專題01幾何圖形的折疊與動點(diǎn)問題（多可能性）選題介紹本題型在河南省近五年的中招試卷中考了4次，均位于填空題的第15題，分值3分，且都有兩個答案，屬于幾何題型的多可能性問題討論。難度系數(shù)較難，得分率較低。本題屬于幾何范疇，主要借助折疊或旋轉(zhuǎn)的思想應(yīng)用在三角形或四邊形中，涉及的知識點(diǎn)主要有勾股定理，三角形的全等或相似，四邊形中的特殊平行四邊形的性質(zhì)，本題一般有兩個答案。主要解題思路1、讀懂題意，判斷每一種情況的動點(diǎn)的位置所在；根據(jù)具體情況畫出對應(yīng)的圖形，畫圖是解答本題的關(guān)鍵；3、熟練應(yīng)用題目中涉及的幾何知識。真題展現(xiàn)2022年河南中招填空題第15題如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=BC=22，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上，且CP=1，將CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ,DQ.當(dāng)∠ADQ=90°時，AQ的長為.【答案】5或13【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，確定點(diǎn)的位置時解題的關(guān)鍵。連接CD，根據(jù)題意可得，當(dāng)∠ADQ=90°時，分Q點(diǎn)在線段CD上和DC的延長線上，且CQ=CP=1，勾股定理求得AQ即可?！驹斀狻拷猓喝鐖D，連接CD,∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=BC=22，∴AB=4，CD⊥AD，∴CD=0.5AB=2，根據(jù)題意可得，當(dāng)∠ADQ=90°時Q點(diǎn)在CD上，且CQ=CP=1，∴DQ=CD-CQ=2-1=1，如圖，在Rt△ADQ中，AQ=AD2+DQ2=在Rt△ADQ中，AD=CD=2，QD=CD+CQ=3，∴AQ=AD2+DQ2故答案為：5或132021年河南中招填空題第15題15.小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步，在AB邊上找一點(diǎn)D，將紙片沿CD折疊，點(diǎn)A落在A'處，如圖2；第二步，將紙片沿CA'折疊，點(diǎn)D落在D'處，如圖3.當(dāng)點(diǎn)D'恰好落在直角三角形紙片的邊上時，線段A'D'的長為.【答案】12或【解析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形全等，線段垂直平分線，30°角所在的直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)的位置時解題的關(guān)鍵。本題分兩種情況，第一種當(dāng)點(diǎn)D，恰好落在直角三角形紙片的AB邊上；第二種情況當(dāng)點(diǎn)D，恰好落在直角三角形紙片的BC邊上?！驹斀狻拷猓孩貲，恰好落在直角三角形紙片的AB邊上時，設(shè)A，C交AB邊于點(diǎn)E，如圖由題意：△ADC≌△A，DC，A，C垂直平分線段DD，則∠D，A，C=∠DA，C=∠A=60°，A，C=AC=1.∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1,∴BC=AC?tanA=1×tan60°=3∵S△ABC=12AC?BC=12AB∴CE=32∴A，E=A，C-CE=1-3在Rt△A，D，E中，∵cos∠D，A，E=A’EA'D'∴A’EA'D'=1∴A，D，=2A，E=2?②當(dāng)點(diǎn)D，恰好落在直角三角形紙片的BC邊上時，如圖由題意得，△ADC≌△A，DC≌△A，D，C，∠ACD=∠A，CD，=∠A，CD=13∠ACB=30°則∠D，A，C=∠DA，C=∠A=60°，A，C=AC=1.∵∠D，A，C=60°，∠A，CD，=30°∴∠A，D，C=90°，∴A，D，=12A，C=12×綜上，線段A，D，的長為12或故答案為12或2019年河南中招填空題第15題15.如圖，在矩形ABCD中，AB1，BCa，點(diǎn)E在邊BC上，且BE35a．連接AE，將△ABE沿著AE折疊，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在矩形ABCD的邊上，則a的值為【答案】5或13【解析】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，三角形相似的應(yīng)用，根據(jù)題意可分兩種情況求得，①B'落在AD上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得AB=BE，即可求出a的值；②點(diǎn)B'落在CD邊上，證明△ADB'∽△B'CE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出a的值?！驹斀狻拷猓悍謨煞N情況：①B'落在AD邊上時，如圖1.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°，∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在AD邊上時，∴∠BAE=∠B'AE=12∠BAD=45°∴AB=BE，∴35a=53②點(diǎn)B'落在CD邊上時，如圖2∵四邊形ABCD是矩形，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a∵將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在CD邊上，∴∠B=∠AB'E=90°，AB=AB'=1，EB=EB'=35∴DB'=B'A2?ADEC=BC-BE=a-35a=2在△ADB'與△B'CE中，∠B'AD=∠EB'C=90°-∠AB'D，∠D=∠C=90°∴△ADB'∽△B'CE，∴DB'CE=AB'B'E即可求出a=綜上，所求a的值為53或故答案為53或52018年河南中招填空題第15題15.如圖，∠MAN=90°，點(diǎn)C在邊AM上，AC=4，點(diǎn)B為邊AN上一動點(diǎn)，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長交A′B所在直線于點(diǎn)F，連接A′E．當(dāng)△A′EF為直角三角形時，AB的長為_____．【答案】43或4【解析】【詳解】分析：當(dāng)△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：①當(dāng)∠A'EF=90°時，如圖1，根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C=A'E=4，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的長；②當(dāng)∠A'FE=90°時，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．詳解：當(dāng)△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：①當(dāng)∠A'EF=90°時，如圖1，.∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴D、E是△ABC的中位線，∴DE∥AB，∴∠CDE=∠MAN=90°，∴∠CDE=∠A'EF，∴AC∥A'E，∴∠ACB=∠A'EC，∴∠A'CB=∠A'EC，∴A'C=A'E=4，Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點(diǎn)，∴BC=2A'E=8，由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，∴AB=43；②當(dāng)∠A'FE=90°時，如圖2，.∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，∴∠ABF=90°，∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，∴∠ABC=∠CBA'=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=4；.綜上所述，AB的長為43或4；故答案為43或4.模擬演練1．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一動點(diǎn)連接，將沿折疊，若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，連接，當(dāng)△為直角三角形時，的長為．【答案】5或【解析】當(dāng)△為直角三角形時，①當(dāng)時，為中點(diǎn)，，，，即，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)不能落在所在直線上，，故該情況不存在；②如圖，當(dāng)時，，由折疊的性質(zhì)得：，，，得；③如圖，當(dāng)時，，故，，三點(diǎn)共線，設(shè)，則，在中，，則，在△中，由勾股定理可得，即，解得，即．綜上所述，滿足條件的的值為5或．故答案為：5或．2.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)M，N分別為邊CD，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為射線DA，射線BC上的動點(diǎn)，且DP＝BQ，分別沿PM，QN折疊△DMP，△BNQ，得到△EMP，△FNQ，點(diǎn)D，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接MF，EN．若四邊形MENF為菱形，AD＝6，AB＝10，則線段DP的長為_______．【答案】或15【解析】【分析】分兩種情況求解：①在線段上時，如圖1，連接，，延長交于，四邊形是菱形，四邊形是矩形，可知的線段長，證明，，進(jìn)而可求線段長；②在射線上時如圖2，，延長交于，過作于，于，過程同（1），證明，，進(jìn)而可求線段長．【詳解】解：①在線段上時，如圖1，連接，，延長交于，∵四邊形是菱形，點(diǎn)M，N分別為邊CD，AB的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，，由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，∴，∵，∴，又∵，∴，∴即，解得，∴；②在射線上時如圖2，，延長交于，過作于，于，由題意知，四邊形是矩形，由折疊的性質(zhì)可知，，，，∵，∴，又∵，∴，∴即，解得，∴；綜上所述，的長為或15．3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上，為的中位線，過點(diǎn)D向x軸作垂線段，垂足為E，可得矩形．將矩形沿著x軸向右平移，設(shè)斜邊AB所在直線與矩形所圍直角三角形的面積為S．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，當(dāng)時，矩形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)B（6，0）求得OB=6，又tan∠ABO=，求OA=6，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出CDOB，CD=OB=3，OC=OA=3，然后設(shè)D的坐標(biāo)為(m,3)，分兩種情況：當(dāng)AB與CD相交時，如圖1，當(dāng)AB與O′C、O′E相交時，如圖2，分別求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；【詳解】解：∵B（6，0），∴OB=6，∵tan∠ABO=，∴OA=，∵CD是的中位線，∴CDOB，CD=OB=3，OC=OA=3，設(shè)D(m,3)，當(dāng)AB與CD相交時，如圖1，∴DG=m-3，∵CDOB，∴∠DGF=∠ABO=60°，∵，∴，∴DF=（m-3），∵S△DGF==解得：m1=5，m2=1，∵DG=m-3>0，∴m=5,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；當(dāng)AB與O′C、O′E相交時，如圖2，∴O′B=3-(m-6)=9-m，∵，即∴O′F=（9-m）∵S△DGF===2解得：m1=7，m2=11，∵O′B=9-m>0，∴m=7，∴D的坐標(biāo)為．綜上，D的坐標(biāo)為或．故答案為：或．4.如圖，點(diǎn)E是斜邊AC上一點(diǎn)，，將沿BE翻折，得到，再在AC邊上取點(diǎn)F，使點(diǎn)C關(guān)于BF的對稱點(diǎn)恰好落在上，連接，當(dāng)是直角三角形時，AE的長是_______．【答案】或【解析】【分析】由題意，可知當(dāng)是直角三角形時，可分和兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】在中，．由軸對稱的性質(zhì)，可得，∴．①當(dāng)時，點(diǎn)在AC上，如解圖1所示，則，解得，②當(dāng)時，如解圖2所示，則，解得，綜上所述，AE的長是或．故答案為：或．5.如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上的一動點(diǎn)，將沿折疊得到，當(dāng)點(diǎn)落在的一條邊上時，的長為______．【答案】或【解析】根據(jù)題意可得，分兩種情況：如圖，當(dāng)落在邊上時，此時，如圖，當(dāng)落在邊上時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)由勾股定理即可解決問題．【詳解】解：在中，，，分兩種情況：如圖，當(dāng)落在邊上時，此時，在中，，由折疊可知：，，；如圖，當(dāng)落在邊上時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，設(shè)，則，，由折疊可知：，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得，舍去，．綜上所述：的長為或．故答案為：或．6.如圖，在中，，對角線，點(diǎn)，分別為，邊上的動點(diǎn)，且．現(xiàn)將關(guān)于直線對稱，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記為，將關(guān)于直線對稱，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記為，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，的長度為______．【答案】或【解析】連接、，先證等邊三角形，再證，再在中利用三角函數(shù)求出，則問題得解．【詳解】分兩種情況：①當(dāng)時，如圖1所示，連接、，∵四邊形是菱形，∴，∵根據(jù)對稱的性質(zhì)有，∵AC=AD=3，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵AC=AD，∴，∴，∴在中，，∴，，∴根據(jù)對稱的性質(zhì)有，∴；②當(dāng)時，如圖2所示，連接、，∵四邊形是菱形，∴是AC的垂直平分線，∵，∴CE=AE=，∴．綜上分析可得，DE的長為：或．故答案為：或．圖1圖27.如圖，?ABCD中，E是AD邊上一點(diǎn)，AD=4，CD=3，ED=，∠A=45°，點(diǎn)P、Q分別是BC，CD邊上的動點(diǎn)，且始終保持∠EPQ=45°，將△CPQ沿它的一條邊翻折，當(dāng)翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形時，線段BP的長為______.【答案】，3，【解析】過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，連接BE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及已知條件，可證得△BEF是等腰直角三角形，求出BF、BE、的長，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合已知，證明∠2=∠1，∠EBP=∠C，利用相似三角形的判定，可證得△BPE∽△CQP，再分三種情況討論：①當(dāng)CQ=QP時，則BP=PE，可證得四邊形BPEF是矩形，可求出BP的長；②當(dāng)CP=CQ時，則BP=BE=3；③當(dāng)CP=PQ時，則BE=PE=3，再根據(jù)△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理，可求出BP的長，從而可得出答案.【詳解】：如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，連接BE∵平行四邊形ABCD∴AD∥BC∴∠BFE=∠FBP=90°在Rt△ABF中，∠A=45°，AB=3∴BF=AF=ABcos45°=3×=∴EF=AD-AF-DE=4--=∴EF=BF∴∠FBE=∠EBP=45°=∠C∠2+∠EFQ=∠1+∠C∵∠EFQ=∠C=45°∴∠2=∠1∴△BPE∽△CQP將△CPQ沿它的一條邊翻折，當(dāng)翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形時，分三種情況：①當(dāng)CQ=QP時，則BP=PE∴∠EBP=∠BEP=45°，則∠BPE=90°∴四邊形BPEF是矩形∴BP=EF=②當(dāng)CP=CQ時，則BP=BE=3③當(dāng)CP=PQ時，則BE=PE=3，∠BEP=90°∴△BPE是等腰直角三角形∴BP=.故答案為、3、8.如圖，中，，，．四邊形是正方形，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且．是線段上一點(diǎn)，且．過點(diǎn)作直線與平行，分別交，于點(diǎn)，，則的長是______．

【答案】或【解析】結(jié)合勾股定理逆定理判斷是直角三角形，通過證明，，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解，然后分當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)右側(cè)時，進(jìn)行分類討論．【詳解】解：中，，，，，，，為直角三角形，①當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)左側(cè)時，如圖：設(shè)直線交于點(diǎn)，

，，，又∵四邊形是正方形，且，，，即，解得：，，，，，，解得：，，，，，，，，解得：；②當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)右側(cè)時，如圖：

與①同理，此時，，解得：，綜上，的長為或，故答案為：或．9.如圖所示，在矩形ABCD中，，點(diǎn)P在邊CD上，且，將沿BP折疊，若點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的邊上，則CD的長度為_______．【答案】或【解析】根據(jù)矩形的形狀分類討論，分AD＞DC和AD＜DC兩種情況討論，當(dāng)AD＞DC時，點(diǎn)F落在AD邊上，則設(shè)CD的長度為x．根據(jù)翻折的性質(zhì)，有，．即在中，用勾股定理表示出，再在中，利用勾股定理得，解方程即可得解；當(dāng)AD＜DC時，由翻折變換可知四邊形BCPF是正方形，即有PC=BC，則CD易求．【詳解】解：如圖1所示，AD＞DC時，當(dāng)點(diǎn)F落在AD邊上，則設(shè)CD的長度為x．由翻折變化可知，，．在中，由勾股定理得，，∴．根據(jù)翻折可知BF=BC，在中，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去）；如圖2所示，AD＜DC時，當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上