PAGE1微專(zhuān)題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問(wèn)題【秒殺總結(jié)】1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問(wèn)題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對(duì)含有參數(shù)的極最值問(wèn)題，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對(duì)導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對(duì)函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．【典型例題】例1．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，又，所以，由，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；由，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋深}意知，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，易知，故解關(guān)于的方程得，，，所以，又，，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).例2．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)若對(duì)任意，有恒成立，求的最大值.【解析】（1）.令，得，令，得.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.在處取得極小值，無(wú)極大值.（2）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增且.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增..故，故的最大值為.例3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，，又，故曲線在處的切線方程為；（2），解得知，，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，遞減，遞增，故極大值為；若，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，無(wú)極大值；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，遞減，遞增，故極大值，綜上，的極大值恒為正數(shù)．例4．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)討論的極值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以的方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值.例5．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【解析】（1）由，得，所以，，函數(shù)在處的切線方程（2）令，當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為例6．（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值;(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1），則，故曲線在處的切線為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)切線為，不符合要求當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，故，即，故（2），①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，的最大值是，解得，舍去;②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，又在上的最大值為;當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，舍去.綜上所述，存在符合題意，此時(shí)例7．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意，都有，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1），，又，，故的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），又，，則時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，在單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（3）若對(duì)任意，都有，則在上的最大值；由（2）可知，當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故；令，則，故在單調(diào)遞增，又，則；故當(dāng)時(shí)，，也即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有.故的最大值為.例8．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的最小值；(3)函數(shù)，證明：．【解析】（1），，切線斜率為故切線方程為，即.（2），令，可得，當(dāng)，；，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值.（3），由①欲證明，只需要，令，令在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，故；則在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需證明，由①可知，由（2）可知，只需證明，化簡(jiǎn)為：成立即可，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，所以得證.例9．（2024·北京石景山·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(3)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1），，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2），當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，最大值為，當(dāng)時(shí)，，得，在區(qū)間小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間大于0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，，，顯然，所以函數(shù)的最大值為，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為；（3）當(dāng)時(shí)，，即證明不等式，設(shè)，，，設(shè)，，，所以在單調(diào)遞增，并且，，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，使，即，則在區(qū)間，，單調(diào)遞減，在區(qū)間，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，由，得，且，所以，所以，即.【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·廣東汕頭·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數(shù)無(wú)極值，不合題意，所以的取值范圍為.2．（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)有極值，與函數(shù)的極值點(diǎn)相同，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處的切線方程；(2)通過(guò)計(jì)算用表示；(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值為，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，從而，，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）因?yàn)?，令，得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)；又因?yàn)?，所以，整理得，又?dāng)時(shí)，，若要使得函數(shù)有極值，則還需，即，綜上所述，，；（3）因?yàn)椋矣桑?）可知，所以，令，則，令，得到，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，從而令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，令，則，記，則，因?yàn)椋?，單調(diào)遞增，所以，即.3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，故當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，即，解得或，因此，?dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，（3）法Ⅰ：因?yàn)?，則，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在上有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立，無(wú)零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋恍?，故符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，只需，故不符合題意，舍去綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.法Ⅱ：令，則有根，令，設(shè)，，又函數(shù)對(duì)稱軸為，則時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，.4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，令函數(shù)，，則有，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即的最小值為2；（2）因?yàn)椋校?，有，①?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即在上為增函?shù)，所以至多存在一個(gè)，使得，故不存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)，解，得，故當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，（?。?dāng)，即時(shí)，，在上為增函數(shù)，故不存在極值點(diǎn)，（ⅱ）．當(dāng)，即時(shí)，

又因?yàn)椋?，又由第?）問(wèn)知，故，所以，又因?yàn)?，又，所在，使得?/p>

且在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，綜上所述，的取值范圍為．5．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知函數(shù).(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若函數(shù)存在極大值，極小值，證明：.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】（1）因?yàn)?，則的定義域?yàn)?，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：令，則在上單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，時(shí)，要使得單調(diào)遞增，則在上恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意綜上：.（2）由（1）可得且，極值點(diǎn)為與1，所以令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即成立.6．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，且是的極值點(diǎn)，證明：（i）時(shí)，取得極小值；（ii）.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由是的極值點(diǎn)，得，即，（i），而，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.（ii）設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，所以.7．（2024·高三·北京昌平·期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意知，定義域?yàn)?，所以，所以直線的斜率，，所以切線方程為，即.（2）由（1）知，所以，令，即，解得或，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（3）個(gè)極值點(diǎn)，理由如下：由（2）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，所以存在唯一，使；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一，使；當(dāng)時(shí)，，，所以所以在區(qū)間無(wú)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值；當(dāng)時(shí)，取到極大值；故有個(gè)極值點(diǎn).8．（2024·高三·北京房山·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，故當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，即，解得或，因此，?dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、.（3）因?yàn)椋瑒t，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在上有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋恍?，合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)椋恍?，不合乎題意，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.9．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，，(1)若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；(2)如圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于．【解析】（1）因?yàn)?，則，依題意，有，即．所以，，令，得或，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以滿足題意，同時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）猜想如下：因?yàn)楸硎镜膬啥它c(diǎn)連線的斜率，而由題可知，上必然存在點(diǎn)，使得其切線的斜率為，即，所以一定定存在，使得；證明如下：因?yàn)?，則．由猜想可知，對(duì)于函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，在之間一定存在一點(diǎn)，使得，又，故有.10．（2024·高二·浙江溫州·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的最大值.【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)可得，，因此可知當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；可得和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，又，所以；所以可得，即當(dāng)時(shí)，；（2）易知，又，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，所以，設(shè)，由可得，令，則，所以在上單調(diào)遞減，可得，故可知的最大值為.11．（2024·高三·河南周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，且知，要證函數(shù)單調(diào)遞增，即證在上恒成立，設(shè)，則，注意，在上均為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，且，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）由，有，令，所以，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，注意到，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，與在上均為單調(diào)增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，注意到，若，即時(shí)，此時(shí)存在，使，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又知，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，若，即時(shí)，此時(shí)存在，使，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又知，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)為函數(shù)的極小值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，由（1）可知單調(diào)遞增，因此非極大值點(diǎn)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．12．（2024·高三·遼寧朝陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)，，且在處取得極小值，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，令，可得，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：0--0+單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，顯然不恒成立，不合題意，則，解得.令，可得或，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，）所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，和的變化情況如下：0+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在處取得極小值，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，和的變化情況如下：0+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在處取得極大值，不滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.13．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑒t，則，由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設(shè)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：.14．（2024·高三·湖南岳陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知，函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1），，①若，則，在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；③若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；（2），，，由（1）易知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，即，，又，，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解，而，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故不存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.15．（2024·貴州·三模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是的極值點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.【解析】（1）由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，且是的極值點(diǎn)，可得，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，令，解；令，解，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，無(wú)最大值.即函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，最小值為，無(wú)最大值.16．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）已知，其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)已知有極值，求的所有極值之和的最大值．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，令，解得或．①?dāng)時(shí)，，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值，故舍去；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值，分別為，，則，令，，令，，則，令，得，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，即的所有極值之和的最大值為．17．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，注意到，①當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，此時(shí)函數(shù)在上是減函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，判別式，（i）當(dāng)時(shí)，，即，即恒成立，此時(shí)函數(shù)在上是減函數(shù)；（ii）當(dāng)時(shí)，令，得：，令，得：或；所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在，上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).（2）由（1）知，，，則，則，則問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明即可，即證明，則，即，即證在上恒成立，設(shè)，，其中，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞減，所以，即，故，則成立.18．（