高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省新陣地教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以故選:D2.已知平面向量，則（）A.2 B.10 C. D.【答案】A【解析】，.故選：A.3.在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.15 B. C.270 D.【答案】A【解析】設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)為：，由.所以含的項(xiàng)的系數(shù)為：.故選：A4.在中，角的對(duì)邊分別為.已知，則（）A.1 B.2 C.1或2 D.或【答案】C【解析】由余弦定理可得,即，解得或，故選：C5.函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】畫(huà)出與的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè).故選：C.6.若隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，變量，這里，所以，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)檎龖B(tài)分布圖象關(guān)于對(duì)稱，.根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，若，則.對(duì)于，根據(jù)期望的性質(zhì).所以，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，對(duì)于，根據(jù)方差的性質(zhì).所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.7.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的體積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈酌?，底面，即，根?jù)題意可知為等邊三角形，為直角三角形，而，則，取的中點(diǎn)，連接，所以，易知，則，所以三棱錐的外接球的球心為F，，∴該外接球的體積為.故選：B8.北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，終于得出了長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層.現(xiàn)有一個(gè)由小球堆成的長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，共7層，小球總個(gè)數(shù)為168，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】設(shè)各層的小球個(gè)數(shù)為數(shù)列an由題意得，因?yàn)?，可得，則，因?yàn)榍?層小球總個(gè)數(shù)為168，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某地區(qū)5家超市銷售額（單位：萬(wàn)元）與廣告支出（單位：萬(wàn)元）有如下一組數(shù)據(jù)：超市ABCDE廣告支出（萬(wàn)元）1461014銷售額（萬(wàn)元）620364048下列說(shuō)法正確的是（）參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到與之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則B.與之間的樣本相關(guān)系數(shù)C.若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好D.若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬(wàn)元，則該超市的銷售額一定是17.6萬(wàn)元【答案】AC【解析】由題意，，，樣本中心點(diǎn)為，代入中，可得，故A正確；由，得，，，所以，故B錯(cuò)誤；由殘差的計(jì)算可知，若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好，故C正確；若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬(wàn)元，則該超市的銷售額估計(jì)值為（萬(wàn)元），但不一定是17.6萬(wàn)元，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.三角形的周長(zhǎng)是12B.若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C.若，則的位置不唯一D.若是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是【答案】ACD【解析】由題意可得雙曲線，，，，，，圓心坐標(biāo)，半徑，A，，，，所以三角形的周長(zhǎng)是12，故A正確；B，由題意可設(shè)雙曲線的方程為或，變形為標(biāo)準(zhǔn)形式或，，又雙曲線的焦距為8，所以，所以雙曲線為或，故B錯(cuò)誤；C，，所以點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，所以軌跡方程為，圓心坐標(biāo)代入橢圓方程可得，所以圓心在橢圓上，又點(diǎn)是圓上點(diǎn)，畫(huà)出圖形可得所以，的位置不唯一，故C正確；D，由雙曲線的定義可得，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最小值是，故D正確；故選：ACD.11.已知增函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集，的取值也為正整數(shù)，且滿足.下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.對(duì)任意正整數(shù)，都有【答案】ABD【解析】因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增.因?yàn)椋ㄈ?，則，所以矛盾），所以或（且）若（且），令，則；再令，則，因?yàn)?，所以，即，這與矛盾.所以不成立.所以.所以；；；又因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增，所以；…可得下表：123456789101112131415162356791112131415171921232417181920212223242526272829303132252627282930313335373941434547483334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626365故AB正確；因?yàn)椋?，，，，…所以，故D正確；因?yàn)?，故C錯(cuò).故選：ABD第Ⅱ卷三?填空題：本題共3小題，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】【解析】，故.故答案為：13.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【答案】3【解析】由題意，所以，所以（為公差）.故答案為：3.14.甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是______.【答案】【解析】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時(shí)，乙在剩余的4個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為時(shí)，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時(shí)不合題意，此時(shí)共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列an的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù).（1）證明：因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；所以，所以；（2）解：由（1）知，記，則，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合；當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為12.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，.（1）若是中點(diǎn)，證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正切值.（1）證明：是中點(diǎn)，，平面平面平面，平面，又與是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，；（2）解：解法一：（坐標(biāo)法）過(guò)作于平面平面平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，平面與平面所成的角記為，，即平面與平面所成角的正切值是，解法二：（幾何法）記平面與平面的交線為，平面平面，即直線兩兩平行，又平面平面，平面與平面所成角與二面角的平面角互余，過(guò)作于平面平面平面，過(guò)點(diǎn)作于，連接是二面角的平面角，平面與平面所成角的正切值為，，，即平面與平面所成角的正切值是.17.平面內(nèi)有一點(diǎn)和直線，動(dòng)點(diǎn)滿足：到點(diǎn)的距離與到直線的距離的比值是.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，曲線上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）若在軸上方，，求直線的斜率；（3）若都在軸上方，，直線，求四邊形的面積的最大值.解：（1）由題意，兩邊平方得，化簡(jiǎn)得，所以曲線的方程為；（2），即，則直線的斜率是正數(shù)，設(shè)，直線的斜率為，設(shè)Ax1,化簡(jiǎn)得，所以，由題意知，代入，消，可得，解得，所以直線的斜率是；（3）延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)，，由對(duì)稱性可知，和等底等高，，四邊形的面積，設(shè)，由（2）知，所以，即，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取到最大值，此時(shí)分別在正上方.18.已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若恒成立，求的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且不具有單調(diào)性，在定義域內(nèi)有正有負(fù)（有異號(hào)零點(diǎn)），記，則在為負(fù)，為正，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故存在，使得，只需，即.（3）對(duì)任意都成立，當(dāng)時(shí)，，下證：能成立，即證：存在，使得恒成立，記，故（必要性），而，則，解得，只需證：恒成立，，由（2）知，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在為正，在為負(fù)，在為負(fù)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，得證；綜上，的最小值為0.19.正整數(shù)集，其中.將集合拆分成個(gè)三元子集，這個(gè)集合兩兩沒(méi)有公共元素.若存在一種拆法，使得每個(gè)三元子集中都有一個(gè)數(shù)等于其他兩數(shù)之和，則稱集合是“三元可拆集”.（1）若，判斷集合是否為“三元可拆集”，若是，請(qǐng)給出一種拆法；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，證明：集合不是“三元可拆集”；（3）若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，請(qǐng)求出的最大值并給出一種拆法；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）解：是，，可拆成或?；（2）證明：對(duì)于“三元可拆集”，其每個(gè)三元子集的元素之和為偶數(shù)，則“三元可拆集”中所有元素和為偶數(shù)；而，中所有元素和為，與和為偶數(shù)矛盾，所以集合不是“三元可拆集”；（3）解：有48個(gè)元素，可以拆成16個(gè)三元子集，將這16個(gè)三元子集中最大的數(shù)依次記為，則；另一方面，中所有元素和為，所以，所以，解得，即；當(dāng)時(shí)，，可拆為、?（拆法不唯一）；綜上所述，的最大值是7.浙江省新陣地教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以故選:D2.已知平面向量，則（）A.2 B.10 C. D.【答案】A【解析】，.故選：A.3.在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.15 B. C.270 D.【答案】A【解析】設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)為：，由.所以含的項(xiàng)的系數(shù)為：.故選：A4.在中，角的對(duì)邊分別為.已知，則（）A.1 B.2 C.1或2 D.或【答案】C【解析】由余弦定理可得,即，解得或，故選：C5.函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】畫(huà)出與的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可知，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè).故選：C.6.若隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，變量，這里，所以，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)檎龖B(tài)分布圖象關(guān)于對(duì)稱，.根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，若，則.對(duì)于，根據(jù)期望的性質(zhì).所以，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，對(duì)于，根據(jù)方差的性質(zhì).所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.7.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的體積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈酌?，底面，即，根?jù)題意可知為等邊三角形，為直角三角形，而，則，取的中點(diǎn)，連接，所以，易知，則，所以三棱錐的外接球的球心為F，，∴該外接球的體積為.故選：B8.北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，終于得出了長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層.現(xiàn)有一個(gè)由小球堆成的長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，共7層，小球總個(gè)數(shù)為168，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】設(shè)各層的小球個(gè)數(shù)為數(shù)列an由題意得，因?yàn)?，可得，則，因?yàn)榍?層小球總個(gè)數(shù)為168，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某地區(qū)5家超市銷售額（單位：萬(wàn)元）與廣告支出（單位：萬(wàn)元）有如下一組數(shù)據(jù)：超市ABCDE廣告支出（萬(wàn)元）1461014銷售額（萬(wàn)元）620364048下列說(shuō)法正確的是（）參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到與之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則B.與之間的樣本相關(guān)系數(shù)C.若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好D.若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬(wàn)元，則該超市的銷售額一定是17.6萬(wàn)元【答案】AC【解析】由題意，，，樣本中心點(diǎn)為，代入中，可得，故A正確；由，得，，，所以，故B錯(cuò)誤；由殘差的計(jì)算可知，若殘差的平方和越小，則模型的擬合效果越好，故C正確；若該地區(qū)某超市的廣告支出是3萬(wàn)元，則該超市的銷售額估計(jì)值為（萬(wàn)元），但不一定是17.6萬(wàn)元，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.三角形的周長(zhǎng)是12B.若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C.若，則的位置不唯一D.若是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是【答案】ACD【解析】由題意可得雙曲線，，，，，，圓心坐標(biāo)，半徑，A，，，，所以三角形的周長(zhǎng)是12，故A正確；B，由題意可設(shè)雙曲線的方程為或，變形為標(biāo)準(zhǔn)形式或，，又雙曲線的焦距為8，所以，所以雙曲線為或，故B錯(cuò)誤；C，，所以點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，所以軌跡方程為，圓心坐標(biāo)代入橢圓方程可得，所以圓心在橢圓上，又點(diǎn)是圓上點(diǎn)，畫(huà)出圖形可得所以，的位置不唯一，故C正確；D，由雙曲線的定義可得，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最小值是，故D正確；故選：ACD.11.已知增函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集，的取值也為正整數(shù)，且滿足.下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.對(duì)任意正整數(shù)，都有【答案】ABD【解析】因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增.因?yàn)椋ㄈ簦瑒t，所以矛盾），所以或（且）若（且），令，則；再令，則，因?yàn)椋?，即，這與矛盾.所以不成立.所以.所以；；；又因?yàn)闉檎麛?shù)，且單調(diào)遞增，所以；…可得下表：123456789101112131415162356791112131415171921232417181920212223242526272829303132252627282930313335373941434547483334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626365故AB正確；因?yàn)椋?，，，，…所以，故D正確；因?yàn)?，故C錯(cuò).故選：ABD第Ⅱ卷三?填空題：本題共3小題，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】【解析】，故.故答案為：13.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【答案】3【解析】由題意，所以，所以（為公差）.故答案為：3.14.甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是______.【答案】【解析】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時(shí)，乙在剩余的4個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為時(shí)，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時(shí)不合題意，此時(shí)共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列an的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù).（1）證明：因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；所以，所以；（2）解：由（1）知，記，則，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合；當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為12.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，.（1）若是中點(diǎn)，證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正切值.（1）證明：是中點(diǎn)，，平面平面平面，平面，又與是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面，；（2）解：解法一：（坐標(biāo)法）過(guò)作于平面平面平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，平面與平面所成的角記為，，即平面與平面所成角的正切值是，解法二：（幾何法）記平面與平面的交線為，平面平面，即直線兩兩平行，又平面平面，平面與平面所成角與二面角的平面角互余，過(guò)作于平面平面平面，過(guò)點(diǎn)作于，連接是二面角的平面角，平面與平面所成角的正切值為，，，即平面與平面所成角的正切值是.17.平面內(nèi)有一點(diǎn)和直線，動(dòng)點(diǎn)滿足：到點(diǎn)的距離與到直線的距離的比值是.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，曲線上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）若在軸上方，，求直線的斜率；（3）若都在軸上方，，直線，求四邊形的面積的最大值.解：（1）由題意，兩邊