天天練26空間幾何體一、選擇題1．(2018·四川資陽聯(lián)考)給出下列幾個命題，其中正確命題的個數(shù)是()①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰的兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等；④若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．A．0B．1C．2D．3答案：B解析：①錯誤，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸線時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等；④平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④不正確．故選B.2．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖是()答案：C解析：A選項中的幾何體，正視圖不符，側(cè)視圖也不符，俯視圖中沒有虛線；B選項中的幾何體，俯視圖中不出現(xiàn)虛線；C選項中的幾何體符合三個視圖；D選項中的幾何體，正視圖不符．故選C.3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如右圖所示)，用過點(diǎn)A，E，C1答案：C解析：過點(diǎn)A，E，C1的平面與棱DD1，相交于點(diǎn)F，且F是棱DD1的中點(diǎn)，截去正方體的上半部分，剩余幾何體的直觀圖如右圖所示，則其正視圖應(yīng)為選項C.4．(2018·保定一模)一只螞蟻從正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A處出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1A．①②B．①③C．③④D．②④答案：D解析：螞蟻由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1的位置，若把平面BCC1B1展開到與平面ABB1A1在同一個平面內(nèi)，在矩形中連接AC1，會經(jīng)過BB1的中點(diǎn)，故此時的正視圖為②.若把平面ABCD展開到與平面CDD1C1在同一個平面內(nèi)，在矩形中連接AC1，會經(jīng)過CD的中點(diǎn)，此時正視圖為④.其他幾種展形方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn)或者已在5．(2018·福建南平一模)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．1答案：B解析：由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，其中PA⊥底面ABC，PA＝2，AB⊥BC，AB＝BC＝1.∴S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·BC＝eq\f(1,2)×12＝eq\f(1,2).因此V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3).故選B.6．(2018·遼寧鐵嶺三聯(lián))一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為()A.eq\f(8π,3)B.eq\f(16π,3)C．16πD.eq\f(64π,3)答案：D解析：由三視圖知幾何體是三棱錐S－ABC，且平面SAC與底面ABC垂直，高為2eq\r(3)，如圖所示，其中OA＝OB＝OC＝2，SO⊥平面ABC，且SO＝2eq\r(3)，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM＝x，則eq\r(4＋x2)＝2eq\r(3)－x，解得x＝eq\f(2\r(3),3)，∴外接球的半徑R＝eq\f(4\r(3),3)，∴幾何體的外接球的表面積S＝4π×eq\f(16,3)＝eq\f(64,3)π.故選D.7．(2018·廣東七校聯(lián)考(二))《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺3eq\f(1,3)寸，容納米2000斛，(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，1斛≈1.62立方尺，圓周率取3)，則圓柱底面圓周長約為()A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺答案：B解析：由題意，圓柱形谷倉的高h(yuǎn)＝10＋3＋eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3)))＝eq\f(40,3)(尺)，體積V≈2000×1.62＝3240(立方尺)．設(shè)圓柱的底面半徑為R尺，由體積公式得πR2×eq\f(40,3)≈3240，得3R2×eq\f(40,3)≈3240，解得R2≈81，故R≈9，所以底面圓周長C＝2πR≈2×3×9＝54(尺)，即5丈4尺，故選B.8．(2018·山西臨汾三模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面直徑為4，高為4的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原毛坯體積的比值為()A.eq\f(3,8)B.eq\f(5,8)C.eq\f(5,12)D.eq\f(7,12)答案：C解析：由題圖及題意可知，該幾何體是由兩個圓臺組成的，圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，高為2，所以該幾何體的體積為V1＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×12＋π×22＋\r(π×12×π×22)))×2×2＝eq\f(28,3)π.原毛坯的體積為V＝π×22×4＝16π，所以切削掉部分的體積與原毛坯體積的比值為eq\f(V－V1,V)＝eq\f(5,12).二、填空題9．將矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱，AB＝3，BC＝2，圓柱上底面圓心為O，△EFG為下底面圓的一個內(nèi)接直角三角形，則三棱錐O－EFG體積的最大值是________．答案：4解析：由題意知，圓柱的底面半徑r＝BC＝2，高h(yuǎn)＝AB＝3.由△EFG為下底面圓的一個內(nèi)接直角三角形可得，該三角形的斜邊長為2r＝4，不妨設(shè)兩直角邊分別為a，b，則a2＋b2＝(2r)2＝16，該直角三角形的面積S＝eq\f(1,2)ab，三棱錐O－EFG的高等于圓柱的高h(yuǎn)＝3，所以其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×3＝eq\f(1,2)ab.由基本不等式可得V＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)×eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,4)×16＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)．10．(2017·天津卷，10)已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________．答案：eq\f(9,2)π解析：本題考查正方體的表面積及外接球的體積．設(shè)這個正方體的棱長為a，由題意可知6a2＝18，所以a＝eq\r(3)，所以這個正方體的外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(3,2)，所以這個正方體外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.11．如圖是一個幾何體的三視圖，若其正視圖的面積等于8cm2，俯視圖是一個面積為4eq\r(3)cm2的正三角形，則其側(cè)視圖的面積等于________．答案：4eq\解析：易知三視圖所對應(yīng)的幾何體為正三棱柱，設(shè)其底面邊長為a，高為h，則其正視圖的長為a，寬為h，故其面積為S1＝ah＝8；①而俯視圖是一個底面邊長為a的正三角形，其面積為S2＝eq\f(\r(3),4)a2＝4eq\r(3).②由②得a＝4，代入①得h＝2.側(cè)視圖是一個長為eq\f(\r(3),2)a，寬為h的矩形，其面積為S3＝eq\f(\r(3),2)ah＝4eq\r(3)(cm2)．三、解答題12．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積．解析：由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個組合體，其左邊是底面半徑為1、高為eq\r(3)、母線長為2的半圓錐，右邊是底面為等腰三角形(底邊長為2、高為2)、高為eq\r(3)的三棱錐，所以此組合體左半部分的表面積為S左邊＝S底面＋S側(cè)面＝eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)π×1×2＝eq\f(3,2)π，組合體右邊三棱錐的兩個側(cè)面是兩個全等的三角形(其中三角形的三邊分別為2，eq\r(5)，eq\r(7))，所以長為eq\r(5)的邊所對角α的余弦值為cosα＝eq\f(22＋\r(7)2－\r(5)2,2×2×7)＝eq\f(3\r(7),14)，