PAGE1-第4課時二倍角的正弦、余弦、正切公式考點學習目標核心素養(yǎng)二倍角的正弦、余弦、正切公式會推導二倍角的正弦、余弦、正切公式邏輯推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的應用能夠敏捷運用二倍角公式解決求值、化簡和證明等問題數(shù)學運算、邏輯推理問題導學預習教材P220－P223，并思索以下問題：1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式還成立嗎？2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么結論？二倍角的正弦、余弦、正切公式名稱公式推導記法正弦sin2α＝2sin__αcos__αS(α＋β)eq\o(→,\s\up7(令β＝α))S2αS2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)eq\o(→,\s\up7(令β＝α))C2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αC2α正切tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)T(α＋β)eq\o(→,\s\up7(令β＝α))T2αT2α■名師點撥正確理解二倍角公式(1)要留意公式應用的前提是所含各三角函數(shù)有意義．(2)倍角公式中的“倍角”是相對的，對于兩個角的比值等于2的狀況都成立，如4α是2α的2倍，α是eq\f(α,2)的2倍．這里蘊含著換元思想．這就是說，“倍”是相對而言的，是描述兩個數(shù)量之間的關系的．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)10α是5α的倍角，5α是eq\f(5α,2)的倍角．()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是隨意角．()(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(4)對于隨意角α，總有tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×已知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，則sin2α等于()A.eq\f(7,5) B.eq\f(12,5)C.eq\f(12,25) D.eq\f(24,25)答案：D計算1－2sin222.5°的結果等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)答案：B已知tanα＝eq\f(4,3)，則tan2α＝________．答案：－eq\f(24,7)已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2α＝________．答案：－eq\f(8,9)給角求值求下列各式的值．(1)sineq\f(π,8)coseq\f(π,8)；(2)cos2eq\f(π,6)－sin2eq\f(π,6)；(3)eq\f(2tan150°,1－tan2150°)；(4)coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5).【解】(1)sineq\f(π,8)coseq\f(π,8)＝eq\f(1,2)×2sineq\f(π,8)coseq\f(π,8)＝eq\f(1,2)×sineq\f(π,4)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4).(2)cos2eq\f(π,6)－sin2eq\f(π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq\r(3).(4)原式＝eq\f(2sin\f(π,5)cos\f(π,5)cos\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(2π,5)cos\f(2π,5),2sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(4π,5),4sin\f(π,5))＝eq\f(sin\f(π,5),4sin\f(π,5))＝eq\f(1,4).eq\a\vs4\al()給角求值問題的兩類解法(1)干脆正用、逆用二倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系對已知式進行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特別角．(2)若形式為幾個非特別角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．1．cos4eq\f(π,12)－sin4eq\f(π,12)等于()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：選D.原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,12)＋sin2\f(π,12)))＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).2．求下列各式的值．(1)eq\f(tan30°,1－tan230°)；(2)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°).解：(1)eq\f(tan30°,1－tan230°)＝eq\f(\f(1,2)×2tan30°,1－tan230°)＝eq\f(1,2)tan60°＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cos10°)＝eq\f(4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin（30°－10°）,sin（2×10°）)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4.給值求值已知eq\f(π,2)<α<π，sinα＝eq\f(4,5).(1)求tan2α的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))的值．【解】(1)由題意得cosα＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－\f(8,3),1－\f(16,9))＝eq\f(24,7).(2)因為sinα＝eq\f(4,5)，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(7,25)，sin2α＝2sinα·cosα＝2×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(24,25).所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))＝cos2α·coseq\f(π,4)＋sin2α·sineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,25)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(31\r(2),50).eq\a\vs4\al()三角函數(shù)求值問題的一般思路(1)一是對題設條件變形，將題設條件中的角、函數(shù)名向結論中的角、函數(shù)名靠攏；另一種是對結論變形，將結論中的角、函數(shù)名向題設條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設條件代入結論．(2)留意幾種公式的敏捷應用，如：①sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))；②cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).1．已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosx＝eq\f(4,5)，則tan2x＝()A.eq\f(7,24) B．－eq\f(7,24)C.eq\f(24,7) D．－eq\f(24,7)解析：選D.由cosx＝eq\f(4,5)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，得sinx＝－eq\f(3,5)，所以tanx＝－eq\f(3,4)，所以tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))\s\up12(2))＝－eq\f(24,7)，故選D.2．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，則sin2α的值為()A.eq\f(1,18) B．－eq\f(1,18)C.eq\f(17,18) D．－eq\f(17,18)解析：選D.cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，代入原式，得6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)).因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，所以sin2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－1＝－eq\f(17,18).化簡與證明(1)化簡eq\f(2cos2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))；(2)證明taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝2tan2α.【解】(1)原式＝eq\f(cos2α,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,4)－α)))＝eq\f(cos2α,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(cos2α,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)－2α)))＝eq\f(cos2α,cos2α)＝1.(2)證明：法一：左邊＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))－eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α－\f(π,4)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝eq\f(sin2α,\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α)))＝2eq\f(sin2α,cos2α)＝2tan2α＝右邊．所以等式成立．法二：左邊＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)－eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝eq\f(4tanα,1－tan2α)＝2tan2α＝右邊．故原式成立．eq\a\vs4\al()三角函數(shù)式的化簡與證明(1)化簡的方法①弦切互化，異名化同名，異角化同角；②降冪或升冪；③一個重要結論：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.(2)證明三角恒等式的方法①從困難的一邊入手，證明一邊等于另一邊；②比較法，左邊－右邊＝0，eq\f(左邊,右邊)＝1；③分析法，從要證明的等式動身，一步步找尋等式成立的條件．1．若α為第三象限角，則eq\f(\r(1＋cos2α),cosα)－eq\f(\r(1－cos2α),sinα)＝________．解析：因為α為第三象限角，所以cosα＜0，sinα＜0，所以eq\f(\r(1＋cos2α),cosα)－eq\f(\r(1－cos2α),sinα)＝eq\f(\r(2cos2α),cosα)－eq\f(\r(2sin2α),sinα)＝eq\f(－\r(2)cosα,cosα)－eq\f(－\r(2)sinα,sinα)＝0.答案：02．求證：eq\f(4sinαcosα,1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α－sin2α)＝tan2α.證明：左邊＝eq\f(2sin2α,2cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)＝tan2α＝右邊．1．已知sinα＝3cosα，那么tan2α的值為()A．2 B．－2C.eq\f(3,4) D．－eq\f(3,4)解析：選D.因為sinα＝3cosα，所以tanα＝3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×3,1－32)＝－eq\f(3,4).2．已知sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(2\r(3),3)，那么sinθ＝________，cos2θ＝________．解析：因為sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(2\r(3),3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,3)，即1＋2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝eq\f(4,3)，所以sinθ＝eq\f(1,3)，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9).答案：eq\f(1,3)eq\f(7,9)3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,12)＋sin\f(π,12)))的值為________．解析：原式＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)4．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5).(1)求sin2α，cos2α的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值．解：(1)因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,5).(2)由(1)知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).[A基礎達標]1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))的值為()A.eq\f(19,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(14,25) D.eq\f(7,25)解析：選D.因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(7,25).2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則cos4α－sin4α的值為()A．－eq\f(3,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)解析：選D.cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)·(cos2α－sin2α)＝cos2α＝1－2sin2α＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).3．設－3π<α<－eq\f(5π,2)，化簡eq\r(\f(1－cos（α－π）,2))的結果是()A．sineq\f(α,2) B．coseq\f(α,2)C．－coseq\f(α,2) D．－sineq\f(α,2)解析：選C.因為－3π<α<－eq\f(5π,2)，－eq\f(3π,2)<eq\f(α,2)<－eq\f(5π,4)，所以eq\r(\f(1－cos（α－π）,2))＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2).4．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3)，則sin(－3π＋2α)＝()A.eq\f(7,9) B．－eq\f(7,9)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選A.易得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,9).又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝sin2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin2α＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))＝eq\f(7,9).故選A.5．化簡eq\f(tan14°,1－tan214°)·cos28°的結果為()A.eq\f(sin28°,2) B．sin28°C．2sin28° D．sin14°cos28°解析：選A.eq\f(tan14°,1－tan214°)·cos28°＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan14°,1－tan214°)·cos28°＝eq\f(1,2)tan28°·cos28°＝eq\f(sin28°,2)，故選A.6．已知sinα－2cosα＝0，則tan2α＝________．解析：由sinα－2cosα＝0，得tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)7．已知tanα＝－eq\f(1,3)，則eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝________．解析：eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,1＋2cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,2cos2α)＝tanα－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,6).答案：－eq\f(5,6)8.eq\f(\r(1－2sin20°cos20°),2cos210°－\r(1－cos2160°)－1)＝________．解析：eq\f(\r(1－2sin20°cos20°),2cos210°－\r(1－cos2160°)－1)＝eq\f(\r(（cos20°－sin20°）2),cos20°－sin20°)＝eq\f(cos20°－sin20°,cos20°－sin20°)＝1.答案：19．已知sin2α＝eq\f(5,13)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求sin4α，cos4α的值．解：由eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，得eq\f(π,2)<2α<π.因為sin2α＝eq\f(5,13)，所以cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))\s\up12(2))＝－eq\f(12,13).于是sin4α＝2sin2αcos2α＝2×eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq\f(120,169)；cos4α＝1－2sin22α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))eq\s\up12(2)＝eq\f(119,169).10．已知α為其次象限角，且sinα＝eq\f(\r(15),4)，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),sin2α＋cos2α＋1)的值．解：原式＝eq\f(\f(\r(2),2)（sinα＋cosα）,2sinαcosα＋2cos2α)＝eq\f(\r(2)（sinα＋cosα）,4cosα（sinα＋cosα）).因為α為其次象限角，且sinα＝eq\f(\r(15),4)，所以sinα＋cosα≠0，cosα＝－eq\f(1,4)，所以原式＝eq\f(\r(2),4cosα)＝－eq\r(2).[B實力提升]11．已知tanx＝2，則taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))等于()A.eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C.eq\f(3,4) D．－eq\f(3,4)解析：選C.taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2))))＝eq\f(－cos2x,sin2x)＝－eq\f(1,tan2x)＝－eq\f(1－tan2x,2tanx)＝eq\f(4－1,2×2)＝eq\f(3,4).12．已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝2eq\r(2)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝________．解析：eq\f(1,sinθ)＋eq\f(1,cosθ)＝2eq\r(2)?eq\f(sinθ＋cosθ,sinθcosθ)＝2eq\r(2)?sinθ＋cosθ＝2eq\r(2)sinθcosθ?1＋sin2θ＝2sin22θ，因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以2θ∈(π，2π)，所以sin2θ＝－eq\f(1,2)，所以sinθ＋cosθ<0，所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝sin2θ·coseq\f(π,3)＋sineq\f(π,3)cos2θ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)≤α＜eq\f(3π,2)，求cos(2α＋eq\f(π,4))的值．解：因為eq\f(π,2)≤α＜eq\f(3π,2)，所以eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)＜eq\f(7π,4).因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))>0，所以eq\f(3π,2)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(7π,4).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(4,5).所以cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(3,5)＝－eq\f(24,25)，sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cos2eq\