第2課時(shí)三角形三邊的垂直平分線北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)，并能運(yùn)用該性質(zhì)分析與解決實(shí)際問(wèn)題.已知底邊及底邊上的高，能用尺規(guī)作出等腰三角形，能用尺規(guī)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.新課導(dǎo)入作三角形三條邊的垂直平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？

P三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)P新課探究

求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.PABC已知：如圖，在△ABC

中，邊AB的垂直平分線與邊BC

的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：邊

AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P，且PA=PB=PC.例2

證明：∵點(diǎn)P

在線段AB

的垂直平分線上，∴

PA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）.

同理，PB=PC.

∴PA=PB=PC.

∴

點(diǎn)

P在線段

AC

的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上），即

邊

AC

的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.PABC三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.銳角三角形中交點(diǎn)在三角形內(nèi)部直角三角形中交點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)鈍角三角形中交點(diǎn)在三角形外部對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

如圖，P

為△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，則∠PAB

的度數(shù)為_(kāi)______.50°議一議（1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能畫(huà)出滿(mǎn)足條件的三角形嗎？如果能，能畫(huà)出幾個(gè)？所畫(huà)出的三角形都全等嗎？A1DCBAah()DCBAahA1DCBAahA1可以畫(huà)出無(wú)數(shù)個(gè)三角形

（2）已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出滿(mǎn)足條件的一個(gè)等腰三角形嗎？已知一個(gè)等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作這個(gè)等腰三角形.已知：如圖，線段a，h.求作：△ABC，使

AB=AC，且

BC=a，高AD=h.ah例3作法：（1）作線段BC=a.（2）作線段

BC的垂直平分線l，交BC于點(diǎn)D.（3）在l

上作線段DA，使DA=h.（4）連接

AB，AC.△ABC為所求的等腰三角形.BCDlA做一做

已知直線l和l上一點(diǎn)P，用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.ABm你能明白這個(gè)作法嗎？ABPmlPl過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線

如果點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，那么怎樣用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P呢？說(shuō)說(shuō)你的作法，并與同伴交流.ABmPl議一議對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.通過(guò)如下尺規(guī)作圖，能確定D是BC邊的中點(diǎn)的是（）AABCD2.如圖，已知線段a，求作以a為底，以2a為高的等腰三角形.

已知：線段a（如題圖）.

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=2a.作法：如圖.①作線段BC=a；②作線段BC的垂直平分線MN，交BC于點(diǎn)D；③在DM上依次截取線段DE，EA，使DE=EA=a；④連接AB，AC.△ABC即為所求作的等腰三角形.鞏固提升1.勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系(1個(gè)單位長(zhǎng)度表示1km)，并標(biāo)示了A，B，C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖所示.一條筆直的鐵路恰好經(jīng)過(guò)A，B兩地.(1)A，B間的距離為_(kāi)_______km；(2)計(jì)劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個(gè)維修站D，使D到A，C的距離相等，求C，D間的距離.20一、利用尺規(guī)作圖的方法進(jìn)行作圖、計(jì)算或證明解：如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)E，則E(0，1).連接CE，則CE=1-(-17)=18(km)，

CE所在直線即為C到AB的最短公路l.連接AC，作AC的垂直平分線DF，交l于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，由垂直平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)D到A，C的距離相等.設(shè)DA=DC=xkm，則ED=(18-x)km.在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AE2+ED2=DA2，即122+(18-x)2=x2，解得x=13，即DC=13km.∴C，D間的距離為13km.2.某鎮(zhèn)準(zhǔn)備新建一個(gè)醫(yī)療站點(diǎn)P

，使點(diǎn)P

到三個(gè)村A，B，C

的距離相等(A，B，C不在同一條直線上，地理位置如圖所示)，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P

的位置.(要求：保留作圖痕跡)二、線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用解：連接AB，AC，分別作AB，AC的垂直平分線DE，MN，它們相交于點(diǎn)P(如圖所示)，則點(diǎn)Р就是醫(yī)療站點(diǎn)的位置.隨堂演練1.在班級(jí)體鍛課上，有三名同學(xué)站在△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕鎿尩首佑螒?，要求在他們中間放一個(gè)凳子，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷凇鰽BC

的（）A.三邊中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三邊上高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)D2.已知：如圖，∠α，直線l

及l(fā)

上兩點(diǎn)A，B.求作：Rt△ABC，使點(diǎn)C

在直線l

的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）解：如圖所示.3.如圖，已知∠MON=30°，A

是射線OM

上一點(diǎn).（1）求作：直線l，使l

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且

l⊥ON

于點(diǎn)B

（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）中線段AB

的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C，使BC=AB，連接OC.按要求補(bǔ)全圖形，并證明AC=OC.解：（1）如圖，直線l

為所作.（2）補(bǔ)全圖形如圖所示.證明：∵AB⊥ON，AB=BC，∴OB垂直平分AC，∴OA=OC，∴OB平分∠AOC，∴∠COB=∠AOB=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC為等邊三角形，∴AC=OC.4.三個(gè)村莊A，B，C

的位置如圖所示，現(xiàn)在這三個(gè)村莊準(zhǔn)備聯(lián)合打一眼機(jī)井為三個(gè)村莊供水.從每個(gè)村莊各自的利益考慮，他們投資相同，都要求機(jī)井到自己村莊的距離最近，請(qǐng)你幫助他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)方案.解：設(shè)計(jì)方案：分別作△ABC

的邊AC，BC

的垂直平分線EF，GH，它們相交于點(diǎn)P（如