高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因集合，所以.故選：A.2.下列函數(shù)中，與函數(shù)有相同圖象的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)?，?duì)于A：定義域?yàn)?，值域?yàn)橄嗤邢嗤瑘D象，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：定義域?yàn)?，+∞，定義域不同沒有相同圖象，對(duì)于C：值域?yàn)?，值域不同沒有相同圖象，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：定義域?yàn)?，定義域不同沒有相同圖象，D錯(cuò)誤.故選：A.3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)fx為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)fx為奇函數(shù)，B正確；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)fx為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故，，故，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，且，.故選：B.5.如圖，函數(shù)的圖象為折線段，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象為折線段，且，故可設(shè)，且，，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，，即，故（舍去），當(dāng)時(shí)，不等式可化為，，即，故.所以不等式的解集是.故選：D.6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)閷?duì)任意恒成立，可知可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，即.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，即..故選：C.8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)的解析式為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)，故.故選：B.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)樵诙x域0，+所以.故選：B.10.已知函數(shù)，其中．若在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且；若在上的值域?yàn)?，4，則在上的最值點(diǎn)在內(nèi)，可知的最大值為，且，可得，令，解得或，結(jié)合的圖像可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?12.已知，命題：若，則．能說明為假命題的一組a，b，c的值為______，______，______．【答案】1（答案不唯一，滿足即可）0（答案不唯一，滿足即可）（答案不唯一，滿足即可）【解析】因?yàn)?，則，若，則；若，則，可得；綜上所述：.所以對(duì)于任意，命題均為假命題，例如（答案不唯一，滿足即可）.13.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知函數(shù)上單調(diào)遞增，且，，則，若，即，可得，解得，所以的取值范圍是.14.已知，若點(diǎn)在第一象限，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，則，且，可知角不為軸線角，若，則，可得，且，則，可得；若，則，可得，不合題意；若，則，可得，且，則，可得；若，則可得，不合題意；綜上所述：的取值范圍是.15.已知是定義在上的函數(shù)，若，且，使得，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)具有性質(zhì)；②函數(shù)具有性質(zhì)；③若函數(shù)具有性質(zhì)，且是偶函數(shù)，則是周期函數(shù)；④若函數(shù)具有性質(zhì)，且是奇函數(shù)，則是的一個(gè)對(duì)稱中心．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】②③④【解析】對(duì)于①，若函數(shù)具有性質(zhì)，則存在，使得，都有，即，則不是常數(shù)，所以函數(shù)不具有性質(zhì)，①錯(cuò)；對(duì)于②，因?yàn)?，即，所以函?shù)具有性質(zhì)，②對(duì)；對(duì)于③，函數(shù)具有性質(zhì)，則存在，使得，都有，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，又因?yàn)?，即，因，則，故函數(shù)為周期函數(shù)，③對(duì)；對(duì)于④，若函數(shù)具有性質(zhì)，且是奇函數(shù)，則存在，使得，都有，，所以，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，④對(duì).三、解答題：共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（1）計(jì)算求值：；（2）解關(guān)于的不等式：（?。?；（ⅱ）．解：（1）原式.（2）（?。┮?yàn)?，可得，等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集為或.（ⅱ）因?yàn)?，即，令，解得或，若，不等式解集為；若，不等式解集為；若，不等式解集?17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．解：（1）因?yàn)?，所以的最小正周期；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）因?yàn)?，則，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1；當(dāng)或，即或時(shí)，取得最小值.18.在某種藥物研究試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)其在血液內(nèi)的濃度（單位：毫克／毫升）與時(shí)間（單位：小時(shí)）滿足函數(shù)關(guān)系，其中，為大于的常數(shù)．已知該藥物在血液內(nèi)的濃度是一個(gè)連續(xù)變化的過程，且在小時(shí)時(shí)達(dá)到最大值毫克／毫升．（1）直接寫出，的值；（2）當(dāng)該藥物濃度不小于最大值一半時(shí)，稱該藥物有效．求該藥物有效的時(shí)間長(zhǎng)度（單位：小時(shí)）．解：（1）因?yàn)樵撍幬镌谘簝?nèi)的濃度是一個(gè)連續(xù)變化的過程，函數(shù)在時(shí)取最大值，所以a>0，，，所以a=2，.（2）由（1），令可得，若，則，解得，若，則，解得，所以該藥物有效的時(shí)間長(zhǎng)度為（小時(shí)）.19.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最大值與最小值的差為，求的值；（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)，求的值．解：（1）因?yàn)椋傻?，且，所?（2）因?yàn)?，?dāng)x∈0，1時(shí)，；當(dāng)x∈1，可知在0，1內(nèi)單調(diào)遞減，在1且，，若函數(shù)在上的最大值與最小值的差為，可得，即，可知在上單調(diào)遞減，則，解得，所以的值為.（3）因?yàn)?，且，又因在?nèi)單調(diào)遞減，可知hx在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可得，則的唯一零點(diǎn)，所以.20.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，其中.（1）求及的值；（2）求證：，都有；（3）若函數(shù)在上存在最大值，直接寫出的取值范圍.解：（1）∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，解得..故.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，.綜上，，都有.（3）由（1）知.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)方程的兩根分別為和，易知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在上存在最大值，需使，即，解得.綜上，若函數(shù)在上存在最大值，的取值范圍為.21.已知集合中都至少有個(gè)元素，且，滿足：①，且，總有；②，且，總有．（1）若集合，直接寫出所有滿足條件的集合；（2）已知，（ⅰ）若，且，求證：．（ⅱ）求證：．解：（1）因?yàn)?，又，且，總有，所以，即，設(shè)，由，且，總有，可得，所以或或，但，所以滿足條件的集合有，，，.（2）（?。┯?，，，，由①知，，，由②知，，（ⅱ）因?yàn)橹兄辽儆袀€(gè)元素，，不妨設(shè)，其中，互不相等的整數(shù)，則，且，所以中至少存在兩個(gè)正整數(shù)，不妨設(shè)，，，又，由①知，，，，由②知，，，故由，，，，可推出，同理由可推出，，由，可推出，，所以對(duì)于大于等于的正整數(shù)，都屬于，因?yàn)?，由（?。?，，，，所以任意的正整?shù)都屬于，所以.北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因集合，所以.故選：A.2.下列函數(shù)中，與函數(shù)有相同圖象的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)?，?duì)于A：定義域?yàn)?，值域?yàn)橄嗤邢嗤瑘D象，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：定義域?yàn)?，+∞，定義域不同沒有相同圖象，對(duì)于C：值域?yàn)?，值域不同沒有相同圖象，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：定義域?yàn)?，定義域不同沒有相同圖象，D錯(cuò)誤.故選：A.3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)fx為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)fx為奇函數(shù)，B正確；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)fx為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故，，故，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，且，.故選：B.5.如圖，函數(shù)的圖象為折線段，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象為折線段，且，故可設(shè)，且，，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，，即，故（舍去），當(dāng)時(shí)，不等式可化為，，即，故.所以不等式的解集是.故選：D.6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)閷?duì)任意恒成立，可知可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，即.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，即..故選：C.8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)的解析式為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)，故.故選：B.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)樵诙x域0，+所以.故選：B.10.已知函數(shù)，其中．若在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且；若在上的值域?yàn)?，4，則在上的最值點(diǎn)在內(nèi)，可知的最大值為，且，可得，令，解得或，結(jié)合的圖像可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?12.已知，命題：若，則．能說明為假命題的一組a，b，c的值為______，______，______．【答案】1（答案不唯一，滿足即可）0（答案不唯一，滿足即可）（答案不唯一，滿足即可）【解析】因?yàn)?，則，若，則；若，則，可得；綜上所述：.所以對(duì)于任意，命題均為假命題，例如（答案不唯一，滿足即可）.13.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知函數(shù)上單調(diào)遞增，且，，則，若，即，可得，解得，所以的取值范圍是.14.已知，若點(diǎn)在第一象限，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，則，且，可知角不為軸線角，若，則，可得，且，則，可得；若，則，可得，不合題意；若，則，可得，且，則，可得；若，則可得，不合題意；綜上所述：的取值范圍是.15.已知是定義在上的函數(shù)，若，且，使得，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)具有性質(zhì)；②函數(shù)具有性質(zhì)；③若函數(shù)具有性質(zhì)，且是偶函數(shù)，則是周期函數(shù)；④若函數(shù)具有性質(zhì)，且是奇函數(shù)，則是的一個(gè)對(duì)稱中心．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】②③④【解析】對(duì)于①，若函數(shù)具有性質(zhì)，則存在，使得，都有，即，則不是常數(shù)，所以函數(shù)不具有性質(zhì)，①錯(cuò)；對(duì)于②，因?yàn)?，即，所以函?shù)具有性質(zhì)，②對(duì)；對(duì)于③，函數(shù)具有性質(zhì)，則存在，使得，都有，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，又因?yàn)?，即，因，則，故函數(shù)為周期函數(shù)，③對(duì)；對(duì)于④，若函數(shù)具有性質(zhì)，且是奇函數(shù)，則存在，使得，都有，，所以，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，④對(duì).三、解答題：共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.（1）計(jì)算求值：；（2）解關(guān)于的不等式：（?。?；（ⅱ）．解：（1）原式.（2）（?。┮?yàn)?，可得，等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集為或.（ⅱ）因?yàn)?，即，令，解得或，若，不等式解集為；若，不等式解集為；若，不等式解集?17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．解：（1）因?yàn)椋缘淖钚≌芷?；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）因?yàn)?，則，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1；當(dāng)或，即或時(shí)，取得最小值.18.在某種藥物研究試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)其在血液內(nèi)的濃度（單位：毫克／毫升）與時(shí)間（單位：小時(shí)）滿足函數(shù)關(guān)系，其中，為大于的常數(shù)．已知該藥物在血液內(nèi)的濃度是一個(gè)連續(xù)變化的過程，且在小時(shí)時(shí)達(dá)到最大值毫克／毫升．（1）直接寫出，的值；（2）當(dāng)該藥物濃度不小于最大值一半時(shí)，稱該藥物有效．求該藥物有效的時(shí)間長(zhǎng)度（單位：小時(shí)）．解：（1）因?yàn)樵撍幬镌谘簝?nèi)的濃度是一個(gè)連續(xù)變化的過程，函數(shù)在時(shí)取最大值，所以a>0，，，所以a=2，.（2）由（1），令可得，若，則，解得，若，則，解得，所以該藥物有效的時(shí)間長(zhǎng)度為（小時(shí)）.19.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最大值與最小值的差為，求的值；（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)，求的值．解：（1）因?yàn)?，可得，且，所?（2）因?yàn)椋?dāng)x∈0，1時(shí)，；當(dāng)x∈1，可知在0，1內(nèi)單調(diào)遞減，在1且，，若函數(shù)在上的