第十一單元直線與圓的方程

11.1直線方程

1.直線2xcos?-y-3=0(ae(---1)的傾斜角的變化范圍是()

63

A.[-,-JB.-JC.-)D.[-,—]

63434243

答案B

解析因為直線2xcosa-y-3=0的斜率A=2cosa，由于。€[工，2]，所以，歿如sa—,

6322

因此％=2ccsae[l,73].設直線的傾斜角為。，則有tanOeU，揚，由于6e[0,兀),

所以Owg,1],即傾斜角的變化范圍是《，故選B.

2.已知A(—1,O),8(0,2),宜線/:2x—2qy+3+a=0上存在點尸，滿足|/川+1P8|=0,

則/的傾斜角的取值范圍是()

A.亨爭B.%U苧乃)

U[。當》(0.￡口號,外

444^4

答案D

解析設P(x,y),貝ijx=ay-等，又|從臼="百=6,且1PAi+1P3|=,

所以點。的軌跡為線段鉆，因為線段4?的方程為)，-2=士上.(x-o),即)，=2x+2,

0—(—1)

y=2x+2

xe[-\,0],聯(lián)立方程組＜2,t—2a)，+3+a=O,解得。2x+3=上2A-+三3，直線/的斜率為

I-1M0

&=_IL=竺4v+二，設/的傾斜附為a,lllljtan?4=v4--^=2一——A,因為一1領k0,所以

a2x+32x+32H+3

-1融-——I.即-啜hnc1,?！?0,乃)，解得aw(o白[4包㈤，故選D.

3.經(jīng)過點尸(3,2)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是.

答案：2.r-3y=O或x+y-5=0

解析：直線/在X,〉，軸上的截距均為〃，

若a=0,即/過點(0,0)和(3,2),「./的方程為y=4,即2x-3y=0.

3

若〃wO,則設/的方程為凹+2=1,?”過點(3.2),-+-=1,

aaaa

.?.a=5,.J的方程為x+)，-5=0,

綜上可知，直線/的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.

4.經(jīng)過點A(-j3,3),且傾斜角為直線j3x+)，+l=0的傾斜角的一半的直線方程為

答案&%-丁+6=0

解析：由直線Gx+)，+l=O可得y=-Gx-l,設傾斜角為6.則斜率&

tan0=—>/3.

.?.<9=120。..??要求的直線傾斜角為60。.

其斜率為75..?.要求的直線方程為：y-3=G(x+&),化為6x-)-6=0.

5.在A4AC中.已知4(5.-2),邀7,3).日八r1功的中點”在y軸卜,AC功的中點N在x

軸上，則直線MN的方程為.

答案5x-2y-5=0

解析：設C(毛，％),則4c中點M(三臺.當心)，3c中點八(三區(qū)，唱H).在)，

軸上，=0,%=-5.N在x軸上，=0,%=-3.即C(-5,-3).v/Vf(0,--),

N(l,0),.?.直線MN的方程為二+義=1,即5x-2)，-5=0.

1_w

6.直線xsina-y+2=0的傾斜角的取值范圍是()

A.[0,幻B.(0,￡口￥/)

4^4

C.[0,1D.[0,1U(尹)

答案.B

解析：根據(jù)題意，直線xsina-y+2=0,其斜率％=sina,乂臼一掇米ina1,則其斜率&的

取值范圍為[-1,11：則直線xsina-y+2=0的傾斜角的取值范圍是[0,-]lJ[—,外；

4^4

故選B

6.AA8C的三個頂點分別為4-3,0),8(2,1)，C(-2,3),求：

(1)8C邊所在直線的方程；

(2)4C邊上中線AO所在直線的方程：

(3)8c邊的垂直平分線Q￡的方程.

解析：(I)AC邊所在直線的方程為：)，-1=上！-(%一2),化為：x+2y-4=0;

-2-2

(2)線段5C的中點以0,2),可得3c邊上中線AD所在直線的方程：—+^=1,化為：

-32

2x-3y+6=0;

(3)knE=--!一=2..?.4C邊的垂直平分線的方程為：y=2x+2.

kBC

7.已知直線/過點M(2,l),且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于八，8兩點，O為原

點，當IM4HM8I取得最小值時，直線/的方程為.

答案x+y-3=0.

解析直線/過點M(2,l),且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A,8兩點，O為原

點，

設直線/:y-l=k（x-2）（女<0）,則有42-1,0）、仇0』-26,

.?.IMA\-\MB\=J(-)2+1-"+4代=2("K)=2(」+(-幼...2x2,

Vk|A:|k

當且僅當A=-1時，取等號，

故IM4HM切取最小值4,此時直線方程為％+y—3=0,故答案為：x+y-3=0.

22

8.已知直線《：ov—2)，=2a—4,l2:2x+ay=2a+4,當0<〃<2時，直線《，4與兩坐標

軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)。=—.

【答案】

2

【解答】解：根據(jù)題意，如圖所示：

由于直線4:aM-2.y=2a-4,當x=0時，y=2-a,即直線人和)，軸交于點40,2—a),

由于直線4：2x-/y=2/+4,由于6與x軸交于點。("+2,0),易知：(和％均經(jīng)過定

點(2,2),即兩直線交于點以2,2).則四邊形AOBC的面積

x22a

=^MOB+^ABOC=^(2-a)x2+ix(a+2)x2=(fl-^)'即當~\時'

S而“=--.故答案為：—.

,mn47

9.已知兩點4-3,4),3(3,2),將直線/:依-)」2&-1=0繞著它所過的定點旋轉90°得到直

線1，若直線廠與射線A8有公共點，則實數(shù)A的取值范圍為一.

答案

解析直線/:依一y-2A-l=0,即女(x-2)-y-l=0,令2°，解得x=2,y=-l.可

-y-\=0

得直線/經(jīng)過定點P(2,-1).直線/:"-)」2A-1=0繞著它所過的定點旋轉90°得到直線

r-.y+\=--(x-2),(k^O).A.=4(T)=T,即8=2TT)=3,?.?直線/'與射線AB

k-3-23-2

有公共點，則實數(shù)R的取值范圍為-L.3,或」,，-1,解得0>女…或0<幺,1.

kk3

2=0時也滿足.綜上可得：實數(shù)&的取值范圍為1-Ln.故答案為：-Li].

33

10.己知點A（l,3）,B（-Z-I）,若直線/:），=左*-2）+1與線段AB相父，則&的取值范圍（

）

A.k..—B.k、、—2

2

C.k」或h-2D.-2M-

22

【答案】D

【解答】解：直線/:），=A（x-2）+l經(jīng)過定點尸（2,1）,

kPA=---=-2?kp"=—!--=—?又直線—2）十1與線段/仍相交，一2強朱—.

1—2—2—222

故選D.

11.（2021?廣東江門高三一模）如圖，平面四邊形48。的頂點都在坐標軸上，直線八B的

【答案】C

【解析】三角形的外角公式可得=所以

tanZABC=tan(NxCB-ZxAB)=&仁%

?+

12.（2021?云南昆明市一模）若等邊三角形一邊所在直線的斜率為3石，則該三角形另兩

條邊所在直線斜率為（）

RG百

7-3D.-f----

542

7-3

C-T5

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設三角形另兩條邊所在直線的斜率為卻??,且〃

則有tan6（T=友更=6,解得心立，〃2一直，故另兩條邊所在直線斜率

1+3向1+3AM52

為一直，立.故選C.

25

13.（2022?山東荷澤東明一中開學考）若等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為9

則斜邊所在直線的斜率為（）

A.-1或2B.-4或3C.-上或4D.-1或5

2345

【答案】C

【解析】因為等腰直角三角形一條口角邊所在直線的斜率為：3，即用=3]，設其傾斜角為。，

3

則tana=1,因為斜邊與宜角邊的傾斜角相差45。，則斜邊的假斜角為a+45?；騛-45。，

—3+],-3---I,

Lil/〔ana+15彳/tantz-151

所以【an（a+45°）=-----------=^--=4,tan（a-45°）=-----------=&~^=——,

1-tana.31+tana.34

I1n—

55

所以斜邊所在直線的斜率為或4.故選C.

4

14.（2022?江蘇鹽城一中月考）2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)

展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有?個角尖正向

上方，四顆小五角星均各有一個角尖止對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)

與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，00、,。。2,（）0、,

。。1分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結線，則第三顆小星的一條邊A3所

在直線的傾斜角約為（）

*二七

A.OB.rc.2D3

【答案】C

【解析】Q。。,都為五角星的中心點，平分第三顆小星的一個角，

又五角星的內(nèi)角為36。，可知NBAO3=18",過OI作x軸平行線。萬，則NOQE=aW6,

所以直線AB的傾斜角為18。-16。=2。,故選C.

15.(2021吉林白山撫松一中第一次月考)已知A(l,0),3(-1,2),直線/：2x-ay-a

=0上存在點P,滿足|RM+|P8|=2及，則實數(shù)。的取值范圍是.

2

【答案】[一早2]

【解析】因為|A4|=1-1-1)2+(2-0)2=2忘,H|P4|+|P/?|=2>/2,由圖可知，點。的軌

跡為線段AB,將點A,8的坐標分別代入宜線/的方程，可得。=2,?=-1,由直線/的

方程可化為：2x-a(y+1)=0,所以直線/過定點C(0,-1),

㈣出圖形，如圖所小:

2-(-li

因為直線AC的斜率為總c=l，直線8c的斜率為依c=Ti=-3,

2IN2.

所以直線/的斜率為令：，解得-9力三2,所以“的取值范圍是[-9,2],

〃2,c33

11.2兩直線的位置關系

1.若直線2x+3），-1=0與直線4x+〃?y+ll=0平行，則它們之間的距離為（)

A.巫29「曲12G

B.----V.---n-U.-----

2131313

答案A

解析：?.?直線2x+3y-l=0與直線4x+〃p+11=0平行，「.2〃7=4x3，解得”?=6,，直線

2x+3y-l=0可化為4x+6），-2=0,由平行線間的距離公式可得d=匕一?=理故

選A

2.（2021?北京模擬）已知〃!eA,過定點A的動直線爾+），=0和過定點B的動直線

工-"9-機+3=（）交于點P,則|PA|+J5|P8|的取值范圍是（）

A.（710,27101B.（而，回]

C.而，屈）D.[加2洞

答案：D

解析：由題意可知，動直線〃a+.y=0經(jīng)過定點40.0），動直線X-，沙-5+3=0即

-〃?（），+1*+3=0,經(jīng)過點定點8（-,3-1）,?.?動直線〃n+y=0和過定點8的動直線

=O滿足，”乂1+1乂（_,”）=0.?兩宜線始終垂直，夕又是兩條直線的交點，

s.PALPB..-.|PA|2+|PB|2=AB|2=10.設

則|PA|=Vitsin。，|P8|=?5cose,由1pAi..0且|08|..0,可得。引0,芻則

2

\PA\+j3\PB|=而sin6+G?廂cos。=2而sin?9+-）,

3

V6>+-€[-,—],/.sin（6>+-）€[-,l],/.27i0sin（<94--）€|Vi0,2加],故選D.

3.P,Q分別為直線3x+4y-12=0與6x+8y+5=0上任意一點，則|PQ|的最小值為（

）

A.2B.史C."D.”

55105

答案:C

解析:P,Q分別為直線3x+4.y-12=0與6x+8y+5=0上任意一點，則|PQ|的最小值為兩

條平行線之間的距離，6i+8.y+5=0即3x+4.y+|=0,所以|PQ|的最小值為：

lf+12129

故選C.

出、不一記.

4.經(jīng)過兩條直線4：x+y—4=0和/2：工一.），+2=0的交點，旦與直線2入一），一1=0垂直的直線

方程為.

答案x+2y-7=0

解析：經(jīng)過兩條直線，：x+y-4=0和/,:x-)，+2=0的交點，則：r+)v-4八=0八，解得

x-y+2=0

,所以交點坐標為(1、3),與直線21-)，-1=0垂直的直線方程的斜率為4=-；,

所以直線的方程為y-3=-l(x-l),整理得x+2.y-7=0.

5.已知點0(0,0),A(4,0),8(0,4).若從點尸(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后過點0(-2,0),

則反射光線所在直線的方程為_x-2y+2=0_：若從點M(〃?、0),mw(0,4)射出的光線經(jīng)

直線八8反射，再經(jīng)直線(用反射后回到點M,則光線所經(jīng)過的路程是一(結果用〃?表示).

答案x-2y+2=0；J2/+32.

解析：根據(jù)題意，設點4(億少與點。。,0)關于直線4?對稱，則6在反射光線所在直線上，

乂由44,0),3(0,4),則直線AB的方程為x+y=4,

上=14

則有二；，「‘解可得:’即…

反射光線所在直線的斜率為=上土=,，則其方程為y-0=1。+2),即x-2)，+2=0：

4-(-2)22

設點%)與點“關于直線A8對稱，點柱與M關于y軸對稱，易得M式-,小0)；

線段MM2的長度就是光線所經(jīng)過的路程，

-^―=1

則有，解可得：?,即M|(4.4-〃?)，又由M,(-/n.O),

%=4-m

22

22

貝lj|M.M2\=7(4+w)+(4-/n)=42M+32；

故答案為：X—2y+2=0；V2m2+32.

6.(2021?寧德一模)已知點A(-2,l)和點4關于直線/:%+)，-1=0對稱，斜率為〃的直線〃?

過點人交，于點C，若AA8C的面積為2,則女的值為()

A.3或』B.0C.-D.3

33

答案B

解析設直線，〃為y=-x+2)+l,點4-2,1)到直線/:x+y-l=0的距離為

d—--~~—=拒，設C到直線AB的距離為〃，由S”花=—?2\f2?h=2＞故〃=0,所

V22

以|AC|=2,由二/得C(一由((—三+2/+(魯1-1/=4,化

[y=k(x+2)+\k+\k+\k+12+1

簡得4公+4=軟2+8&+4,即攵=0,故選B.

7.（2021春?興慶區(qū)校級期末）己知直線/與直線4：3%-），+3=0和，2：3%-），-1=0的距離相

等，則/的方程是（）

A.3.v-y+2=0B.3x-y-2=0

C.3x-y-3=0D.3x-y+l=0

【答案】D

【解析】直線/與直線4：3x-y+3=O和4：3x-）I=O的距離相等,故宜線/與直線《、/?

平行，設直線/方程為3x-y+c=0,根據(jù)=求得c=l,故/的方程是

V9TlX/9T|

3x-y+l=0,故選D.

8.（2021春?百色期末）已知直線4:〃tr+4y-2=0與4：2x-5j+〃=0互相垂直，其垂足為

（Lp）,則/〃+〃一〃的值為（）

A.4B.-16C.DD.20

【答案】C

【解答】解：\?直線〃n+4y-2=0與2x-5y+〃=0互相垂直，二丹乂［=一1,.?.〃?=10,

直線“2X+4V—2=0HP5.V+2,V-1=0>垂足（1,〃）代入得，5+2/?-1=0./.p=-2.把

尸（1,一2）代入2x—5），+〃=0,可得〃=-12,.?.〃?+〃一〃=10-12+2=0,故選C.

9.（2021春?城關區(qū)校級期末）已知三條直線2x-y-3=O,4犬一3），-5=0和m+y—3a+l=0

相交于同一點P.

（1）求點尸的坐標和“的值：

（2）求過點（-2,3）且與點P的距離為2石的直線方程.

2x-y-3=0x=2

解析：（1）聯(lián)立《，解得

4x-3>'-5=0）二1

.?.點P（2,l）.將P的坐標（2,1）代入直線依+），-3。+1=0中，可得%+1—孔+1=0,解得

a=2.

（2）設所求直線為/,當直線/的斜率不存在時，則/的方程為4=-2,

此時點P與直線，的距離為4,不合題意.

當直線/的斜率存在時，設直線/的斜率為0

則/的方程為y-3=k（x+2）,即《一y+2々+3=0,

因此點尸到直線/的距離d=空+2%±3!=2石,

解方程可得k=2.所以直線/的方程為2x-），+7=0.

10.（2021?河北遷安期末）"，〃=2'’是"直線小如+4y-6=0與直線，2：x+my_3=0平行”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】當機=2,：兩直線方程分別為：2x+4)，-6=0與直線J+2)，-3=。此時兩直線重合,

充分性不成立.

若直線4：皿+今-6=0與直線門+*3=0平行,

則當〃?=0時，兩直線方程分別為4?，-6=0或x—3=0,此時兩直線不平行，

當小工0,若兩直線平行，則;=

1m-3

即nr=4且小。2,解得m=-2,即必要性不成立，

故“小=2”是“宜線4：m+”-6=0與直線4+〃少-3=0平行”的既不充分也不必要條件.

故選D.

11.(2022?江蘇揚中二中第一次檢測)已知定點*-2,0)和直線

/:(l+32)x+(I+22).y=2+54/le/?),則點F到直線/的距離的最大值為()

A.2x/3B.V10C.^4D.2而

【答案】B

【解析】將(1+31)％+(1+2"=2+54變形得―)+g+2y-5)=0,

所以/是經(jīng)過兩直線x+y-5=0和女+2)，-5=0的交點的直線系.

設兩直線的交點為Q,由得交點Q(w)，所以直線/恒過定點Q(i/)，

、*

于是點P到直線/的距離d<\PQ\=J(-2-iy+(0-1)2=M，即點P到直線l的距離的最大

值為

12.(2022?江蘇南京人民中學月考)若三條直線x-2y+2=o,x=2,x+6=0將平面劃

分成6個部分，則實數(shù)k的取值情況是()

A.只有唯一值B.有兩個不同的值

C.有三個不同的值D.無窮多個值

【答案】C

【解析】若三條直線*2)，+2=0,x=2,x+妙=。將平面劃分成6個部分，則其中有兩條

直線互相平行，第三條直線和這兩條平行線相交，此時2=-2或攵=0；或者三條直線經(jīng)過

x—2v+2=0%—2

同一個點，聯(lián)立一一’解得一'則點⑵2）在直…=。上，此時一

綜上，2=—2或4=0或〃=一1.故選C.

13.過2x+y+8=0和x+），+3=0的交點，且與直線2x+3y-10=0垂直的直線方程是

【答案】3A-2y+19=0

2x+y+8=0；二。即交點為哈,2）.

【解析】解方程組々八，得

x+)，+3=0

93

???直線2入,+3），-10=0的斜率￡=-彳，，所求直線的斜率是:?收所求直線的方程是

y-2=|(.v+5),即3x-2y+19=0.

14.（2021春?青銅峽市校級期末）己知兩點A（-1.3）,8（3,1）,當C在坐標軸上，若

446=90。，則這樣的點C的個數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

答案C

解析：|45|=J（3+1）2+（1_3）：=2石,作ABC的外接圓，r=5當ABC為等腰直角三角

形時候，C。為4?邊上的高等于/=6，而原點O到4?距離為4+2?=&=「,而根據(jù)

外接圓定義，點。必落在圓。上，根據(jù)圖示，可以判斷符合條件的C分別為E，F(xiàn),O三

點，即C點有三個.如圖：

15.（2021春?黔西南州期末）已知直線4:y-3x-2,/2:€.v-2y+1-0,則人與4之間

的距離為（）

A石R石「府n而

A.——B.——C.------D.-----

2424

答案D

解析：宜線4的方程可化為3%-），-2=0,即6%-2），-4=0；所以兩平行線4與6之間的距

離為d=LU=羋.故選D.

72+(—2尸4

16.(2021?朝陽區(qū)校級開學)己知直線人-y+2k-l=O恒過定點A,點A也在直線

nLx+ny+\=Oh?其中〃?，”均為正數(shù)，則l+2的最小值為.

mn

答案8

解析：?.?直線心—)，+2〃-1=0,即*。+2)—>，-1=0,令x+2=O,求得x=-2,y=-l,

可得它的圖象恒過定點4-27).

,點A也在直線〃d+町，+1=0上，其中〃？，〃均為正數(shù)，.?.一2"，一〃+1=0，即2〃?+〃=1.則

-+-=(-+-)(2w+zz)=2+-+—+2...4+2./--=4+4=8,當且僅當〃=2〃?時，等

mnmnmnVmn

號成立，.?.2?+2的最小值為8,故答案為：8.

mn

17.(2018秋?衡陽縣期末)已知直線4:x+2y+l=0,:-2x+y+2=0,它們相交于點4.

(1)判斷直線4和4是否垂直？請給出理由；

(2)求過點A且與直線。：3.x+y+4=0平行的直線方程.

解析：(I)直線4的斜率K=-3,直線4的斜率七=2,-.?^1^=-lx2=-l,.-./11/2

(2)由方程組°解得點A坐標為弓，-§，直線&的斜率為-3,所求直線方

4a

程為：y-(一一)=一3(*_二)化為一般式得：3x+y-1=0.

55

考能提升

18.直線4：0￥+6)，一6=0,直線Z2:2x+3y+5=0,若4/%，則"=:若則〃=

答案4,-9

解木升；直線4:<xv十6),—6=0,直線4：2x+3y+5=O,若【J%,nJ,

235

解得a=4；若“4，則2tf+3x6=0，

解得a=-9.故答案為：4,-9.

19.(2021春?瑤海區(qū)月考)已知直線,的方程為(2-〃?)x+(2"i+l))，+3m+4=0,其中meR.

(1)求證：直線/恒過定點；

(2)當機變化時，求點尸(3,1)到直線/的距離的最大值：

解析：(1)證明:直線/的方程為(2—/n)x+(2m+l)y+3m+4=0,其中zneR.

化為：M7+2y+3)+(2x+)+4)=O.令『“+2、+3=0,解得卜=一1.則直線/經(jīng)過定

2x+y+4=0[y=-2

點(―1,—2).

(2)解：當〃[變化時，PQ_L直線/時，點P(3,l)到直線/的距離的最大

=7(-1-3)2+(-2-1)2=5.

20.(2021?皇姑區(qū)校級二模)在直角坐標系xOy中，已知直線/:%cos6+y-sin9=I,當。變

化時，動直線始終沒有經(jīng)過點定點Q的坐標(-2,0),則|PQ|的取值范圍為()

A.[0,2]B.(0,2)C.[1,3JD.(1,3)

答案D

解析(解法1)由原點0(0,0)到直線/:xc(is^+ysin^=l的距離為

104-0-11

Jcos20+sin10

所以直線是單位圓的切線，點P在單位圓內(nèi)：所以點Q到點P的距離|PQ|的取值范圍是

(1,3).故選D.

(解法2)由題意知，點P坐標不確定，

當8=0時，直線/:r8$夕+)，?11夕=1化為1=1,直線/上的點A(l,0)到點Q的距離為3,

可以排除選項C：

當，=乃時，直線/:xcose+ysin6=l化為s=T,直線/上的點8(-1,0)點Q的距離為1,

可以排除選項A、B、C：所以|PQ|的取值范圍是(1,3).故選D.

21.(2021春?秦淮區(qū)校級期末)已知直線4:h+y=0(AeR)與直線/2：.*-⑥+24一2=0相

交于點A,點8是(x+2)2+(>，+3)2=2上的動點，則|AB|的最大值為.

答案5+2應

解析直線《：6+)，=0(A6陽恒過定點尸(0,0)，直線4：X-妙-2左一2=0經(jīng)過定點Q2,2),

由hl+1?(-2)=(),可得小《相互垂直，可得A在以PQ為直徑的圓G：(x-l)2+(y—l)2=2

上，又B是圓G：(x+2)2+(y+3)2=2上的動點，可得\AB\的最大值為

|C,C,|+2V2=7(1+2)2+(14-3)2+2>/2=54-2>/2.故答案為：5+2拒.

22.(2021春?信陽月考)一亙線過點42.2)且與x軸、y軸的正半軸分別相交于5、。兩

點，O為坐標原點.則|OB|+|OC|-|8C|的最大值為.

答案8-4>/2

解析:設岫0),C(0,c),。>0,c>0,

則宜線方程的截距式為2+上=1,由A(2,2)在直線上可得：-+-=1,即灰=2c+加，因

bcbc

為1=泊..2在,所以權,?.24,當且僅當〃=4,c=6時取等號，

所以1。以十|。。1人|="5標^=("°+標3犍二正五

b+c+JZr+c2

_21K_2bc

b+c+>j(b^c)2-2bcbe卜bc)[_

=_普_^==8-472.

2

b0+yl(hc)Shc]+R

故答案為：8-472.

23.已知a>0,b>0,直線4:x+(a—4)y+l=0,A:2Z?.v+y-2=0,且《_L/、，則+

a+\2b

的最小值為()

49

A.2B.4C.-D.-

55

【答案】D

【解析】因為4_L，2，所以4+〃一4=0,即a+I+2Z;=5.

因為a>0,〃>0,所以a+l>0,2/?>0,

所以：

2b?+l,4,9

+1=(—+—)xl(?+l+2^)+1=-(2+—+—-----------)+1=-+l=-

a+\2ba+\2b?+121J55?+12b?+l2b55

,當且僅當〃=?,人=工時，等號成立，故選D.

24

24.在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x+2y+l=0和

x+2y+3=0,另一組對邊所在的直線方程分別為3x-4.v+臼=0和3x-4y+c,=0,貝U

Iq-c21=（）

A.2x/3B.275C.2D.4

【答案】B

【解析】由題意，根據(jù)菱形的兩組對邊間的距離相等，所以萼生=1二4,解得

|9一6|=26.故選8

25.設直線4:-2）'1=0與直線&-（3—ni）x+my+m~—3m=0,rn為'丈數(shù).

⑴若4〃乙,求小4之間的距離;

（2）當/〃=2時，若光線沿直線4照射到直線上后反射，求反射光線所在的直線的方程.

解析：（1）■直線4:x-2y-l=0與直線4:（3-〃?）x+〃?y+"L-3/〃=0,加為實數(shù)，

若4〃/,,則三%二工上網(wǎng)，求得〃=6,

,-1-2-I

故直線4:x-2y-l=0,直線4：-3x+6y+l8=O即x-2y-6=0.故（，4之間的距離為

Vl+4

（2）當機=2時，若光線沿直線（照射到直線，2：*+2），-2=0上后反射，則由反射定律可

得，直線4與直線4的關于直線/，對稱.由「一?'一廠!，求得，，可得直線人與直線

x+2y-2=01

■卜二

4的交點例(3,顯然，M在直線4上.再根據(jù)4到4的角等于4至心的角，設4的斜

求得A=-U,求反射光線所在的直線4的方程為

11I1

y—=---(x-二)，BP1Lv+2y—17=0.

■422

11.3圓的方程

1.已知圓C的圓心在K軸上，并且過點4-1,1)和3(1,3),則圓的方程是.

答案(A-2)2+/=10

解析：?.?圓。的圓心在x軸上，設圓心為“30),由圓過點A(T,1)和B(l,3),由IMARM8I

可得M42=MBt即(a+iy+]=(a-])2+9,求得々=2,可得圓心為M(2,0),半徑

為|M4|=j32+1=癡，故圓的方程為(＞一2)2十,2=io.

2.若四點45,0),8(-1,0),C(a,2),。(3,-2)共圓，則正實數(shù)。=()

A.2B.3C.4D.5

答案D

25+5D+F=0

解析設圓的方程為丁+產(chǎn)+瓜+砂+產(chǎn)=0,代入人，B,3,可得＜1-。+”=0

9+4+3D-2E+F=0

:.D=-4,E=-2,F=-5,.,?圓的方程為丁+),2一4.2),一5=0,C(a⑵代入可

a2+25-4a-4-5=0?「."=5,故選D.

3.已知圓。與直線x—)，=0及工一)，一4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程

為()

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

【答案】B

【解析】圓心在x+y=0上，圓心的縱橫坐標值相反，顯然能排除C、D；

|2|

驗證：4中圓心(-1.1)到兩直線x-.v=0的距離是V2：圓心(一1.1)至U直線x—衛(wèi)一4=0

的距離是￡=3企工友.

故A錯誤.故選B.

4.已知圓C的圓心在直線x+y=0上，圓。與直線x-y=0相切，且在直線x-y-3=0上

截得的弦長為遙，則圓C的方程為.

a+〃=0

a=1

，解得卜=-1.

解析：設圓心為。3力)，半徑為「，由題意可得,一用

夜

r=y/2

(告為+(當

.?.圓C的方程為(x-1)2+()，+1)2=2.故答案為：(x-1)2+(y+ll2=2.

5.已知圓V+)，=4上一定點.4(2,0),3(1,1)為圓內(nèi)一點，P,。為圓上的動點.

(I)求線段”中點的軌跡方程：

(II)若NPBQ=90。,求線段PQ中點的軌跡方程.

解析：(I)設AP中點為M(.r,y),由中點坐標公式可知,用點坐標為(2X-2,2y)

?"點在圓W+y2=4上，:.(2x-2)2+(2y)2=4.故線段A尸中點的軌跡方程為

(1)2+)，2=1.

(II)設PQ的中點為N。,)，)，在RIAPBQ中，IPNRBNI，設。為坐標原點，則ON_LPQ,

所以|OP『=|ON『+|PN|2=|ONF+|8N|2,所以Y+9+*-方+(,,-])?=4

故線段尸。中點的軌跡方程為x2+.y2-x-y-l=0.

6.已知點P(x,y)在圓丁+()，-1)2=1上運動，則上二1的最大值與最小值分別為________

x-2

【答案】烏-立.

33

解析：點P(x,y)在圓Y+(),_1)2=]上運動，如圖，

匕的幾何意義為圓C上的動點與定點42.1)連線的斜率，設過A的直線與圓。分別切與

x-2

B、。，則ian/CW=在，,上二1的最大值為正，由對稱性可得，立■的最小值為一3.

3x-23x-23

7.(2019.海南?？谀M)已知實數(shù)x,y滿足丁+)，_4%+3=0,則x+y的取值范圍為(

)

A.[1,2+V21B.(2->/2,2+V21

C.(2->/2,1]D.[0,2+x/2]

答案B

解析x2+y2-4x+3=0,可化為(x-2)2+y?=1,令f=xEPx+y-/=0,則圓心到

8.已知實數(shù)x,y滿足方程V+)，2-4.?+1=0,求：

(1)工的最大值和最小值：

X

(2)y-x的最小值：

(3)的最大值和最小值；

(4)2/+V一4.1一6的最大值.

解析：(I)方程“2+)，2一41+1=0表示以點(2,0)為圓心，以行為半徑的圓.

設2=0即)，=依，由圓心(2,0)到)，="的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、

X

最小值，由畢$=6,解得公=3..42=6,%=