2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題11平面向量-專項訓(xùn)練考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01平面向量概念及線性運算2024天津2023天津2022Ⅰ卷2021浙江卷2020北京Ⅱ卷平面向量的線性運算一般考查基礎(chǔ)的三角形法則，屬于簡單題目。對于此類題目可以轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運算考點02平面向量的坐標(biāo)運算2023北京ⅠⅡ卷2021乙卷2020江蘇卷平面向量數(shù)量積運算是高考數(shù)學(xué)高頻考點，一般考查向量的平行垂直以及夾角問題，容易與充要條件相結(jié)合，考查比較簡單，但是屬于易錯點?？键c03平面向量的數(shù)量積及夾角問題2024ⅠⅡ甲北京2023甲乙卷2022甲乙2021浙江Ⅱ卷2020ⅡⅢ卷考點01平面向量概念及線性運算一、選擇題1．(2022新高考全國I卷·)在中，點D在邊AB上，．記，則 ()A． B． C． D．2.(2021年高考浙江卷)已知非零向量，則“”是“”的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)·)在中，D是AB邊上的中點，則= ()A． B． C． D．二、填空題4．(2023年天津卷·)在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．5(2020北京高考)已知正方形的邊長為，點滿足，則_________；_________．6．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．考點02平面向量的坐標(biāo)運算1．(2023年北京卷·)已知向量滿足，則 ()A． B． C．0 D．12．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·)已知向量，若，則 ()A． B．C． D．二、填空題3．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·)已知向量，滿足，，則______．4(2021年高考全國乙卷·)已知向量，若，則__________．5(2020江蘇高考)在中，在邊上，延長到，使得，若(為常數(shù))，則的長度是________．考點03平面向量的數(shù)量積及夾角問題選擇題1．（2024·全國·高考Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．13．（2024·全國·高考甲卷）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件4．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5(2023年全國甲卷)已知向量滿足，且，則()A． B． C． D．6(2023年全國乙卷)已知的半徑為1，直線PA與相切于點A．直線PB與交于B．C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為 ()A． B．C． D．7．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)·)已知向量滿足，則 ()A． B． C．1 D．28．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．填空題9．(2021年高考浙江卷·)已知平面向量滿足．記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________．10．(2021年新高考全國Ⅱ卷·)已知向量，，，_______．11．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)·)設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．12．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷·)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．13．(2021高考北京·第13題)已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則________；________．參考答案與詳細(xì)解析考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01平面向量概念及線性運算2024天津2023天津2022Ⅰ卷2021浙江卷2020北京Ⅱ卷平面向量的線性運算一般考查基礎(chǔ)的三角形法則，屬于簡單題目。對于此類題目可以轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運算考點02平面向量的坐標(biāo)運算2023北京ⅠⅡ卷2021乙卷2020江蘇卷平面向量數(shù)量積運算是高考數(shù)學(xué)高頻考點，一般考查向量的平行垂直以及夾角問題，容易與充要條件相結(jié)合，考查比較簡單，但是屬于易錯點。考點03平面向量的數(shù)量積及夾角問題2024ⅠⅡ甲北京2023甲乙卷2022甲乙2021浙江Ⅱ卷2020ⅡⅢ卷考點01平面向量概念及線性運算一、選擇題1．(2022新高考全國I卷·)在中，點D在邊AB上，．記，則 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】因點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2.(2021年高考浙江卷)已知非零向量，則“”是“”的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】:若，則，推不出；若，則必成立，故“”是“”的必要不充分條件,故選B．3．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)·)在中，D是AB邊上的中點，則= ()A． B． C． D．【答案】C【解析】3．二、填空題4．(2023年天津卷·)在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．【答案】①．②．【解析】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；：因為，則，可得，得到，即，即．于是．記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，則時，有最大值．故答案：；．5(2020北京高考)已知正方形的邊長為，點滿足，則_________；_________．【答案】(1)．(2)．【解析】以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點、、、，，則點，，，因此，，．故答案為：；．6．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【答案】【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算求的最小值.【詳解】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設(shè)，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當(dāng)時，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設(shè)，且為中點，則，可得，則，且，所以當(dāng)時，取到最小值為；故答案為：；.考點02平面向量的坐標(biāo)運算1．(2023年北京卷·)已知向量滿足，則 ()A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】向量滿足，所以．故選：B2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·)已知向量，若，則 ()A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．二、填空題3．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·)已知向量，滿足，，則______．【答案】【解析】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以．法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即故答案為：．4(2021年高考全國乙卷·)已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．5(2020江蘇高考)在中，在邊上，延長到，使得，若(為常數(shù))，則的長度是________．【答案】【解析】三點共線，可設(shè)，，，即，若且，則三點共線，，即，，，,,，，設(shè)，，則，．根據(jù)余弦定理可得，，，，解得，的長度為．當(dāng)時，，重合，此時的長度為，當(dāng)時，，重合，此時，不合題意，舍去．故答案為：或．考點03平面向量的數(shù)量積及夾角問題選擇題1．（2024·全國·高考Ⅰ卷）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.3．（2024·全國·高考甲卷）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.4．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為，可得，即，可知等價于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.5(2023年全國甲卷)已知向量滿足，且，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為,所以,即,即,所以．如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,．故選:D．6(2023年全國乙卷)已知的半徑為1，直線PA與相切于點A．直線PB與交于B．C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為 ()A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當(dāng)點位于直線異側(cè)時，設(shè)，則：，則當(dāng)時，有最大值．當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，則當(dāng)時，有最大值．綜上可得，的最大值為．故選：A．7．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)·)已知向量滿足，則 ()A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C．8．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，．，因此，．故選：D．填空題9．(2021年高考浙江卷·)已知平面向量滿足．記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________．【答案】【解析】:由題意，設(shè)，則，即，又向量在方向上投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最小值為．故答案為．10．(2021年新高考全國Ⅱ卷·)已知向量，，，_______．【答案】【解析】:由已知可得，因此，．故答案為：．11．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)·)設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，因為與的