高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙江強基聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為直線的斜率為，設傾斜角為，所以，故.故選：D.2.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，故選：A.3.若橢圓上一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】若，則由得（舍去）；若，則由得.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由數(shù)列是遞增數(shù)列，得，化簡可得，即對于恒成立，所以，故選：C.5.如圖是正方體在一個平面上的展開圖，則在原正方體中，直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將表面展開圖還原為正方體，直線與在正方體中的位置如圖所示，連接，為正方形，，平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，，故直線與所成角的大小為.故選：D.6.直線與圓的位置關系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.都有可能【答案】C【解析】將圓的方程化為標準方程，所以圓心坐標為，圓的半徑為5，直線恒過定點，，點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：C.7.拋物線的焦點為，其準線與雙曲線相交于，兩點，若為等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，，準線方程與雙曲線聯(lián)立可得，解得.因為為等腰直角三角形，所以，即，解得，故選：B.8.已知拋物線：，拋物線：，，的焦點分別為，，點為拋物線上的一個動點，直線過點，則（）A.直線的方程為 B.C. D.與各有一個交點的直線有三條【答案】D【解析】對于A，，，所以直線的方程為，A錯誤；對于B，當在原點時，取到最小值為1，B錯誤；對于C，設，所以，當時，，此時，，C錯誤；對于D，當直線與只有一個交點時，①若與軸平行或重合時，滿足與，各有一個交點，如圖；②若與相切時，與，各有一個交點的直線有兩條，一條與相切，一條與軸重合，如圖和，與，各有一個交點的直線有三條，D正確.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線：，直線：，則（）A.直線可以與軸平行 B.直線可以與軸平行C.當時， D.當時，【答案】ABD【解析】當時，直線：，此時直線與軸平行，A項正確；當時，直線：，此時直線與軸平行，B項正確；若，則，解得，此時直線與重合，C項錯誤；若，則，解得，D正確.故選:ABD.10.已知曲線:（為參數(shù)）,曲線:（為參數(shù)），，以下正確的是（）A.曲線是一個圓B.曲線是一條直線C.若，則曲線與存在公共點D.若，則曲線上的點到曲線距離的最大值為【答案】BCD【解析】A，曲線可化為：，故A錯誤；B，曲線可化為：，故B正確.C，當，：過曲線的上頂點，故C正確.D，若，：，設曲線上的點，則點到曲線的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知正方體的棱長為2，，分別是線段，上的動點，且滿足，點是線段的中點，則（）A.若是的中點，則平面B.若是的中點，則平面C.最大值是D.的最小值為【答案】ACD【解析】是的中點，，，，∴是的中點.連接交于點如圖所示.，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面，故A正確；以為原點如圖建立空間直角坐標系，若是的中點，此時是的中點，那么，，，，而平面的一個法向量.，不是平面的法向量，故B錯誤；當與重合時，最大，為，故C正確；設，，則，，，，，，設，，，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，且，則______.【答案】【解析】,，得，則.故答案為：13.已知點，，,點滿足,則的最小值為______.【答案】209【解析】設，由，得，化簡得，的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的圓.，，當時，的最小值是209.故答案為：209.14.已知橢圓：的左、右焦點分別為、，若總存在一條過的直線，使得點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】設點關于直線的對稱點為，則，，，，即，又，橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.在平面直角坐標系中，已知直線過點.（1）若直線又過點，求直線的方程；（2）若直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于，兩點，求面積的最小值.解：（1）因為過點，，所以斜率為，所以：，即；（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設：，代入得，得，當且僅當時，等號成立，所以，所以面積的最小值是8.16.在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，平面平面.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的大小.解：（1）連接交于點，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，四邊形是正方形，，，平面，平面，平面，平面，（2）取中點，連接，不妨設.是正方形，所以，由（1）知平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，于是，，是中點，，，平面，平面，平面，在中，，所以，在中，，所以，點到平面的距離為.，平面，平面，平面，點到平面的距離.設直線與平面所成角為，于是，又，直線與平面所成角的大小為.17.已知點，，動點使直線，的斜率之積為，其軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點,點在曲線上,直線與軸交于點,滿足，求直線的方程.解：（1）設，則，整理得：.（2）由題意可知直線斜率存在，設，，令得，由，得，，即，代入：，得，，，直線：.18.如圖,在四棱錐中,平面,，，，，點在線段上且滿足，點在線段上且滿足.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直線與平面所成角為，求的取值范圍.解：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，，又，，平面，平面，.（2）由（1）可知，又，，平面，平面，，由（1）可知，在中，，.與相似，則，在中，，，，..（3）以為原點，以，所在直線分別為軸，軸，以過點垂直于平面的直線為軸，建立如圖空間直角坐標系.，，不妨設，，，，即，由知，于是，，，，設，則，，由可得，，.，，設平面的一個法向量為，于是令，得，，平面的一個法向量為，，結合，化簡得，設，，要存在，使與平面所成角為，在0,1上有零點.結合知函數(shù)圖象的對稱軸，故，又，只需滿足，解得.的取值范圍是.19.在平面直角坐標系中，若，兩點在直線的同一側，則稱，為“-同域點”；若，兩點分別在直線的兩側，則稱，為“-異域點”.已知：拋物線：，：.（1）若點2,0，為“-異域點”，求實數(shù)的取值范圍.（2）已知過0,1的直線與拋物線交于Ax1,y（Ⅰ）若，為“-同域點”，比較與0大小關系并說明理由；（Ⅱ）直線的斜率為，過原點作斜率為的直線，，，點，到直線的距離分別記為，，若，求點，為“-同域點”的概率.解：（1）：，要使點2,0，為“-異域點”，則2,0應在的下方，應在的上方，所以，解得；（2）（Ⅰ）若，在的下方，則，所以，即，若，在的上方，則，即，所以，綜上，若，為“-同域點”，則；（Ⅱ）方程為：，聯(lián)立，得，所以，，直線：，即，所以，，，①若，為“-同域點”，則，，此時，令，得，又，則滿足要求的為，，，，，共6組；②若，不為“-同域點”，則，此時，令，得，又，則滿足要求的為，，2,3，，，共6組，綜上，滿足的的樣本空間有個樣本點，其中使點，為“-同域點”的樣本點有6個，故概率.浙江省浙江強基聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為直線的斜率為，設傾斜角為，所以，故.故選：D.2.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，故選：A.3.若橢圓上一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】若，則由得（舍去）；若，則由得.故選：B.4.已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由數(shù)列是遞增數(shù)列，得，化簡可得，即對于恒成立，所以，故選：C.5.如圖是正方體在一個平面上的展開圖，則在原正方體中，直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將表面展開圖還原為正方體，直線與在正方體中的位置如圖所示，連接，為正方形，，平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，，故直線與所成角的大小為.故選：D.6.直線與圓的位置關系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.都有可能【答案】C【解析】將圓的方程化為標準方程，所以圓心坐標為，圓的半徑為5，直線恒過定點，，點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：C.7.拋物線的焦點為，其準線與雙曲線相交于，兩點，若為等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，，準線方程與雙曲線聯(lián)立可得，解得.因為為等腰直角三角形，所以，即，解得，故選：B.8.已知拋物線：，拋物線：，，的焦點分別為，，點為拋物線上的一個動點，直線過點，則（）A.直線的方程為 B.C. D.與各有一個交點的直線有三條【答案】D【解析】對于A，，，所以直線的方程為，A錯誤；對于B，當在原點時，取到最小值為1，B錯誤；對于C，設，所以，當時，，此時，，C錯誤；對于D，當直線與只有一個交點時，①若與軸平行或重合時，滿足與，各有一個交點，如圖；②若與相切時，與，各有一個交點的直線有兩條，一條與相切，一條與軸重合，如圖和，與，各有一個交點的直線有三條，D正確.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線：，直線：，則（）A.直線可以與軸平行 B.直線可以與軸平行C.當時， D.當時，【答案】ABD【解析】當時，直線：，此時直線與軸平行，A項正確；當時，直線：，此時直線與軸平行，B項正確；若，則，解得，此時直線與重合，C項錯誤；若，則，解得，D正確.故選:ABD.10.已知曲線:（為參數(shù)）,曲線:（為參數(shù)），，以下正確的是（）A.曲線是一個圓B.曲線是一條直線C.若，則曲線與存在公共點D.若，則曲線上的點到曲線距離的最大值為【答案】BCD【解析】A，曲線可化為：，故A錯誤；B，曲線可化為：，故B正確.C，當，：過曲線的上頂點，故C正確.D，若，：，設曲線上的點，則點到曲線的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知正方體的棱長為2，，分別是線段，上的動點，且滿足，點是線段的中點，則（）A.若是的中點，則平面B.若是的中點，則平面C.最大值是D.的最小值為【答案】ACD【解析】是的中點，，，，∴是的中點.連接交于點如圖所示.，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面，故A正確；以為原點如圖建立空間直角坐標系，若是的中點，此時是的中點，那么，，，，而平面的一個法向量.，不是平面的法向量，故B錯誤；當與重合時，最大，為，故C正確；設，，則，，，，，，設，，，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，且，則______.【答案】【解析】,，得，則.故答案為：13.已知點，，,點滿足,則的最小值為______.【答案】209【解析】設，由，得，化簡得，的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的圓.，，當時，的最小值是209.故答案為：209.14.已知橢圓：的左、右焦點分別為、，若總存在一條過的直線，使得點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】設點關于直線的對稱點為，則，，，，即，又，橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.在平面直角坐標系中，已知直線過點.（1）若直線又過點，求直線的方程；（2）若直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于，兩點，求面積的最小值.解：（1）因為過點，，所以斜率為，所以：，即；（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設：，代入得，得，當且僅當時，等號成立，所以，所以面積的最小值是8.16.在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，平面平面.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的大小.解：（1）連接交于點，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，四邊形是正方形，，，平面，平面，平面，平面，（2）取中點，連接，不妨設.是正方形，所以，由（1）知平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，于是，，是中點，，，平面，平面，平面，在中，，所以，在中，，所以，點到平面的距離為.，平面，平面，平面，點到平面的距離.設直線與平面所成角為，于是，又，直線與平面所成角的大小為.17.已知點，，動點使直線，的斜率之積為，其軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點,點在曲線上,直線與軸交于點,滿足，求直線的方程.解：（1）設，則，整理得：.（2）由題意可知直線斜率存在，設，，令得，由，得，，即，代入：，得，，，直線：.18.如圖,在四棱錐中,平面,，，，，點在線段上且滿足，點在線段上且滿足.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直線與平面所成角為，求的取值范圍.解：（1）平面