第七章

隨機(jī)變量及其分布7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值1.通過具體實(shí)例，理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值的概念和意義．2.能夠計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值，并能解決一些實(shí)際問題．?dāng)?shù)學(xué)期望有啥用？已知有12個(gè)西瓜，其中重5kg的有4個(gè)，重6kg的有3個(gè)，重7kg的有5個(gè).(1)任取一個(gè)西瓜,用X表示這個(gè)西瓜的重量,試想X的可能取值有哪些?解：由題意X=5,6,7權(quán)數(shù)(2)X取上述值時(shí)對應(yīng)的概率分別是多少?已知有12個(gè)西瓜，其中重5kg的有4個(gè)，重6kg的有3個(gè)，重7kg的有5個(gè).西瓜的平均重量為：加權(quán)平均數(shù)(3)如何求西瓜的平均重量?

均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

知識(shí)歸納一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.

演練.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示.環(huán)數(shù)x78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢？從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高。解：甲射中的平均環(huán)數(shù)為7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9乙射中的平均環(huán)數(shù)為7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65解：隨機(jī)變量X的可能取值為1，0；

例1.在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？P(X=1)=0.8、P(X=0)=0.2所以,E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么

E(X)=1×p+0×（1-P）=P

分析：罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果，命中時(shí)X=1，不中時(shí)X=0。解:隨機(jī)變量X的分布列為求離散型隨機(jī)變量均值的步驟:

例2.隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻的骰子,求所得骰子的點(diǎn)數(shù)X的均值.求隨機(jī)變量的分布列利用期望的定義．求隨機(jī)變量的期望（1）找出隨機(jī)變量所有可能的取值（2）求出相應(yīng)的概率（3）列成表格形式分析：先確定X的可能取值和相應(yīng)的概率，再根據(jù)定義計(jì)算X的均值1.離散型隨機(jī)變量X的分布列是0.2ba0.3P10974XE(X)=7.5,則a=

b=

.0.40.1練一練分析：4×0.3+7a+9b+10×0.2=7.50.3+a+b+0.2=1歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000解:

分析：公益基金總額X的可能取值有幾種情況？規(guī)則如下：按照A,B,C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首.求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.例3

猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜對時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金

如下表所示變式:如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同?若不同，那個(gè)大?變式：當(dāng)按B,C,A的順序猜時(shí)X的分布列如下表所示.X0200050006000P0.40.360.0480.192同理

可以發(fā)現(xiàn),按由易到難的順序猜歌,得到公益金的期望值最大.當(dāng)按A,C,B的順序時(shí)

當(dāng)按B,A,C的順序時(shí)當(dāng)按C,B,A的順序時(shí)當(dāng)按C,A,B的順序時(shí)E(X)=2144,E(X)=2256，E(X)=1872，E(X)=1904.例3是概率決策問題也稱為風(fēng)險(xiǎn)決策，選擇不同的猜歌順序，X的分布列是不同的，不能直接進(jìn)行比較，所以決策的原則是選擇期望值E(X)大的猜歌順序。歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000

例4根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案:

方案1運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；

方案2建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；

方案3不采取措施.工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?

解：

設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1，X2，X3.采用方案1，有采用方案2，有采用方案3，有∴因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.分析：各方案的總損失分別為多少？沒有洪水的概率又是多少？總損失越小越好設(shè)X的分布列為根據(jù)隨機(jī)變量均值的定義，類似地，可以證明E(aX)=aE(X).一般地，下面的結(jié)論成立：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，X加一個(gè)常數(shù)或乘一個(gè)常數(shù)后，其均值會(huì)怎樣變化?即E(X+b)和E(aX)(其中a,b為常數(shù))分別與E(X)有怎樣的關(guān)系?32.設(shè)E(X)=4,則E(2X-5)=

.練一練1.離散型隨機(jī)變量的均值或期望的定義2.兩點(diǎn)分布的期望3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)E(X+b)=E(X)+b，E(aX)=aE(X)，1.若隨機(jī)變量X的分布列如下(k為常數(shù)),則X的數(shù)學(xué)期望E(X)= ()A.0.6

B.0.9 C.1

D2.擲一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子(四面點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4),則底面擲出點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

.2.5X012Pk6k0.33