第3節(jié)空間直線、平面的平行課程標(biāo)準(zhǔn)要求1.以立體幾何的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn),通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證,認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定.2.能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.必備知識·課前回顧關(guān)鍵能力·課堂突破文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線

,那么該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)因?yàn)?/p>

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,所以l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行(線面平行?線線平行)因?yàn)?/p>

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,所以l∥b必備知識·課前回顧回歸教材夯實(shí)四基知識梳理1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理l∥aa?αl?αl∥αl?βα∩β=b平行2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行(線面平行?面面平行)因?yàn)?/p>

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,所以α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行(面面平行?線線平行)因?yàn)?/p>

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,所以a∥ba∥βb∥βa∩b=Pa?αb?αα∥βα∩γ=aβ∩γ=b重要結(jié)論1.平行間的三種轉(zhuǎn)化關(guān)系2.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.3.平行問題中的唯一性(1)過直線外一點(diǎn)與該直線平行的直線有且只有一條.(2)過平面外一點(diǎn),與該平面平行的平面有且只有一個(gè).對點(diǎn)自測D1.平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(

)A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α解析:若α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,則a∥α,a∥β,故排除A;若α∩β=l,a?α,a∥l,則a∥β,故排除B;若α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,則a∥β,b∥α,故排除C.故選D.B2.已知直線l和平面α,若l∥α,P∈α,則過點(diǎn)P且平行于l的直線(

)A.只有一條,不在平面α內(nèi)B.只有一條,且在平面α內(nèi)C.有無數(shù)條,一定在平面α內(nèi)D.有無數(shù)條,不一定在平面α內(nèi)解析:過直線外一點(diǎn)作該直線的平行線有且只有一條,因?yàn)辄c(diǎn)P在平面α內(nèi),所以這條直線也應(yīng)該在平面α內(nèi).故選B.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中點(diǎn),則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為

.解析:如圖所示,連接BD交AC于F,連接EF,則EF是△BDD1的中位線,所以EF∥BD1,又EF?平面ACE,BD1?平面ACE,所以BD1∥平面ACE.答案:平行4.設(shè)α,β,γ為三個(gè)不同的平面,a,b為直線,給出下列條件:①a?α,b?β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能推出α∥β的條件是

(填上所有正確的序號).

解析:①③中α,β可能相交也可能平行,②④中α∥β.答案:②④關(guān)鍵能力·課堂突破類分考點(diǎn)落實(shí)四翼考點(diǎn)一直線、平面平行的基本問題1.設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是(

)A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一個(gè)平面B解析:若α∥β,則α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行,反之不成立;若α,β平行于同一條直線,則α與β可以平行也可以相交;若α,β垂直于同一個(gè)平面,則α與β可以平行也可以相交,故A,C,D均不是充要條件.根據(jù)平面與平面平行的判定定理知,若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行,反之也成立,因此B中的條件是α∥β的充要條件.故選B.C2.已知兩條不同的直線a,b,兩個(gè)不同的平面α,β,有如下命題:①若a∥α,b?α,則a∥b;②若α∥β,a?α,則a∥β;③若α∥β,a?α,b?β,則a∥b.以上正確命題的個(gè)數(shù)為(

)A.3 B.2 C.1 D.0解析:若a∥α,b?α,則a與b平行或異面,故①錯(cuò)誤;若α∥β,a?α,則a與β沒有公共點(diǎn),即a∥β,故②正確;若α∥β,a?α,b?β,則a與b無公共點(diǎn),得a,b平行或異面,故③錯(cuò)誤.所以正確命題的個(gè)數(shù)為1.故選C.3.如圖,平面α∥平面β,△PAB所在的平面與α,β分別交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,則AB=

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題后悟通解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題的注意點(diǎn)(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件,如線面平行的判定定理中,條件“線在面外”易忽視.(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷.(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.例1-1(1)如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E為線段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A,D兩點(diǎn)),平面CEC1與平面BB1D交于FG.求證:FG∥平面AA1B1B;考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度一用線線平行證明線面平行證明:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)锽B1∥CC1,BB1?平面BB1D,CC1?平面BB1D,所以CC1∥平面BB1D.又因?yàn)镃C1?平面CEC1,平面CEC1與平面BB1D交于FG,所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1,所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B,FG?平面AA1B1B,所以FG∥平面AA1B1B.(2)如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).求證:BD∥平面FGH.證明:(2)法一連接DG,CD.設(shè)CD∩GF=M,連接MH.在三棱臺DEF-ABC中,由AB=2DE,G為AC的中點(diǎn),可得DF∥GC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形,則M為CD的中點(diǎn),又因?yàn)镠為BC的中點(diǎn),所以HM∥BD.因?yàn)镠M?平面FGH,BD?平面FGH,所以BD∥平面FGH.法二在三棱臺DEF-ABC中,由BC=2EF,H為BC的中點(diǎn),可得BH∥EF,BH=EF,所以四邊形HBEF為平行四邊形,所以BE∥HF.在△ABC中,因?yàn)镚為AC的中點(diǎn),H為BC的中點(diǎn),所以GH∥AB.又因?yàn)镚H?平面ABED,HF?平面ABED,AB?平面ABED,BE?平面ABED,所以GH∥平面ABED,HF∥平面ABED.又因?yàn)镚H∩HF=H,GH?平面FGH,HF?平面FGH,所以平面FGH∥平面ABED.因?yàn)锽D?平面ABED,所以BD∥平面FGH.解題策略證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,解題的思路是利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行,注意內(nèi)外平行三條件,缺一不可.例1-2如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BMD于GH.求證:AP∥GH.角度二用線面平行證明線線平行

證明:如圖所示,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接MO,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn),又M是PC的中點(diǎn),所以AP∥OM.又MO?平面BMD,AP?平面BMD,所以AP∥平面BMD.因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD=GH,且AP?平面PAHG,所以AP∥GH.解題策略1.通過線面平行可得到線線平行,其中一條線應(yīng)是兩平面的交線,要樹立這種應(yīng)用意識.2.利用線面平行的性質(zhì)必須先找出交線.例1-3如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,E,F,G分別是棱BC,AD,PA的中點(diǎn).(1)求證:PE∥平面BFG;角度三利用面面平行證明線面平行

(1)證明:如圖,連接DE.因?yàn)樵诰匦蜛BCD中,E,F分別是棱BC,AD的中點(diǎn),所以DF=BE,DF∥BE,所以四邊形BEDF是平行四邊形,所以DE∥BF.因?yàn)镚是PA的中點(diǎn),所以FG∥PD.因?yàn)镻D?平面BFG,DE?平面BFG,FG?平面BFG,BF?平面BFG,所以PD∥平面BFG,DE∥平面BFG.又PD∩DE=D,PD?平面PDE,DE?平面PDE,所以平面PDE∥平面BFG.因?yàn)镻E?平面PDE,所以PE∥平面BFG.例1-3如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,E,F,G分別是棱BC,AD,PA的中點(diǎn).(2)若PD=AD=1,AB=2,求點(diǎn)C到平面BFG的距離.

解題策略證明線面平行,可先證明直線所在的平面同另一個(gè)平面平行,再運(yùn)用面面平行的性質(zhì)得到線面平行.[針對訓(xùn)練]1.如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).求證:MN∥平面C1DE.2.如圖,四邊形ABCD是矩形,P?平面ABCD,過BC作平面BCFE交AP于點(diǎn)E,交DP于點(diǎn)F,求證:四邊形BCFE是梯形.證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以BC∥AD.因?yàn)锳D?平面PAD,BC?平面PAD,所以BC∥平面PAD.因?yàn)槠矫鍮CFE∩平面PAD=EF,BC?平面BCFE,所以BC∥EF.因?yàn)锳D=BC,AD≠EF,所以BC≠EF,所以四邊形BCFE是梯形.考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;證明:(1)因?yàn)镚,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),所以GH是△A1B1C1的中位線,GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四點(diǎn)共面.例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證:(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明:(2)在△ABC中,E,F分別為AB,AC的中點(diǎn),所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G∥EB,A1G=EB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形,則A1E∥GB.因?yàn)锳1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∩EF=E,A1E?平面EFA1,EF?平面EFA1,所以平面EFA1∥平面BCHG.[典例遷移1](變條件)在本例條件下,若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn),求證:HD∥平面A1B1BA.證明:如圖所示,連接A1B,因?yàn)镈為BC1的中點(diǎn),H為A1C1的中點(diǎn),所以HD∥A1B.又HD?平面A1B1BA,A1B?平面A1B1BA,所以HD∥平面A1B1BA.[典例遷移2](變條件)在本例條件下,若D1,D分別為B1C1,BC的中點(diǎn),求證:平面A1BD1∥平面AC1D.解題策略判斷、證明面面平行的方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.考點(diǎn)四平行關(guān)系的探索問題例3如圖,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3,AF=1.(1)求證:平面ABF∥平面DCE;(1)證明:因?yàn)镈E⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,所以DE∥AF,又DE?平面DCE,AF?平面DCE,所以AF∥平面DCE,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AB∥CD,又CD?平面DCE,AB?平面DCE,所以AB∥平面DCE,因?yàn)锳B∩AF=A,AB?平面ABF,AF?平面ABF,所以平面ABF∥平面DCE.例3如圖,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3,AF=1.(2)在DE上是否存在一點(diǎn)G,使平面FBG將幾何體ABCDEF分成上、下兩部分的體積比為3∶5?若存在,求出點(diǎn)G的位置;若不存在,請說明理由.解題策略解決這種數(shù)值或存在性問題的題目時(shí),注意先給出具體的值或先假