a七、a

f(TI-=—a(lnv「-i〃+T<lnT+2v-2,a>0

19.已知‘

(1)討論”的單調(diào)性；

(2)若aD'ei,討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)若'=，門?=°,且〔<二<4,證明：存在唯一實(shí)數(shù)a,使得』L=1,

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，分類討論可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)結(jié)合(1)分類討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑶由⑵可知，要滿足題意，則ae(OJ),可得出+"伽T-4*+町-4=0,通過構(gòu)造函

數(shù)，

判斷唯一性即可.

【小問1詳解】

_(Inx-DQ-x)

①當(dāng)ajO.e)時(shí)，，門〕在(O.a)單調(diào)遞減，在9^1單調(diào)遞增，在任.小小單調(diào)遞減；

②當(dāng)a=e時(shí)，/⑺在(。+8)單調(diào)遞減；

③當(dāng)a>e時(shí)，一門”在(O.ei單調(diào)遞減，在'單調(diào)遞增，在(口,+